【創(chuàng)新設(shè)計】2014高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量的概念及其線性運算訓(xùn)練 理 新人教A版

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1、 【創(chuàng)新設(shè)計】2014高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量的概念及其線性運算訓(xùn)練 理 新人教A版 [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解向量的實際背景． 2.理解平面向量的概念，理解兩個向量相等的含義． 3.理解向量的幾何表示． 4.掌握向量加法、減法的運算，并理解其幾何意義． 5.掌握向量數(shù)乘的運算及其幾何意義，理解兩個向量共線的含義． 6.了解向量線性運算的性質(zhì)及其幾何意義. 1.主要考查平面向量的有關(guān)概念及線性運算、共線向量定理的理解和應(yīng)用，如2012年浙江T5，遼寧T3等． 2.考查題型為選擇題或填空題. [歸

2、納·知識整合] 1．向量的有關(guān)概念 名稱 定義 向量 既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長度(或稱模) 零向量 長度為零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量記作0 單位向量 長度等于1個單位的向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行 相等向量 長度相等且方向相同的向量 相反向量 長度相等且方向相反的向量 [探究]　1.兩向量共線與平行是兩個不同的概念嗎？兩向量共線是指兩向量的方向一致嗎？ 提示：方向相同或相反的一組非零向量，叫做平行向量，又叫共線向量，是同一個概念．顯然兩向量平行

3、或共線，其方向可能相同，也可能相反． 2．兩向量平行與兩直線(或線段)平行有何不同？ 提示：平行向量也叫共線向量，這里的“平行”與兩直線(或線段)平行的意義不同，兩向量平行時，兩向量可以在同一條直線上． 2．向量的線性運算 向量運算 定義 法則(或幾何意義) 運算律 加法 求兩個向量和的運算 (1)交換律：a＋b＝b＋a (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運算叫做a與b的差 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實數(shù)λ與向量a的積的運算 (1)|λa|＝|λ||a| (2)當λ＞0時，λa與a的方向相同；當λ

4、＜0時，λa與a的方向相反；當λ＝0時，λa＝0 λ(μ a)＝(λ μ) a (λ＋μ)a＝λa＋μ a λ(a＋b)＝λa＋λb [探究]　3.λ＝0與a＝0時，λa的值是否相等？ 提示：相等，且均為0. 4．若|a＋b|＝|a－b|，你能給出以a，b為鄰邊的平行四邊形的形狀嗎？ 提示：如圖，說明平行四邊形的兩條對角線長度相等，故四邊形是矩形． 3．共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個實數(shù)λ，使得b＝λa. [探究]　5.當兩個非零向量a，b共線時，一定有b＝λa，反之成立嗎？ 提示：成立． [自測·牛刀小試] 1．下列說法中正確的是

5、(　　) A．只有方向相同或相反的向量是平行向量 B．零向量的長度為零 C．長度相等的兩個向量是相等向量 D．共線向量是在一條直線上的向量 解析：選B　由于零向量與任意向量平行，故選項A錯誤；長度相等且方向相同的兩個向量是相等向量，故C錯誤；方向相同或相反的兩個非零向量是共線向量，故D錯誤． 2.(教材習(xí)題改編)D是△ABC的邊AB上的中點，則向量等于(　　) A．－＋　　　　　　 B．－－ C．－ D．＋ 解析：選A　如圖，由于D是AB的中點，所以＝＋＝＋＝－＋. 3．如圖，e1，e2為互相垂直的單位向量，則向量a－b可表示為(　　) A．3e2－e1 B．－2

6、e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析：選C　連接a，b的終點，并指向a的終點的向量是a－b. 4．(教材習(xí)題改編)點C在線段AB上，且＝，則＝________，＝________. 解析：如圖，∵＝，∴＝，＝－. 答案：　－ 5．(教材習(xí)題改編)化簡－＋－的結(jié)果為______． 解析：－＋－ ＝(＋)＋(－) ＝＋＝. 答案： 向量的概念 [例1]　給出下列命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b； ②若A，B，C，D是不共線的四點，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③若a＝b，b＝c，則a＝c； ④a＝b的充要條件是

7、|a|＝|b|且a∥b； ⑤若a∥b，b∥c，則a∥c. 其中正確命題的序號是(　　) A．②③　　　　　　　　　　　 B．①② C．③④ D．④⑤ [自主解答]?、俨徽_，長度相等，但方向不同的向量不是相等向量． ②正確．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共線的四點，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則∥且||＝||，因此，＝. ③正確．∵a＝b，∴a，b的長度相等且方向相同； 又b＝c，∴b，c的長度相等且方向相同， ∴a，c的長度相等且方向相同，故a＝c. ④不正確．當a＝－b時，也有|a|＝|b|且a∥b，故|a|＝|b

