廣東省佛山市重點(diǎn)高中2021-2022學(xué)年高三10月月考 數(shù)學(xué)試題（含答案）

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1、 2022屆高三數(shù)學(xué)十月月考試卷 時(shí)間：120分鐘 滿分150份 一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．若集合A＝{y|y＝2x，x∈R}，B＝{y|y＝x2，x∈R}，則（　　） A．A?B B．A?B C．A＝B D．A∩B＝? 2．已知純虛數(shù)z滿足（1﹣2i）z＝2+ai，其中i為虛數(shù)單位，則實(shí)數(shù)a等于（　?。? A．﹣1 B．1 C．﹣2 D．2 3．五名同學(xué)國(guó)慶假期相約去珠海野貍島日月貝采風(fēng)觀景，結(jié)束后五名同學(xué)排成一排照相留念，若甲、乙二人不相鄰，則不同的排法共有（　　） A．36種 B．4

2、8種 C．72種 D．120種 4．如圖，從地面上C，D兩點(diǎn)望山頂A，測(cè)得它們的仰角分別為45°和30°，已知CD＝100米，點(diǎn)C位于BD上，則山高AB等于（　　） A．100米 B．50米 C．50米 D．50（+1）米 5．已知兩組數(shù)據(jù)x1，x2，…，xn與y1，y2，…，yn，它們的平均數(shù)分別是和，則新的一組數(shù)據(jù)2x1﹣3y1+1，2x2﹣3y2+1，…，2xn﹣3yn+1的平均數(shù)是（　　） A． B． C． D． 6．衣柜里的樟腦丸，隨著時(shí)間的推移會(huì)因揮發(fā)而使體積縮小，剛放進(jìn)去的新丸體積為a，經(jīng)過(guò)t天后體積V與天

3、數(shù)t的關(guān)系式為：V＝a?e﹣kt．已知新丸經(jīng)過(guò)50天后，體積變?yōu)椋粢粋€(gè)新丸體積變?yōu)?，則需經(jīng)過(guò)的天數(shù)為（　　） A．125 B．100 C．75 D．150 7．在△ABC中，角A、B、C所對(duì)的邊分別為a、b、c，且b2+c2＝a2+bc，若sinB?sinC＝sin2A，則△ABC的形狀是（　　） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰直角三角形 8．已知函數(shù)f（x）＝eax﹣存在兩個(gè)零點(diǎn)，則正數(shù)a的取值范圍是（　　） A．（0，） B．（，+∞） C．（0，） D．（，+∞） 二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選

4、項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得3分，有選錯(cuò)的得0分. 9．珠海市第二中學(xué)校歌決賽中，評(píng)委給13個(gè)班級(jí)的評(píng)分（十分制）如圖，下列說(shuō)法正確的是（　　） A．13個(gè)班級(jí)評(píng)分的極差為7 B．13個(gè)班級(jí)中評(píng)分不低于7分的有6支 C．13個(gè)班級(jí)評(píng)分的平均數(shù)約為6.46 D. 第6個(gè)班級(jí)到第12個(gè)班級(jí)的評(píng)分逐漸降低 10．設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)1，F(xiàn)2是雙曲線＝1（a＞0，b＞0）的焦點(diǎn)．若在雙曲線上存在點(diǎn)P，滿足∠F1PF2＝60°，|OP|＝a，則（　　） A．雙曲線的方程可以

5、是 B．雙曲線的漸近線方程是 C．雙曲線的離心率為 D．△PF1F2的面積為 11．等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，已知S10＝0，S15＝25，則（　　） A．a(chǎn)5＝0 B．{an}的前n項(xiàng)和中S5最小 C．nSn的最小值為﹣49 D．的最大值為0 12．已知函數(shù)f（x）＝﹣log2x，下列四個(gè)命題正確的是（　　） A．函數(shù)f（|x|）為偶函數(shù) B．若f（a）＝|f（b）|，其中a＞0，b＞0，a≠b，則ab＝1 C．函數(shù)f（﹣x2+2x）在（1，3）上為單調(diào)遞增函數(shù) D．若0＜a＜1

