精修版貴州省貴陽市九年級數學競賽講座 03第三講 充滿活力的韋達定理

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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 一元二次方程的根與系數的關系，通常也稱為韋達定理，這是因為該定理是由16世紀法國最杰出的數學家韋達發(fā)現的． 韋達定理簡單的形式中包含了豐富的數學內容，應用廣泛，主要體現在： 運用韋達定理，求方程中參數的值； 運用韋達定理，求代數式的值； 利用韋達定理并結合根的判別式，討論根的符號特征； 利用韋達定理逆定理，構造一元二次方程輔助解題等． 韋達定理具有對稱性，設而不求、整體代入是利用韋達定理解題的基本思路． 韋達定理，充滿活力，它與代數、

2、幾何中許多知識可有機結合，生成豐富多彩的數學問題，而解這類問題常用到對稱分析、構造等數學思想方法． 【例題求解】 【例1】 已知、是方程的兩個實數根，則代數式的值為 ． 思路點撥 所求代數式為、的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉化為(例 【例2】如果、都是質數，且，，那么的值為( ) A． B．或2 C． D．或2 思路點撥 可將兩個等式相減，得到、的關

3、系，由于兩個等式結構相同，可視、為方程的兩實根，這樣就為根與系數關系的應用創(chuàng)造了條件． 注：應用韋達定理的代數式的值，一般是關于、的對稱式，這類問題可通過變形用+、表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧： (1)恰當組合； (2)根據根的定義降次； (3)構造對稱式． 【例3】 已知關于的方程： (1)求證：無論m取什么實數值，這個方程總有兩個相異實根． (2)若這個方程的兩個實根、滿足，求m的值及相應的、． 思路點撥 對于(2)，先判定、

4、的符號特征，并從分類討論入手． 【例4】 設、是方程的兩個實數根，當m為何值時，有最小值?并求出這個最小值． 思路點撥 利用根與系數關系把待求式用m的代數式表示，再從配方法入手，應注意本例是在一定約束條件下(△≥0)進行的． 注：應用韋達定理的前提條件是一元二次方程有兩個實數根，即應用韋達定理解題時，須滿足判別式△≥0這一條件，轉化是一種重要的數學思想方法，但要注意轉化前后問題的等價性． 【例5】 已知：四邊形ABCD中，AB∥CD，且AB、CD的長是關于的方程的兩個根． (1)

5、當m＝2和m>2時，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由． (2)若M、N分別是AD、BC的中點，線段MN分別交AC、BD于點P，Q，PQ＝1，且AB

6、二次方程的兩個實根，并和滿足不等式，則實數取值范圍是 ． (2)已知關于的一元二次方程有兩個負數根，那么實數的取值范圍是 ． 2．已知、是方程的兩個實數根，則代數式的值為 ． 3．CD是Rt△ABC斜邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則△ABC的面積是 ． 4

7、．設、是關于的方程的兩根，+1、+1是關于的方程的兩根，則、的值分別等于( ) A．1，-3 B．1，3 C．-1，-3 D．-1，3 5．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a、b、c分別是∠A、∠B、∠C的對邊，a、b是關于 的方程的兩根，那么AB邊上的中線長是( ) A． B． C．5 D．2 6．方程恰有兩個正整數根、，則的值是( ) A．1 B．-l C． D． 7．若關于的一元

8、二次方程的兩個實數根滿足關系式：，判斷是否正確? 8．已知關于的方程． (1) 當是為何值時，此方程有實數根； (2)若此方程的兩個實數根、滿足：，求的值． 9．已知方程的兩根均為正整數，且，那么這個方程兩根為 ． 10．已知、是方程的兩個根，則的值為 ． 11．△ABC的一邊長為5

9、，另兩邊長恰為方程的兩根，則m的取值范圍是 ． 12．兩個質數、恰好是整系數方程的兩個根，則的值是( ) A．9413 B． C． D． 13．設方程有一個正根，一個負根，則以、為根的一元二次方程為( ) A． B． C． D． 14．如果方程的三根可以作為一個三角形的三邊之長，那么實數m的取值范圍是( ) A．0≤m≤1 B．m≥ C． D．≤m≤1 15．如圖，在矩形A

10、BCD中，對角線AC的長為10，且AB、BC(AB>BC)的長是關于的方程的兩個根． (1)求rn的值； （2）若E是AB上的一點，CF⊥DE于F，求BE為何值時，△CEF的面積是△CED的面積的，請說明理由． 16．設m是不小于的實數，使得關于的方程工有兩個不相等的實數根、． (1) 若，求m的值． (2) 求的最大值． 17．如圖，已知在△ABC中，∠ACB=90°，過C作CD⊥AB于D，且AD＝m，BD=n，AC2：BC2＝2：1；又關于x的方程兩實數根的差的平方小于192，求整數m、n的值． 18．設、、為三個不同的實數，使得方程和和有一個相同的實數根，并且使方程和也有一個相同的實數根，試求的值． 參考答案 最新精品資料