高中數(shù)學(xué) 第二講 講明不等式的基本方法 2.2 綜合法與分析法課件 新人教A版選修45

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1、二綜合法與分析法【自主預(yù)習(xí)自主預(yù)習(xí)】1.1.綜合法綜合法一般地一般地, ,從從_出發(fā)出發(fā), ,利用定義、公理、定理、利用定義、公理、定理、性質(zhì)等性質(zhì)等, ,經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立經(jīng)過一系列的推理、論證而得出命題成立, ,這這種證明方法叫做綜合法種證明方法叫做綜合法. .綜合法又叫順推證法或由因綜合法又叫順推證法或由因?qū)Ч▽?dǎo)果法. .已知條件已知條件2.2.分析法分析法證明命題時(shí)證明命題時(shí), ,從從_出發(fā)出發(fā), ,逐步尋求使它成立逐步尋求使它成立的的_,_,直至所需條件為直至所需條件為_(_(定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等定義、公理或已證明的定理、性質(zhì)等),),從從而得出要證的

2、命題成立而得出要證的命題成立, ,這種證明方法叫做分析法這種證明方法叫做分析法, ,這這是一種是一種_的思考和證明方法的思考和證明方法. .要證的結(jié)論要證的結(jié)論充分條件充分條件已知條件或一個(gè)明顯成已知條件或一個(gè)明顯成立的事實(shí)立的事實(shí)執(zhí)果索因執(zhí)果索因【即時(shí)小測(cè)【即時(shí)小測(cè)】1.1.關(guān)于綜合法和分析法說法錯(cuò)誤的是關(guān)于綜合法和分析法說法錯(cuò)誤的是( () )A.A.綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方綜合法和分析法是直接證明中最基本的兩種證明方法法B.B.綜合法又叫順推證法或由因?qū)ЧňC合法又叫順推證法或由因?qū)Ч–.C.分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法分析法又叫逆推證法或執(zhí)果索因法D.D.綜合法

3、和分析法都是因果分別互推的兩頭湊法綜合法和分析法都是因果分別互推的兩頭湊法【解析【解析】選選D.D.根據(jù)綜合法的定義可得根據(jù)綜合法的定義可得, ,綜合法是執(zhí)因?qū)ЬC合法是執(zhí)因?qū)Чü? ,是順推法是順推法; ;根據(jù)分析法的定義得根據(jù)分析法的定義得, ,分析法是執(zhí)果索分析法是執(zhí)果索因法因法, ,是逆推證法是逆推證法. .2.2.下列對(duì)命題下列對(duì)命題“函數(shù)函數(shù)f(xf(x)=x+ )=x+ 是奇函數(shù)是奇函數(shù)”的證明不的證明不是綜合法的是是綜合法的是( () )A.A.xRxR且且x0 x0有有f(-x)=(-x)+ =-f(xf(-x)=(-x)+ =-f(x),),所以所以f(xf(x) )是奇

4、函數(shù)是奇函數(shù)B.B.xRxR且且x0 x0有有f(x)+f(-x)=x+(-xf(x)+f(-x)=x+(-x)+ )+ 所以所以f(x)=-f(-xf(x)=-f(-x),),所以所以f(xf(x) )是奇函數(shù)是奇函數(shù)1x11(x)xx 11() 0 xx ，C.C.xRxR且且x0,x0,因?yàn)橐驗(yàn)閒(x)0,f(x)0,所以所以 所以所以f(-x)=-f(xf(-x)=-f(x),),所以所以f(xf(x) )是奇函數(shù)是奇函數(shù)D.D.取取x=-1,f(-1)=-1+ =-2,x=-1,f(-1)=-1+ =-2,又又f(1)=1+ =2,f(-1)f(1)=1+ =2,f(-1)=-f(1

