高考數(shù)學(xué)專(zhuān)題復(fù)習(xí)練習(xí)第8講二項(xiàng)分布與正態(tài)分布

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1、 第8講 二項(xiàng)分布與正態(tài)分布 一、選擇題 1．甲、乙兩地都位于長(zhǎng)江下游，根據(jù)天氣預(yù)報(bào)的紀(jì)錄知，一年中下雨天甲市占20%，乙市占18%，兩市同時(shí)下雨占12%.則甲市為雨天，乙市也為雨天的概率為(　　) A．0.6 B．0.7 C．0.8 D．0.66 解析 甲市為雨天記為事件A，乙市為雨天記為事件B，則P(A)＝0.2，P(B)＝0.18， P(AB)＝0.12， ∴P(B|A)＝＝＝0.6. 答案 A 2． 投擲一枚均勻硬幣和一枚均勻骰子各一次，記“硬幣正面向上”為

2、事件A，“骰子向上的點(diǎn)數(shù)是3”為事件B，則事件A，B中至少有一件發(fā)生的概率是(　　) A. B. C. D. 解析 本題涉及古典概型概率的計(jì)算．本知識(shí)點(diǎn)在考綱中為B級(jí)要求．由題意得P(A)＝，P(B)＝，則事件A，B至少有一件發(fā)生的概率是1－P()·P()＝1－×＝. 答案 C 3．在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，隨機(jī)事件A恰好發(fā)生1次的概率不大于其恰好發(fā)生兩次的概率，則事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率p的取值范圍是 (　　)． A．[0.4,1] B．(0,0.4] C．(0,0.6]

3、 D．[0.6,1] 解析　設(shè)事件A發(fā)生的概率為p，則Cp(1－p)3≤Cp2(1－p)2，解得p≥0.4，故選A. 答案　A 4．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(2,9)，若P(X>c＋1)＝P(X

4、0，σ＝ ∴P(X＜1或x＞1)＝1－P(－1≤x≤1)＝1－P(μ－3σ≤X≤μ＋3σ)＝1－0.997 4＝0.002 6. 答案　D 6．已知三個(gè)正態(tài)分布密度函數(shù)φi(x)＝·e－(x∈R，i＝1,2,3)的圖象如圖所示，則 (　　)． A．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＞σ3 B．μ1＞μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 C．μ1＝μ2＜μ3，σ1＜σ2＝σ3 D．μ1＜μ2＝μ3，σ1＝σ2＜σ3 解析　正態(tài)分布密度函數(shù)φ2(x)和φ3(x)的圖象都是關(guān)于同一條直線對(duì)稱(chēng)，所以其平均數(shù)相同，故μ2＝μ3，又φ2(x)的對(duì)稱(chēng)軸的橫坐標(biāo)值比φ1(x)的對(duì)稱(chēng)軸的橫坐標(biāo)值大，故有μ1

5、＜μ2＝μ3.又σ越大，曲線越“矮胖”，σ越小，曲線越“瘦高”，由圖象可知，正態(tài)分布密度函數(shù)φ1(x)和φ2(x)的圖象一樣“瘦高”，φ3(x)明顯“矮胖”，從而可知σ1＝σ2＜σ3. 答案　D 二、填空題 7．三支球隊(duì)中，甲隊(duì)勝乙隊(duì)的概率為0.4，乙隊(duì)勝丙隊(duì)的概率為0.5，丙隊(duì)勝甲隊(duì)的概率為0.6，比賽順序是：第一局是甲隊(duì)對(duì)乙隊(duì)，第二局是第一局的勝者對(duì)丙隊(duì)，第三局是第二局勝者對(duì)第一局的敗者，第四局是第三局勝者對(duì)第二局?jǐn)≌撸瑒t乙隊(duì)連勝四局的概率為_(kāi)_______． 解析 設(shè)乙隊(duì)連勝四局為事件A，有下列情況：第一局中乙勝甲(A1)，其概率為1－0.4＝0.6；第二局中乙勝丙(A2)，其概

6、率為0.5；第三局中乙勝甲(A3)，其概率為0.6；第四局中乙勝丙(A4)，其概率為0.50，因各局比賽中的事件相互獨(dú)立，故乙隊(duì)連勝四局的概率為：P(A)＝P(A1A2A3A4)＝0.62×0.52＝0.09. 答案 0.09　 8．設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1)，如果P(X≤1)＝0.8413，則P(－11)＝1－P(X≤1)＝1－0.841 3＝0.158 7. ∵X～N(0,1)，∴μ＝0. ∴P(X<－1)＝P(X>1)＝0.158 7， ∴P(－1

7、X>1)＝0.682 6. ∴P(－1

8、4. 答案　0.954 4 三、解答題 11．設(shè)在一次數(shù)學(xué)考試中，某班學(xué)生的分?jǐn)?shù)X～N(110,202)，且知試卷滿分150分，這個(gè)班的學(xué)生共54人，求這個(gè)班在這次數(shù)學(xué)考試中及格(即90分以上)的人數(shù)和130分以上的人數(shù)． 解　由題意得μ＝110，σ＝20，P(X≥90)＝P(X－110≥－20)＝P(X－μ≥－σ)， ∵P(X－μ<－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ) ＝2P(X－μ<－σ)＋0.682 6＝1， ∴P(X－μ<－σ)＝0.158 7， ∴P(X≥90)＝1－P(X－μ<－σ)＝1－0.158 7＝0.841 3. ∴54×0.841 3≈45(

