第6講 數(shù)列求和及綜合應(yīng)用

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1、第六講　數(shù)列求和及綜合應(yīng)用 真題試做?——————————————————— 1．(2011·高考江西卷)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn滿足：Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，那么a10＝(　　) A．1　　　　　　　　B．9 C．10 D．55 2．(2013·高考江西卷)某住宅小區(qū)計(jì)劃植樹不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植樹的棵數(shù)是前一天的2倍，則需要的最少天數(shù)n(n∈N*)等于________． 3．(2013·高考湖南卷)設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，已知a1≠0，2an－a1＝S1·Sn，n∈N*. (1)求a1，a2，并求數(shù)列{an}的

2、通項(xiàng)公式； (2)求數(shù)列{nan}的前n項(xiàng)和． 考情分析?——————————————————— 　　　數(shù)列求和問題是數(shù)列中的重要知識(shí)，在各地的高考試題中頻頻出現(xiàn)，對于等差數(shù)列、等比數(shù)列的求和主要是運(yùn)用公式；而非等差數(shù)列、非等比數(shù)列的求和問題，一般用倒序相加法、通項(xiàng)化歸法、錯(cuò)位相減法、裂項(xiàng)相消法、分組求和法等． 等差數(shù)列與等比數(shù)列、數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與概率、數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用等知識(shí)交匯點(diǎn)的綜合問題是近幾年高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，此類問題在客觀題和解答題中都有所體現(xiàn)，難度不一，求解此類問題的主要方法是利用轉(zhuǎn)化與化歸的思想，根據(jù)所學(xué)數(shù)列知識(shí)及題

3、目特征，構(gòu)造出解題所需的條件． 考點(diǎn)一　數(shù)列求和 數(shù)列的求和問題多從數(shù)列的通項(xiàng)入手，通過分組、錯(cuò)位相減等轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列的求和問題，考查等差、等比數(shù)列求和公式及轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用，屬中檔題． (2013·高考山東卷)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若數(shù)列{bn}滿足＋＋…＋＝1－，n∈N*，求{bn}的前n項(xiàng)和Tn. 【思路點(diǎn)撥】　(1)由于已知{an}是等差數(shù)列，因此可考慮用基本量a1，d表示已知等式，進(jìn)而求出{an}的通項(xiàng)公式． (2)先求出，進(jìn)而求出{bn}的通項(xiàng)公式，再

4、用錯(cuò)位相減法求{bn}的前n項(xiàng)和． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 強(qiáng)化訓(xùn)練1　(2013·深圳調(diào)研)設(shè){an}是公比大于1的等比數(shù)列，Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和．已知S3

5、＝7，且3a2是a1＋3和a3＋4的等差中項(xiàng)． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)bn＝，數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，求證：Tn<. 考點(diǎn)二　數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用 數(shù)列應(yīng)用題是近年來高考命題改革的一個(gè)亮點(diǎn)，主要考查學(xué)生數(shù)列建模能力，其題型為：一是，構(gòu)造等差數(shù)列或等比數(shù)列模型，然后用相應(yīng)的通項(xiàng)公式與求和公式求解；二是，通過歸納得到結(jié)論，再用數(shù)列知識(shí)求解． (2012·高考湖南卷)某公司一下屬企業(yè)從事某種高科技產(chǎn)品的生產(chǎn)，該企業(yè)第一年年初有資金2 000萬元，將其投入生產(chǎn)，到當(dāng)年年底資金增長了50%.預(yù)計(jì)以后每年資金年增長率與第一年的相同．公司

6、要求企業(yè)從第一年開始，每年年底上繳資金d萬元，并將剩余資金全部投入下一年生產(chǎn)．設(shè)第n年年底企業(yè)上繳資金后的剩余資金為an萬元． (1)用d表示a1，a2，并寫出an＋1與an的關(guān)系式； (2)若公司希望經(jīng)過m(m≥3)年使企業(yè)的剩余資金為4 000萬元，試確定企業(yè)每年上繳資金d的值(用m表示)． 【思路點(diǎn)撥】　(1)由第n年和第(n＋1)年的資金變化情況，得到an和an＋1的遞推關(guān)系．(2)由遞推關(guān)系，利用迭代的方法可求通項(xiàng)公式，問題得解． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

7、　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　解決數(shù)列實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是要做好三件事情：第一是努力讀懂題意，能用自己的語言把問題表述出來；第二是找出關(guān)鍵字句，其他的文字可以不管；第三是將實(shí)際生活化的語言翻譯成數(shù)學(xué)語言．在做好這三件事情的基礎(chǔ)上，經(jīng)過設(shè)元、列式，就不難實(shí)現(xiàn)這種數(shù)學(xué)模型的轉(zhuǎn)化． 強(qiáng)化訓(xùn)練2　某市投資甲、乙兩個(gè)工廠，2

