2019年高考數(shù)學復習大二輪精準提分練習第二篇 第16練

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1、 第16練　計數(shù)原理[小題提速練] [明晰考情]　1.命題角度：考查兩個計數(shù)原理的簡單應用；二項式定理主要考查特定項和系數(shù).2.題目難度：中低檔難度. 考點一　兩個計數(shù)原理 要點重組　(1)分類加法計數(shù)原理中分類方法中的每一種方法都能完成這件事情，類與類之間是獨立的. (2)分步乘法計數(shù)原理中每步中的某一方法只能完成這件事的一部分，步與步之間是相關聯(lián)的. 1.在100，101，102，…，999這些數(shù)中，各位數(shù)字按嚴格遞增(如“145”)或嚴格遞減(如“321”)順序排列的數(shù)的個數(shù)是(　　) A.120 B.204 C.168 D.216 答案　B 解析　由題意知本

2、題是一個計數(shù)原理的應用，首先對數(shù)字分類，當數(shù)字不含0時，從9個數(shù)字中選三個，則這三個數(shù)字遞增或遞減的順序可以確定兩個三位數(shù)，共有2C＝168(個)，當三個數(shù)字中含有0時，從9個數(shù)字中選2個數(shù)，它們只有遞減一種結果，共有C＝36(個)， 根據(jù)分類加法計數(shù)原理知共有168＋36＝204(個)，故選B. 2.如圖，正五邊形ABCDE中，若把頂點A，B，C，D，E染上紅、黃、綠三種顏色中的一種，使得相鄰頂點所染顏色不相同，則不同的染色方法共有(　　) A.30種 B.27種　C.24種 D.21種 答案　A 解析　由題意知本題需要分類來解答， 首先A選取一種顏色，有3種情況. 如

3、果A的兩個相鄰點顏色相同，有2種情況； 這時最后兩個點也有2種情況； 如果A的兩個相鄰點顏色不同，有2種情況； 這時最后兩個點有3種情況. 所以共有3×(2×2＋2×3)＝30(種)方法. 3.三條邊長都是整數(shù)，且最大邊長為11的三角形的個數(shù)為________. 答案　36 解析　設兩條較短邊長為x，y，不妨設1≤x≤y≤11，且x＋y≥12.對y進行分類： 當y＝11時，x可以取1到11的11個正整數(shù)；當y＝10時，x可以取2到10的9個正整數(shù)； 當y＝9時，x可以取3到9的7個正整數(shù)；……；當y＝6時，x可以取6這1個正整數(shù)；y≤5時不可能. 所以三角形的個數(shù)為11＋9

4、＋7＋5＋3＋1＝36. 4.將甲、乙、丙、丁四名學生分到兩個不同的班，每個班至少分到一名學生，且甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同的分法種數(shù)為________.(用數(shù)字作答) 答案　8 解析　甲、乙兩名學生不能分到同一個班，則不同的分組方式有三類： ①甲單獨一組，有1種分法； ②甲和丙或甲和丁兩名學生一組，有2種分法； ③甲、丙、丁三名學生一組，有1種分法. 然后把這兩組分到兩個不同的班級里，則不同的分法種數(shù)為(1＋2＋1)A＝8. 考點二　排列組合的應用 方法技巧　(1)解排列組合問題的三大原則：先特殊后一般，先取后排，先分類后分步. (2)排列組合問題的常用解法

5、 ①特殊元素(特殊位置)優(yōu)先安排法； ②相鄰問題捆綁法； ③不相鄰問題插空法； ④定序問題縮倍法. 5.3名醫(yī)生和6名護士被分配到3所學校為學生體檢，每所學校分配1名醫(yī)生和2名護士，則不同的分配方法共有(　　) A.90種 B.180種 C.270種 D.540種 答案　D 解析　不同的分配方法共有CCCC＝540(種)，故選D. 6.張、王兩家夫婦各帶一個小孩一起到動物園游玩，購票后排隊依次入園.為安全起見，首尾一定要排兩位爸爸，另外，兩個小孩一定要排在一起，則這六人的入園順序排法種數(shù)為(　　) A.12 B.24 C.36 D.48 答案　B 解析　將

6、兩位爸爸排在兩端，有2種排法；將兩個小孩視作一人與兩位媽媽任意排在中間的三個位置上，有2A種排法，故總的排法有2×2×A＝24(種). 7.(2018·張掖三診)《紅海行動》是一部現(xiàn)代海軍題材影片，該片講述了中國海軍“蛟龍突擊隊”奉命執(zhí)行撤僑任務的故事.撤僑過程中，海軍艦長要求隊員們依次完成六項任務，并對任務的順序提出了如下要求：重點任務A必須排在前三位，且任務E，F(xiàn)必須排在一起，則這六項任務的不同安排方案共有(　　) A.240種 B.188種　C.156種 D.120種 答案　D 解析　當E，F(xiàn)排在前三位時有(AA)·A＝24(種)方法；當E，F(xiàn)排在后三位時，有(ACA)·A＝