8、|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． ⑤不正確．未考慮b＝0這種特殊情況． 綜上所述，正確命題的序號是②③. [答案]　A ——————————————————— 解決平面向量概念辨析題的方法 解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長度，如，共線向量的核心是方向相同或相反，長度沒有限制；相等向量的核心是方向相同且長度相等；單位向量的核心是方向沒有限制，但長度都是一個單位長度；零向量的核心是方向沒有限制，長度是0；規(guī)定零向量與任意向量共線．只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問題． 1．設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個向量

9、，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選D　向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個數(shù)是3. 向量的線性運算 [例2]　在△ABC中， (1)若D是AB邊上一點，且＝2，＝＋λ，則λ＝(　　) A.　　　 B.　　　 C．－　　　 D．－ (2)若O是△AB

10、C所在平面內(nèi)一點，D為BC邊中點，且2＋＋＝0，那么(　　) A．＝ B．＝2 C．＝3 D．2＝ [自主解答]　(1)法一：由＝2得－＝2(－)，即＝＋，所以λ＝. 法二：因為＝＋＝＋＝＋(－)＝＋，所以λ＝. (2)因為D是BC邊的中點，所以有＋＝2，所以2＋＋＝2＋2＝2(＋)＝0?＋＝0?＝. [答案]　(1)A　(2)A 在本例條件下，若||＝||＝|－|＝2，則|＋|為何值？ 解：∵||＝||＝|－|， ∴△ABC為正三角形． ∴|＋|＝2.　　　　 ——————————————————— 平面向量線性運算的一般規(guī)律 (1)用已知向量來表示

11、另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加法、減法、數(shù)乘運算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理． (2)在求向量時，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形對應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來求解． 2．如圖，在△OAB中，延長BA到C，使AC＝BA，在OB上取點D，使DB＝OB.設(shè)＝a，＝b，用a，b表示向量，. 解：＝＋＝＋2＝＋2(－) ＝2－＝2a－b. ＝－＝－ ＝(2a－b)－b ＝2a－b. 共線向量定理的應(yīng)用 [例3]　設(shè)兩個非零向量a與

12、b不共線， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A、B、D三點共線． (2)試確定實數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． [自主解答]　(1)∵＝a＋b，＝2a＋8b， ＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)， ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴、共線，又∵它們有公共點B， ∴A、B、D三點共線． (2)∵ka＋b與a＋kb共線， ∴存在實數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb. ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a、b是不共線的兩個非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝±1. —

13、—————————————————— 1．共線向量定理及其應(yīng)用 (1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值． (2)若a，b不共線，則λa＋μb＝0的充要條件是λ＝μ＝0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛． 2．證明三點共線的方法 若＝λ，則A、B、C三點共線． 3．已知a，b不共線，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實數(shù)t使C，D，E三點在一條直線上？若存在，求出實數(shù)t的值，若不存在，請說明理由． 解：由題設(shè)知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點在一條直線上

14、的充要條件是存在實數(shù)k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. 因為a，b不共線，所以有 解之得t＝. 故存在實數(shù)t＝使C，D，E三點在一條直線上． 1個規(guī)律——向量加法規(guī)律 一般地，首尾順次相接的多個向量的和等于從第一個向量起點指向最后一個向量終點的向量，即＋＋＋…＋＝.特別地，一個封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量． 2個結(jié)論——向量的中線公式及三角形的重心 (1)向量的中線公式 若P為線段AB的中點，O為平面內(nèi)一點，則＝(＋)． (2)三角形的重心 已知平面內(nèi)不共線的三點A、B、C，＝(＋＋)?G是△

15、ABC的重心，特別地，＋＋＝0?P為△ABC的重心． 3個等價轉(zhuǎn)化——與三點共線有關(guān)的等價轉(zhuǎn)化 A，P，B三點共線?＝λ (λ≠0)? ＝(1－t)·＋t (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，t∈R)? ＝x＋y (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． 4個注意點——向量線性運算應(yīng)注意的問題 (1)用平行四邊形法則進行向量加法和減法運算時，需將向量平移至共起點； (2)作兩個向量的差時，要注意向量的方向是指向被減向量的終點； (3)在向量共線的重要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無數(shù)個； (4)要注意向量共線與三點共線的區(qū)別與聯(lián)系

16、. 創(chuàng)新交匯——以平面向量為背景的新定義問題 1．從近幾年新課標省份的高考可以看出，高考以新定義的形式考查向量的概念及線性運算的頻率較大，且常與平面幾何、解析幾何、充要條件等知識交匯，具有考查形式靈活，題材新穎，解法多樣等特點． 2．解決此類問題，首先需要分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，通過轉(zhuǎn)化思想解決，這是破解新定義信息題難點的關(guān)鍵所在． [典例]　(2011·山東高考)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標系中兩兩不同的四點，若＝λ(λ∈R)，＝μ (μ∈R)，且＋＝2，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2·已知點C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R

