《斷裂力學教案》word版.doc

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第一章 斷裂力學的基本概念 1.1 斷裂力學的產(chǎn)生與發(fā)展 【產(chǎn)生】 傳統(tǒng)安全設計思想： （n、n>1） 低應力破壞現(xiàn)象： 二戰(zhàn)時，美國建造2500只船，700只發(fā)生破壞，145只在非軍事行為下斷為兩截，美國—T2油輪斷裂，甲板應力為70MPa，而甲板屈服強度300MPa。 新的衡量材料斷裂性能指標出現(xiàn)，標志著斷裂力學的產(chǎn)生。 【發(fā)展】 最早產(chǎn)生于1920年，Griffith（格里菲斯）提出： =常數(shù) -裂紋擴展臨界應力，a-裂紋半長度 該理論的局限性：成功的解釋了脆性材料開裂現(xiàn)象，但不能很好的解釋金屬材料。 1949年，Orowan（奧羅文）提出修正的格里菲斯公式： =常數(shù) -塑性變形功，E-彈性模量 該理論的局限性：難以測量，工程上難以應用。 1957年，Irwin（伊爾文）提出應力強度因子K的概念，奠定了線彈性斷裂力學的基礎。 【發(fā)展狀況】 線彈性斷裂力學成熟，彈塑性斷裂力學不成熟。 【斷裂力學與材料力學的不同點】 材料力學研究完整的材料，斷裂力學研究帶裂紋的材料。 1） 靜荷載情況：材料力學用許用應力設計構件，斷裂力學用斷裂韌性設計構件。 2） 循環(huán)荷載情況：材料力學用疲勞極限設計構件，斷裂力學用疲勞壽命設計構件。 1.2 裂紋的類型 Ⅰ型裂紋（張開型裂紋）：拉應力垂直于裂紋擴展面。 Ⅱ型裂紋（滑開型裂紋）：切應力平行于裂紋面且垂直于裂紋前沿線。 Ⅲ型裂紋（撕開型裂紋）：切應力平行于裂紋面，平行于裂紋前沿線。 1.3 Griffith裂口理論 理論假設： 1） 脆性材料存在微裂紋，裂紋尖端應力集中大大降低了材料強度。 2） 對應一定尺寸裂紋，有一臨界應力值，當外加應力大小大于時，裂紋擴展導致斷裂。 3） 裂紋擴展條件是擴展所需要的表面能由系統(tǒng)釋放的彈性應變能提供。 [無裂紋時] 取相當大的板，上下端施加均布載荷，穩(wěn)定后把兩端固定，構成能量封閉體系。 應變能： （1） [有裂紋時] 上述板上割開一穿透裂紋，裂紋表明無應力，應力被松弛，系統(tǒng)釋放能量。 應變能改變量（釋放的能量）： （平面應力）或（平面應變） （2） ——泊松比 新增表面能： （3） ——單位面積表面能 對平面應力問題，有裂紋情況下系統(tǒng)總能量： （4） 顯然U是a的函數(shù)。 對（4）求導，令其為零，可求U的極值。 臨界值 （5） 由于 所以 當時，系統(tǒng)內(nèi)能U達極大值。 當a<時，a↑，U↑，若無外界能量輸入，裂紋不擴展。 當a>時，a↑，U↓，裂紋將失穩(wěn)擴展。 由（5）式可得： （平面應力） （6） 對平面應變問題 （平面應變） （7） 注：以上公式（6）、（7）僅適用于脆性斷裂。 對金屬材料，Orowan 修正公式： （8） 其中： ——塑性變形功 由于>>，所以略去： （9） 1.4 復變函數(shù)基本知識 ﹡復數(shù) ，、為實數(shù) ， ﹡復變數(shù) ， 極坐標中，，r---- 復數(shù)的模。 或 互為共軛復數(shù)。 *復變函數(shù) 為自變量 復變函數(shù)的導數(shù) 復變函數(shù)的積分 *解析函數(shù) 若在區(qū)域D內(nèi)每一點可導，稱是域D內(nèi)的解析函數(shù)。 解析函數(shù)性質(zhì)： ① 若是解析函數(shù)，則 ——拉普拉斯算子 即解析函數(shù)的實部和虛部是調(diào)和函數(shù)。 ② 解析函數(shù)存在下列關系 ③解析函數(shù)的導數(shù)和積分仍為解析函數(shù)。 ④一個解析函數(shù)必然是雙調(diào)和函數(shù)，即 若，則。 其中： 所以解析函數(shù)的實部和虛部也是雙調(diào)和函數(shù)。 第二章 線彈性斷裂力學——應力場強度因子斷裂理論 2.1 斷裂力學平面問題的求解 【基本方程】 平面應力問題： （2-1） 平面應變問題： （2-2） 若體積力X,Y與坐標無關，則平面應力，平面應變問題歸為： （2-3） 由以上方程及邊界條件求,,，再由其他關系式求及。 【求解方法】 構造Airy應力函數(shù)，該函數(shù)滿足雙調(diào)和方程： (即 ) （2-4） 及邊界條件。 則應力分量為： （2-5） 應變分量為： （2-6） 其中： ，（平面應力） （平面應變） 2.2 應力函數(shù) 1939年，提出應力函數(shù)： —（具體形式的Airy應力函數(shù)） 可證明： （2-7） （2-8） （2-9） （2-10） （2-11） 該方法實質(zhì)：只要找到滿足邊界條件的解析函數(shù)Z，即可求應力，應變，位移。 2.3 雙向拉伸的I型裂紋問題 Irwin 用Westergaard應力函數(shù)求解I型裂紋問題。 已知：無限大板內(nèi)有長為2a中心穿透裂紋，板無限遠處受雙向張應力作用。 求：應力場，位移場。 解： 邊界條件描述為： 由式（2-7），， 當時，，，滿足條件③。 以下求裂紋附近處的應力場和位移場： 則 當時或時，分子中，分母中很小，可以忽略。 所以 （2-12） 由： ， （注：Zˊ可由對z求導并略去小量求得。） 代入（2-7）式，可得 （2-13） 表達式略 （2-14） 注： ① 以上解為近似解，忽略了r的高次項。 ② 當r≤0.02a近似解與精確解的誤差小于1.5% 。 2.4單向拉伸條件下Ⅰ型裂紋尖端應力場 邊界條件：① y=0，|x|a時， 且時，越大。 ③ y=0， 時，，。 采用修正的Westergaard應力函數(shù)求解。 令函數(shù)（A為待定常數(shù)） 可以證明： 當y=0時， （a） 由邊界條件② 、③，|x|>a時，對于則應有 （與雙向拉伸相同） （b） 比較（a）、（b）則時， 所以 由 ，當y=0時，將上式代入得： 由邊界條件③：當y=0，時，，則應有： 所以 。 最后可知，能滿足邊界條件的復變函數(shù)為： 采用相同方法可求得： （2-15） 2.5 應力場強度因子及裂紋斷裂韌性 1．應力強度因子 將I型裂紋尖端應力場公式（2-13）改寫為： （2-16） 其中，——I型裂紋應力強度因子 或 （2-14）改寫為： （2-17） 綜合各種情況I型裂紋，應力強度因子可表示為： （2-18） ——幾何形狀因子 注：①控制著裂紋尖端的應力、應變、位移。 ②（2-16），（2-17）式適用于所有純I型裂紋的應力、位移表達。 2．斷裂韌性 I型裂紋及延長線上應力： 將代入(2-16)式，得： ， （） 為主應力，且是引起裂紋擴展的力。 討論：①當增加時，增大； ②當裂紋開始擴展時，達到臨界值。 定義：為斷裂韌性； 為I型裂紋在平面應變條件下的斷裂韌性； 為I型裂紋在平面應力條件下的斷裂韌性。 斷裂判據(jù)： 或 （2-19） 注：①與裂紋長度，外加應力有關，僅與材料有關； ②一般情況下常研究平面應變下的及斷裂判據(jù)； ③對Ⅱ型，Ⅲ型裂紋，斷裂判據(jù)為： ， 。 2.6 I型裂紋尖端塑性區(qū)及的塑性修正 裂紋尖端應力場表達式的局限性：趨于無窮大。 解決思路：若塑性區(qū)尺寸很小，對進行修正。 