7、72(種)方法；當E，F(xiàn)排3，4位時有(CA)·AA＝24(種)方法， ∴共有24＋72＋24＝120(種)方案. 8.為促進城鄉(xiāng)一體化進程，某單位選取了6戶家庭到4個村莊體驗農(nóng)村生活，要求將6戶家庭分成4組，其中2組各有2戶家庭，另外2組各有1戶家庭，則不同的分配方案的種數(shù)是(　　) A.216 B.420　C.720 D.1 080 答案　D 解析　先分組，每組含有2戶家庭的有2組，則有種分組方法，剩下的2戶家庭可以直接看成2組，然后將分成的4組進行全排列，故有×A＝1 080(種). 考點三　二項式定理的應用 方法技巧　(1)求二項展開式的特定項的實質是通項公式Tk＋1

8、＝Can－kbk的應用，可通過確定k的值再代入求解. (2)二項展開式各項系數(shù)和可利用賦值法解決. (3)求二項展開式系數(shù)最大的項，一般采用不等式組法：設展開式各項系數(shù)分別為A1，A2，…，An＋1，則最大的系數(shù)Ak滿足 9.(2018·全國Ⅲ)5的展開式中x4的系數(shù)為(　　) A.10 B.20 C.40 D.80 答案　C 解析　5的展開式的通項公式為Tk＋1＝C·(x2)5－k·k＝C·2k·x10－3k， 令10－3k＝4，得k＝2. 故展開式中x4的系數(shù)為C·22＝40. 10.使n(n∈N*)的展開式中含有常數(shù)項的最小的n為(　　) A.4 B.5 C

9、.6 D.7 答案　B 解析　Tk＋1＝C(3x)n－kk＝C3n－k，當Tk＋1是常數(shù)項時，n－k＝0，當k＝2，n＝5時滿足題意. 11.已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，則a8等于(　　) A.－5 B.5 C.90 D.180 答案　D 解析　∵(1＋x)10＝[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10， ∴a8＝C·22·(－1)8＝180. 12.(2018·益陽調(diào)研)(1＋x2)6的展開式中項的系數(shù)為(　　) A.－12 B.12 C.－172 D

10、.172 答案　C 解析　因為6的通項公式為C6－k(－1)k＝26－kC(－1)kxk－6.故展開式中項的系數(shù)為2C(－1)5＋23C(－1)3＝－172.故選C. 1.在航天員進行的一項太空實驗中，要先后實施6個程序，其中程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，程序B和C在實施時必須相鄰，則在該實驗中程序順序的編排方法共有(　　) A.34種 B.48種 C.96種 D.144種 答案　C 解析　由題意知，程序A只能出現(xiàn)在第一步或最后一步，所以有A＝2(種)結果.因為程序B和C在實施時必須相鄰，所以把B和C看作一個元素，有AA＝48(種)結果，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，

11、共有2×48＝96(種)結果，故選C. 2.某公司有五個不同的部門，現(xiàn)有4名在校大學生來該公司實習，要求安排到該公司的兩個部門，且每部門安排兩名，則不同的安排方案種數(shù)為(　　) A.60 B.40 C.120 D.240 答案　A 解析　由題意得，先將4名大學生平均分為兩組，共有＝3(種)不同的分法. 再將兩組安排在其中的兩個部門，共有3×A＝60(種)不同的安排方法，故選A. 3.若(1＋y3)n (n∈N*)的展開式中存在常數(shù)項，則常數(shù)項為________. 答案?。?4 解析　n展開式的通項為Cxn－kk＝C(－1)kxn－3ky－k， (1＋y3)n展開式的

12、通項為C(－1)kxn－3ky－k和y3C(－1)kxn－3ky－k＝C(－1)kxn－3ky3－k， 若存在常數(shù)項 則有(舍)或解得k＝3，n＝9， 常數(shù)項為C(－1)3＝－84. 解題秘籍　(1)解有限制條件的排列組合問題，要按照元素(或位置)的性質進行分類，按事件發(fā)生的順序進行分步. (2)平均分組問題中，平均分成的組，不管它們的順序如何，都是一種情況. (3)求各項系數(shù)和要根據(jù)式子整體結構，靈活賦值；對復雜的展開式的指定項，可利用轉化思想，通過二項展開式的通項解決. 1.(2017·全國Ⅱ)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排

13、方式共有(　　) A.12種 B.18種　C.24種 D.36種 答案　D 解析　由題意可得，其中1人必須完成2項工作，其他2人各完成1項工作，可得安排方式為C·C·A＝36(種)，或列式為C·C·C＝3××2＝36(種).故選D. 2.(2018·長沙雅禮中學等聯(lián)考)某大型花展期間，安排6位志愿者到4個展區(qū)提供服務，要求甲、乙兩個展區(qū)各安排一個人，剩下兩個展區(qū)各安排兩個人，其中的小李和小王不在一起，則不同的安排方案共有(　　) A.168種 B.156種　C.172種 D.180種 答案　B 解析　小李和小王分別去甲、乙展區(qū)有ACC＝12(種)方案； 小王、小李中有一

