2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 盈虧問題

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1、2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 盈虧問題 講座內(nèi)容 盈虧類型以及用兩種相似的條件限制同一對象的應(yīng)用題。解題的基本步驟為先恰當(dāng)設(shè)定單位，然后通過比較而求出一個(gè)單位對應(yīng)的具體數(shù)值。 典型問題 1.少先隊(duì)員去植樹，如果每人挖5個(gè)樹坑，還有3個(gè)樹坑沒人挖；如果其中兩人各挖4個(gè)樹坑，其余每人挖6個(gè)樹坑，就恰好挖完所有的樹坑。請問，共有多少名少先隊(duì)員？共挖了多少樹坑？ 分析：關(guān)鍵在于條件的轉(zhuǎn)換，把“如果其中兩人各挖4個(gè)樹坑，其余每人挖6個(gè)樹坑，就恰好挖完所有的樹坑” 轉(zhuǎn)換成“每人挖6個(gè)樹坑，還差2×（6－4）個(gè)樹坑。”則本題成為“一盈一虧”的盈虧問題；對比兩個(gè)條件，因?yàn)槊咳硕嗤冢?－5

2、）一個(gè)；所以就要多挖［3＋2×（6－4）］個(gè)，這樣就可求出人數(shù)，繼而求出樹坑數(shù)。 在這里我們把兩個(gè)條件中每人挖的差（6－5）叫分差，因兩個(gè)條件中每人挖的數(shù)量不同而產(chǎn)生的差叫總差。 本題中：總差÷分差＝人數(shù)； 推廣可得：兩次分配的差叫分差， 總差分3種：一盈一虧中：盈＋虧＝總差；在雙盈或雙虧中：大數(shù)－小數(shù)＝總差； 總差÷分差＝份數(shù)　　　　份數(shù)在不同的題目中表示不同的意思。 解：［3＋2×（6－4）］÷（6－5）＝7（人） 　 7×5＋3＝38（個(gè)）--樹坑數(shù)　　　　　　　　　　　　 答：共挖了38個(gè)樹坑。 2．鋼筆與圓珠筆每支相差1元2角，小明帶的錢買5支鋼筆差1元5角，

3、買8支圓珠筆多6角。問小明帶了多少錢？ 分析：關(guān)鍵在于條件的轉(zhuǎn)換，要么都轉(zhuǎn)換成鋼筆，要么都轉(zhuǎn)換成圓珠筆， 解1：都轉(zhuǎn)換成鋼筆；買5支鋼筆差15角，買8支鋼筆差（12×8－6）=90角，這是雙虧：分差是（8－5）=3支，總差是（90－15）=75角，就是說多買3支，就多差75角；這樣就可求出1支鋼筆多少錢；繼而求出小明帶了多少錢。 　 ［（12×8－6）－15］÷（8－5）＝75÷3＝25（角）——鋼筆的價(jià)錢 　　 25×5－15＝125－15＝110（角）＝11（元）——小明帶得錢數(shù) 解2：都轉(zhuǎn)換成圓珠筆；買5支圓珠筆多（12×5－15）=45角，買8支圓珠筆多6角。 ［（12×5

4、－15）－6］÷（8－5）＝39÷3＝13（角）——圓珠筆的價(jià)錢 　　 13×8＋6＝104＋6＝＝110（角）＝11（元）——小明帶得錢數(shù) 3．某校到了一批新生，如果每個(gè)寢室安排8個(gè)人，要用33個(gè)寢室；如果每個(gè)寢室少安排2個(gè)人，寢室就要增加 10個(gè)，問這批學(xué)生可能有多少人？ 解答：關(guān)鍵在于條件的理解，每個(gè)寢室安排8個(gè)人，要用33個(gè)寢室；因沒說盈或虧， 我們只能認(rèn)為至少有：（33－1）×8＋1＝257（人）；至多有：33×8＝264（人）； 每個(gè)寢室少安排2個(gè)人，寢室就要增加10個(gè)，也沒說盈或虧， 我們也只能認(rèn)為至少有：（33＋10－1）×（8－2）＋1＝253（人）；至多

