精編高中數(shù)學北師大版必修四教學案：第二章 167;6 平面向量數(shù)量積的坐標表示 Word版含答案

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1、精編北師大版數(shù)學資料 [核心必知] 1．向量數(shù)量積的坐標表示 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a·b＝x1x2＋y1y2． 即兩個向量的數(shù)量積等于相應坐標乘積的和． 2．度量公式 (1)長度公式：設a＝(x，y)，則|a|＝． (2)夾角公式：設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a與b的夾角為θ，則cos θ＝． 3．兩向量垂直的坐標表示 設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 a⊥b?a·b＝0?x1x2＋y1y2＝0． 4．直線的方向向量 給定斜率為k的直線l，則向量m＝(1，k)與直線l共線，把與直線l共線的非零向量m稱

2、為直線l的方向向量． [問題思考] 1．由向量長度的坐標表示，你能否得出平面內(nèi)兩點間的距離公式？ 提示：設A(x1，y1)，B(x2，y2)， 則＝(x2－x1，y2－y1)，由向量長度的坐標表示可得 |AB|＝||＝. 2．坐標形式下兩向量垂直與平行的條件有何區(qū)別？ 提示：設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則： a⊥b?x1x2＋y1y2＝0，即“相應坐標相乘和為0”； a∥b?x1y2－x2y1＝0，即“坐標交叉相乘差為0”． 3．直線l的方向向量唯一嗎？ 提示：直線l的方向向量即是與l平行的向量，意指表示該向量的有向線段所在的直線與l平行或重合，所以直線

3、l的方向向量不唯一(有無數(shù)個)，但它們都是共線向量． 講一講 1．已知向量a＝(4，－2)，b＝(6，－3)，求： (1)(2a－3b)·(a＋2b)； (2)(a＋b)2. [嘗試解答]　法一：(1)∵2a－3b＝(8，－4)－(18，－9)＝(－10，5)， a＋2b＝(4，－2)＋(12，－6)＝(16，－8)， ∴(2a－3b)·(a＋2b)＝－160－40＝－200. (2)∵a＋b＝(10，－5) ∴(a＋b)2＝(10，－5)×(10，－5)＝100＋25＝125. 法二：由已知可得：a2＝20，b2＝45，a·b＝30 (1)(2a－3b

4、)·(a＋2b)＝2a2＋a·b－6b2 ＝2×20＋30－6×45＝－200. (2)(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2＝20＋60＋45＝125. 進行向量的數(shù)量積的坐標運算關鍵是把握向量數(shù)量積的坐標表示，運算時常有兩條途徑： (1)根據(jù)向量數(shù)量積的坐標表示直接運算； (2)先利用數(shù)量積的運算律將原式展開，再依據(jù)已知計算． 練一練 1．已知a＝(2，1)，b＝(－1，3)，向量c滿足a·c＝4，b·c＝－9. (1)求向量c的坐標； (2)求(a＋b)·c的值． 解：(1)設c＝(x，y)， 由得， 解得x＝3，y＝－2. ∴c＝(3，－2)． (2)

5、法一：∵a＋b＝(2，1)＋(－1，3)＝(1，4)， ∴(a＋b)·c＝(1，4)·(3，－2) ＝1×3＋4×(－2) ＝－5. 法二：(a＋b)·c ＝a·c＋b·c ＝(2，1)·(3，－2)＋(－1，3)·(3，－2) ＝2×3＋1×(－2)＋(－1)×3＋3×(－2) ＝－5. 講一講 2．已知a＝(1，2)，b＝(－2，－4)，|c|＝. (1)求|a＋2b|； (2)若(a＋b)·c＝，求向量a與c的夾角． [嘗試解答]　(1)a＋2b＝(1，2)＋2(－2，－4)＝(－3，－6) ∴|a＋2b|＝＝3. (2)∵b＝(－2，－4)＝－2(1