8、012年兩工廠的年產(chǎn)量均為100萬噸，在今后的若干年內(nèi)，甲工廠的年產(chǎn)量每年比上一年增加10萬噸，乙工廠第n年比上一年增加2n－1萬噸．記2012年為第一年，甲、乙兩工廠第n年的年產(chǎn)量分別記為an，bn. (1)求數(shù)列{an}，{bn}的通項(xiàng)公式； (2)若某工廠年產(chǎn)量超過另一工廠年產(chǎn)量的2倍，則將另一工廠兼并，問到哪一年底其中一個(gè)工廠將被另一工廠兼并？ 考點(diǎn)三　數(shù)列的綜合問題 數(shù)列與其他知識(shí)的綜合問題在高考中大多屬于中、高檔難度問題．在復(fù)習(xí)這部分內(nèi)容時(shí)，要注意對基礎(chǔ)知識(shí)的梳理，把握通性通法，不必刻意追求難度．

9、 (2013·高考天津卷)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}不是遞減數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且S3＋a3，S5＋a5，S4＋a4成等差數(shù)列． (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)設(shè)Tn＝Sn－(n∈N*)，求數(shù)列{Tn}的最大項(xiàng)的值與最小項(xiàng)的值． 【思路點(diǎn)撥】　(1)利用等比數(shù)列的性質(zhì)結(jié)合已知條件求出公比q，進(jìn)而可得到通項(xiàng)公式；(2)結(jié)合數(shù)列的單調(diào)性求數(shù)列的最大項(xiàng)與最小項(xiàng)的值． 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

10、　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　數(shù)列的綜合性問題是高考的熱點(diǎn)，此類問題一般以數(shù)列與函數(shù)、數(shù)列與不等式、數(shù)列與解析幾何的綜合應(yīng)用為主．在該類問題

11、的求解過程中往往會(huì)遇到遞推數(shù)列，因此掌握遞推數(shù)列的常見解法有助于該類問題的解決，解題時(shí)要注意溝通數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想方法求解，而本題利用數(shù)列的單調(diào)性求{Tn}的最值． 強(qiáng)化訓(xùn)練3　設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，如果為常數(shù)，則稱數(shù)列{an}為“幸福數(shù)列”． (1)等差數(shù)列{bn}的首項(xiàng)為1，公差不為零，若{bn}為“幸福數(shù)列”，求{bn}的通項(xiàng)公式； (2)數(shù)列{cn}的各項(xiàng)都是正數(shù)，前n項(xiàng)和為Sn，若c＋c＋c＋…＋c＝S對任意n∈N*都成立，試推斷數(shù)列{cn}是否為“幸福數(shù)列”？并說明理由． 數(shù)列與三類

12、知識(shí)的交匯 數(shù)列與函數(shù)、不等式、解析幾何、平面幾何等知識(shí)的交匯問題是高考的難點(diǎn)，與函數(shù)、不等式的交匯問題主要考查利用函數(shù)與方程的思想方法解決數(shù)列中的問題及用解決不等式的方法研究數(shù)列的性質(zhì)；與解析幾何交匯，主要涉及點(diǎn)列問題，與平面幾何交匯，主要涉及面積(周長)問題，求解時(shí)應(yīng)建立數(shù)列的遞推關(guān)系或通項(xiàng)公式之間的關(guān)系，然后借助數(shù)列的知識(shí)加以解決． 一、數(shù)列和平面幾何的交匯 (2013·高考安徽卷) 如圖，互不相同的點(diǎn)A1，A2，…，An，…和B1，B2，…，Bn，…分別在角O的兩條邊上，所有AnBn相互平行，且所有梯形AnBnBn＋1An＋1的面積均相等，設(shè)OAn＝an.若a1＝1，a2＝

13、2，則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是________． 【解析】　設(shè)OAn＝x(n≥3)，OB1＝y(tǒng)，∠O＝θ， 記S△OA1B1＝×1×ysin θ＝S， 那么S△OA2B2＝×2×2ysin θ＝4S， S△OA3B3＝4S＋(4S－S)＝7S， … S△OAnBn＝x·xysin θ＝(3n－2)S， ∴＝＝， ∴＝，∴x＝. 即an＝(n≥3)． 經(jīng)驗(yàn)證知an＝(n∈N*)． 【答案】　an＝ 　對于數(shù)列與幾何圖形相結(jié)合的問題，通常利用幾何知識(shí)，并結(jié)合圖形，得出關(guān)于數(shù)列相鄰項(xiàng)an與an＋1之間的關(guān)系，然后根據(jù)遞推關(guān)系，結(jié)合所求內(nèi)容變形，得出通項(xiàng)公式或其他所求結(jié)論．