14、人去甲、乙展區(qū)，有CCCCC＝96(種)方案； 小王、小李都不去甲、乙展區(qū)，有AA＝48(種)方案， ∴共有12＋96＋48＝156(種)方案. 3.將18個參加青少年科技創(chuàng)新大賽的名額分配給3所學校，要求每所學校至少有1個名額且各校分配的名額互不相等，則不同的分配方法種數(shù)為(　　) A.96 B.114 C.128 D.136 答案　B 解析　由題意可得每所學校至少有1個名額的分配方法種數(shù)為C＝136，分配名額相等有22種(可以逐個數(shù))，則滿足題意的方法有136－22＝114(種). 4.(2017·全國Ⅰ)(1＋x)6的展開式中x2的系數(shù)為(　　) A.15 B

15、.20 C.30 D.35 答案　C 解析　因為(1＋x)6的通項為Cxk， 所以(1＋x)6的展開式中含x2的項為1·Cx2和·Cx4. 因為C＋C＝2C＝2×＝30， 所以(1＋x)6的展開式中x2的系數(shù)為30. 故選C. 5.(2018·莆田期末)從5位男實習教師和4位女實習教師中選出3位教師派到3個班實習班主任工作，每班派一名，要求這3位實習教師中男女都要有，則不同的選派方案共有(　　) A.210種 B.420種 C.630種 D.840種 答案　B 解析　(用間接法)從9人中選3人到3個班實習班主任工作共A種結果，其中均為男教師的有A種，均為女教師

16、的有A種. ∴滿足條件的方案有A－A－A＝420(種). 6.已知(1＋ax)(1＋x)5的展開式中x2的系數(shù)為5，則a等于(　　) A.－4 B.－3 C.－2 D.－1 答案　D 解析　因為(1＋x)5的二項展開式的通項為Cxk(0≤k≤5，k∈Z)，則含x2的項為Cx2＋ax·Cx＝(10＋5a)x2，所以10＋5a＝5，a＝－1. 7.(2x－1)10＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9＋a10x10，則a2＋a3＋…＋a9＋a10的值為(　　) A.－20 B.0 C.1 D.20 答案　D 解析　令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a9＋a10＝1

17、， 再令x＝0，得a0＝1，所以a1＋a2＋…＋a9＋a10＝0， 又因為a1＝C×21×(－1)9＝－20， 所以a2＋a3＋…＋a9＋a10＝20. 8.登山運動員10人，平均分為兩組，其中熟悉道路的有4人，每組都需要2人，那么不同的分配方法種數(shù)是(　　) A.30 B.60 C.120 D.240 答案　B 解析　先將4個熟悉道路的人平均分成兩組，有種，再將余下的6人平均分成兩組，有種，然后這四個組自由搭配還有A種，故最終分配方法有＝60(種). 9.(2018·浙江)從1，3，5，7，9中任取2個數(shù)字，從0，2，4，6中任取2個數(shù)字，一共可以組成________個

18、沒有重復數(shù)字的四位數(shù).(用數(shù)字作答) 答案　1 260 解析　不含有0的四位數(shù)有C×C×A＝720(個). 含有0的四位數(shù)有C×C×C×A＝540(個). 綜上，四位數(shù)的個數(shù)為720＋540＝1 260. 10.(2018·浙江)二項式8的展開式的常數(shù)項是________. 答案　7 解析　由題意，得Tk＋1＝C·()8－k·k ＝C·k··x－k＝C·k·. 令＝0，得k＝2. 因此T3＝C×2＝×＝7. 11.設m為正整數(shù)，(x＋y)2m展開式的二項式系數(shù)的最大值為a，(x＋y)2m＋1展開式的二項式系數(shù)的最大值為b.若13a＝7b，則m＝________. 答案　

19、6 解析　由題意可知，a＝C，b＝C， 又∵13a＝7b，∴13·＝7·， 即＝，解得m＝6. 12.公安部新修訂的《機動車登記規(guī)定》正式實施后，小型汽車的號牌已經(jīng)可以采用“自主編排”的方式進行編排.某人欲選由A，B，C，D，E中的兩個不同的字母和1，2，3，4，5中的三個不同數(shù)字(三個數(shù)字都相鄰)組成一個號牌，則他選擇號牌的方法種數(shù)為________. 答案　3 600 解析　三個數(shù)字相鄰，則共有A種情況，在A，B，C，D，E中選兩個不同的字母，共有A種不同的情況，這兩個字母形成三個空，將數(shù)字整體插空，共C種情況，綜上所述，此人選擇號牌的方法種數(shù)為AAC＝60×20×3＝3 600.