9、人)，即及格人數(shù)約為45人． ∵P(X≥130)＝P(X－110≥20)＝P(X－μ≥σ)， ∴P(X－μ≤－σ)＋P(－σ≤X－μ≤σ)＋P(X－μ>σ) ＝0.682 6＋2P(X－μ≥σ)＝1， ∴P(X－μ≥σ)＝0.158 7.∴54×0.158 7≈9(人)， 即130分以上的人數(shù)約為9人． 12．在某市組織的一次數(shù)學(xué)競(jìng)賽中全體參賽學(xué)生的成績(jī)近似服從正態(tài)分布N(60,100)，已知成績(jī)?cè)?0分以上的學(xué)生有13人． (1)求此次參加競(jìng)賽的學(xué)生總數(shù)共有多少人？ (2)若計(jì)劃獎(jiǎng)勵(lì)競(jìng)賽成績(jī)排在前228名的學(xué)生，問(wèn)受獎(jiǎng)學(xué)生的分?jǐn)?shù)線是多少？ 解　設(shè)學(xué)生的得分情況為隨機(jī)變量X，

10、X～N(60,100)． 則μ＝60，σ＝10. (1)P(30＜X≤90)＝P(60－3×10＜X≤60＋3×10)＝0.997 4. ∴P(X＞90)＝[1－P(30＜X≤90)]＝0.001 3 ∴學(xué)生總數(shù)為：＝10 000(人)． (2)成績(jī)排在前228名的學(xué)生數(shù)占總數(shù)的0.022 8. 設(shè)分?jǐn)?shù)線為x. 則P(X≥x0)＝0.022 8. ∴P(120－x0＜x＜x0)＝1－2×0.022 8＝0.954 4. 又知P(60－2×10＜x＜60＋2×10)＝0.954 4. ∴x0＝60＋2×10＝80(分)． 13．某超市為了解顧客的購(gòu)物量及結(jié)算時(shí)間等信息，安排

11、一名員工隨機(jī)收集了在該超市購(gòu)物的100位顧客的相關(guān)數(shù)據(jù)，如下表所示. 一次購(gòu)物量 1至4件 5至8件 9至12件 13至16件 17件及以上 顧客數(shù)(人) x 30 25 y 10 結(jié)算時(shí)間(分鐘/人) 1 1.5 2 2.5 3 已知這100位顧客中一次購(gòu)物量超過(guò)8件的顧客占55 %. (1)確定x，y的值，并求顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間X的分布列與數(shù)學(xué)期望； (2)若某顧客到達(dá)收銀臺(tái)時(shí)前面恰有2位顧客需結(jié)算，且各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，求該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘的概率．(注：將頻率視為概率) 解　(1)由已知得25＋y＋10＝55，x＋30

12、＝45，所以x＝15，y＝20.該超市所有顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間組成一個(gè)總體，所收集的100位顧客一次購(gòu)物的結(jié)算時(shí)間可視為總體的一個(gè)容量為100的簡(jiǎn)單隨機(jī)樣本，將頻率視為概率得 P(X＝1)＝＝，P(X＝1.5)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝2.5)＝＝，P(X＝3)＝＝. X的分布列為 X 1 1.5 2 2.5 3 P X的數(shù)學(xué)期望為 E(X)＝1×＋1.5×＋2×＋2.5×＋3×＝1.9. (2)記A為事件“該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘”，Xi(i＝1,2)為該顧客前面第i位顧客的結(jié)算時(shí)間，則 P(A)＝P(X1＝1且X2＝1)＋

13、P(X1＝1且X2＝1.5)＋P(X1＝1.5且X2＝1)． 由于各顧客的結(jié)算相互獨(dú)立，且X1，X2的分布列都與X的分布列相同，所以 P(A)＝P(X1＝1)×P(X2＝1)＋P(X1＝1)×P(X2＝1.5)＋P(X1＝1.5)×P(X2＝1) ＝×＋×＋×＝. 故該顧客結(jié)算前的等候時(shí)間不超過(guò)2.5分鐘的概率為. 14．現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)靶，某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒(méi)有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒(méi)有命中得0分．該射手每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立．假設(shè)該射手完成以上三次射擊． (1)求該射手恰好命中一次的概率； (2)求該射手的

14、總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)． 解　(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D. 由題意，知P(B)＝，P(C)＝P(D)＝， 由于A＝B ＋C＋ D， 根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性，得 P(A)＝P(B ＋C＋ D) ＝P(B )＋P(C)＋P( D) ＝P(B)P()P()＋P()P(C)P()＋P()P()P(D) ＝××＋××＋×× ＝. (2)根據(jù)題意，知X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5.根據(jù)事件的獨(dú)立性和互斥性，得 P(X＝0)＝P( ) ＝[1－P(B)][1－P(C)][1－P(D)] ＝××＝； P(X＝1)＝P(B )＝P(B)P()P() ＝××＝； P(X＝2)＝P( C＋ D)＝P( C)＋P( D) ＝××＋××＝； P(X＝3)＝P(BC＋BD)＝P(BC)＋P(BD) ＝××＋××＝； P(X＝4)＝P(CD)＝××＝， P(X＝5)＝P(BCD)＝××＝. 故X的分布列為 X 0 1 2 3 4 5 P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＋5×＝.