浙江高考數(shù)學(xué) 理二輪專題訓(xùn)練：第1部分 專題二 第1講 三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)選擇、填空題型

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1、 考 點(diǎn) 考 情 三角函數(shù)的圖像 　1.對三角函數(shù)圖像的考查主要是平移、伸縮變換，或由圖像確定函數(shù)的解析式，如四川T5，山東T5等. 2.三角函數(shù)的性質(zhì)是考查的重點(diǎn)，可以單獨(dú)命題，也可與三角變換交匯，綜合考查三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性、最值等．另外由性質(zhì)確定函數(shù)的解析式也是高考考查的重點(diǎn)，如江西T11，新課標(biāo)全國卷ⅠT15等. 三角函數(shù)的性質(zhì) 求函數(shù)的解析式 求三角函數(shù)的值域或最值 1．(20xx·山東高考)將函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖像沿x軸向左平移個(gè)單位后，得到一個(gè)偶函數(shù)的圖像，則φ的一個(gè)可

2、能取值為(　　) A.　　　　　　　　　　　 B. C．0 D．－ 解析：選B　把函數(shù)y＝sin(2x＋φ)的圖像向左平移個(gè)單位后，得到的圖像的解析式是y＝sin，該函數(shù)是偶函數(shù)的充要條件是＋φ＝kπ＋，k∈Z，根據(jù)選項(xiàng)檢驗(yàn)可知φ的一個(gè)可能取值為. 2.(20xx·四川高考)函數(shù)f(x)＝2sin(ωx＋φ)＜的部分圖像如圖所示，則ω，φ的值分別是(　　) A．2，－ B．2，－ C．4，－ D．4， 解析：選A　因?yàn)椋健ぃ驭兀?.又因?yàn)?×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，且－<φ<，所以φ＝－. 3．(20xx·江西高考)函數(shù)y＝sin 2x＋2sin2x的最

3、小正周期T為________． 解析：y＝sin 2x＋2 sin2x＝sin 2x－cos 2x＋＝2sin＋，所以該函數(shù)的最小正周期為T＝＝π. 答案：π 4．(20xx·新課標(biāo)全國卷Ⅰ)設(shè)當(dāng)x＝θ時(shí)，函數(shù)f(x)＝sin x－2cos x取得最大值，則cos θ＝________. 解析：f(x)＝sin x－2cos x＝ ＝sin (x－φ)，其中sin φ＝，cos φ＝，當(dāng)x－φ＝2kπ＋(k∈Z)時(shí)函數(shù)f(x)取到最大值，即θ＝2kπ＋＋φ(k∈Z)時(shí)函數(shù)f(x)取到最大值，所以cos θ＝－sin φ＝－. 答案：－ 1．六組誘導(dǎo)公式 公式一 sin(2k

4、π＋α)＝sin α(k∈Z)，cos(2kπ＋α)＝cos α(k∈Z)，tan(2kπ＋α)＝tan α(k∈Z) 公式二 sin(π＋α)＝－sin α，cos(π＋α)＝－cos α， tan(π＋α)＝tan α 公式三 sin(－α)＝－sin α，cos(－α)＝cos α， tan(－α)＝－tan α 公式四 sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos α， tan(π－α)＝－tan α 公式五 sin＝cos α，cos＝sin α 公式六 sin＝cos α，cos＝－sin α 2．三種函數(shù)的圖像和性質(zhì) 函數(shù) y＝si

5、n x y＝cos x y＝tan x 圖像 單調(diào)性 在，(k∈Z)上單調(diào) 遞增；在， (k∈Z)上單調(diào)遞減 在[－π＋2kπ，2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞增；在[2kπ，π＋2kπ](k∈Z)上單調(diào)遞減 在， (k∈Z)上單調(diào)遞增 對稱性 對稱中心：(kπ，0)(k∈Z)； 對稱軸：x＝＋kπ(k∈Z) 對稱中心： (k∈Z)； 對稱軸：x＝kπ(k∈Z) 對稱中心： (k∈Z) 3.三角函數(shù)的兩種常見圖像變換 (1)y＝sin xy＝sin(x＋φ) y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)． (2)y＝s