17、)調(diào)和分割點A(0,0)，B(1,0)，則下面說法正確的是(　　) A．C可能是線段AB的中點 B．D可能是線段AB的中點 C．C，D可能同時在線段AB上 D．C，D不可能同時在線段AB的延長線上 [解析]　根據(jù)已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，從而得c＝λ；(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d＝μ.根據(jù)＋＝2，得＋＝2.線段AB的方程是y＝0，x∈[0,1]．若C是線段AB的中點，則c＝，代入＋＝2得，＝0，此等式不可能成立，故選項A的說法不正確；同理選項B的說法也不正確；若C，

18、D同時在線段AB上，則01，d>1，則＋<2，與＋＝2矛盾，若c<0，d<0，則＋是負值，與＋＝2矛盾，若c>1，d<0，則<1，<0，此時＋<1，與＋＝2矛盾；故選項D的說法是正確的． [答案]　D 1．本題具有以下創(chuàng)新點 (1)命題背景新穎：本題為新定義題目，用新定義考查考生閱讀能力與知識遷移能力． (2)考查知識新穎：本題把坐標系、向量、點與線段的位置關(guān)系通過新定義有機結(jié)合在一起，能較好地考查學(xué)生的

19、閱讀理解能力和解決問題的能力． 2．解決本題的關(guān)鍵有以下兩點 解決本題的關(guān)鍵是抓住兩條：一是A1，A2，A3，A4四點共線；二是＋＝2，同時應(yīng)用排除法． 1．定義平面向量之間的一種運算“⊙”如下：對任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面說法錯誤的是(　　) A．若a與b共線，則a⊙b＝0 B．a(chǎn)⊙b＝b⊙a C．對任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(a·b)2＝|a|2|b|2 解析：選B　若a與b共線，則有mq－np＝0，故A正確；因為b⊙a＝pn－qm，而a⊙b＝mq－np，所以有a⊙b≠b⊙a，故B錯誤；因為λa＝

20、(λm，λn)，所以(λa)⊙b＝λmq－λnp.又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝(λa)⊙b，故C正確；因為(a⊙b)2＋(a·b)2＝(mq－np)2＋(mp＋nq)2＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正確． 2．已知點A、B、C是直線l上不同的三個點，點O不在直線l上，則關(guān)于x的方程x2＋x＋＝0的解集為(　　) A．?　　　　　　　　　　　 B．{－1} C. D．{－1,0} 解析：選A　由條件可知，x2＋x不能和共線，即使x＝0時，也不滿足條件，所以滿足條件的x不存在． 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1.如圖，已知＝a

21、，＝b，＝3，用a，b表示，則＝(　　) A．a(chǎn)＋b　　　　　 B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：選B　∵＝－＝a－b，又＝3， ∴＝＝(a－b)，∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. 2．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點，＋＝2，則(　　) A．＋＝0　　　　　　　 B．＋＝0 C．＋＝0 D．＋＋＝0 解析：選B　如圖，根據(jù)向量加法的幾何意義，＋＝2?P是AC的中點，故＋＝0. 3．已知向量p＝＋，其中a、b均為非零向量，則|p|的取值范圍是(　　) A．[0，] B．[0,1] C．(0,2] D．[0,2] 解析：選D　與均為單位向量，當它們同

22、向時，|p|取得最值2，當它們反向時，|p|取得最小值0.故|p|∈[0,2]． 4．已知四邊形ABCD中，＝，||＝||，則這個四邊形的形狀是(　　) A．平行四邊形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 解析：選B　由＝可知AB綊CD，所以四邊形ABCD為平行四邊形．由||＝||知對角線相等，所以平行四邊形ABCD為矩形． 5．(2013·保定模擬)如圖所示，已知點G是△ABC的重心，過G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點，且＝x，＝y(tǒng)，則的值為(　　) A．3 B. C．2 D. 解析：選B　(特例法)利用等邊三角形，過重心作平行于底面BC的直線，易得＝

23、. 6．設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點，且＝2，＝2，＝2，則＋＋與 (　　) A．反向平行　　　　　　　 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：選A　由題意得＝＋＝＋， ＝＋＝＋， ＝＋＝＋， 因此＋＋＝＋(＋－) ＝＋＝－， 故＋＋與反向平行． 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點，則＝________(用a，b表示)． 解析：由＝3得4＝3＝3(a＋b)， ＝a＋b， 所以＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案：－a＋b 8．設(shè)a，b是兩個不共線的非

24、零向量，若8a＋kb與ka＋2b共線，則實數(shù)k＝________. 解析：因為8a＋kb與ka＋2b共線，所以存在實數(shù)λ，使8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.又a，b是兩個不共線的非零向量，故解得k＝±4. 答案：±4 9．(2013·淮陰模擬)已知△ABC和點M滿足＋＋＝0.若存在實數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝________. 解析：由題目條件可知，M為△ABC的重心，連接AM并延長交BC于D，則＝，因為AD為中線，則＋＝2＝3，所以m＝3. 答案：3 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 10．已知P為△ ABC內(nèi)一點，且3＋

