精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第二章 5 第二課時 離散型隨機(jī)變量的方差 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料第二課時離散型隨機(jī)變量的方差 求隨機(jī)變量的方差例1已知隨機(jī)變量X的分布列為X01xPp若EX，求DX的值思路點撥解答本題可先根據(jù)i1求出p的值，然后借助EX求出x的取值，最后代入相應(yīng)的公式求方差精解詳析由p1，得p.又EX01x，x2.DX222.一點通求離散型隨機(jī)變量的方差的方法：(1)根據(jù)題目條件先求分布列(2)由分布列求出均值，再由方差公式求方差，若分布列中的概率值是待定常數(shù)時，應(yīng)先由分布列的性質(zhì)求出待定常數(shù)再求方差1(浙江高考)隨機(jī)變量的取值為0,1,2.若P(0)，E()1，則D()_.解析：由題意設(shè)P(1)p，的分布列如下012Ppp由E()1，可得p，所以D(

2、)120212.答案：2已知隨機(jī)變量X的分布列為X01234P0.20.20.30.20.1試求DX和D(2X1)解：EX00.210.220.330.240.11.8.所以DX(01.8)20.2(11.8)20.2(21.8)20.3(31.8)20.2(41.8)20.11.56.2X1的分布列為2X111357P0.20.20.30.20.1所以E(2X1)2EX12.6.所以D(2X1)(12.6)20.2(12.6)20.2(32.6)20.3(52.6)20.2(72.6)20.16.24.求實際問題的均值和方差例2在一個不透明的紙袋里裝有5個大小相同的小球，其中有1個紅球和4個

3、黃球，規(guī)定每次從袋中任意摸出一球，若摸出的是黃球則不再放回，直到摸出紅球為止，求摸球次數(shù)X的均值和方差思路點撥 精解詳析X可能取值為1,2,3,4,5.P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4)，P(X5)1.X的分布列為X12345P0.20.20.20.20.2由定義知，EX0.2(12345)3.DX0.2(2212021222)2.一點通(1)求離散型隨機(jī)變量X的均值和方差的基本步驟：理解X的意義，寫出X可能取的全部值；求X取每個值時的概率；寫X的分布列；求EX，DX.(2)若隨機(jī)變量X服從二項分布，即XB(n，p)，則EXnp，DXnp(1p)3一批產(chǎn)品中次品率為，現(xiàn)在連續(xù)抽查4

4、次，用X表示次品數(shù)，則DX等于()A.B.C. D.解析：XB，DXnp(1p)4.答案：C4袋中有20個大小相同的球，其中記上0號的有10個，記上n號的有n個(n1,2,3,4)現(xiàn)從袋中任取一球，X表示所取球的標(biāo)號求X的分布列，均值和方差解：由題意，得X的所有可能取值為0,1,2,3,4，所以P(X0)，P(X1)，P(X2)，P(X3)，P(X4).故X的分布列為X01234P所以EX012341.5.DX(01.5)2(11.5)2(21.5)2(31.5)2(41.5)22.75.隨機(jī)變量的均值和方差的實際應(yīng)用例3(10分)甲，乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相同，所得次

5、品數(shù)分別為X，Y，X和Y的分布列如下表試對這兩名工人的技術(shù)水平進(jìn)行比較X012PY012P思路點撥解本題的關(guān)鍵是，一要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即數(shù)學(xué)期望，二要看出次品數(shù)的波動情況，即方差值的大小根據(jù)數(shù)學(xué)期望與方差值判斷兩名工人的技術(shù)水平情況精解詳析工人甲生產(chǎn)出次品數(shù)X的數(shù)學(xué)期望和方差分別為EX0120.7，DX(00.7)2(10.7)2(20.7)20.81.(4分)工人乙生產(chǎn)出次品數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望和方差分別為EY0120.7，DY(00.7)2(10.7)2(20.7)20.61.(4分)由EXEY知，兩人出次品的平均數(shù)相同，技術(shù)水平相當(dāng)，但DXDY，可見乙的技

6、術(shù)比較穩(wěn)定(10分)一點通均值僅體現(xiàn)了隨機(jī)變量取值的平均大小，如果兩個隨機(jī)變量的均值相等，還要看隨機(jī)變量的方差，方差大說明隨機(jī)變量取值較分散，方差小，說明取值比較集中因此，在利用均值和方差的意義去分析解決問題時，兩者都要分析5甲、乙兩名射手在一次射擊中得分為兩個相互獨立的隨機(jī)變量X和Y，且X，Y的分布列為Y123P0.3b0.3X123Pa0.10.6求：(1)a，b的值；(2)計算X，Y的數(shù)學(xué)期望與方差，并以此分析甲、乙的技術(shù)狀況解：(1)由離散型隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)可知a0.10.61，a0.3.同理0.3b0.31，b0.4.(2)EX10.320.130.62.3，EY10.320.

