精編高中數學北師大版必修四教學案：第二章 167;3 第2課時 平面向量基本定理 Word版含答案

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1、精編北師大版數學資料 第2課時　平面向量基本定理 [核心必知] 平面向量基本定理 (1)定理：如果e1，e2是同一平面內的兩個不共線的向量，那么對于這一平面內的任一向量a，存在唯一一對實數λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. (2)基底：我們把不共線的兩個向量e1，e2叫作表示這一平面內所有向量的一組基底． [問題思考] 1．零向量可以作為基底的一個向量嗎？ 提示：不能．因為零向量與任何向量都是共線向量． 2．平面向量的基底是唯一的嗎？ 提示：不是．平面內任何不共線的兩個向量都可以作為基底，當基底一旦確定后，平面內任何一向量都可以用這一基底唯一表示

2、． 3．為什么平面向量基本定理中要求e1，e2不共線？ 提示：若e1∥e2，則e2＝λe1，a＝λ1e1＋λ2e2＝(λ1＋λλ2)e1 故a∥e1，即用e1，e2只能表示與之共線的向量． 講一講 1．如果e1，e2是平面α內兩個不共線的向量，λ，μ∈R，那么下列說法中不正確的是(　　) ①λe1＋μe2可以表示平面α內的所有向量； ②對于平面α內任意一個向量a，使得a＝λe1＋μe2的實數對(λ，μ)有無窮多個； ③平面α內的任意一個向量a都可以分解為a＝λe1＋μe2的形式，且這種分解是唯一的； ④若λe1＝μe2，則λ＝μ＝0. A．①②　　　B．②

3、③　　　C．③④　　　D．② [嘗試解答]　由平面向量基本定理知，①，③正確；對于④，若λe1＝μe2，則0λe1＋(－μ)e2，因為e1，e2不共線，所以必有λ＝μ＝0，④正確；對于②，由平面向量基本定理可知，一旦一個平面的基底確定，那么任意一個向量在此基底下的實數對是唯一的，故②不正確． [答案]　D 1．由平面向量基本定理可知：①基底不唯一，一組基底中的兩向量不共線；②平面內的任意向量a都可在給出的基底下進行分解；③基底給定時，分解形式唯一，即λ，μ是被a，e1，e2唯一確定的一對實數． 2．解決這種概念性問題的關鍵是深刻理解平面向量基本定理的意義和基底的概念． 

4、練一練 1．設e1，e2是平面內所有向量的一組基底，則下列四組向量中，不能作為基底的是(　　) A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－4e2和6e1－8e2 C．e1＋2e2和2e1＋e2 D．e1和e1＋e2 解析：選B　∵6e1－8e2＝2(3e1－4e2)， ∴(6e1－8e2)∥(3e1－4e2)， ∴3e1－4e2和6e1－8e2不能作為平面的基底． 2．設e1，e2是平面α內的兩個不共線的向量，a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)，有下列結論： ①若a與e1共線，則λ＝0； ②若a與e2共線，則λ＝0； ③若a＝0，則λ＝μ＝0. 以上結論正確的是_____

5、___(填序號)． 解析：若a與e1共線，則a＝λe1＝λe1＋0×e2， ∴μ＝0，故①不正確，②正確；若a＝0，則λe1＋μe2＝0， ∴λ＝μ＝0，故③正確． 答案：②③ 講一講 2．如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點，已知＝d，試用c，d表示. 將②代入①得a＝d－(c－a)． ∴a＝d－c＝(2d－c)，代入② 得b＝c－×(2d－c)＝(2c－d)． 利用基底表示未知向量，實質就是利用向量的加、減法以及數乘向量進行線性運算，解決此類問題時，要仔細分析所給圖形，借助于平面幾何知識和向量共線定理及平面向量基本定理

6、解決． 練一練 3. 如圖，?ABCD中，E，F分別是BC，DC的中點，G為交點，若＝b，試以a，b為基底表示. ＝－(a＋b)． 講一講 3．已知D、E、F分別是△ABC的BC、CA、AB邊上的中點．試用向量法證明：AD、BE、CF交于一點． 1．利用向量證明幾何問題是其工具性的體現．操作時，為明確方向，常常選取問題中不共線的線段對應的向量作為基底． 2．就本題而言，充分利用三點共線和基底表示向量的唯一性來構建方程(組)求解，是解決此類問題的關鍵所在． 練一練 4．已知O，A，B，P是平面內的四點，且O，A，B三點不共線，若 (λ，μ∈R)

7、，試求當λ，μ滿足什么條件時，A，B，P三點共線． 解：由向量共線定理知，若A，B，P三點共線，則存在唯一 由平面向量基本定理可知λ，μ唯一． ∴∴λ＋μ＝1. 故當λ＋μ＝1時，A，B，P三點共線. 已知e1≠0，λ∈R，a＝e1＋λe2，b＝2e1，則a與b共線的條件為(　　) A．λ＝0　　　　　　　　　B．e2＝0 C．e1∥e2 D．e1∥e2或λ＝0 [錯解]　若λ＝0，則a＝e1，又b＝2e1， ∴a＝b， ∴a與b共線，故選A. [錯因]　錯解之處在于考慮問題不全面，在應用平面向量基本定理時要注意a＝λ1e1＋λ2e2中，e1，e2不共線這個條件，若