5、),=-f(1),所以所以f(xf(x) )是奇函數(shù)是奇函數(shù) 1xfxx1,1f xxx 1111【解析【解析】選選D.A,B,CD.A,B,C都是從已知條件出發(fā)都是從已知條件出發(fā), ,利用奇函數(shù)利用奇函數(shù)定義定義, ,得出結(jié)論的得出結(jié)論的, ,都是綜合法都是綜合法;D;D不是綜合法證明不是綜合法證明. .3.3.要證要證a a2 2+b+b2 2-1-a-1-a2 2b b2 20,0,只需證只需證( () )A.2ab-1-aA.2ab-1-a2 2b b2 200B.aB.a2 2+b+b2 2-1- 0-1- 0C. -1-aC. -1-a2 2b b2 200D.(aD.(a2 2-

6、1)(b-1)(b2 2-1)0-1)022ab22a b()2【解析【解析】選選D.D.因?yàn)橐驗(yàn)閍 a2 2+b+b2 2-1-a-1-a2 2b b2 2=(a=(a2 2-1)(1-b-1)(1-b2 2) )=-(a=-(a2 2-1)(b-1)(b2 2-1),-1),故要證故要證a a2 2+b+b2 2-1-a-1-a2 2b b2 20,0,只需證只需證(a(a2 2-1)(b-1)(b2 2-1)0.-1)0.【知識(shí)探究【知識(shí)探究】 探究點(diǎn)探究點(diǎn)綜合法與分析法綜合法與分析法1.1.綜合法與分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是怎樣的綜合法與分析法證明不等式的邏輯關(guān)系是怎樣的? ?提示提

7、示: :綜合法綜合法:A:AB B1 1B B2 2B Bn nB B( (已知已知)()(逐步推演不等式成立的必要條件逐步推演不等式成立的必要條件)()(結(jié)論結(jié)論).).分析法分析法:B:B B B1 1 B B2 2 B Bn n A A( (結(jié)論結(jié)論)()(步步尋求不等式成立的充分條件步步尋求不等式成立的充分條件)()(已知已知).).2.2.如何理解分析法尋找的是充分條件如何理解分析法尋找的是充分條件? ?提示提示: :用分析法證明用分析法證明, ,其敘述格式是其敘述格式是: :要證明要證明A,A,只需證明只需證明B.B.即說明只要有即說明只要有B B成立成立, ,就一定有就一定有A

8、A成立成立. .因此分析法是因此分析法是“執(zhí)果索因執(zhí)果索因”, ,步步尋求上一步成立的充分條件步步尋求上一步成立的充分條件. .分析分析法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)中“正難則反正難則反”的原則的原則, ,也是思維中的逆也是思維中的逆向思維向思維. .逆求逆求( (不是逆推不是逆推) )結(jié)論成立的充分條件結(jié)論成立的充分條件. .【歸納總結(jié)【歸納總結(jié)】1.1.綜合法和分析法的比較綜合法和分析法的比較(1)(1)相同點(diǎn)相同點(diǎn): :都是直接證明都是直接證明. .(2)(2)不同點(diǎn)不同點(diǎn): :綜合法綜合法: :由因?qū)Ч梢驅(qū)Ч? ,形式簡潔形式簡潔, ,易于表達(dá)易于表達(dá); ;分析法分析法: :執(zhí)果索因執(zhí)果

9、索因, ,利于思考利于思考, ,易于探索易于探索. .2.2.證明不等式的通常做法證明不等式的通常做法常用分析法找證題切入點(diǎn)常用分析法找證題切入點(diǎn), ,用綜合法寫證題過程用綜合法寫證題過程. .類型一類型一用綜合法證明不等式用綜合法證明不等式【典例【典例】(2016(2016大連高二檢測(cè)大連高二檢測(cè)) )已知已知a,b,ca,b,c均為正實(shí)均為正實(shí)數(shù)數(shù), ,且且 (1)(1)證明證明: : (2)(2)求證求證: : 2221111.abc11 13.abc 222444abc1.bca【解題探究【解題探究】要證明該題要證明該題, ,根據(jù)題目的形式根據(jù)題目的形式, ,你聯(lián)想到你聯(lián)想到利用哪個(gè)公