解決辦法：采用或準則，確定塑性區(qū)大小及形狀，對進行修正。 1、I型裂紋尖端塑性區(qū) 準則：在多向應力條件下，材料中最大切應力等于剪切強度時就發(fā)生屈服，即 或 （2-20） 準則：當多向應力狀態(tài)的形狀改變能密度等于單向拉伸或壓縮屈服時的形狀改變能密度時，材料就發(fā)生屈服。即： （2-21） 對平面問題，裂紋尖端附近主應力為： （平面應力） （平面應變） 將 表達式代入上式，可得： （2-22） [準則確定的塑性區(qū)] 將（2-22）代入（2-21），可得： *對平面應力情況： （2-23） 當θ由變化時，可得塑性區(qū)形狀如圖。 當θ=時塑性區(qū)寬度為 (2-24) 對于平面應變情況 (2-25) (2-26) [準則確定的塑性區(qū)] 塑性區(qū)形狀與準則略有不同，但塑性區(qū)的寬度一致。 由于平面應變問題，裂紋尖端處處于三向應力狀態(tài)，變形受更大限制，所以塑性區(qū)相對平面應力問題較小。 2、I型裂紋塑性區(qū)寬度的修正 裂紋延長線上（軸）應力為： 裂紋前沿線上若發(fā)生塑性變形，由準則： 對平面應力情況，，即 對于平面應變情況，，即 定義有效屈服應力： （2-27） 塑性區(qū)寬度實際上是時的值。 若不考慮加工硬化（如理想彈塑性材料），應力松弛使得裂紋延長線上的應力由DBEF曲線代替ABC曲線。由兩曲線與軸圍成的面積相等，且假設BC和軸圍成面積與EF和軸圍成面積相等，可推出圖中陰影部分的面積等于圖中BEHG的面積。 即 可得 （2-28） 3、的塑性修正 [引起應力松弛的方式] ①發(fā)生塑性變形 ②產(chǎn)生裂紋或裂紋擴展 [有效裂紋長度] 當不考慮塑性變形時且裂紋尺寸由a增加到所引起的應力松弛，相當于裂紋長度為a而考慮塑性變形引起的應力松弛，則稱為有效裂紋長度。 [的計算] 當不考慮塑性變形時，假設裂紋尖端有移到， A點處應力為(純彈性)： 其中：為修正后的應力強度因子。 由于A點處應力（考慮塑性變形） 由，經(jīng)推導可得 (2-29) (2-30) 結(jié)論：①當比值較大時，需要對進行修正。如對平面應變情況: =0.6~0.7時對進行修正。 ②當＞0.7時采取彈塑性斷裂力學方法分析。 2-7 Ⅱ型裂紋應力場及應力強度因子 邊界條件： ①y=0, |x|＜a, ②y=0, |x|＞a, ③y=0, |x|→, 取函數(shù) 可推出 —Ⅱ型裂紋應力強度因子 或 第三章 線彈性斷裂力學——能量平衡斷裂理論 3-1 裂紋擴展的能量（釋放）率 從能量角度研究裂紋擴展，存在下列公式 （3-1） ——裂紋擴展的阻力（裂紋擴展單位面積所需的能量） ——裂紋擴展單位面積所消耗的塑性變形功 ——裂紋擴展單位面積所需的表面能 設G為裂紋擴展單位面積系統(tǒng)提供能量，則裂紋擴展條件為 G≥R （3-2） ——可稱為裂紋擴展的能量(釋放)率，或稱裂紋擴展力。 對型裂紋，斷裂判據(jù)為：==2+ ——稱為斷裂韌性。 [的物理意義] 若外力功增量為△W，應變能變化量，由能量原理 則 （3-3） 若試樣厚度為，裂紋長度為a， 則 （3-4） [的兩種表達式] 1、恒負載條件下表達式 （3-5） 其中，稱為柔度，為裂紋長度a的函數(shù)。 *當裂紋未擴展時,由圖（a）: 應變能 *當裂紋在圖（a）的基礎上擴展時,由圖（b） 應變能 *裂紋擴展前后,能量變化為 外力功 應變能 (3-6) 而， ，可得： (3-7) 2、恒位移條件下表達式 由于外力功改變量, (3-8) 由于 可得 (3-9) 說明： ① 表達式為，恒負荷條件取正號，恒位移條件取負號。 ② 恒負荷與恒位移條件下，GⅠ均可表達為 ③ 恒負荷條件下，隨裂紋擴展系統(tǒng)應變能增加；恒位移條件下，隨裂紋擴展系統(tǒng)應變能減小。表征了系統(tǒng)應變能對裂紋長度的變化率，常稱為裂紋擴展的能量率。 3-2 和的關系 裂紋擴展判據(jù)： 以恒位移條件為例： 1） 裂紋擴展時釋放出來的應變能在數(shù)值上應等于外力將裂紋閉合到原來狀態(tài)所做的功。 2） 使裂紋重新閉合的力應等到于使裂紋擴展的力。 *當裂紋尖端在處時， 在軸上 ，=0，則 *當裂紋擴展△a時，裂紋尖端在處，方向位移： 在裂紋面上, =則有： *閉合長度為△a的裂紋，力緩慢加載時外力功為： B—厚度 *對于恒定位移條件，應變能的改變量為負值，由假設1）, 則 將，的表達式代入可得：，其中 由恒定位移條件下的表達式可得： 則 說明： 該公式適用于所有其他加載條件下的I型裂紋問題，但僅限于彈性斷裂問題。 該公式表明K判據(jù)和G判斷等效。 對Ⅱ、Ⅲ型裂紋G、K關系為：， 3.3 的力學標定 思路:求關鍵→求之值 方法: ?確定不用裂紋長度的關系,求各不同裂紋長度試樣的柔度。 由， ，圖中各斜線斜率的倒數(shù)為不同裂紋長度下試件的柔度。 ?確定裂紋長度與柔度C的關系，求各裂紋長度下的。 ③的標定 設：W---試樣寬度，B---試樣厚度， 由 ④由標定曲線圖,可求出不同裂紋長度時的,若臨界應力和臨界裂紋尺寸已知，可求出斷裂韌性。 第四章 彈性斷裂力學—復合型裂紋的脆性斷裂理論 4-1 概述 復合型裂紋：同時受到兩種或兩種以上類型裂紋應力作用的裂紋。 復合型裂紋產(chǎn)生原因： ①載荷不對稱 ②裂紋方位不對稱（傾斜） ③裂紋方位不對稱（偏離） ④材料各向異性 復合型裂紋需解決的兩個問題： ①裂紋沿什么方向擴展?——需確定開裂角 ②裂紋在什么條件下擴展?——需確定臨界狀態(tài) 復合型裂紋脆性斷裂理論： ⑴最大周向應力理論 ⑵能量釋放率理論 ⑶應變能密度因子理論 4-2 最大周向應力理論（準則） 基本假設： ① 裂紋沿最大周向應力方向開始擴展； ② 裂紋的擴展是由于最大周向應力達到臨界值而產(chǎn)生的。 注：這里切應力正負號規(guī)定與材料力學相反。 用極坐標表示裂紋尖端應力場為： （4-1） 對Ⅰ-Ⅱ型復合裂紋（Ⅰ、Ⅱ型裂紋疊加）： （4-2） r=r0的微小圓周上各點周向應力： 的極值條件為 即 令：時得 由于即無實際意義，所以開裂角由以下方程確定： （4-3） 求出后，可得到： （4-4） 斷裂準則為： （4-5） 為最大周向應力的臨界值。 [的確定] 對Ⅰ型裂紋：、 當時裂紋擴展，代入(4-4) (4-6) [Ⅰ-Ⅱ型復合裂紋斷裂準則] 將（4-4）、（4-6）代入（4-5），可得： （4-7） [與的關系] 對于純Ⅱ型裂紋： 由（4-3）得 ∴ ， 實驗表明：對切應力為正號的Ⅱ型裂紋，為負值，即。 當裂紋擴展時， 由（4-7）式，代入得到 即 （4-8） 例1 已知：一個受單向拉伸作用的無限大平板，板中含一個長度為2a穿透裂紋，裂紋與拉伸方向夾角為，材料斷裂韌性為。 求：裂紋開裂角和臨界應力。 注：離裂紋尖端較遠處可認為應力不受裂紋影響。 解：裂紋位置處“當?shù)貞Α睘椋? 即 此問題為Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋問題。 將 代入開裂角的方程（4-3） 得： 由確定開裂角后代入（4-7），求得臨界應力為： 4-3 能量釋放率理論（G準則） 基本假設： ①裂紋沿能產(chǎn)生最大能量釋放率的方向擴展； ②裂紋擴展是由于最大能量釋放率達到臨界值而產(chǎn)生的。 