25、4＋5＝0，延長AP交BC于點D，若＝a，＝b，用a、b表示向量，. 解：∵＝－＝－a， ＝－＝－b， 又3＋4＋5＝0. ∴3＋4(－a)＋5(－b)＝0，∴＝a＋b. 設(shè)＝t (t∈R)， 則＝ta＋tb.① 又設(shè)＝k (k∈R)， 由＝－＝b－a，得＝k(b－a)． 而＝＋＝a＋. ∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb② 由①②得解得t＝. 代入①得＝a＋b. ∴＝a＋b，＝a＋b. 11．設(shè)兩個非零向量e1和e2不共線． (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2， 求證：A、C、D三點共線； (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3

26、e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三點共線，求k的值． 解：(1)證明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2， ＝－8e1－2e2， ∴＝＋＝4e1＋e2 ＝－(－8e1－2e2)＝－， ∴與共線． 又∵與有公共點C，∴A、C、D三點共線． (2) ＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2， ∵A、C、D三點共線，∴與共線，從而存在實數(shù)λ使得＝λ，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得 解得λ＝，k＝. 12．設(shè)點O在△ABC內(nèi)部，且有4＋＋＝0，求△ABC的面積與△OBC的面積之比． 解：取BC的中點D，連接OD， 則＋＝2， 又4＝－(＋)＝－2

27、， 即＝－， ∴O、A、D三點共線，且||＝2||， ∴O是中線AD上靠近A點的一個三等分點， ∴S△ABC∶S△OBC＝3∶2. 1．已知△ABC的三個頂點A、B、C及平面內(nèi)一點P滿足＋＋＝，則點P與△ABC的關(guān)系為(　　) A．P在△ABC內(nèi)部 B．P在△ABC外部 C．P在AB邊所在直線上 D．P是AC邊的一個三等分點 解析：選D　∵＋＋＝， ∴＋＋＝－，∴＝－2＝2， ∴P是AC邊的一個三等分點． 2．平面向量a，b共線的充要條件是(　　) A．a(chǎn)，b方向相同 B．a(chǎn)，b兩向量中至少有一個為0 C．存在λ∈R，使b＝λa D．存在不全為零的實數(shù)λ1

28、，λ2，使λ1a＋λ2b＝0 解析：選D　a，b共線時，a，b方向相同或相反，故A錯．a(chǎn)，b共線時，a，b不一定是零向量，故B錯．當b＝λa時，a，b一定共線，若b≠0，a＝0，則b＝λa不成立，故C錯．排除A、B、C. 3．△ABC中，點D在邊AB上，CD平分∠ACB.設(shè)＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，則等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：選B　∵CD平分∠ACB， ∴＝. 又∵＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2， ∴＝. ∴＝＋＝a＋ ＝a＋(－) ＝a＋(b－a)＝a＋b. 4.如圖所示，在五邊形ABCDE中，點M、N、

29、P、Q分別是AB、CD、BC、DE的中點，K和L分別是MN和PQ的中點，求證：＝. 證明：任取一點O，＝－. ∵K、L為MN、PQ的中點． ∴＝(＋)，＝(＋)． 又∵M，N，P，Q分別為AB，CD，BC，DE中點， ∴＝(＋)，＝(＋)， ＝(＋)，＝(＋)． ∴＝－＝[－(＋)＋(＋)] ＝[－(＋＋＋)＋(＋＋＋)] ＝(－＋)＝. [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解平面向量基本定理及其意義． 2.掌握平面向量的正交分解及坐標表示． 3.會用坐標表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運算． 4.理解用坐標表示的平

30、面向量共線的條件. 本節(jié)內(nèi)容在高考中一般不單獨命題，常常是結(jié)合向量的其他知識命制綜合性的小題，這些小題多屬于中低檔題，問題常常涉及以下幾個方面： (1)結(jié)合向量的坐標運算求向量的值，如2012年重慶T6等． (2)結(jié)合平面向量基本定理考查向量的線性表示，如2012年廣東T3等． (3)結(jié)合向量的垂直與共線等知識，求解參數(shù)問題，如2011年北京T10等. [歸納·知識整合] 1．兩個向量的夾角 (1)定義 已知兩個非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角． (2)范圍 向量夾角θ的范圍是[0，π]，a與b同向時，夾角θ＝0；a與b反向時，夾

31、角θ＝π. (3)向量垂直 如果向量a與b的夾角是，則a與b垂直，記作a⊥b. 2．平面向量基本定理及坐標表示 (1)平面向量基本定理： 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． (2)平面向量的坐標表示： ①在平面直角坐標系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個單位向量i，j作為基底，對于平面內(nèi)的一個向量a，有且只有一對實數(shù)x，y，使a＝xi＋yj，把有序數(shù)對(x，y)叫做向量a的坐標，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x