10、式解決利用哪個(gè)公式解決? ?提示提示: :根據(jù)題目給出的形式根據(jù)題目給出的形式, ,可根據(jù)基本不等式求證可根據(jù)基本不等式求證. .【證明【證明】(1)(1)由由a,b,ca,b,c均為正實(shí)數(shù)均為正實(shí)數(shù), ,且且可得可得 相加可得相加可得 2221111,abc222222112 112 112,abab bcbc acac222111111,abcabbcca即有即有 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c= a=b=c= 取得等號(hào)取得等號(hào). .故原不等式成立故原不等式成立. .22221 1 1111111()2()ab cabcab bc ca 32221113() 3,abc(2)(2)由由a,b,

11、ca,b,c均為正實(shí)數(shù)均為正實(shí)數(shù), ,且且 可得可得 相加可得相加可得 即有原不等式成立即有原不等式成立. .2221111,abc2242422a1a122,bab ab22422422b12 c12,cbc aca222444222abc1111,bcaabc【方法技巧【方法技巧】綜合法證明不等式的策略綜合法證明不等式的策略(1)(1)綜合法證明不等式綜合法證明不等式, ,揭示出條件和結(jié)論之間的因果揭示出條件和結(jié)論之間的因果聯(lián)系聯(lián)系, ,為此要著力分析已知與求證之間為此要著力分析已知與求證之間, ,不等式的左右不等式的左右兩端之間的差異與聯(lián)系兩端之間的差異與聯(lián)系. .合理進(jìn)行轉(zhuǎn)換合理進(jìn)行轉(zhuǎn)

12、換, ,恰當(dāng)選擇已知恰當(dāng)選擇已知不等式不等式, ,這是證明的關(guān)鍵這是證明的關(guān)鍵. .(2)(2)綜合法證明不等式所依賴的已知不等式主要有如下綜合法證明不等式所依賴的已知不等式主要有如下幾個(gè)幾個(gè): :a a2 20(aR);0(aR);(a-b)(a-b)2 20(a,bR),0(a,bR),其變形有其變形有a a2 2+b+b2 22ab, ab,a2ab, ab,a2 2+b+b2 2 (a+b) (a+b)2 2; ;若若a,ba,b為正實(shí)數(shù)為正實(shí)數(shù), ,則則 特別特別 2;2;a a2 2+b+b2 2+c+c2 2ab+bc+caab+bc+ca. .2a b2（）12a bab ，2

13、baab(3)(3)在用綜合法證明不等式時(shí)在用綜合法證明不等式時(shí), ,常利用不等式的基本性常利用不等式的基本性質(zhì)質(zhì), ,如同向不等式相加、同向不等式相乘等如同向不等式相加、同向不等式相乘等, ,但在運(yùn)用但在運(yùn)用這些性質(zhì)時(shí)這些性質(zhì)時(shí), ,一定要注意這些性質(zhì)成立的前提條件一定要注意這些性質(zhì)成立的前提條件. .【變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練】(2015(2015綏化高二檢測(cè)綏化高二檢測(cè)) )已知已知a,ba,b都是正數(shù)都是正數(shù), ,且且abab, ,求證求證:a:a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2. .【證明【證明】因?yàn)橐驗(yàn)閍bab, ,所以所以a-b0,a-b0,所以所以a a2 2-2

14、ab+b-2ab+b2 20,0,所以所以a a2 2-ab+b-ab+b2 2ab.ab.而而a,ba,b均為正數(shù)均為正數(shù), ,所以所以a+ba+b0,0,所以所以(a+b)(a(a+b)(a2 2-ab+b-ab+b2 2)ab(a+b)ab(a+b),),所以所以a a3 3+b+b3 3aa2 2b+abb+ab2 2成立成立. .【補(bǔ)償訓(xùn)練【補(bǔ)償訓(xùn)練】已知已知a,b,cRa,b,cR+ +, ,且互不相等且互不相等, ,且且abcabc=1,=1,求證求證: : 【證明【證明】因?yàn)橐驗(yàn)閍,b,cRa,b,cR+ +, ,且互不相等且互不相等, ,且且abcabc=1,=1,所以所以