14、二、數(shù)列和函數(shù)的交匯 (2013·高考安徽卷)設(shè)數(shù)列{an}滿足a1＝2，a2＋a4＝8，且對任意n∈N*，函數(shù) f(x)＝(an－an＋1＋an＋2)x＋an＋1cos x－an＋2sin x滿足f′()＝0. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)若bn＝2(an＋)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Sn. 【解】　(1)由題設(shè)可得 f′(x)＝an－an＋1＋an＋2－an＋1sin x－an＋2cos x. 對任意n∈N*，f′()＝an－an＋1＋an＋2－an＋1＝0， 即an＋1－an＝an＋2－an＋1，故{an}為等差數(shù)列． 由a1＝2，a2＋a4＝8，可得數(shù)列{

15、an}的公差d＝1， 所以an＝2＋1·(n－1)＝n＋1. (2)由bn＝2(an＋)＝2(n＋1＋)＝2n＋＋2知， Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝2n＋2·＋ ＝n2＋3n＋1－. 　(1)本題以函數(shù)為載體考查了數(shù)列的基本問題，求解中利用f′()＝0，把函數(shù)知識(shí)轉(zhuǎn)化為數(shù)列知識(shí)，這種題型經(jīng)常見到． (2)數(shù)列與函數(shù)交匯問題的常見類型及解法： ①已知函數(shù)條件，解決數(shù)列問題，此類問題一般利用函數(shù)的性質(zhì)、圖象研究數(shù)列問題； ②已知數(shù)列條件，解決函數(shù)問題，解決此類問題一般要充分利用數(shù)列的范圍、分式、求和方法對式子化簡變形．另外，解題時(shí)要注意數(shù)列與函數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，靈活運(yùn)用函數(shù)的思想

16、方法求解． 三、數(shù)列與不等式的交匯 (2013·高考天津卷)已知首項(xiàng)為的等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn(n∈N*)，且－2S2，S3，4S4成等差數(shù)列. (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式； (2)證明Sn＋≤(n∈N*). 【解】　(1)設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q. 因?yàn)椋?S2，S3，4S4成等差數(shù)列， 所以S3＋2S2＝4S4－S3， 即S4－S3＝S2－S4，可得2a4＝－a3， 于是q＝＝－. 又因?yàn)閍1＝， 所以等比數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝·＝(－1)n－1·. (2)證明：Sn＝1－， Sn＋＝1－＋ ＝ 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn＋隨n的增大而

17、減小， 所以Sn＋≤S1＋＝. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn＋隨n的增大而減小， 所以Sn＋≤S2＋＝. 故對于n∈N*，有Sn＋≤. 　本題考查了數(shù)列不等式的證明，求解此類問題時(shí)應(yīng)根據(jù)題目特征，確定出與不等式有關(guān)的數(shù)列的項(xiàng)或前n項(xiàng)和，根據(jù)題目特征求解，求解時(shí)注意放縮法的應(yīng)用．而本題利用了數(shù)列的單調(diào)性求解. 體驗(yàn)真題·把脈考向_ 1．【解析】選A.∵Sn＋Sm＝Sn＋m，且a1＝1，∴S1＝1，可令m＝1，得Sn＋1＝Sn＋1，∴Sn＋1－Sn＝1，即當(dāng)n≥1時(shí)，an＋1＝1，∴a10＝1. 2．【解析】每天植樹的棵數(shù)構(gòu)成以2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和Sn＝＝＝2n＋1－2.

18、由2n＋1－2≥100，得2n＋1≥102.由于26＝64，27＝128.則n＋1≥7，即n≥6. 【答案】6 3．【解】(1)令n＝1，得2a1－a1＝a，即a1＝a. 因?yàn)閍1≠0，所以a1＝1. 令n＝2，得2a2－1＝S2＝1＋a2，解得a2＝2. 當(dāng)n≥2時(shí)，由2an－1＝Sn，2an－1－1＝Sn－1兩式相減，得2an－2an－1＝an，即an＝2an－1. 于是數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1，公比為2的等比數(shù)列． 因此，an＝2n－1. 所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. (2)由(1)知，nan＝n·2n－1. 記數(shù)列{n·2n－1}的前n項(xiàng)和為Bn，