6、，2)＝－2a ∴a＋b＝－a， ∴(a＋b)·c＝－a·c＝ 設a與c的夾角為θ， 則cos θ＝＝＝－ ∵0≤θ≤π，∴θ＝π 即a與c的夾角為π. 1．已知向量的坐標和向量的模(長度)時，可直接運用公式|a|＝進行計算． 2．求向量的夾角時通常利用數(shù)量積求解，一般步驟為： (1)先利用平面向量數(shù)量積的坐標表示求出兩向量的數(shù)量積； (2)再求出兩向量的模； (3)由公式cos θ＝計算cos θ的值； (4)在[0，π]內(nèi)，由cos θ的值確定角θ. 練一練 2．已知向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，e＝(0，1)，若a≠b，|a－b|＝2，

7、且a－b與e的夾角為，則x1－x2＝(　　) A．2　　　　　　　　　　B．± C．± D．±1 解析：選B　a－b＝(x1－x2，y1－y2)． ∴(a－b)·e＝(x1－x2)×0＋(y1－y2)×1＝y(tǒng)1－y2. ∵|a－b|＝2，|e|＝1，a－b與e的夾角為， ∴cos ＝＝＝，∴y1－y2＝1， 又由|a－b|＝2知，(x1－x2)2＋(y1－y2)2＝4， ∴(x1－x2)2＝3.∴x1－x2＝±. 講一講 3．已知a＝(，－1)，b＝. (1)求證：a⊥b； (2)是否存在實數(shù)k，使x＝a－2b，y＝－ka＋b，且x⊥

8、y，若存在，求k的值；不存在，請說明理由． [嘗試解答]　(1)證明：∵a·b＝×＋(－1)×＝0. ∴a⊥b. (2)∵x＝(，－1)－2＝， y＝－k(，－1)＋＝. 假設存在k使x⊥y， ∴x·y＝(－1)＋(－1－)化簡得：－4k－2＝0 ∴k＝－即存在k＝－，使x⊥y. 兩向量互相垂直，則其數(shù)量積為零，反之也成立，因此： (1)判斷兩個向量是否垂直，只需考察其數(shù)量積是否為0； (2)若兩向量垂直，則可利用數(shù)量積的坐標表示建立有關參數(shù)的方程，進而求解． 練一練 3．(安徽高考)設向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b

9、，則|a|＝________． 解析：a＋c＝(3，3m)，由(a＋c)⊥b，可得(a＋c)·b＝0，即3(m＋1)＋3m＝0，解得m＝－，則a＝(1，－1)，故|a|＝. 答案： 已知向量a＝(－2，－1)，b＝(t，1)．且向量a與b的夾角為鈍角，求實數(shù)t的取值范圍． [錯解]　設向量a與b的夾角為θ，則θ為鈍角， ∴cos θ＝<0，∴a·b<0. ∴a·b＝(－2，－1)·(t，1)＝－2t－1<0， 得t>－. 故t的取值范圍是(－，＋∞)． [錯因]　錯解在于誤認為θ為鈍角等價于a·b<0，實際上，a·b<0包含兩向量反向共線的情況，即θ＝π的情況，無疑擴大夾

10、角的取值范圍． [正解]　設向量a與b的夾角為θ， ∵θ為鈍角∴<θ<π. ∴cos θ＝<0， ∴a·b<0，即(－2，－1)·(t，1)＝－2t－1<0. ∴t>－. 當a∥b時，－2×1－(－1)×t＝0，得t＝2， 這時b＝(2，1)＝－a，b與a反向． 即當t＝2時，θ＝π，不合題意． 故t的取值范圍為(－，2)∪(2，＋∞)． 1．向量i＝(1，0)，j＝(0，1)，下列向量中與向是i＋j垂直的是(　　) A．2i＋2j　　　　　　　B．－i＋j C．2i＋j D．－i－j 解析：選B　可知i＋j＝(，1)，逐項考察知， (i＋j)