6、in x y＝sin ωx y＝sin(ωx＋φ) y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0). 熱點(diǎn)一 三角函數(shù)的概念、基本關(guān)系式和誘導(dǎo)公式 　[例1]　 (1)已知角α的終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)為，則角α的最小正值為(　　) A.　　　　　　　　　 　B. C. D. (2)若3cos＋cos(π＋θ)＝0，則cos2θ＋sin 2θ的值是________． [自主解答]　(1)∵sin>0，cos<0， ∴α為第四象限角． 又tan α＝＝＝－， ∴α的最小正值為. (2)∵3cos＋cos(π＋θ)＝0， ∴3sin θ－cos θ＝0，從而tan

7、θ＝. ∴cos2θ＋sin 2θ＝＝＝＝＝. [答案]　(1)C　(2) ——————————————————(規(guī)律·總結(jié))—————————————— 應(yīng)用三角函數(shù)的概念和誘導(dǎo)公式應(yīng)注意兩點(diǎn) (1)當(dāng)角的終邊所在的位置不是唯一確定的時(shí)候要注意分情況解決，機(jī)械地使用三角函數(shù)的定義就會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤． (2)使用三角函數(shù)誘導(dǎo)公式常見的錯(cuò)誤有兩個(gè)：一個(gè)是函數(shù)名稱，一個(gè)是函數(shù)值的符號(hào)． 1．已知角α的終邊過點(diǎn)P(－8m，－6sin 30°)，且cos α＝－，則m的值為________． 解析：由點(diǎn)P(－8m，－6sin 30°)在角α的終邊上且cos α＝－，知角α的終邊

8、在第三象限，則m>0，又cos α＝ ＝－，所以m＝. 答案： 2．已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與x軸的正半軸重合，終邊上一點(diǎn)P(－4,3)，則的值為________． 解析：原式＝＝tan α.根據(jù)三角函數(shù)的定義，得tan α＝＝－，所以原式＝－. 答案：－ 熱點(diǎn)二 y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0)的圖像與解析式 [例2]　 (1)(20xx·濟(jì)南模擬)已知函數(shù)f(x)＝Msin(ωx＋φ)(M，ω，φ是常數(shù)，M>0，ω>0,0≤φ≤π)的部分圖像如圖所示，其中A，B兩點(diǎn)之間的距離為5，那么f(－1)＝(　　) A．－2　　　　　　　 　B．－1

9、C．2 D．－1或2 (2)(20xx·?？谀M)將函數(shù)y＝sin ωx(ω>0)的圖像向左平移個(gè)單位，平移后的圖像如圖所示，則平移后的圖像所對應(yīng)的函數(shù)解析式為(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin [自主解答]　(1)由圖可知M＝2.因?yàn)锳，B兩點(diǎn)分別是函數(shù)圖像上相鄰的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)，設(shè)A(x1,2)，B(x2，－2)，因?yàn)閨AB|＝5，所以＝5，解得|x2－x1|＝3.因?yàn)锳，B兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)之差的絕對值為最小正周期的一半，即＝3，T＝6，所以＝6，解得ω＝.因?yàn)閒(0)＝1，所以2sin φ＝1，解得sin φ＝.因?yàn)?≤φ≤π，所以φ＝或

10、φ＝.結(jié)合圖像，經(jīng)檢驗(yàn)，φ＝不合題意，舍去，故φ＝.所以f(x)＝2sin.故f(－1)＝2sin＝2sin＝2. (2)函數(shù)y＝sin ωx(ω>0)的圖像向左平移個(gè)單位后對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝sin ω＝sin，又因?yàn)閒＝－1，由圖可得＋＝，解得ω＝2，所以平移后的圖像對應(yīng)的函數(shù)解析式為y＝sin. [答案]　(1)C　(2)C ——————————————————規(guī)律·總結(jié)—————————————— 根據(jù)三角函數(shù)圖像確定解析式應(yīng)注意的問題 在利用圖像求三角函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的有關(guān)參數(shù)時(shí)，注意直接從圖中觀察振幅、周期，即可求出A、ω，然后根據(jù)圖像過某一特殊點(diǎn)求φ，