32、軸上的坐標，y叫做a在y軸上的坐標． ②設(shè)＝xi＋yj，則向量的坐標(x，y)就是A點的坐標，即若＝(x，y)，則A點坐標為(x，y)，反之亦成立．(O是坐標原點) [探究]　1.向量的坐標與點的坐標有何不同？ 提示：向量的坐標與點的坐標有所不同，相等向量的坐標是相同的，但起點、終點的坐標卻可以不同，以原點O為起點的向量的坐標與點A的坐標相同． 3．平面向量的坐標運算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a±b＝(x1±x2，y1±y2)； (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)； (3)若a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)；

33、 (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2＝x2y1. [探究]　2.相等向量的坐標一定相同嗎？相等向量起點和終點坐標可以不同嗎？ 提示：相等向量的坐標一定相同，但是起點和終點的坐標可以不同．如A(3,5)，B(6,8)，則＝(3,3)；C(－5,3)，D(－2，6)，則＝(3,3)，顯然＝，但A，B，C，D四點坐標均不相同． 3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件能表示成＝嗎？ 提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.同時，a∥

34、b的充要條件也不能錯記為x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等． [自測·牛刀小試] 1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，c＝(6,4)，則c＝(　　) A．4a－2b　　　　　　　　 B．4a＋2b C．－2a＋4b D．2a＋4b 解析：選A　設(shè)c＝λa＋μb，則有(6,4)＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，即λ－μ＝6，λ＝4，從而μ＝－2， 故c＝4a－2b. 2．下列各組向量中，能作為基底的組數(shù)為(　　) ①a＝(－1,2)，b＝(5,7)； ②a＝(2，－3)，b＝(4，－6)； ③a＝(2，－3)，b＝(12，－34)． A．

35、0 B．1 C．2 D．3 解析：選C　對①，由于－1×7－2×5≠0，所以a與b不共線，故a，b可作為基底；對②，由于b＝2a，a與b共線，不能作為基底；對③，由于－34×2＋3×12≠0，所以a與b不共線，故a，b可作為基底． 3．設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a與b共線且方向相反，則m的值為(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：選A　設(shè)a＝λb，則 即λ＝±1，又∵a與b共線且方向相反， ∴λ<0，即λ＝－1. 4．(教材習(xí)題改編)在?ABCD中，AC為一條對角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則向量的坐標為________．

36、解析：設(shè)＝(x，y)，∵＝＋ ∴(1,3)＝(2,4)＋(x，y)， ∴即 ∴＝(－1，－1)． ∴＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)． 答案：(－3，－5) 5．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________. 解析：∵a＋b＝(1，m－1)．∴(a＋b)∥c， ∴2－(－1)(m－1)＝0，∴m＝－1. 答案：－1 平面向量基本定理的應(yīng)用 [例1]　如圖所示，在△ABC中，點M是AB的中點，且＝，BN與CM相交于點E，設(shè)＝a，＝b，試用基底a，b表示向量. [自主解答]　易得＝

37、＝b，＝＝a，由N，E，B三點共線知，存在實數(shù)m，滿足＝m＋(1－m) ＝mb＋(1－m)a. 由C，E，M三點共線知存在實數(shù)n，滿足＝n＋(1－n) ＝na＋(1－n)b. 所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b. 由于a，b為基底，所以解得 所以＝a＋b. ——————————————————— 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的方法 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加法、減法或數(shù)乘運算，基本方法有兩種： (1)運用向量的線性運算法則對待求向量不斷進行化簡，直至用基底表示為止； (2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組

38、，利用基底表示向量的唯一性求解． 1.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點．設(shè)＝a，＝b，試用a，b為基底表示向量，，. 解：＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a， ＝＋＝－b＋＝b－a， ＝＋＝－b－＝a－b. 平面向量的坐標運算 [例2]　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.求： (1)3a＋b－3c； (2)M、N的坐標及向量的坐標． [自主解答]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c ＝3(5，－5)＋

39、(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)．∴＝(9，－18)． ——————————————————— 平面向量坐標運算的技巧 (1)向量的坐標運算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運算的法則來進行求解的，若已知有向線段兩端點的坐標，則應(yīng)先求向量的坐標． (2)解題過程中，常利用向量相等則其坐標相同這一原則，通過列方程(組)來進行求解，并注意方程

40、思想的應(yīng)用． 2．已知點A(－1,2)，B(2,8)以及＝，＝－，求點C、D的坐標和的坐標． 解：設(shè)點C、D的坐標分別為(x1，y1)、(x2，y2)， 得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)， ＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)． 因為＝，＝－， 所以有，和 解得和 所以點C、D的坐標分別是(0,4)、(－2,0)， 從而＝(－2，－4). 平面向量共線的坐標表示 [例3]　平面內(nèi)給定三個向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)， c＝(4,1)． (1)求滿足a＝mb＋nc的實數(shù)m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實數(shù)k；