11、·(－i＋j)＝(，1)·(－1，) ＝－＋＝0. ∴－i＋j與i＋j垂直． 2．已知向量a＝(1，m)，b＝(3，－2)，且(a＋b)⊥b，則m＝(　　) A．－8 B．－6 C．6 D．8 解析：選D　法一：因為a＝(1，m)，b＝(3，－2)， 所以a＋b＝(4，m－2)． 因為(a＋b)⊥b， 所以(a＋b)·b＝0， 所以12－2(m－2)＝0，解得m＝8. 法二：因為(a＋b)⊥b，所以(a＋b)·b＝0，即a·b＋b2＝3－2m＋32＋(－2)2＝16－2m＝0，解得m＝8. 3．(重慶高考)設x，y∈R，向量a＝(x，1)，b＝(1，y)，c＝(2，

12、－4)且a⊥c，b∥c，則|a＋b|＝(　　) A. B．2 C．2 D．10 解析：選B　因為a⊥c，b∥c，所以有2x－4＝0且2x＋4＝0，解得x＝2，y＝－2， 即a＝(2，1)，b＝(1，－2)．所以a＋b＝(3，－1)，|a＋b|＝. 4．經(jīng)過點A(1，0)且方向向量與d＝(2，－1)垂直的直線方程為________． 解析：設直線的方向向量為m＝(1，k)， 由m⊥d得2－k＝0. ∴直線的斜率k＝2，故所求直線的方程為y＝2(x－1)． 即2x－y－2＝0. 答案：2x－y－2＝0 5．設向量a，b的夾角為θ，且a＝(5，5)，2b－a＝(－1，1)

13、，則cos θ＝________． 解析：∵a＝(5，5)，∴2b＝(5，5)＋(－1，1)＝(4，6)．即b＝(2，3)． 又|a|＝5，|b|＝，且a·b＝(5，5)·(2，3)＝25. ∴cos θ＝＝＝. 答案： 6．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－2)， (1)設c＝4a＋b，求(b·c)a； (2)若a＋λb與a垂直，求λ的值； (3)求向量a在b方向上的射影． 解：(1)∵c＝4(1，2)＋(2，－2)＝(6，6)， ∴b·c＝(2，－2)·(6，6)＝2×6－2×6＝0， ∴(b·c)a＝0·a＝0. (2)∵a＋λb＝(1，2)＋λ(2，－2)＝(

14、1＋2λ，2－2λ)， (a＋λb)⊥a ∴(1＋2λ)＋2(2－2λ)＝0， 得λ＝. (3)法一：設a與b的夾角為θ， 則cos θ＝＝＝－. ∴向量a在b方向上的投影為 |a|cos θ＝·(－)＝－. 法二：∵a·b＝(1，2)·(2，－2)＝－2，|b|＝2. ∴向量a在b方向上的投影為 |a|cos θ＝＝＝－. 一、選擇題 1．若向量a＝(1，2)，b＝(1，－1)，則2a＋b與a－b的夾角等于(　　) A．－　　　　　　　　B. C. D. 解析：選C　因為2a＋b＝(2，4)＋(1，－1)＝(3

15、，3)， a－b＝(0，3)， 所以|2a＋b|＝3，|a－b|＝3. 設2a＋b與a－b的夾角為θ， 則cos θ＝＝＝， 又θ∈[0，π]， 所以θ＝. 2．已知向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，如果向量a＋xb與－b垂直，則x的值為(　　) A．－ B. C. D．2 解析：選A　∵a＋xb＝(3，4)＋x(2，－1)＝(3＋2x，4－x)， －b＝(－2，1)，且(a＋xb)⊥(－b)， ∴－2(3＋2x)＋(4－x)＝0，得x＝－. 3．已知向量a＝(2，1)，a·b＝10，|a＋b|＝5，則|b|＝(　　) A. B. C．5 D．25