5、有：（33＋10）×（8－2）＝258（人）； 根據(jù)這兩個(gè)條件可以得到人數(shù)在257與258之間。（至少取大數(shù)，至多取小數(shù)，） 4．有48本書分給兩組小朋友，已知第二組比第一組多5人。如果把書全部分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠。如果把書全分給第二組，那么每人3本，有剩余；每人4本，書不夠。問第二組有多少人？ 解答：因分給第一組，那么每人4本，有剩余；每人5本，書不夠。 說明第一組的人數(shù)不到48÷4＝12人，多于（48÷5＝9…3）=9個(gè)人，即10到11人； 同理，第二組不到48÷3＝16人，又多與48÷4＝12人，即13到15人， 因15－10＝5（人）；由此可

6、知：第一組是10人，第二組是15人。 5．用繩測井深，把繩三折，井外余2米，把繩四折，還差1米不到井口，那么井深多少米？繩長多少米？ 分析：繩三折，井外余2米，說明繩子比井深的3倍多（3×2）=6米；繩四折，還差1米不到井口，說明繩子比井深的4倍少（4×1）=4米，總差：（因多1折，就差）；（3×2）＋（4×1）；分差：（4－3）；這樣可求出井深。 解：［（3×2）＋（4×1）］÷（4－3）＝10÷1＝10（米）——井深 　10×3＋2×3＝36（米）——繩長 6．有一個(gè)班的同學(xué)去劃船。他們算了一下，如果增加1條船，正好每條船坐6人；如果減少1條船，正好每條船坐9個(gè)人。

7、問：這個(gè)班共有多少名同學(xué)？ 分析：條件可以這樣理解，每條船坐6人，多6人；每條船坐9人，差9人。 解：（9＋6）÷（9－6）＝5（條）；5×6＋6＝36（人） 7．“六一”兒童節(jié)，小明到商店買了一盒花球和一盒白球，兩盒內(nèi)的球的數(shù)量相等?；ㄇ蛟瓋r(jià)1元錢2個(gè)，白球原價(jià)1元錢3個(gè)。因節(jié)日商店優(yōu)惠銷售，兩種球的售價(jià)都是2元錢5個(gè)，結(jié)果小明少花了4元錢，那么小明共買了多少個(gè)球？ 分析：根據(jù)題意我們可知盒內(nèi)的球的數(shù)量一定是2、3、5的倍數(shù)，假設(shè)1份球數(shù)是30個(gè)；原來各買一份要： 　　 30÷2＋30÷3＝15＋10＝25（元）；現(xiàn)在要（30＋30）÷5×2＝24（元）；即小明每買30＋30＝60

8、個(gè)球，就可以少花1元錢，那么小明一共就買了4×60＝240個(gè)球。 解：假設(shè)1份球數(shù)是30個(gè)；4÷［（30÷2＋30÷3）－（30＋30）÷5×2］＝4（份） 　 （30＋30）×4＝240（個(gè)）　　　　　 答：小明共買了240個(gè)球。 附送： 2021-2022年三年級數(shù)學(xué) 奧數(shù)講座 豎式數(shù)字謎（一） 　　這一講主要講加、減法豎式的數(shù)字謎問題。解加、減法數(shù)字謎問題的基本功，在于掌握好上一講中介紹的運(yùn)算規(guī)則(1)(2)及其推演的變形規(guī)則，另外還要掌握數(shù)的加、減的“拆分”。關(guān)鍵是通過綜合觀察、分析，找出解題的“突破口”。題目不同，分析的方法不同，其“突破口”也就不同。這需要通過不斷