19、于是Bn＝1＋2×2＋3×22＋…＋n×2n－1，① 2Bn＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n.② ①－②，得－Bn＝1＋2＋22＋…＋2n－1－n·2n ＝2n－1－n·2n.從而Bn＝1＋(n－1)·2n. _典例展示·解密高考_ 【例1】【解】(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d. 由S4＝4S2，a2n＝2an＋1，得 解得 因此an＝2n－1，n∈N*. (2)由已知＋＋…＋＝1－，n∈N*， 當(dāng)n＝1時(shí)，＝； 當(dāng)n≥2時(shí)，＝1－－(1－)＝. 所以＝，n∈N*. 由(1)知an＝2n－1，n∈N*， 所以bn＝，n∈N*. 所以T

20、n＝＋＋＋…＋， Tn＝＋＋…＋＋. 兩式相減，得 Tn＝＋(＋＋…＋)－ ＝－－， 所以Tn＝3－. [強(qiáng)化訓(xùn)練1]【解】(1)由已知，得 解得a2＝2. 設(shè)數(shù)列{an}的公比為q， 則a1q＝2， ∴a1＝，a3＝a1q2＝2q. 由S3＝7，可知＋2＋2q＝7， ∴2q2－5q＋2＝0， 解得q1＝2，q2＝. 由題意，得q>1，∴q＝2. ∴a1＝1. 故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n－1. (2)證明：∵bn＝ ＝＝－， ∴Tn＝(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－) ＝－＝－<. 【例2】【解】(1)由題意得a1＝2 000(1＋50%)－

21、d＝3 000－d， a2＝a1(1＋50%)－d＝a1－d＝4 500－d， an＋1＝an(1＋50%)－d＝an－d. (2)由(1)得an＝an－1－d＝－d ＝an－2－d－d＝… ＝a1－d. 整理得an＝(3 000－d)－2d ＝(3 000－3d)＋2d. 由題意，知am＝4 000， 即(3 000－3d)＋2d＝4 000， 解得d＝＝. 故該企業(yè)每年上繳資金d的值為時(shí)，經(jīng)過m(m≥3)年企業(yè)的剩余資金為4 000萬元． [強(qiáng)化訓(xùn)練2]【解】(1)因?yàn)閧an}是等差數(shù)列，a1＝100，d＝10， 所以an＝10n＋90. 因?yàn)閎n－bn－1＝2

22、n－1，bn－1－bn－2＝2n－2，…，b2－b1＝2， 所以bn＝100＋2＋22＋…＋2n－1＝2n＋98. (2)當(dāng)n≤5時(shí)，an≥bn且an<2bn. 當(dāng)n≥6時(shí)，an≤bn，所以甲工廠有可能被乙工廠兼并． 2an

23、項(xiàng)公式為 an＝×＝(－1)n－1·. (2)由(1)得Sn＝1－＝ 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，Sn隨n的增大而減小， 所以1Sn－≥S2－＝－＝－. 所以數(shù)列{Tn}最大項(xiàng)的值為，最小項(xiàng)的值為－. [強(qiáng)化訓(xùn)練3]【解】(1)設(shè)等差數(shù)列bn的公差為d(d≠0)，＝k，因?yàn)閎1＝1， 則n＋n(n－1)d＝k[2n＋·2n(2n－1)d]， 即2＋(n－1)d＝4k＋2k(2n－1)d， 整理得，(4k－1)dn＋(2k－1)(2－d)＝0， 因?yàn)閷θ我庹麛?shù)n上式

24、恒成立，則， 解得. 故數(shù)列bn的通項(xiàng)公式是bn＝2n－1. (2)由已知，當(dāng)n＝1時(shí)，c＝S＝c.因?yàn)閏1>0，所以c1＝1.當(dāng)n≥2時(shí)，c＋c＋c＋…＋c＝S，c＋c＋c＋…＋c＝S. 兩式相減，得c＝S－S＝(Sn－Sn－1)(Sn＋Sn－1)＝cn·(Sn＋Sn－1)． 因?yàn)閏n>0，所以c＝Sn＋Sn－1＝2Sn－cn， 顯然c1＝1適合上式，所以當(dāng)n≥2時(shí)，c＝2Sn－1－cn－1. 于是c－c＝2(Sn－Sn－1)－cn＋cn－1＝2cn－cn＋cn－1＝cn＋cn－1. 因?yàn)閏n＋cn－1>0，則cn－cn－1＝1， 所以數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列． 所以＝＝不為常數(shù)，故數(shù)列{cn}不是“幸福數(shù)列”