以平面應變情況下Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋為例： 假設=方向產(chǎn)生一長度為的支裂紋，對Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋，原裂紋沿本身平面擴展時的能量釋放率為： =+=（+） （4-9） 支裂紋沿本身平面擴展的能量釋放率為： =+=（+） （4-10） 其中：、為支裂紋應力強度因子。 設局部坐標系中（，）處應力為，， 支裂紋尖端應力強度因子為：= （4-11） = 當支裂紋尺寸0時，r，支裂紋尖端應力場趨于擴展開始前原裂紋尖端應力場 （4-12） 此時支裂紋應力強度因子的起始值為： === = == （4-13） = 由（4-10）原裂紋沿（沿支裂紋）方向開始擴展時瞬間的能量釋放率表示為： =（+） （4-14） 若為開裂角，由假設①，應滿足 ==0 （*） 代入、表達式，可得的確定方程，但很復雜，可采用如下方法： 由（4-13）、（4-2）可得，在裂紋尖端處（） = = 代入（*）式得 =0 （a） 而由（4-2）看出 = （b） （b）代入(a) 可得 由=0得 =0 即 tan= (c) 將（c）、（4-13）代入（4-14），最后可得 = 比較=（+）= 顯然< 所以（c）式給定的不能使達最大值，舍去。 由 =0得 =0 由該式可確定。 同時由（b）式可知 =0 ，這與最大周向應力理論相同，即在=方向上，達最大值，且=0。同時由（4-13）可知，=0，得： （見4-14式） （4-15） 由假設②，斷裂準則為= （4-16） 為最大能量釋放率臨界值。 【的確定】 對型裂紋，當裂紋擴展時，= 代入（4-15）可得 由（4-16）可得 （4-17） 【斷裂準則的表達式】 將（4-17）、（4-15）代入（4-16）可得： = 即 = （4-18） 注：對 Ⅰ-Ⅱ復合型裂紋準則與G準則相同，但對其他復合型裂紋，兩者不同。 4-4 應變能密度因子理論（S準則） 基本假設： ①裂紋沿著應變能密度因子最小的方向擴展； ②裂紋的擴展是由于最小應變能密度因子達到材料相應的臨界值而產(chǎn)生的。 應變能密度：單位體積內(nèi)的應變能（比能）。 對線彈性體 （4-19） 在平面應變情況下，Ⅰ-Ⅱ-Ⅲ復合型裂紋尖端應力場為： （4-20） 將（4-20）帶入（4-19）得到 （4-21） 其中: a= a= a= a= 注：對平面應力情況，用代替式中。 若令S=a11k+2akk+ak+ak （4-22） 則 =，S稱為應變能密度因子。 由于r0時，主應力分量無窮大，取裂紋尖端微小距離r=r0的圓上各點研究。 由假設（1）（2），開裂角可由，確定。 求得后代入（4-22），求的S。 斷裂準則為：S=S=S （4-23） S為應變能密度因子的臨界值。 [S的確定] 對純I型裂紋，K=0，K=0 S=a11K=K 裂紋擴展時，=0，K=K，S=S 代入上式得 S= （4-24） [斷裂準則表達式] 將（4-24）代入（4-23），得S=S= （4-25） [K、K、K間的關系] 對純II型裂紋，K=0，K=0 S=aK [(1-2)cos] 令，得， cos。 S 裂紋擴展時，K，S 對純III型裂紋，K=0，=0 S=a= 當裂紋擴展時，，S= K2ⅢC K (4-27) 例2： 已知：薄壁容器，內(nèi)徑為D,壁厚t，鋼材斷裂韌性K，抗拉強度，容器壁上有一長度為2a=5mm的穿透裂縫，且與環(huán)向應力方向成。求：按平面應變問題確定容器臨界內(nèi)壓力。 解：由材料力學知： 環(huán)向應力 軸向應力 由材料力學公式: 這里，， 可求得裂紋位置處的“當?shù)貞Α睘椋? 這是I-II復合型裂紋問題。 