山東省2019年中考數(shù)學(xué) 題型專題復(fù)習(xí) 題型6 二次函數(shù)綜合題課件.ppt

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題型6二次函數(shù)綜合題 類型 二次函數(shù)中的最值問題 例1 2015 德州 T24 12分 已知拋物線y mx2 4x 2m與x軸交于點A 0 B 0 且 2 1 求拋物線的解析式 2 拋物線的對稱軸為l 與y軸的交點為C 頂點為D 點C關(guān)于l的對稱點為E 是否存在x軸上的點M y軸上的點N 使四邊形DNME的周長最小 若存在 請畫出圖形 保留作圖痕跡 并求出周長的最小值 若不存在 請說明理由 3 若點P在拋物線上 點Q在x軸上 當(dāng)以點D E P Q為頂點的四邊形是平行四邊形時 求點P的坐標(biāo) 規(guī)范解答 1 由題意 可得 是方程 mx2 4x 2m 0的兩根 由根與系數(shù)的關(guān)系 可得 2 2 1分 2 即 2 解得m 1 2分 故拋物線的解析式為y x2 4x 2 3分 2 存在x軸上的點M y軸上的點N 使得四邊形DNME的周長最小 理由 y x2 4x 2 x 2 2 6 拋物線的對稱軸l為x 2 頂點D的坐標(biāo)為 2 6 4分 又 拋物線與y軸交點C的坐標(biāo)為 0 2 點E與點C關(guān)于l對稱 點E的坐標(biāo)為 4 2 作點D關(guān)于y軸的對稱點D 點E關(guān)于x軸的對稱點E 5分 則點D 的坐標(biāo)為 2 6 點E 的坐標(biāo)為 4 2 連接D E 交x軸于點M 交y軸于點N 此時 四邊形DNME的周長最小為D E DE 如圖1所示 6分 延長E E D D交于一點F 在Rt D E F中 D F 6 E F 8 則D E 10 7分 連接CE 交對稱軸l于點G 在Rt DGE中 DG 4 EG 2 DE 2 四邊形DNME的周長最小值為10 8分 3 如圖2 P為拋物線上的點 過點P作PH x軸 垂足為H 若以點D E P Q為頂點的四邊形為平行四邊形 則 PHQ DGE PH DG 4 9分 y 4 當(dāng)y 4時 x2 4x 2 4 解得x1 2 x2 2 10分 當(dāng)y 4時 x2 4x 2 4 解得x3 2 x4 2 無法得出以DE為對角線的平行四邊形 故點P的坐標(biāo)為 2 4 或 2 4 或 2 4 或 2 4 12分 滿分技法 以二次函數(shù)圖象為背景探究動點形式的最值問題 要注意以下幾點 1 要確定所求三角形或四邊形面積最值 可設(shè)動點運動的時間t或動點的坐標(biāo) 2 1 求三角形面積最值時要用含t的代數(shù)式表示出三角形的底和高的代數(shù)式或函數(shù)表達式 2 求四邊形面積最值時 常用到的方法是利用割補法將四邊形分成兩個三角形 從而利用三角形的方法求得用含t的代數(shù)式表示的線段 然后用含t的代數(shù)式表示出圖形面積 3 用二次函數(shù)的性質(zhì)來求最大值或最小值 滿分必練 1 2018 淄博 如圖 拋物線y ax2 bx經(jīng)過 OAB的三個頂點 其中A 1 B 3 O為坐標(biāo)原點 1 求這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式 解 把點A 1 點B 3 分別代入y ax2 bx 得解得 這條拋物線所對應(yīng)的函數(shù)表達式為y 2 若點P 4 m Q t n 為該拋物線上的兩點 且n m 求t的取值范圍 3 若C為線段AB上的一個動點 當(dāng)點A 點B到直線OC的距離之和最大時 求 BOC的大小及點C的坐標(biāo) 解 由 1 得 拋物線開口向下 對稱軸為直線x 當(dāng)x 時 y隨x的增大而減小 當(dāng)t 4時 n m 由拋物線的對稱性可知 當(dāng)t 時 n m 綜上所述 t的取值范圍為t 4或t 解 如圖 設(shè)拋物線交x軸于點F 分別過點A B作AD OC于點D BE OC于點E AC AD BC BE AD BE AC BC AB 當(dāng)OC AB時 點A 點B到直線OC的距離之和最大 點A 1 點B 3 AOF 60 BOF 30 易求直線AB的函數(shù)表達式為y x 2 設(shè)直線AB與x軸交于點G 則點G 2 0 OG 2 OA 2 AOG是等邊三角形 OAB 60 ABO 30 當(dāng)OC AB時 BOC 60 FOC 30 設(shè)C c c 2 則tan FOC 解得c 點C的坐標(biāo)為 2 2018 常德 如圖 已知二次函數(shù)的圖象過點O 0 0 A 8 4 與x軸交于另一點B 且對稱軸是直線x 3 1 求該二次函數(shù)的解析式 2 若M是OB上的一點 作MN AB交OA于點N 當(dāng) ANM面積最大時 求點M的坐標(biāo) 解 拋物線過原點 對稱軸是直線x 