6、，則|f（1+a）|＜|f（1﹣a）| 三、 填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 13． 已知，則 ． 14． 已知直線l（斜率大于0）的傾斜角的正弦值為，在x軸上的截距為﹣2，直線l與拋物線C： x2＝2py（p＞0）交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝16，則p＝　 　． 15．已知三棱錐P﹣ABC的所有棱長(zhǎng)都相等，現(xiàn)沿PA，PB，PC三條側(cè)棱剪開(kāi)，將其表面展開(kāi)成一個(gè)平面圖形，若這個(gè)平面圖形外接圓的半徑為2，則三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的體積為　 　． 16．給出下列命題： ①已知ξ服從正態(tài)分布N（0，σ2），且P（﹣2≤ξ≤2）=0.4

7、，則P（ξ＞2）=0.3； ②f（x﹣1）是偶函數(shù)，且在（0，+∞）上單調(diào)遞增，則； ③已知直線l1：ax+3y﹣1=0，l2：x+by+1=0，則l1⊥l2的充要條件是； ④已知a＞0，b＞0，函數(shù)y=2aex+b的圖象過(guò)點(diǎn)（0，1），則的最小值是． 其中正確命題的序號(hào)是　　　　　　 （把你認(rèn)為正確的序號(hào)都填上）． 四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 17．（10分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，設(shè)（acosB+bcosA）＝ac，且sin2A＝sinA．（1）求A及a；（2）若b﹣c＝2，求BC邊上的高． 1

8、8．（12分）已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足an+1＝2an+1，且a1+2a2＝a3． （1）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； （2）求使得Sn≤121成立的n的最大值． 19．（12分）經(jīng)驗(yàn)表明，一﹣般樹(shù)的胸徑（樹(shù)的主干在地面以上1.3m處的直徑）越大，樹(shù)就越高．由于測(cè)量樹(shù)高比測(cè)量胸徑困難，因此研究人員希望由胸徑預(yù)測(cè)樹(shù)高．下面給出了某林場(chǎng)在研究樹(shù)高與胸徑之間的關(guān)系時(shí)收集的某種樹(shù)的數(shù)據(jù)． 編號(hào) 1 2 3 4 5 6 胸徑/cm 18.1 20.1 22.2 24.4 26.0 28.3 樹(shù)高/cm 18.8 19.2 21.0 21.0 22

9、.1 22.1 編號(hào) 7 8 9 10 11 12 胸徑/cm 29.6 32.4 33.7 35.7 38.3 40.2 樹(shù)高/cm 22.4 22.6 23.0 24.3 23.9 24.7 （1）根據(jù)表格繪制樹(shù)高y與胸徑x之間關(guān)系的散點(diǎn)圖； （2）分析樹(shù)高y與胸徑x之間的相關(guān)關(guān)系，并求y關(guān)于x的線性回歸方程； （3）預(yù)測(cè)當(dāng)樹(shù)的胸徑為50.6cm時(shí)，樹(shù)的高度約為多少．（精確0.01） 附：回歸方程x+中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分別為：＝，． 參考數(shù)據(jù)：，． 20． （12分）如圖，在三棱柱中，平面，為的中點(diǎn)，交于 點(diǎn)，

10、 ，． （1） 證明：平面； （2） （2）若，求二面角的余弦值． 21． （12分）已知函數(shù)f （ x）=ln x﹣ax，x∈（0，e]，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)． （1） 若x=1為 f （ x） 的極值點(diǎn)，求 f （ x） 的單調(diào)區(qū)間和最大值； （2）是否存在實(shí)數(shù) a，使得 f （ x） 的最大值是﹣3？若存在，求出a的值；若不存在，說(shuō)明理由。 22．（12分）已知橢圓C：的離心率為，點(diǎn)P在C上． （1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)