11、若是利用零點(diǎn)值來求，則要注意是ωx＋φ＝kπ(k∈Z)，根據(jù)點(diǎn)在單調(diào)區(qū)間上的關(guān)系來確定一個(gè)k的值，此時(shí)要利用數(shù)形結(jié)合，否則就易步入命題人所設(shè)置的陷阱． 3.已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋θ)的圖像如圖所示，f＝－，則f＝(　　) A．－ B．－ C. D. 解析：選A　由圖知，T＝2＝，所以f＝f＝f＝－. 4.已知函數(shù)f(x)＝Acos(ωx＋φ)(A>0，ω>0,0<φ<π)為奇函數(shù)，該函數(shù)的部分圖像如圖所示，△EFG是邊長為2的等邊三角形，則f(1)的值為(　　) A．－ B．－ C. D．－ 解析：選D　由函數(shù)是奇函數(shù)，且0<φ<π可得φ＝.由圖

12、像可得函數(shù)的最小正周期為4，ω＝.由△EFG的高為，可得A＝.所以f(x)＝cos，所以f(1)＝cos π＝－. 熱點(diǎn)三 三角函數(shù)的奇偶性與對稱性 [例3]　 (1)定義行列式運(yùn)算＝a1a4－a2a3.將函數(shù)f(x)＝的圖像向左平移n(n>0)個(gè)單位，所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為偶函數(shù)，則n的最小值為(　　) A. B. C. D. (2)(20xx·皖南八校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)＝2cos(ωx＋φ)(ω>0)的圖像關(guān)于直線x＝對稱，且f＝0，則ω的最小值為(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 [自主解答]　(1)由定義知f(x)＝cos x－sin x＝

13、2cos，將其圖像向左平移n個(gè)單位后得到y(tǒng)＝2cos的圖像，要使該函數(shù)為偶函數(shù)，應(yīng)有＋n＝kπ(k∈Z)，即n＝kπ－(k∈Z)，因此，當(dāng)k＝1時(shí)，n取得最小值. (2)由題意知ω·＋φ＝k1π，ω·＋φ＝k2π＋，其中k1，k2∈Z，兩式相減可得ω＝4(k2－k1)＋2，又ω>0，易知ω的最小值為2. [答案]　(1)C　(2)A 在本例(1)中，把“偶函數(shù)”改為“奇函數(shù)”，如何選擇？ 解析：選B　若平移后所得圖像對應(yīng)的函數(shù)為奇函數(shù)，則＋n＝＋kπ，即n＝＋kπ，k∈Z. ∴n的最小值為.　　　　　 ——————————————————規(guī)律·總結(jié)————————————

14、—— 1．奇偶性的三個(gè)規(guī)律 (1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)是奇函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)，是偶函數(shù)?φ＝kπ＋(k∈Z)； (2)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)是奇函數(shù)?φ＝kπ＋(k∈Z)，是偶函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)； (3)函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)是奇函數(shù)?φ＝kπ(k∈Z)． 2．對稱性的三個(gè)規(guī)律 (1)函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)的圖像的對稱軸由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得； (2)函數(shù)y＝Acos(ωx＋φ)的圖像的對稱軸由ωx＋φ＝kπ(k∈Z)解得，對稱中心的橫坐標(biāo)由ωx＋φ＝kπ＋(k∈Z)解得； (3