K K 將K，代入（4-22），得 S= 其中f 根據(jù)， 可求得 將代入S表達式，并根據(jù)斷裂準則S。 即 而 ∴ 若不考慮裂紋影響，由第一強度理論（最大拉應力理論），當時壓力達到臨界值，即 可得 經(jīng)典強度理論與斷裂力學理論計算值相差275%。 4.5工程中應用的復合型裂紋斷裂準則 1.Ⅰ—Ⅱ復合型裂紋 工程準則： 即 2.Ⅰ—Ⅲ復合型裂紋 實驗證實：Ⅰ—Ⅲ復合型裂紋開裂角θ0 =0o，在此條件下，由S和G理論得到統(tǒng)一的斷裂準則： 由S理論，；由G理論；代入斷裂準則，可做下圖。 由圖可知，S準則偏安全，工程準則可采用下式： 即 3．Ⅰ—Ⅱ—Ⅲ復合型裂紋 工程準則 將代入，得 總結(jié)：將上述幾種準則寫成統(tǒng)一形式： —相當應力強度因子 Ⅰ—Ⅱ復合型裂紋： Ⅰ—Ⅲ復合型裂紋： Ⅰ—Ⅱ—Ⅲ復合型裂紋： 第五章：彈塑性斷裂力學——積分理論 5-1 J積分定義 J積分定義： 積分由Rice于1968年提出，是彈塑性斷裂力學的一個重要參量。 設有一單位厚度板，板中有一穿透裂紋。以I型裂紋為例，裂紋擴展力（能量釋放率）： 設為系統(tǒng)比能，則應變能： （板為單位厚度） 設為邊界上應力矢量，為位移矢量。則微元ds弧上外力功為： 代入的表達式，可得（證明從略）： ——由裂紋下表面走向上表面的任一條路徑。 定義： 張量表示： （5-1） 其中：x、y用 u、v用 在x、y軸分量 注 ：對任何彈塑性體積分總是存在的。 5.2 J積分的守恒性 設為圍繞裂紋尖端的兩個不同回路。 ---ABC ---DEF 可以證明= 結(jié)論：積分數(shù)值與積分路徑無關，積分具有守恒性。 積分守恒條件： （1）對彈塑性體，加載需單調(diào)連續(xù)加載，不允許卸載； （2）彈塑性體符合小變形、小應變假設； （3）不考慮體積力。 5.3 J積分判據(jù) 【彈塑性Ⅰ型裂紋尖端應力、應變場】 彈性裂紋： 與為與有關的方程。 注：i=1，2，3；j=1,2,3. = , =, =, = ，= ，= ，同理。 對彈塑性裂紋： 其中：——材料屈服強度 n——硬化指數(shù) ，——與材料有關系數(shù) ，——與硬化指數(shù)n及有關的方程。 可見，彈塑性狀態(tài)下，裂紋尖端應力、應變場由積分唯一確定，當裂紋開始擴展時，積分達到臨界值。 【J積分判據(jù)】 對平面應變問題，彈塑性狀態(tài)下斷裂依據(jù)為： = 為平面應變條件下積分臨界值，也稱為斷裂韌性。 【積分與其它斷裂韌性參量間關系】 在線彈性條件下：= 比能： 平面應變情況下，， 將型裂紋尖端應力表達式代入 可得： 在如圖半徑為的路徑上積分： ( ) 而 將： 臨界狀態(tài)下： 結(jié)論：(1) 線彈性條件下，積分與間存在確定關系，積分判據(jù)與判斷依據(jù)等效（包括平面應力、平面應變情況）。 (2) 彈塑性狀態(tài)下，已失效，而積分仍然存在。 5.4 J積分的形變功率定義 積分的形變功率定義是： 其中：積分回路C為試樣的邊界曲線； B為試樣厚度； 為試樣邊界上應力及位移的分量； U為試樣應變能； ds為試樣邊界上的微弧元。 可以證明：在塑性力學全量理論中，J積分的形變功率定義與前面所講的J積分定義完全等價。 【應用舉例】已知：一切口試樣，厚度為B，上端邊界為C2固定，下端邊界荷載為P，其余邊界自由，求：J積分具體表達式。 由 在自由邊界上，； 在固定邊界上，； ，上積分項為零。（邊界，對上述積分項無貢獻） 在活動邊界上，，(BL為加載面面積) ，加載點位移， 則 5.5 積分的物理意義 （1）在線彈性條件下 積分與能量釋放率等效。 （2）在非彈性條件下，取兩個具有相同材料和外形，裂紋尺寸相差的試樣進行如下試驗： *恒位移條件下 （此時5-5中的P可理解為A、B兩點的平均值） 而 由（5-5）得： *恒載荷條件下 由（5-5） 總結(jié)：①恒位移條件下表示兩試樣應變能的差異， ， ②恒載荷情況下表示兩試樣余能的差異， ， ③J積分意義為：兩個具有相同外形、裂紋尺寸相近（相差）的試樣，在單調(diào)加載到相同位移或具有相同載荷時，其應變能或余能的差率（除以裂紋面積之差）。 [J積分存在的問題] （1）J積分是二維概念，只能描述二維問題。 （2）J積分不便于用于復合型裂紋問題。 （3）J積分用于彈塑性體時不容許卸載。 5.6 測試原理 采用單試樣法 [試樣] 三點彎曲試樣 [原理及方法] 由極限分析得 則加載過程試樣吸收應變能（形變功）為： 令 則 （*） 在恒位移條件下， ∴ 將（*）式代入，得 當A為裂紋啟裂點時， 裂紋啟裂臨界狀態(tài)可用電阻法、電位法、聲發(fā)射法等方法確定。 第六章 疲勞斷裂 6.1疲勞斷裂現(xiàn)象 疲勞斷裂：構件在遠低于材料的強度極限或斷裂臨界應力的變動應力長期作用下出現(xiàn)的斷裂現(xiàn)象。 疲勞斷裂特征： （1） 疲勞斷裂是循環(huán)載荷作下的低應力斷裂。斷裂前應力循環(huán)的次數(shù)與應力的大小有關。 （2） 疲勞斷裂常為脆性斷裂，宏觀上材料不發(fā)生明顯的塑性變形。 （3） 疲勞斷裂時突發(fā)性斷裂。 （4） 材料表面質(zhì)量對疲勞斷裂有重要影響。 循環(huán)應力： =（+）——平均應力 △=- ——應力幅 r=/——循環(huán)特征（應力比） 循環(huán)應力類型： （1）對稱交變應力 （2）脈功循環(huán)應力 （3）波動應力 （4）不對稱交變應力 （5）隨機循環(huán)應力 疲勞斷裂類型： （1）高周疲勞（應力疲勞）：構件發(fā)生的總應變中，彈性應變占主要比例，循環(huán)應力值較小，斷裂前總循環(huán)次數(shù)較多。 （2）低周疲勞（應變疲勞）：構件發(fā)生的總應變中，塑性應變占主要比例，循環(huán)應力值較高，斷裂前總循環(huán)次數(shù)較少。 工程中一般把失效因數(shù)N＜10次的疲勞問題列為低周疲勞范圍。 6.2 高周疲勞與低周疲勞 疲勞曲線：用旋轉(zhuǎn)彎曲疲勞試驗方法測得。 疲勞曲線分兩類： a類：低碳鋼、低合金鋼、少數(shù)鋁合金。 b類：大多數(shù)金屬，如不銹鋼、高強度鋼等。 〔a類曲線〕 分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ段。 Ⅰ段：高循環(huán)應力段，曲線斜率不大，循環(huán)次數(shù)較低，疲勞行為近似于單向拉伸。 Ⅱ段：循環(huán)應力值相對較低，曲線斜率較大，呈疲勞過程特點。 Ⅲ段：低循環(huán)應力段，曲線呈水平，水平線對應的應力稱疲勞極限，用表示（如對稱循環(huán)應力記為）。 〔b類曲線〕 無水平階段，以N為或次對應的應力為條件疲勞極限為。 1、高周疲勞 a、b類曲線的Ⅱ、Ⅲ段為高周疲勞階段，對于對稱循環(huán)應力，-N曲線的第Ⅱ階段，可利用basqin經(jīng)驗方程： =（2） （6-1） 其中:表示 稱為疲勞強度系數(shù),，為單向拉伸對材料斷裂的真實應力。 b為疲勞強度指數(shù)，介于-0.05～0.12之間。 在線彈性條件下，（6-1）式可寫成： （6-2） 為彈性應變幅。 2、低周疲勞 a、b類曲線的Ⅰ段為低周疲勞階段。 此段由于實驗數(shù)據(jù)分散性較大，改用—N曲線。 對于對稱循環(huán)應力，—N曲線可用 Coffin—Manson方程表示： （6-3） 其中：為塑性應變幅。 