11、方程； （2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，，試判斷在橢圓C上是否存在三個(gè)不同點(diǎn)Q，M，N（其中M，N的縱坐標(biāo)不相等），滿足，且直線HM與直線HN傾斜角互補(bǔ)？若存在，求出直線MN的方程，若不存在，說(shuō)明理由． 2022屆高三數(shù)學(xué)十月月考參考答案與試題解析 一、 單項(xiàng)選擇題： 1．A． 2．B．3．C．4．D． 5．解：由已知，（x1+x2+…+xn）＝n，（y1+y2+…+yn）＝n， 新的一組數(shù)據(jù)2x1﹣3y1+1，2x2﹣3y2+1，…，2xn﹣3yn+1的平均數(shù)為（2x1﹣3y1+1+2x2﹣3y2+1+…+2xn﹣3yn+1）÷n＝[2（x1+x2+…+xn）﹣3（y1

12、+y2+…+yn）+n]÷n＝故選：B． 6．解：由題意得V＝a?e﹣50k＝a，① 可令t天后體積變?yōu)閍，即有V＝a?e﹣kt＝a，② 由①可得e﹣50k＝，③ 又②÷①得e﹣（t﹣50）k＝， 兩邊平方得e﹣（2t﹣100）k＝， 與③比較可得2t﹣100＝50，解得t＝75，即經(jīng)過(guò)75天后，體積變?yōu)閍．故選：C． 7．解：在△ABC中，∵b2+c2＝a2+bc，∴cosA＝＝＝， ∵A∈（0，π），∴．∵sin B?sin C＝sin2A，∴bc＝a2， 代入b2+c2＝a2+bc，∴（b﹣c）2＝0，解得b＝c．∴△ABC的形狀是等邊三角形．故選：C．

13、 8．解：∵函數(shù)f（x）＝eax﹣存在兩個(gè)零點(diǎn)，∴eax﹣＝0在（0，+∞）存在兩個(gè)不同的解， ∴ax＝lnx在（0，+∞）存在兩個(gè)不同的解，即a＝在（0，+∞）存在兩個(gè)不同的解， 令g（x）＝，g′（x）＝， 故x∈（0，e]時(shí)，g′（x）≥0，x∈（e，+∞）時(shí)，g′（x）＜0， 故g（x）在（0，e]上單調(diào)遞增，在（e，+∞）上單調(diào)遞減， 且x→0時(shí)，g（x）→﹣∞，g（e）＝，x→+∞時(shí)，g（x）→0，故0＜a＜， 故選：C． 二、多項(xiàng)選擇題： 9．解：對(duì)于A，13個(gè)班級(jí)評(píng)分的極差為10﹣3＝7，選項(xiàng)A正確；對(duì)于B，13個(gè)班級(jí)中評(píng)分不低于7分的有10、7、10、9、8、

14、7共6支，選項(xiàng)B正確；對(duì)于C，計(jì)算13個(gè)班級(jí)評(píng)分的平均值為×（10+6+7+5+3+10+9+4+8+6+5+4+7）＝≈6.46，選項(xiàng)C正確； 對(duì)于D，從第6個(gè)班級(jí)到第12個(gè)班級(jí)的評(píng)分并不是逐漸降低的，其中第9個(gè)班級(jí)評(píng)分較高的， 選項(xiàng)D錯(cuò)誤． 故選：ABC． 10．解：如圖，∵O為F1F2的中點(diǎn)，∴，∴， 即． 又∵，∴．① 又由雙曲線的定義得|PF1|﹣|PF2|＝2a，∴． 即．② 由①﹣②得，∴． 在△F1PF2中，由余弦定理得，∴8a2＝20a2﹣4c2，即c2＝3a2． 又∵c2＝a2+b2，∴b2＝2a2，即．∴雙曲線的漸近線方程為． 雙曲線的離心率為，雙