7、430.32，DX(12.3)20.3(22.3)20.1(32.3)20.60.81，DY(12)20.3(22)20.4(32)20.30.6.由于EXEY，說明在一次射擊中，甲的平均得分比乙高，但DXDY，說明甲得分的穩(wěn)定性不如乙，因此甲、乙兩人技術(shù)水平都不夠全面，各有優(yōu)勢和劣勢6最近，李師傅一家三口就如何將手中的10萬塊錢投資理財，提出了三種方案：第一種方案：李師傅的兒子認(rèn)為：根據(jù)股市收益大的特點，應(yīng)該將10萬塊錢全部用來買股票據(jù)分析預(yù)測：投資股市一年可能獲利40%，也可能虧損20%(只有這兩種可能)，且獲利與虧損的概率均為.第二種方案：李師傅認(rèn)為：現(xiàn)在股市風(fēng)險大，基金風(fēng)險較小，應(yīng)將1

8、0萬塊錢全部用來買基金據(jù)分析預(yù)測：投資基金一年后可能獲利20%，也可能損失10%，還可能不賠不賺，且這三種情況發(fā)生的概率分別為，.第三種方案：李師傅妻子認(rèn)為：投入股市、基金均有風(fēng)險，應(yīng)該將10萬塊錢全部存入銀行一年，現(xiàn)在存款年利率為4%，存款利息稅率為5%.針對以上三種投資方案，請你為李師傅家選擇一種合理的理財方法，并說明理由解：若按方案一執(zhí)行，設(shè)收益為X萬元，則其分布列為X42PEX4(2)1(萬元)若按方案二執(zhí)行，設(shè)收益為Y萬元，則其分布列為Y201PEY20(1)1(萬元)若按方案三執(zhí)行，收益z104%(15%)0.38(萬元)，EXEY z.又DX(41)2(21)29.DY(21)2

9、(01)2(11)2.由上知DXDY，說明雖然方案一、二收益相等，但方案二更穩(wěn)妥建議李師傅家選擇方案二投資較為合理1隨機(jī)變量的方差反映了隨機(jī)變量的取值偏離于均值的平均程度方差越小，則隨機(jī)變量的取值越集中在其均值周圍；反之，方差越大，則隨機(jī)變量的取值就越分散2隨機(jī)變量的方差與樣本方差的區(qū)別：樣本方差是隨著樣本的不同而變化的，因此，它是一個變量，而隨機(jī)變量的方差是一個常量 1從學(xué)校乘汽車到火車站的途中有3個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨立的，并且概率都是，設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)，則隨機(jī)變量X的方差為()A.B.C. D.解析：由XB，DX3.答案：B2已知隨機(jī)變量X的分布列為：P

10、(Xk)(k1,2,3)，則D(3X5)()A6 B9C3 D4解析：EX(123)2，Y3X5可能取值為8,11,14，其概率均為，EY8111411.DYD(3X5)(811)2(1111)2(1114)26.答案：A3拋擲一枚硬幣，規(guī)定正面向上得1分，反面向上得1分，則得分X的均值與方差分別為()AEX0，DX1BEX，DXCEX0，DXDEX，DX1解析：EX10.5(1)0.50，DX(10)20.5(10)20.51.答案：A4若隨機(jī)變量X的分布列為P(X0)a，P(X1)b.若EX，則DX等于()A. B.C. D.解析：由題意，得a，b.DX22.答案：D5從1,2,3,4,5

11、這5個數(shù)字中任取不同的兩個，則這兩個數(shù)乘積的數(shù)學(xué)期望是_解析：從1,2,3,4,5中任取不同的兩個數(shù)，其乘積X的值為2,3,4,5,6,8,10,12,15,20，取每個值的概率都是，EX(23456810121520)8.5.答案：8.56變量X的分布列如下：Xk101P(Xk)abc其中a，b，c成等差數(shù)列，若EX，則DX的值為_解析：由a，b，c成等差數(shù)列可知2bac.又abc3b1，b，ac.又EXac，a，c.DX222.答案：7(全國新課標(biāo)改編)某花店每天以每枝5元的價格從農(nóng)場購進(jìn)若干枝玫瑰花，然后以每枝10元的價格出售，如果當(dāng)天賣不完，剩下的玫瑰花作垃圾處理(1)若花店一天購進(jìn)1

12、6枝玫瑰花，求當(dāng)天的利潤y(單位：元)關(guān)于當(dāng)天需求量n(單位：枝，nN)的函數(shù)解析式；(2)花店記錄了100天玫瑰花的日需求量(單位：枝)，整理得下表：日需求量n14151617181920頻數(shù)10201616151310以100天記錄的各需求量的頻率作為各需求量發(fā)生的概率若花店一天購進(jìn)16枝玫瑰花，X表示當(dāng)天的利潤(單位：元)，求X的分布列、數(shù)學(xué)期望及方差解：(1)當(dāng)日需求量n16時，利潤y80.當(dāng)日需求量n16時，利潤y10n80.所以y關(guān)于n的函數(shù)解析式為y(nN)(2)X可能的取值為60,70,80，并且P(X60)0.1，P(X70)0.2，P(X80)0.7.X的分布列為X6070

13、80P0.10.20.7X的數(shù)學(xué)期望為EX600.1700.2800.776.X的方差為DX(6076)20.1(7076)20.2(8076)20.744.8(浙江高考)設(shè)袋子中裝有a個紅球，b個黃球，c個藍(lán)球，且規(guī)定：取出一個紅球得1分，取出一個黃球得2分，取出一個藍(lán)球得3分(1)當(dāng)a3，b2，c1時，從該袋子中任取(有放回，且每球取到的機(jī)會均等)2個球，記隨機(jī)變量為取出此2球所得分?jǐn)?shù)之和，求的分布列；(2)從該袋子中任取(每球取到的機(jī)會均等)1個球，記隨機(jī)變量為取出此球所得分?jǐn)?shù)若E，D，求abc.解：(1)由題意得2,3,4,5,6.故P(2)，P(3)，P(4)，P(5)，P(6).所以的分布列為23456P(2)由題意知的分布列為123P所以E，D222.化簡得解得a3c，b2c，故abc321.