15、所以所以 111abc.ab c 111 111111b ccaababcbccaab222111.ab c 111abc.ab c 類型二類型二用分析法證明不等式用分析法證明不等式【典例【典例】1.(20161.(2016聊城高二檢測(cè)聊城高二檢測(cè)) )已知已知a,b,ma,b,m都是都是正數(shù)正數(shù), ,并且并且ab.abc,abc,且且a+b+ca+b+c=0,=0,求證求證: :(1)b(1)b2 2-ac0.(2) -ac0.(2) a ma.b mb2bac3a. 【解題探究【解題探究】1.1.典例典例1 1用分析法證明的關(guān)鍵是什么用分析法證明的關(guān)鍵是什么? ?提示提示: :a,b,ma

16、,b,m都是正數(shù)都是正數(shù), ,要證要證 成立成立, ,只需證明只需證明b(a+m)a(b+mb(a+m)a(b+m) )成立成立, ,所以關(guān)鍵是證明所以關(guān)鍵是證明b(a+m)a(b+mb(a+m)a(b+m) )成立成立. .a mab mb2.2.典例典例2(2)2(2)中證明的關(guān)鍵是什么中證明的關(guān)鍵是什么? ?提示提示: :證明的關(guān)鍵是對(duì)式子兩端平方后證明的關(guān)鍵是對(duì)式子兩端平方后, ,能得到顯然成能得到顯然成立的條件立的條件. .【證明【證明】1.a,b,m1.a,b,m都是正數(shù)都是正數(shù), ,要證要證 成立成立, ,只需證只需證b(a+m)a(b+mb(a+m)a(b+m) )成立成立,

17、,即證即證ba+bmab+amba+bmab+am, ,即證即證bmbmam,am,即證即證ba,ba,而而ababcabc且且a+b+ca+b+c=0,=0,所以所以a0,c0,ac0,c0,ac0.-ac0.(2)(2)欲證欲證 只需證只需證b b2 2-ac3a-ac3a2 2. .因?yàn)橐驗(yàn)閏=-(a+bc=-(a+b),),只要證明只要證明b b2 2+a(a+b)3a+a(a+b)0.(a-b)(2a+b)0.即證即證(a-b)(a-c(a-b)(a-c)0.)0.因?yàn)橐驗(yàn)閍bc,abc,所以所以(a-b)(a-c(a-b)(a-c)0)0成立成立, ,從而從而 成立成立. .2ba

18、c3a 【延伸探究【延伸探究】1.1.若將典例若將典例2 2中條件改為中條件改為“ab0ab0”, ,求證求證: :22a ba ba bab.8a28b【證明【證明】要證原不等式成立要證原不等式成立, ,只需證只需證 即證即證 因?yàn)橐驗(yàn)閍b0,ab0,所以只需證所以只需證 即即 22a ba ba b 2 ab4a4b ，222a ba b()ab() .2 a2 ba ba bab2 a2 b，ababba11.ab2 a2 b，即只需證只需證 因?yàn)橐驗(yàn)閍b0,ab0,所以所以 成立成立. .所以原不等式成立所以原不等式成立. .ba1.abba1ab2.2.典例典例2 2條件改為設(shè)條件改

19、為設(shè)a,b,ca,b,c均為正數(shù)均為正數(shù), ,且且a+b+ca+b+c=1,=1,證證明明:ab+bc+ac:ab+bc+ac . .13【證明【證明】由由a a2 2+b+b2 22ab,b2ab,b2 2+c+c2 22bc,c2bc,c2 2+a+a2 22ca,2ca,得得a a2 2+b+b2 2+c+c2 2ab+bc+caab+bc+ca由題設(shè)得由題設(shè)得(a+b+c)(a+b+c)2 2=1,=1,即即a a2 2+b+b2 2+c+c2 2+2ab+2bc+2ca=1.+2ab+2bc+2ca=1.所以所以3(ab+bc+ca)1,3(ab+bc+ca)1,即即ab+bc+ca