15、曲線的方程可以是，△PF1F2的面積．故BC正確． 11．解：∵等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S10＝0，S15＝25， ∴，解得，∴an＝，∴a5＝﹣，故A錯(cuò)誤； ＝（n﹣5）2﹣，故B正確； nSn＝，設(shè)函數(shù)f（x）＝﹣（x＞0）， 則f′（x）＝，當(dāng)x∈（0，）時(shí)，f′（x）＜0， 當(dāng)x∈（，+∞）時(shí)，f′（x）＞0，∴f（x）min＝f（）， 6，且f（6）＝﹣48，f（7）＝﹣49，∴nSn的最小值為﹣49，故C正確； ＝（n﹣10），沒(méi)有最大值，故D錯(cuò)誤．故選：BC． 12．解：對(duì)于A：函數(shù)f（x）＝﹣log2x，所以f（|x|）＝﹣log2|x|，由于x∈（

16、﹣∞，0）∪（0，+∞）， 所以f（|﹣x|）＝f（|x|）所以函數(shù)為偶函數(shù)，故選項(xiàng)A正確． 對(duì)于B：f（a）＝|f（b）|，所以f（a）＝|f（|b|）＝﹣f（b），所以﹣log2a＝log2b，整理得ab＝1，故選項(xiàng)B正確． 對(duì)于C：函數(shù)f（﹣x2+2x）＝，由于﹣x2+2x＞0，所以0＜x＜2， 所以函數(shù)在（1，3）上不具備單調(diào)性，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤． 對(duì)于D：由于0＜a＜1，所以1+a＞1＞1﹣a＞0，所以0＜1﹣a2＜1，所以f（1+a）＜0＜f（1﹣a）， 故|f（1+a）|﹣|f（1﹣a）|＝|﹣log2（1+a）|﹣|﹣log2（1﹣a）|＝，故|f（1+a）|＜|f（1

17、﹣a）|．故D正確．故選：ABD． 三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 13．答案為：28 14．解：由題意，直線l（斜率大于0）的傾斜角的正弦值為，則直線l的傾斜角為45°， 故直線的斜率為1，又直線l在x軸上的截距為﹣2，則直線l的方程為y＝x+2， 聯(lián)立方程組，則x2﹣2px﹣4p＝0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則有， 所以＝， 化簡(jiǎn)可得p2+4p﹣32＝0，因?yàn)閜＞0，所以p＝4．故答案為：4． 15．解：三棱錐P﹣ABC展開(kāi)后為一等邊三角形，設(shè)邊長(zhǎng)為a，則4＝，∴a＝6， ∴三棱錐P﹣ABC棱長(zhǎng)為3，三棱錐P﹣ABC的高為2， 設(shè)內(nèi)切球的

18、半徑為r，則4×＝，∴r＝， ∴三棱錐P﹣ABC的內(nèi)切球的體積為＝π． 故答案為：π． 16．答案為：①② 四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟. 17．解：（1）∵， 根據(jù)正弦定理得，，∴， 又∵sinC≠0，∴． ∵sin2A＝sinA，∴2sinAcosA＝sinA， ∵sinA≠0，∴， ∵A∈（0，π），∴．......5分 （2） 由（1）知，．由余弦定理得a2＝b2+c2﹣2bccosA， ∴7＝b2+c2﹣bc，∴7＝（b﹣c）2+bc， ∵b﹣c＝2，∴7＝4+bc，∴bc＝3．設(shè)BC邊上的高為h．∴． ∵，∴，

19、∴．.................................................................10分 18．解：（1）數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足an+1＝2an+1，整理得：an+1+1＝2（an+1）， 由a1+2a2＝a3＝2a2+1，解得a1＝1， 故數(shù)列{an+1}是以a1+1＝2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列；所以．................................6分 （2）由于，所以， 由于Sn≤121，所以2n+1﹣2﹣n≤121，即2n+1﹣n≤123，解得1≤n≤6，故n的最大值為6．.....12分 1

20、9．解：（1）散點(diǎn)圖如圖， ................................2分 （2）由散點(diǎn)圖可以看出，當(dāng)胸徑x由小變大時(shí)，樹(shù)高y也由小變大， 而x與y之間是正相關(guān)關(guān)系，由表中數(shù)據(jù)可得， ＝（18.1+20.1+22.2+24.4+26.0+28.3+29.6+32.4+33.7+35.7+38.3+40.2）＝≈29.08， （18.8+19.2+21.0+21.0+22.1+22.1+22.4+22.6+23.0+24.3+23.9+24.7）＝≈22.09． 從而＝． ＝14.