16、解析：選C　法一：設b＝(x，y)， 則a·b＝2x＋y＝10?、?， 又a＋b＝(x＋2，y＋1)，|a＋b|＝5， ∴(x＋2)2＋(y＋1)2＝50　② ①與②聯(lián)立得或 ∴|b|＝＝5. 法二：由|a＋b|＝5得a2＋2a·b＋b2＝50， 即5＋20＋b2＝50 ∴b2＝25|b|＝5. 4．已知＝(4,2)，＝(k，－2)，若△ABC為直角三角形，則k等于(　　) A．1 B．6 C．1或6 D．1或2或6 解析：選C　當A＝90°時，⊥，則4k－4＝0，k＝1； 當B＝90°時，⊥，又＝－＝(k－4，－4) ∴4(k－4)＋2×(－4)＝0解得k＝6；

17、 當C＝90°時，⊥，則k(k－4)＋(－2)×(－4)＝0 即k2－4k＋8＝0，無解． 故k＝1或6. 二、填空題 5．(安徽高考)設向量a＝(1，2m)，b＝(m＋1，1)，c＝(2，m)．若(a＋c)⊥b，則|a|＝________． 解析：由題意知，a＋c＝(3，3m)， (a＋c)·b＝3(m＋1)＋3m＝0，解得m＝－， 即a＝(1，－1)，|a|＝＝. 答案： 6．(新課標全國卷Ⅰ)已知兩個單位向量a，b的夾角為60°，c＝ta＋(1－t)b.若b·c＝0，則t＝________． 解析：本題考查平面向量的數(shù)量積運算，意在考查考生的運算求解能力．根據(jù)數(shù)量積

18、b·c＝0，把已知兩向量的夾角轉(zhuǎn)化到兩向量數(shù)量積的運算中．因為向量a，b為單位向量，所以b2＝1，又向量a，b的夾角為60°，所以a·b＝，由b·c＝0得b·[ta＋(1－t)b]＝0，即ta·b＋(1－t)b2＝0，所以t＋(1－t)＝0，所以t＝2. 答案：2 7．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝________． 解析：本題主要考查向量的基本知識及運算．由題意，將b·c＝[ta＋(1－t)b]·b整理，得ta·b＋(1－t)＝0，又a·b＝，所以t＝2. 答案：2 7．已知向量a＝(1，2)，b＝(2，－3)．若向量c

19、滿足(c＋a)∥b，c⊥(a＋b)，則c＝________． 解析：設c＝(x，y)，則c＋a＝(x＋1，y＋2)． 又(c＋a)∥b， ∴2(y＋2)＋3(x＋1)＝0.① 又c⊥(a＋b)， ∴(x，y)·(3，－1)＝3x－y＝0.② 解①②得x＝－，y＝－. 答案： 8．已知a＝(1，3)，b＝(1，1)，c＝a＋λb，若a和c的夾角是銳角，則λ的取值范圍是________． 解析：由條件得，c＝(1＋λ，3＋λ)，從而 ?λ∈∪(0，＋∞)． 答案：∪(0，＋∞) 三、解答題 9．已知向量a是以點A(3，－1)為始點，且與向量b＝(－3，4)垂直的單位向

20、量，求a的終點坐標． 解：∵b是直線y＝－x的方向向量，且a⊥b. ∴a是直線y＝x的方向向量． ∴可設a＝λ(1，)＝(λ，)． 由|a|＝1， 得λ2＋λ2＝1. 解得λ＝±， ∴a＝(，)或a＝(－，－)． 設a的終點坐標為(x，y) 則或 即或 ∴a的終點坐標是(，－)或(，－)． 10．已知△ABC中，A(2,4)，B(－1，－2)，C(4,3)，BC邊上的高為AD. (1)求證：AB⊥AC； (2)求點D和向量的坐標； (3)設∠ABC＝θ，求cos θ. ∴5(x＋1)＝5(y＋2)，② 由①②解得x＝，y＝， 故D點坐標為(，)，