20、ab+bc+ca . .13【方法技巧【方法技巧】用分析法證明不等式的思路及注意點(diǎn)用分析法證明不等式的思路及注意點(diǎn)(1)(1)思路思路: :分析法的思索路線是分析法的思索路線是“執(zhí)果索因執(zhí)果索因”, ,即從要證即從要證的不等式出發(fā)的不等式出發(fā), ,不斷地用充分條件來代替前面的不等式不斷地用充分條件來代替前面的不等式, ,直至找到已知不等式為止直至找到已知不等式為止. .(2)(2)注意點(diǎn)注意點(diǎn): :用分析法證明數(shù)學(xué)命題時(shí)用分析法證明數(shù)學(xué)命題時(shí), ,一定要恰當(dāng)?shù)赜靡欢ㄒ‘?dāng)?shù)赜煤梅赐品?hào)好反推符號(hào)“ ”或或“要證明要證明”“”“只需證明只需證明”“”“即證即證明明”等詞語等詞語. .【變式訓(xùn)練【

21、變式訓(xùn)練】1.1.當(dāng)當(dāng)x4x4時(shí)時(shí), ,證明證明: : 【證明【證明】欲證欲證 只需證只需證 即證即證 x 1 x 2 x 3 x 4.x 1 x 2 x 3 x 4,x x 4 4x 1x 4 x 3x 2,x x 4 422( x 1x 4) ( x 3x 2),x x 4 4展開整理展開整理, ,得得 只需證只需證(x-1)(x-4)(x-2)(x-3),(x-1)(x-4)(x-2)(x-3),即即x x2 2-5x+4x-5x+4x2 2-5x+6,-5x+6,即即46,46,顯然成立顯然成立. .所以原不等式所以原不等式 成立成立. .(x 1)(x 4) (x 2)(x 3),x

22、 1 x 2 x 3 x 42.2.若若a,b,ca,b,c均為正數(shù)均為正數(shù), ,求證求證: : 【證明【證明】要證要證 只要證只要證 只要證只要證 abc3.b ca ca b2abc3,b ca ca b2c911,a b2 ab1b ca c a b ca b ca b c9,b ca ca b2 只要證只要證(a+b+c(a+b+c) ) 因?yàn)橐驗(yàn)?a+b+c(a+b+c) ) 所以原不等式成立所以原不等式成立. .111b ca ca b（）1119.b ca ca b2（）3319a b b c c a 3,b c a c a b2 11111a bb cc a ()32b ca

23、ca b2自我糾錯(cuò)自我糾錯(cuò)用分析法證明不等式用分析法證明不等式【典例【典例】已知已知a,b(0,+),a,b(0,+),且且a+ba+b=1,=1,求證求證: :11ab2.22【失誤案例【失誤案例】分析解題過程分析解題過程, ,找出錯(cuò)誤之處找出錯(cuò)誤之處, ,并寫出正確答案并寫出正確答案. .提示提示: :錯(cuò)誤的根本原因是證明過程不符合分析法的證明錯(cuò)誤的根本原因是證明過程不符合分析法的證明思路思路. .正確解答過程如下正確解答過程如下: :【證明【證明】要證要證 成立成立, ,只需證明只需證明 成立成立, ,即只需證明即只需證明 1,1,即即 即只需證明即只需證明abab 成立成立, ,11ab2221111ab2 (a)(b)42222 11(a)(b)2211aba b124 ，14由由a,b(0,+),a,b(0,+),且且a+ba+b=1,=1,知知abab 顯然成立顯然成立, ,于是于是 22成立成立, ,不等式得證不等式得證. .2a b1()2411ab22