為疲勞塑性系數(shù)，，為材料單向拉伸斷裂時的真實應變， c為疲勞塑性指數(shù)，介于－0.7～－0.5之間。 3、總結(jié) 將（6-2）、（6-3）改寫為 （6-4） （6-5） 將（6-2）、（6-3）合并得： （6-6） 若彈性應變幅占主要地位，屬高周疲勞（應力疲勞）； 若塑性應變幅占主要地位，屬低周疲勞（應變疲勞）； 若兩種應變幅相差不大，屬混合疲勞。 6—3 疲勞裂紋的擴展 1、疲勞裂紋擴展分四個階段 （1） 裂紋成形階段：出現(xiàn)微裂紋。 （2） 微觀裂紋擴展階段：裂紋擴展由切應力控制，擴展方向開始與拉應力成角，然后逐漸過渡到與應力垂直方向，擴展速率較低，每循環(huán)擴展量級在mm量級。 （3） 宏觀裂紋擴展階段：裂紋尺寸由0.05mm擴展到臨界裂紋尺寸為止，每循環(huán)擴展量級在mm量級。 （4） 失穩(wěn)擴展階段（斷裂階段）：裂紋擴展到臨界尺寸后迅速擴展，直到斷裂。 微觀、宏觀裂紋擴展稱為疲勞裂紋的亞臨界擴展。 2、微觀裂紋擴展階段模型 （1）塑性鈍化模型 （2）位移模型 3、宏觀裂紋擴展階段模型 對塑性材料，采用G.C.Smith模型 6—4 疲勞裂紋擴展速率 疲勞裂紋擴展速率：每一次應力循環(huán)裂紋擴展的長度。 用擴展速率表示方法： ()或 1. 疲勞裂紋擴展的N-a曲線: 分析： （1） 隨裂紋長度的增加，裂紋擴展速率增大，當應力循環(huán)次數(shù)達到,裂紋長度達到臨界尺寸，達到無限大，裂紋失穩(wěn)擴展而斷裂。 （2） 與循環(huán)應力值大小有關。 2. 疲勞裂紋擴展的門檻值及Paris公式 對Ⅰ型裂紋： 對于循環(huán)應力： 通過N-a曲線，可確定與之間關系，進而做出關系曲線。 曲線分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ 三段。 Ⅰ段：值段低， 值也較低。時，=0，裂紋不擴展。為裂紋擴展門檻值。實際測定時，常取平面應變條件下=～所對應的為。 注：①對不同材料，若較高，表明該材料阻止裂紋擴展能力越強，抗疲勞性能越好。 ②與疲勞極限均可用于構件無限壽命設計，但疲勞極限用于無裂紋光滑構件，用于含裂紋構件。 Ⅱ段：疲勞裂紋擴展主要階段，可采用Paris公式，即 =c 或 （6-7） 其中：c與n是材料常數(shù)，n=2～7。 Donahue提出修正的Paris公式， 考慮了門檻值的影響。 Walker提出修正的Paris公式， =c[] n=4，m=0.5 考慮了平均應力的影響。 Forman提出公式， = 考慮了趨于時裂紋加速擴展效應。 Ⅲ段：此時，接近，值較大，材料很快失穩(wěn)斷裂。 6-5 恒幅應力循環(huán)疲勞裂紋擴展壽命的估算 由Paris公式： 即 其中：為裂紋原始長度，為裂紋臨界尺寸。,為幾何形狀因子。若為常數(shù)，上式積分可得： 當時, 當時， 例：某壓力容器上有一長度為的周向穿透裂紋，容器每次升壓降壓時，材料臨界裂紋尺寸，由實驗得到裂紋擴展速率表達式。 求：容器剩余疲勞壽命與經(jīng)過5000次循環(huán)后裂紋尺寸。 解：容器壁板可看成帶有中心穿透裂紋的無限大板，應力強度因子 由Paris公式： 剩余壽命 （次） 設經(jīng)5000次循環(huán)后裂半板長度為a，則： 此時裂紋長度為 6.6 累積損傷理論與變幅循環(huán)疲勞壽命 變幅應力循環(huán)： 線性累積損傷：材料承受高于疲勞極限應力時，每一次循環(huán)都會使材料產(chǎn)生一定量的疲勞損傷，當損傷累積到臨界值便會發(fā)生疲勞斷裂。 Miner定理： *假設試件在交變應力