41、 (3)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d. [自主解答]　(1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以得 (2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∴2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.∴k＝－. (3)設(shè)d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)， 由題意得 得或故d＝(3，－1)或(5,3)． 本例(2)成立的前提下，a＋kc與2b－a是同向還是反向． 解：∵由例題知，k＝－. ∴a＋kc＝(3,2)－(4,1)＝， 2b－a＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)， ∴

42、a＋kc＝(2b－a)， 又∵＞0，∴a＋kc與2b－a同向．　　　　 ——————————————————— 利用兩向量共線解題的技巧 (1)一般地，在求與一個已知向量a共線的向量時，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． (2)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時，則利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便． 3．(1)在平面直角坐標系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC.已知點A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則

43、D點的坐標為________． (2)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－1，－2)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________. 解析：(1)由條件中的四邊形ABCD的對邊分別平行，可以判斷該四邊形ABCD是平行四邊形．設(shè)D(x，y)，則有＝，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)，即D點的坐標為(0，－2)． (2)由題意知a＋b＝(m－1，－3)，c＝(－1,2)， 由(a＋b)∥c得(－3)×(－1)－(m－1)×2＝0， 即2(m－1)＝3，所以m＝. 答案：(1)(0，－2)　(2) 1個區(qū)別——向量坐標與

44、點的坐標的區(qū)別 在平面直角坐標系中，以原點為起點的向量＝a，點A的位置被向量a唯一確定，此時點A的坐標與a的坐標統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點A(x，y)，向量a＝＝(x，y)． 2種形式——向量共線的充要條件的兩種形式 (1)a∥b?b＝λa(a≠0，λ∈R)； (2)a∥b?x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． 3個注意點——解決平面向量共線問題應(yīng)注意的問題 (1)注意0的方向是任意的； (2)若a、b為非零向量，當a∥b時，a，b的夾角為0°或180°，求解時容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯； (3)若a＝(x1，y1

45、)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因為x2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0. 易誤警示——忽視向量平行的主要條件致誤 [典例]　(2011·湖南高考)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標為________． [解析]　設(shè)a＝(x，y)，x＜0，y＜0，則x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)． [答案]　(－4，－2) 1．解答本題易誤認為“a與b的方向相反?a∥b”，致使出現(xiàn)增解(4,2)，而造成解題錯誤． 2．解

46、決此類問題常有混淆向量共線與向量垂直的充要條件致誤． 1．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　) A．k＝1且c與d同向 B．k＝1且c與d反向 C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向 解析：選D　∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，則c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)．顯然，c與d不平行，排除A、B.若k＝－1，則c＝－a＋b＝(－1,1)，－d＝－a＋b＝(－1,1)，即c∥d且c與d反向，排除C. 2．若三點A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值等

47、于________． 解析：＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0， 所以＋＝. 答案： 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．(2012·廣東高考)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，則＝(　　) A．(－2，－4)　　　　　　　　 B．(2,4) C．(6,10) D．(－6，－10) 解析：選A　由于＝(2,3)，＝(4,7)，那么＝＋＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)． 2．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點，且＝a，＝b，則＝(　　) A．b－a

48、B．b＋a C．a(chǎn)＋b D．a(chǎn)－b 解析：選A?。剑剑璦＋b＋a＝b－a. 3．(2013·鄭州模擬)已知平面直角坐標系內(nèi)的兩個向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ、μ為實數(shù))，則m的取值范圍是(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 解析：選D　由題意知向量a，b不共線，故m≠，解得m≠2. 4．已知A(7,1)、B(1,4)，直線y＝ax與線段AB交于C，且＝2，則實數(shù)a等于(　　) A．2 B．1 C. D. 解析：選A　設(shè)C(

49、x，y)，則＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)， ∵＝2，∴ 解得∴C(3,3)． 又∵C在直線y＝ax上， ∴3＝a·3，∴a＝2. 5．已知點A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，給出下面的結(jié)論： ①直線OC與直線BA平行；②＋＝；③＋＝；④＝－2. 其中正確結(jié)論的個數(shù)是(　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 解析：選C　∵由題意得kOC＝＝－，kBA＝＝－，∴OC∥BA，①正確；∵＋＝，∴②錯誤； ∵＋＝(0,2)＝，∴③正確； ∵－2＝(－4,0)，＝(－4,0)，∴④正確． 6．(2013·成都模擬)在△

50、ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，m＝(b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，m∥n，則cos A的值等于(　　) A. B. C. D. 解析：選C　m∥n?(b－c)cos A－acos C＝0，再由正弦定理得sin BcosA＝sin Ccos A＋cos Csin A?sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B，即cos A＝. 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．在△ABC中，點P在BC上，且＝2，點Q是AC的中點，若＝(4,3)，＝(1,5)，則＝________. 解析：＝－＝(－3,2)， ∴＝2＝(－