9、的“學(xué)”和“練”，逐步積累知識和經(jīng)驗(yàn)，總結(jié)提高解題能力。 例1 在右邊的豎式中，A，B，C，D各代表什么數(shù)字？ 解：顯然，C=5，D=1(因兩個(gè)數(shù) 　　字之和只能進(jìn)一位)。 　　由于A＋4＋1即A＋5的個(gè)位數(shù)為3，且必進(jìn)一位(因?yàn)?＞3)，所以A＋5=13，從而A＝13-5=8。 　　同理，由7＋B＋1=12，即B＋8＝12，得到B＝ 　　12-8＝4。 　　故所求的A=8，B=4，C=5，D=1。 例2 求下面各豎式中兩個(gè)加數(shù)的各個(gè)數(shù)位上的數(shù)字之和： 分析與解：(1)由于和的個(gè)位數(shù)字是9，兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)字之和不大于9＋9＝18，所以兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位上的兩個(gè)方框里的數(shù)字之和只

10、能是9。(這是“突破口”) 　　再由兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)之和未進(jìn)位，因而兩個(gè)加數(shù)的十位數(shù)字之和就是14。 　　故這兩個(gè)加數(shù)的四個(gè)數(shù)字之和是9＋14=23。 (2)由于和的最高兩位數(shù)是19，而任何兩個(gè)一位數(shù)相加的和都不超過18，因此，兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)相加后必進(jìn)一位。(這是“突破口”，與(1)不同) 　　這樣，兩個(gè)加數(shù)的個(gè)位數(shù)字相加之和是15，十位數(shù)字相加之和是18。 　　所求的兩個(gè)加數(shù)的四個(gè)數(shù)字之和是15＋18＝33。 　　注意：(1)(2)兩題雖然題型相同，但兩題的“突破口”不同。(1)是從和的個(gè)位著手分析，(2)是從和的最高兩位著手分析。 例3 在下面的豎式中，A，B，C，D，E各

11、代表什么數(shù)？ 分析與解：解減法豎式數(shù)字謎，與解加法豎式數(shù)字謎的分析方法一樣，所不同的是“減法”。 　　首先，從個(gè)位減起(因已知差的個(gè)位是5)。4＜5，要使差的個(gè)位為5，必須退位，于是，由14-D＝5知，D=14-5＝9。(這是“突破口”) 　　再考察十位數(shù)字相減：由B-1-0＜9知，也要在百位上退位，于是有10＋B-1-0＝9，從而B＝0。 　　百位減法中，顯然E=9。 　　千位減法中，由10＋A-1-3＝7知，A＝1。 　　萬位減法中，由9-1-C＝0知，C＝8。 　　所以，A＝1，B＝0，C＝8，D＝9，E＝9。 例4 在下面的豎式中，“車”、“馬”、“炮”各代表一個(gè)不同的

12、數(shù)字。請把這個(gè)文字式寫成符合題意的數(shù)字式。 分析與解：例3是從個(gè)位著手分析，而這里就只能從首位著手分析。 　　由一個(gè)四位數(shù)減去一個(gè)三位數(shù)的差是三位數(shù)知，“炮”＝1。 　　被減數(shù)與減數(shù)的百位數(shù)相同，其相減又是退位相減，所以，“馬”＝9。至此，我們已得到下式： 　　由上式知，個(gè)位上的運(yùn)算也是退位減法，由11-“車”=9得到“車”＝2。 　　因此，符合題意的數(shù)字式為： 例5 在右邊的豎式中，“巧，填，式，謎”分別代表不同的數(shù)字，它們各等于多少？ 解：由(4×謎)的個(gè)位數(shù)是0知，“謎”＝0或5。 　　當(dāng)“謎”＝0時(shí)，(3×式)的個(gè)位數(shù)是0，推知“式”＝0，與“謎”≠“式”矛盾。 　　當(dāng)“謎”＝5時(shí)，個(gè)位向十位進(jìn)2。 　　由(3×式+2)的個(gè)位數(shù)是0知，“式”＝6，且十位要向百位進(jìn)2。 　　由(2×填+2)的個(gè)位數(shù)是0，且不能向千位進(jìn)2知，“填”＝4。 　　最后推知，“巧”＝1。 　　所以“巧”＝1，“填”＝4，“式”=6，“謎”＝5。 ?