2015高考理科數(shù)學(xué)《曲線與方程》練習(xí)題.docx

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2015高考理科數(shù)學(xué)《曲線與方程》練習(xí)題 [A組　基礎(chǔ)演練能力提升] 一、選擇題 1．方程x2－y2＝0對應(yīng)的圖象是(　　) 解析：由x2－y2＝0得，y＝x或y＝－x，故選C. 答案：C 2．已知點P是直線2x－y＋3＝0上的一個動點，定點M(－1,2)，Q是線段PM延長線上的一點，且|PM|＝|MQ|，則Q點的軌跡方程是(　　) A．2x＋y＋1＝0　　　　　　　 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 解析：設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x,4－y)，代入2x－y＋3＝0得2x－y＋5＝0. 答案：D 3．已知A(0,7)，B(0，－7)，C(12,2)，以C為一個焦點的橢圓經(jīng)過A，B兩點，則橢圓的另一個焦點F的軌跡方程是(　　) A．y2－＝1(y≤－1) B．y2－＝1(y≥1) C．x2－＝1(x≤－1) D．x2－＝1(x≥1) 解析：由題意知|AC|＝13，|BC|＝15，|AB|＝14， 又∵|AF|＋|AC|＝|BF|＋|BC|， ∴|AF|－|BF|＝|BC|－|AC|＝2，故點F的軌跡是以A，B為焦點，實軸長為2的雙曲線的下支．又c＝7，a＝1，b2＝48，∴點F的軌跡方程為y2－＝1(y≤－1)． 答案：A 4．有一動圓P恒過定點F(a,0)(a>0)且與y軸相交于點A、B，若△ABP為正三角形，則點P的軌跡為(　　) A．直線 B．圓 C．橢圓 D．雙曲線 解析：設(shè)P(x，y)，動圓P的半徑為R，由于△ABP為正三角形， ∴P到y(tǒng)軸的距離d＝R，即|x|＝R. 而R＝|PF|＝， ∴|x|＝. 整理得(x＋3a)2－3y2＝12a2， 即－＝1. ∴點P的軌跡為雙曲線． 答案：D 5．已知點A(1,0)和圓C：x2＋y2＝4上一點R，動點P滿足＝2，則點P的軌跡方程為(　　) A.2＋y2＝1 B.2＋y2＝1 C．x2＋2＝1 D．x2＋2＝1 解析：設(shè)P(x，y)，R(x0，y0)， 則有＝(1－x0，－y0)，＝(x－1，y)． 又＝2， ∴∴ 又R(x0，y0)在圓x2＋y2＝4上， ∴(－2x＋3)2＋(－2y)2＝4，即2＋y2＝1. 答案：A 6．設(shè)A1，A2是橢圓＋＝1的長軸兩個端點，P1，P2是垂直于A1A2的弦的端點，則直線A1P1與A2P2交點的軌跡方程為(　　) A.＋＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.－＝1 解析：設(shè)交點為P(x，y)，A1(－3,0)，A2(3,0)，P1(x0，y0)，P2(x0，－y0)， ∵A1，P1，P共線，∴＝.① ∵A2，P2，P共線，∴＝.② 由①②解得x0＝，y0＝， 代入＋＝1，化簡，得－＝1. 答案：C 二、填空題 7．△ABC的頂點A(－5,0)，B(5,0)，△ABC的內(nèi)切圓圓心在直線x＝3上，則頂點C的軌跡方程是________． 解析：如圖，|AD|＝|AE|＝8， |BF|＝|BE|＝2，|CD|＝|CF|， 所以|CA|－|CB|＝8－2＝6. 根據(jù)雙曲線定義，所求軌跡是以A，B為焦點，實軸長為6的雙曲線的右支，方程為－＝1(x>3)． 答案：－＝1(x>3) 8．(2014年成都模擬)P是橢圓＋＝1上的任意一點，F(xiàn)1、F2是它的兩個焦點，O為坐標(biāo)原點，有一動點Q滿足＝＋，則動點Q的軌跡方程是________． 解析：由＝＋， 又＋＝＝ 2＝－2， 設(shè)Q(x，y)， 則＝－ ＝， 即P點坐標(biāo)為，又P在橢圓上， 則有＋＝1， 即＋＝1. 答案：＋＝1 9．已知真命題：若A為⊙O內(nèi)一定點，B為⊙O上一動點，線段AB的垂直平分線交直線OB于點P，則點P的軌跡是以O(shè)，A為焦點，OB長為長軸長的橢圓．類比此命題，寫出另一個真命題：若A為⊙O外一定點，B為⊙O上一動點，線段AB的垂直平分線交直線OB于點P，則點P的軌跡是________． 解析：如圖，連接AP，由于P是線段AB垂直平分線上一點， 故有|PA|＝|PB|， 因此||PA|－|PO||＝||PB|－|PO||＝|OB|＝R＝定值，其中R為⊙O的半徑． 又由于點A在圓外， 故||PA|－|PO||＝|OB|＝R<|OA|， 故動點P的軌跡是以O(shè)，A為焦點，OB為實軸長的雙曲線． 答案：以O(shè)，A為焦點，OB為實軸長的雙曲線 三、解答題 10.如圖所示，直線l1與l2相交于點M，l1⊥l2，點N∈l1，以A、B為端點的曲線段C上的任一點到l2的距離與到點N的距離相等．