3 B點坐標(biāo)為 6 0 設(shè)二次函數(shù)解析式為y ax x 6 把A 8 4 代入 得a 8 2 4 解得a 二次函數(shù)的解析式為y x x 6 即y x2 x 解 設(shè)點M的坐標(biāo)為 t 0 易得直線OA的解析式為y x 設(shè)直線AB的解析式為y kx b 把B 6 0 A 8 4 代入 得解得 直線AB的解析式為y 2x 12 MN AB 設(shè)直線MN的解析式為y 2x n 把M t 0 代入 得2t n 0 解得n 2t 直線MN的解析式為y 2x 2t 解方程組得 點N的坐標(biāo)為 S AMN S AOM S NOM 當(dāng)t 3時 S AMN有最大值3 此時點M的坐標(biāo)為 3 0 3 P是x軸上的點 過點P作PQ x軸與拋物線交于點Q 過點A作AC x軸于點C 當(dāng)以點O P Q為頂點的三角形與以點O A C為頂點的三角形相似時 求P點的坐標(biāo) 解 設(shè)點Q的坐標(biāo)為 m m2 m OPQ ACO 當(dāng) PQO COA時 即 PQ 2PO 即 m2 m 2 m 解方程m2 m 2m 得m1 0 舍去 m2 14 此時點P的坐標(biāo)為 14 0 解方程m2 m 2m 得m1 0 舍去 m2 2 此時點P的坐標(biāo)為 2 0 當(dāng) PQO CAO時 即 PQ PO 即 m2 m m 解方程m2 m m 得m1 0 舍去 m2 8 舍去 解方程m2 m m 得m1 0 舍去 m2 4 此時點P的坐標(biāo)為 4 0 綜上所述 點P的坐標(biāo)為 14 0 或 2 0 或 4 0 3 2018 定西 如圖 已知二次函數(shù)y ax2 2x c的圖象經(jīng)過點C 0 3 與x軸分別交于點A 點B 3 0 點P是直線BC上方的拋物線上一動點 1 求二次函數(shù)y ax2 2x c的解析式 2 連接PO PC 并把 POC沿y軸翻折 得到四邊形POP C 若四邊形POP C為菱形 請求出此時點P的坐標(biāo) 3 當(dāng)點P運動到什么位置時 四邊形ACPB的面積最大 求出此時點P的坐標(biāo)和四邊形ACPB的最大面積 類型 二次函數(shù)中的存在性問題 例2 2014 德州 T24 T12分 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 已知點A的坐標(biāo)是 4 0 并且OA OC 4OB 動點P在過A B C三點的拋物線上 1 求拋物線的解析式 2 是否存在點P 使得 ACP是以AC為直角邊的直角三角形 若存在 求出所有符合條件的點P的坐標(biāo) 若不存在 說明理由 3 過動點P作PE垂直于y軸于點E 交直線AC于點D 過點D作x軸的垂線 垂足為F 連接EF 當(dāng)線段EF的長度最短時 求出點P的坐標(biāo) 滿分技法 1 解答二次函數(shù)中存在性問題的一般思路 先對結(jié)論作出肯定的假設(shè) 然后由肯定假設(shè)出發(fā) 結(jié)合已知條件進行正確的計算 推理 若推出矛盾 則否定先前假設(shè) 若推出合理的結(jié)論 則說明假設(shè)正確 由此得出問題的結(jié)論 2 對于點的存在性問題 首先要根據(jù)條件 運用畫圖判斷存在的可能性 作出合理的猜想 然后再通過方法的選擇 在演繹的過程或結(jié)論中 作出存在與否的判斷 3 對于單個圖形形狀的存在性判斷 先假設(shè)圖形形狀存在 然后根據(jù)圖形的特殊性來求出存在的條件 即要求的點的坐標(biāo) 當(dāng)圖形的形狀無法確定唯一時 還要注意分類 如等腰三角形的腰與底 直角三角形中直角頂點的位置等 滿分必練 4 2018 臨沂 如圖 在平面直角坐標(biāo)系中 ACB 90 OC 2OB tan ABC 2 點B的坐標(biāo)為 1 0 拋物線y x2 bx c經(jīng)過A B兩點 1 求拋物線的解析式 自主解答 在Rt ABC中 由點B的坐標(biāo)可知OB 1 OC 2OB OC 2 則BC 3 又 tan ABC 2 AC 2BC 6 則點A的坐標(biāo)為 2 6 2 點P是直線AB上方拋物線上的一點 過點P作PD垂直x軸于點D 交線段AB于點E 使PE DE 求點P的坐標(biāo) 在直線PD上是否存在點M 使 ABM為直角三角形 若存在 求出符合條件的所有點M的坐標(biāo) 若不存在 請說明理由 5 2018 岳陽 已知拋物線F y x2 bx c經(jīng)過坐標(biāo)原點O 且與x軸另一交點為 0 1 求拋物線F的解析式 2 如圖1 直線l y x m m 0 與拋物線F相交于點A x1 y1 和點B x2 y2 點A在第二象限 求y2 y1的值 用含m的式子表示 平面內(nèi)是否存在點P 使得以點A B A P為頂點的四邊形是菱形 若存在 求出點P的坐標(biāo) 若不存在 請說明理由