51、6,4)． ＝＋＝(－2,7)， ∴＝3＝(－6,21)． 答案：(－6,21) 8．在△ABC中，＝a，＝b，M是CB的中點，N是AB的中點，且CN、AM交于點P，則＝____________(用a，b表示)． 解析：如圖所示，＝＋＝－＋＝－＋×(＋)＝－＋＋＝－＋＝－a＋b. 答案：－a＋b 9．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b與c共線，則k＝________. 解析：a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3)， 又∵a－2b與c共線， ∴(a－2b)∥c ∴×－3k＝0，解得k＝1. 答案：1 三、解答題(本大題共3小題，每小題

52、12分，共36分) 10．如圖，已知點A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC與OB的交點P的坐標． 解：法一：由O，P，B三點共線，可設(shè)＝λ＝(4λ，4λ)，則＝－＝(4λ－4,4λ)． 又＝－＝(－2,6)，由與共線得(4λ－4)×6－4λ×(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)， 所以P點的坐標為(3,3)． 法二：設(shè)P(x，y)，則＝(x，y)，因為＝(4,4)，且與共線，所以＝，即x＝y(tǒng). 又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且與共線， 所以(x－4)×6－y×(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3， 所以P點的坐標為(3,3)． 11．已知O(0,0)、A(

53、1,2)、B(4,5)及＝＋t，試問： (1)t為何值時，P在x軸上？在y軸上？P在第三象限？ (2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請說明理由． 解：(1)∵＝(1,2)，＝(3,3)， ∴＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)． 若點P在x軸上，則2＋3t＝0，解得t＝－； 若點P在y軸上，則1＋3t＝0，解得t＝－； 若點P在第三象限，則解得t<－. (2)不能，若四邊形OABP成為平行四邊形， 則＝，即 ∵該方程組無解， ∴四邊形OABP不能成為平行四邊形． 12．若平面向量a、b滿足|a＋b|＝1，a＋b平行于x軸，b＝(2，－1)，求

54、a的坐標． 解：設(shè)a＝(x，y)， ∵b＝(2，－1)， ∴a＋b＝(x＋2，y－1)． 又∵a＋b平行于x軸， ∴y－1＝0，得y＝1， ∴a＋b＝(x＋2,0)． 又∵|a＋b|＝1， ∴|x＋2|＝1， ∴x＝－1或x＝－3， ∴a＝(－1,1)或a＝(－3,1)． 1．已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，則a1＋a2＋…＋an－1的坐標為(　　) A．(4,3) B．(－4，－3) C．(－3，－4) D．(－3,4) 解析：選C　∵a1＋a2＋…＋an＝0， ∴(a1＋a2＋…＋an－1)＝－an＝(－3，－4)． 2．若α，

55、β是一組基底，向量γ＝x·α＋y·β(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標，現(xiàn)已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標為(　　) A．(2,0) B．(0，－2) C．(－2,0) D．(0,2) 解析：選D　由題意，a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)． 設(shè)a在基底m，n下的坐標為(λ，μ)，則 a＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)＝(2,4)． 故解得即坐標為(0,2)． 3．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)

56、，則向量a－b＝(　　) A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2) 解析：選D　a＝，b＝， 故a－b＝(－1,2)． 4.如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知＝c，＝d，試用c，d表示，. 解：法一：在△ADM中， ＝－＝c－ ① 在△ABN中，＝－＝d－ ② 由①②得＝(2d－c)，＝(2c－d)． 法二：設(shè)＝a，＝b，因為M，N分別為CD，BC的中點，所以＝b，＝a，于是有： 解得 即＝(2d－c)，＝(2c－d)． 第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用

57、[備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 2.掌握數(shù)量積的坐標表達式，會進行平面向量數(shù)量積的運算． 3.能運用數(shù)量積表示兩個向量的夾角，會用數(shù)量積判斷兩個平面向量的垂直關(guān)系． 4.會用向量方法解決某些簡單的平面幾何問題．會用向量方法解決簡單的力學(xué)問題與其他一些實際問題. 近年來的新課標高考對平面向量的數(shù)量積的考查，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)： (1)直接利用數(shù)量積進行平面向量的運算，如2012年北京T13，上海T12等． (2)利用平面向量的數(shù)量積計算及兩個向量的夾角問題，如2012年

58、新課標全國T13，江西T7等. (3)利用平面向量的數(shù)量積解決垂直問題．如2012年安徽T11等. [歸納·知識整合] 1．平面向量的數(shù)量積 平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個非零向量a和b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cos θ叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a·b.即a·b＝|a||b|cos θ，規(guī)定0·a＝0. 2．向量數(shù)量積的運算律 (1)a·b＝b·a (2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb) (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c [探究]　根據(jù)數(shù)量積的運算律，判斷下列結(jié)論是否成立． (1)a·b＝a·c，則b＝c嗎？ (2)(a·b)