8、沒有指明，應對e1，e2共線的情況加以考慮． [正解]　若e1∥e2時，∵e1≠0，∴e2＝t e1(t∈R)． ∴a＝e1＋λe2＝(1＋λt)e1＝b， ∴a與b共線， 若e1與e2不共線，要使a與b共線，則a＝tb(t∈R)， 即e1＋λe2＝2te1，亦即(1－2t)e1＋λe2＝0，∴λ＝0. [答案]　D 1．設O是平行四邊形ABCD兩對角線的交點，下列向量組： ，其中可作為表示這個平行四邊形所在平面內所有向量的基底的是(　　) A．①②　　B．①③ C．①④ D．③④ 解析：選B?、佗壑袃上蛄坎还簿€，由基底的定義知，可以作為基底．

9、 2．下列結論中正確的是(　　) ①a∥b?存在唯一的實數λ，使a＝λb ②a∥b?存在不全為零的實數λ1和λ2，使λ1a＋λ2b＝0 ③a與b不共線，則λ1a＋λ2b＝0?λ1＝λ2＝0 ④a與b不共線?不存在實數λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0 A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 解析：選B　對于①，若b＝0，則a∥b，但當a＝0時，使a＝λb成立的λ有無數個，所以①不正確；根據向量共線的判定及性質定理知②正確；根據平面向量基本定理知③正確，④不正確，因為a，b不共線時，存在λ1＝λ2＝0，使λ1a＋λ2b＝0. 3. 如圖，在矩形ABCD中，若＝5e1，＝(　　

10、) A.(5e1＋3e2) B.(5e1－3e2) C.(3e2－5e1) D.(5e2－3e1) 4．已知向量i，j不共線，實數λ，μ滿足等式3λi＋(10－μ)j＝2λi＋(4μ＋7)j，則λ的值為________，μ的值為________． 解析：由3λi＋(10－μ)j＝2λi＋(4μ＋7)j得 λi＋(3－5μ)j＝0. ∵i，j不共線，∴得λ＝0，μ＝. 答案： 0　 5．若a＝－e1＋3e2，b＝4e1＋2e2，c＝－3e1－12e2，則向量a寫為λb＋μc的形式是________． 解析：由得， ∴－－＝－e1＋3e2＝a，即a＝－b－c.

11、 答案： －b－c 一、選擇題 1．已知e1，e2是不共線向量，a＝2e1＋e2，b＝λe1－e2，當a∥b時，實數λ等于(　　) A．－1　　　　　　　　　　B．0 C．－ D．－2 解析：選D　當a∥b時，a＝tb(t∈R)，則 2e1＋e2＝t(λe1－e2)，即(2－tλ)e1＋(1＋t)e2＝0. ∵e1，e2不共線，∴得λ＝－2. 2．已知a，b是不共線的向量，＝λa＋b，＝a＋μb，λ，μ∈R，若A、B、C三點共線，則λ，μ滿足的條件為(　　) A．λ＋μ＝2 B．λ－μ＝1 C．λμ＝－1 D．λ

12、μ＝1 3．在△ABC中，點P是AB上一點，且，Q是BC中點，若，則λ＋μ的值為(　　) A. B. C．－ D．－ 4．設起點相同的三個非零向量a，b，3a－2b的終點分別為A，B，C，則(　　) A．A，B，C是一個三角形的三個頂點 B．A，B，C三點共線 二、填空題 5．如圖，每個小正方形方格的長度為單位1，以向量e1，e2作為基底，則a－b＝________． 解析：a－b＝＝2e2－e1. 答案：2e2－e1 6．已知e1，e2不共線，a＝e1＋2e2，b＝2e1＋λe2，要使a，b能作為表示平面內所有向量的一組基底，則實數λ的取

13、值范圍是________． 解析：若a∥b，則λ＝4，故a，b能作為基底的條件為λ≠4. 答案：{λ|λ∈R且λ≠4} 7. 如圖，在△ABC中，D為AB上一點，若＋，則λ＝________. ∴λ＝. 答案： 8．△ABC中，，DE∥BC，且DE與AC相交于點E，M是BC的中點，AM與DE相交于點N，若＝ (x，y∈R)，則x＋y＝________ 解析： 如圖，∵DE∥BC， ∴得x＋y＝. 答案： 三、解答題 9．設e1，e2是不共線的非零向量，且a＝e1－2e2，b＝e1＋3e2. (1)證明：a，b可以作為一組基底； (2)以a，b為基

14、底，求向量c＝3e1－e2的分解式； (3)若4e1－3e2＝λa＋μb，求λ，μ的值． 解：(1)證明：設a＝λb(λ∈R)， 則e1－2e2＝λ(e1＋3e2)． 由e1，e2不共線得 ? ∴λ不存在，故a與b不共線，可以作為一組基底． (2)設c＝ma＋nb(m、n∈R)，得 3e1－e2＝m(e1－2e2)＋n(e1＋3e2) ＝(m＋n)e1＋(－2m＋3n)e2. ∴? ∴c＝2a＋b. (3)由4e1－3e2＝λa＋μb，得 4e1－3e2＝λ(e1－2e2)＋μ(e1＋3e2) ＝(λ＋μ)e1＋(－2λ＋3μ)e2. ∴? 故所求λ、μ的值分別為3和1. 10．在平面上給定一個△ABC，試推斷平面上是否存在這樣的點P，使線段AP的中點為M，BM的中點為N，CN的中點為P？若存在，這樣的點P有幾個；若不存在，說明理由． 解： 假設存在符合要求的點P，如圖所示， ∵M是AP的中點， ∵N是BM的中點，由平行四邊形法則，