若△AMN為銳角三角形，|AM|＝，|AN|＝3，且|NB|＝6，建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，求曲線段C的方程． 解析：以l1為x軸，l2為y軸建立平面直角坐標(biāo)系，M為坐標(biāo)原點．作AE⊥l1，AD⊥l2，BF⊥l2，垂足分別為E、D、F. 設(shè)A(xA，yA)，B(xB，yB)，N(xN,0)． 依題意有xA＝|ME|＝|DA|＝|AN|＝3， yA＝|DM|＝＝2. ∵△AMN是銳角三角形， ∴xN＝|ME|＋|EN| ＝|ME|＋＝4， xB＝|BF|＝|BN|＝6. 設(shè)P(x，y)是曲線段C上任一點， 則P∈{(x，y)|(x－xN)2＋y2＝x2，xA≤x≤xB，y>0}． ∴曲線段C的方程為y2＝8(x－2)(3≤x≤6，y>0)． 11．已知圓C的方程為x2＋y2＝4. (1)求過點P(1,2)且與圓C相切的直線l的方程； (2)直線l過點P(1,2)，且與圓C交于A、B兩點，若|AB|＝2，求直線l的方程； (3)圓C上有一動點M(x0，y0)，＝(0，y0)，若向量＝＋，求動點Q的軌跡方程，并說明此軌跡是什么曲線． 解析：(1)顯然直線l的斜率存在，設(shè)切線方程為y－2＝k(x－1)，則由＝2，得k1＝0，k2＝－，從而所求的切線方程為y＝2和4x＋3y－10＝0. (2)當(dāng)直線l垂直于x軸時，此時直線方程為x＝1，l與圓的兩個交點坐標(biāo)為(1，)和(1，－)，這兩點的距離為2，滿足題意；當(dāng)直線l不垂直于x軸時，設(shè)其方程為y－2＝k(x－1)， 即kx－y－k＋2＝0，設(shè)圓心到此直線的距離為d(d>0)，則2＝2，得d＝1，從而1＝，得k＝，此時直線方程為3x－4y＋5＝0，綜上所述，所求直線方程為 3x－4y＋5＝0或x＝1. (3)設(shè)Q點的坐標(biāo)為(x，y)，M點坐標(biāo)是(x0，y0)，＝(0，y0)，∵＝＋，∴(x，y)＝(x0,2y0)?x＝x0，y＝2y0.∵x＋y＝4，∴x2＋2＝4， 即＋＝1. ∴Q點的軌跡方程是＋＝1，軌跡是一個焦點在y軸上的橢圓． 12．(能力提升)(2014年恩施模擬)在直角坐標(biāo)平面上，O為原點，M為動點，||＝，＝.過點M作MM1⊥y軸于點M1，過N作NN1⊥x軸于點N1，＝＋.記點T的軌跡為曲線C，點A(5,0)、B(1,0)，過點A作直線l交曲線C于兩個不同的點P、Q(點Q在A與P之間)． (1)求曲線C的方程； (2)是否存在直線l，使得|BP|＝|BQ|，并說明理由． 解析：(1)設(shè)點T的坐標(biāo)為(x，y)，點M的坐標(biāo)為(x′，y′)，則M1的坐標(biāo)為(0，y′)， ＝＝(x′，y′)，于是點N的坐標(biāo)為，N1的坐標(biāo)為， 所以＝(x′，0)，＝. 由＝＋，有(x，y)＝(x′，0)＋，所以. 由此得x′＝x，y′＝y(tǒng). 由||＝，得x′2＋y′2＝5，所以x2＋2＝5，得＋＝1，即所求的方程表示的曲線C是橢圓． (2)點A(5,0)在曲線C即橢圓的外部，當(dāng)直線l的斜率不存在時，直線l與橢圓C無交點，所以直線l的斜率存在，并設(shè)為k，直線l的方程為y＝k(x－5)． 由方程組得(5k2＋4)x2－50k2x＋125k2－20＝0. 依題意知Δ＝20(16－80k2)>0， 得－1)　　　　 B．x2－＝1(x<－1) C．x2＋＝1(x>0) D．x2－＝1(x>1) 解析：如圖所示，設(shè)直線MP與直線NP分別與動圓C切于點E、F，則|PE|＝|PF|，|ME|＝|MB|，|NF|＝|NB|.從而|PM|－|PN|＝|ME|－|NF|＝|MB|－|NB|＝4－2＝2<|MN|，所以點P的軌跡是以M、N為焦點，實軸長為2的雙曲線的右支．設(shè)對應(yīng)的雙曲線方程為－＝1，則a＝1，c＝3，b2＝8.故P點的軌跡方程為x2－＝1(x>1)． 答案：A 2．到兩互相垂直的異面直線的距離相等的點，在過其中一條直線且平行于另一條直線的平面內(nèi)的軌跡是(　　) A．直線 B．橢圓 C．拋物線 D．雙曲線 解析：在棱長為a的正方體ABCD－A1B1C1D1中，DC與A1D1是兩條相互垂直的異面直線，平面ABCD過直線DC且平行于A1D1，以D為原點，分別以DA、DC為x軸、y軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)點P(x，y)在平面ABCD內(nèi)，且到A1D1到DC的距離相等，∴|x|＝，∴x2－y2＝a2，故該軌跡為雙曲線． 答案：D 3．由拋物線y2＝2x上任意一點P向其準(zhǔn)線l引垂線，垂足為Q，連接頂點O與P的直線和連接焦點F與Q的直線交于點R，則點R的軌跡方程是________． 解析：設(shè)P，則F，Q ∴OP的方程y＝x① QF的方程為：y＝－y0② 由①、②消去y0得y2＝－2x2＋x. 答案：y2＝－2x2＋x ======*以上是由明師教育編輯整理======