21、82． ∴y關(guān)于x的線性回歸方程為；..10分 （3）當(dāng)x＝50.6時(shí)，． 即當(dāng)樹(shù)的胸徑為50.6cm時(shí)，樹(shù)的高度約為27.47cm． ................................12分 20．（1）證明：因?yàn)闉槿庵云矫嫫矫妫? 因?yàn)槠矫?，所以平面? 又因?yàn)槠矫妫裕? 又因?yàn)?，，平面? 所以平面． 由題知：四邊形為矩形，又因交于點(diǎn)，所以為的中點(diǎn)， 又因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以為的中位線，所以， 所以平面． .

22、...............................5分 （2）由（1）知：兩兩互相垂直，所以以為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示： 設(shè)，則，，，，，， 所以，， 因?yàn)?，所以，所以，解得? 所以，，， 所以，，，， 設(shè)平面的法向量為，則，所以， 不妨令，則； 設(shè)平面的法向量為，則，所以， 不妨令，則，所以， 因?yàn)槠矫媾c平面所成的角為銳角， 所以二面角的余弦值為． ................................12分 21.解：．（1）∵f（x）=ln x﹣ax，x∈（0，e]，

23、 ∴f′（x）=，由f′（0）=0，得a=1．∴ ∴x∈（0，1），f′（x）＞0，x∈（1，+∞），f′（x）＜0， ∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，1），單調(diào)減區(qū)間是（1，e）； f （ x） 的極大值為f（1）=﹣1；也即f （ x） 的最大值為f（1）=﹣1 ................................4分 （2）解：∵f（x）=lnx﹣ax， ∴f′（x）=﹣a=， ①當(dāng)a≤0時(shí)，f（x）在（0，e]單調(diào)遞增， 得 f （ x） 的最大值是f（3）=1﹣ae=﹣3，解得a=＞0，舍去； ②a＞0時(shí)，x∈（0，），f′（x）＞0，x∈（，e）

24、，f′（x）＜0， ∴f（x）的單調(diào)增區(qū)間是（0，），單調(diào)減區(qū)間是（，e）， ∵f（x）在（0，e]上的最大值為﹣3， ∴f（x）max=g（）=﹣1﹣lna=﹣3， ∴a=e2． 綜上：存在a符合題意，此時(shí)a=e2． ................................12分 22．解：（1）由題意知 可得＝，a2﹣b2＝c2，+＝1， 解得a＝2，b＝1， 則橢圓C的方程為：+y2＝1； ....................

25、............3分 （2）由題意，直線MN的斜率存在且不為0，設(shè)直線MN方程為y＝kx+m， 設(shè)點(diǎn)M（x1，y1），N（x2，y2），聯(lián)立，整理可得（1+4k2）x2+8kmx+4m2﹣4＝0， 所以x1+x2＝﹣，x1x2＝ y1+y2＝k（x1+x2）+2m＝ .........................5分 因?yàn)?＝， 所以Q（，）， 因?yàn)镼在橢圓上，所以+（）2＝1，化簡(jiǎn)得16m2＝1+4k2，滿足△＞0，......7分 又因?yàn)橹本€HM與直線HN傾斜角互補(bǔ)，所以kHM+kHN＝0，所以+＝0，..............8分 所以+＝0，所以2kx1x2+（m+）（x1+x2）＝0， ................................10分 所以＝0，因?yàn)閗≠0，所以m＝﹣2，代入16m2＝1+4k2 得k＝，....................11分 所以存在滿足條件的三個(gè)點(diǎn)，此時(shí)直線MN 的方程為y＝x﹣2 或y＝﹣x﹣2．.........12分