59、c＝a(b·c)嗎？ 提示：(1)不一定，a＝0時不成立， 另外a≠0時，a·b＝a·c.由數(shù)量積概念可知b與c不能確定； (2)(a·b)c＝a(b·c)不一定相等． (a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，當a與c不共線時它們必不相等． 3．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 結(jié)論 幾何表示 坐標表示 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要條件 a·b＝0 x1x2＋y1y2＝0 |a·b|與|a||b|的關(guān)系 |a·b|≤|a||b| |x1x2＋y1

60、y2|≤ [自測·牛刀小試] 1．(教材習(xí)題改編)已知|a|＝5，|b|＝4，a·b＝－10，則a與b的夾角為(　　) A.　　　　　　　　 B.π C. D.π 解析：選B　設(shè)a與b的夾角為θ， 則a·b＝|a||b|cos θ＝5×4cos θ＝－10，即cos θ＝－. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π. 2．(教材習(xí)題改編)等邊三角形ABC的邊長為1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 解析：選D　由題意知|a|＝|b|＝|c|＝1，且a與b的夾角為120°，b與c的夾角為120°，c與a的夾角

61、也為120°. 故a·b＋b·c＋c·a＝－. 3．設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，a·b＝－，則|a＋2b|＝ (　　) A. B. C. D. 解析：選B　|a＋2b|＝＝ ＝＝. 4．(教材習(xí)題改編)已知|a|＝3，|b|＝4，且a與b不共線，若向量a＋kb與a－kb垂直，則k＝________. 解析：∵(a＋kb)⊥(a－kb)， ∴(a＋kb)·(a－kb)＝0， 即|a|2－k2|b|2＝0. 又∵|a|＝3，|b|＝4，∴k2＝，即k＝±. 答案：± 5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)·c＝30，

62、則x＝________. 解析：由題意可得8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，則18＋3x＝30，解得x＝4. 答案：4 平面向量數(shù)量積的運算 [例1]　(1)(2012·天津高考)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設(shè)點P，Q滿足＝λ，＝(1－λ) ，λ∈R，若·＝－，則λ＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. (2)(2012·上海高考)在平行四邊形ABCD中，∠A＝，邊AB、AD的長分別為2、1.若M、N分別是邊BC、CD上的點，且滿足＝，則·的取值范圍是________． [自主解答]　(1)以點A為坐

63、標原點，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標系，則B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ) ，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)·(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝. (2)建立平面直角坐標系，如圖． 則B(2,0)，C，D. 令＝＝λ，則M，N. ∴·＝·＋λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6. ∵0≤λ≤1，∴·∈[2,5]． [答案]　(1)A　(2)[2,5] ——————————————————— 平面向量數(shù)量積的類型及求法 (1)向量數(shù)量積有兩種計算公式：一是夾角公式a

64、·b＝|a||b|cos θ；二是坐標公式a·b＝x1x2＋y1y2. (2)求較復(fù)雜的向量數(shù)量積的運算時，可先利用向量數(shù)量積的運算律或相關(guān)公式進行化簡． 注意以下兩個重要結(jié)論的應(yīng)用： ①(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2； ②(a＋b)·(a－b)＝a2－b2. 1.(2012·江蘇高考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點E為BC的中點，點F在邊CD上，若·＝，則·的值是________． 解析：以A為坐標原點，AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標系，則B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．設(shè)F(x,2)(0≤x≤)，由·＝?x＝?x＝1，

65、所以F(1,2)，·＝(，1)·(1－，2)＝. 答案： 平面向量的夾角與模的問題 [例2]　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)·(2a＋b)＝61. (1)求a與b的夾角θ； (2)求|a＋b|和|a－b|. [自主解答]　(1)∵(2a－3b)·(2a＋b)＝61，解得 a·b＝－6.∴cos θ＝＝＝－， 又0≤θ≤π，∴θ＝. (2)|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2＝13，∴|a＋b|＝. |a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝37. ∴|a－b|＝. 本例條件不變，若＝a，＝b，試求△ABC的面積． 解：∵與的夾角θ＝π， ∴∠ABC＝

66、π－π＝π. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， ∴S△ABC＝||||sin ∠ABC＝×4×3×＝3.　　　　 ——————————————————— 1．利用數(shù)量積求解長度問題的處理方法 (1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝. (2)|a±b|＝＝. (3)若a＝(x，y)，則|a|＝. 2．求向量夾角的方法 (1)利用向量數(shù)量積的定義知，cos θ＝，其中兩向量夾角的范圍為0°≤θ≤180°，求解時應(yīng)求出三個量：a·b，|a|，|b|或者找出這三個量之間的關(guān)系． (2)利用坐標公式，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 cos θ＝. (3)三角函數(shù)法，可以把這兩個向量的夾角放在三角形中；利用正余弦定理、三角形的面積公式等求解． 2．(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值； (2)已知三個向量a、b、c兩兩所夾的角都為120°，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c與向量a的夾角． 解：(1)∵β＝(2,0)， ∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)， ∴α