15、)函數(shù)y＝Atan(ωx＋φ)的圖像的對稱中心由ωx＋φ＝(k∈Z)解得． 5．若函數(shù)y＝cos(ω∈N*)的一個(gè)對稱中心是，則ω的最小值為(　　) A．1　 B．2 C．4 D．8 解析：選B　∵cos＝0，∴＋＝＋kπ(k∈Z)，∴ω＝2＋6k，又ω∈N*，∴ω的最小值為2. 6．若函數(shù)f(x)＝Asin(A>0)滿足f(1)＝0，則(　　) A．f(x－2)一定是奇函數(shù) B．f(x＋1)一定是偶函數(shù) C．f(x＋3)一定是偶函數(shù) D．f(x－3)一定是奇函數(shù) 解析：選D　由于函數(shù)周期為＝4，又由f(1)＝0可知(1,0)為函數(shù)f(x)圖像的一個(gè)對稱

16、中心，且f(x－3)的圖像是由函數(shù)f(x)的圖像向右平移3個(gè)單位所得，故函數(shù)f(x－3)圖像的一個(gè)對稱中心為(4,0)，又函數(shù)周期為4，故(0,0)也是函數(shù)f(x－3)圖像的一個(gè)對稱中心，即圖像關(guān)于原點(diǎn)對稱，故函數(shù)f(x－3)為奇函數(shù). 熱點(diǎn)四 三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性與最值 [例4]　 (1)(20xx·沈陽模擬)函數(shù)f(x)＝Asin(ωx＋ωπ)(A>0，ω>0)的圖像在上單調(diào)遞增，則ω的最大值是(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C．1 D．2 (2)設(shè)a∈R，f(x)＝cos x(asin x－cos x)＋cos2滿足f＝f(0)，則函數(shù)f(x)在上的最大

17、值和最小值分別為________，________. [自主解答]　(1)因?yàn)锳>0，ω>0，所以f(x)＝Asin(ωx＋ωπ)的遞增區(qū)間滿足2kπ－≤ωx＋ωπ≤2kπ＋(k∈Z)，即－π≤x≤－π(k∈Z)，所以?(k∈Z)，解得即ω≤1，所以ω的最大值為1. (2)f(x)＝asin xcos x－cos2x＋sin2x＝sin 2x－. 由f＝f(0)，得·＋＝－1， 解得a＝2. 因此f(x)＝sin 2x－cos 2x＝2sin，由x∈，可得2x－∈. 當(dāng)x∈時(shí)，2x－∈，f(x)為增函數(shù)； 當(dāng)x∈時(shí)，2x－∈，f(x)為減函數(shù)， 所以f(x)在上的最大值為f＝2

18、. 又f＝，f＝， 故f(x)在上的最小值為f＝. [答案]　(1)C　(2)2　 在本例(2)中，求函數(shù)f(x)的最小正周期及單調(diào)遞減區(qū)間． 解：∵f(x)＝2sin，∴f(x)的最小正周期為T＝＝π. 由＋2kπ≤2x－≤＋2kπ(k∈Z)， 得＋kπ≤x≤＋kπ，(k∈Z)， ∴函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，(k∈Z)．　　　　　 —————————————————規(guī)律·總結(jié)—————————————— 三角函數(shù)的單調(diào)性、周期性及最值的求法 (1)三角函數(shù)單調(diào)性的求法： 求形如y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))(A、ω、φ為常數(shù)，

19、A≠0，ω>0)的單調(diào)區(qū)間的一般思路是令ωx＋φ＝z，則y＝Asin z(或y＝Acos z)，然后由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性求得． (2)三角函數(shù)周期性的求法： 函數(shù)y＝Asin(ωx＋φ)(或y＝Acos(ωx＋φ))的最小正周期T＝.應(yīng)特別注意y＝|Asin(ωx＋φ)|的周期為T＝. (3)三角函數(shù)值域的求法： 在求最值(或值域)時(shí)，一般要先確定函數(shù)的定義域，然后結(jié)合正弦函數(shù)性質(zhì)可得函數(shù)f(x)的最值． 7．設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(x∈R)，則f(x)(　　) A．在區(qū)間上是增函數(shù) B．在區(qū)間上是增函數(shù) C．在區(qū)間上是增函數(shù) D．在區(qū)間上是減函數(shù) 解析：選A　依題意，f(－x)＝f(x)，函數(shù)f(x)是偶函數(shù)，注意到函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)，因此f(x)在上是增函數(shù).