精編高中數(shù)學(xué)北師大版選修23教學(xué)案：第二章 4 二項分布 Word版含解析

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1、精編北師大版數(shù)學(xué)資料4二項分布 某籃球運(yùn)動員進(jìn)行了3次投籃，假設(shè)每次投中的概率都為，且各次投中與否是相互獨(dú)立的，用X表示這3次投籃投中的次數(shù)，思考下列問題問題1：如果將一次投籃看成做了一次試驗(yàn)，那么一共進(jìn)行了多少次試驗(yàn)？每次試驗(yàn)有幾個可能的結(jié)果？提示：3次，每次試驗(yàn)只有兩個相對立的結(jié)果投中(成功)，未投中(失敗)問題2：X0表示何意義？求其概率提示：X0表示3次都沒投中，只有C1種情況，P(X0)C3.問題3：X2呢？提示：X2表示3次中有2次投中，有C3種情況，每種情況發(fā)生的可能性為2.從而P(X2)C2.二項分布進(jìn)行n次試驗(yàn)，如果滿足以下條件：(1)每次試驗(yàn)只有兩個相互對立的結(jié)果，可以分別

2、稱為“成功”和“失敗”；(2)每次試驗(yàn)“成功”的概率均為p，“失敗”的概率均為1p；(3)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的用X表示這n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)，則P(Xk)Cpk(1p)nk(k0,1,2，n)若一個隨機(jī)變量X的分布列如上所述，稱X服從參數(shù)為n，p的二項分布，簡記為XB(n，p)1P(Xk)Cpk(1p)nk.這里n為試驗(yàn)次數(shù)，p為每次試驗(yàn)中成功的概率，k為n次試驗(yàn)中成功的次數(shù)2判斷一個隨機(jī)變量是否服從二項分布，關(guān)鍵有三：其一是對立性，即一次試驗(yàn)中，事件發(fā)生與否，二者必居其一；其二是重復(fù)性，即試驗(yàn)重復(fù)地進(jìn)行了n次；其三是各次試驗(yàn)相互獨(dú)立 服從二項分布的隨機(jī)變量的概率計算例1在人壽保險事業(yè)中，很重

3、視某一年齡段的投保人的死亡率假如每個投保人能活到70歲的概率為0.6，試問3個投保人中：(1)全部活到70歲的概率；(2)有2個活到70歲的概率；(3)有1個活到70歲的概率思路點(diǎn)撥每人能否活到70歲是相互獨(dú)立的，利用二項分布公式可求精解詳析設(shè)3個投保人中活到70歲的人數(shù)為X，則XB(3,0.6)，故P(Xk)C0.6k(10.6)3k(k0,1,2,3)(1)P(X3)C0.63(10.6)00.216；即全部活到70歲的概率為0.216.(2)P(X2)C0.62(10.6)0.432.即有2個活到70歲的概率為0.432.(3)P(X1)C0.6(10.6)20.288.即有1個活到70

4、歲的概率為0.288.一點(diǎn)通要判斷n次試驗(yàn)中A發(fā)生的次數(shù)X是否服從二項分布，關(guān)鍵是看試驗(yàn)是否為獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的特點(diǎn)為：(1)每次試驗(yàn)是在相同的條件下進(jìn)行的；(2)每次試驗(yàn)的結(jié)果不會受其他試驗(yàn)的影響，即每次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的；(3)基本事件的概率可知，且每次試驗(yàn)保持不變；(4)每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，要么發(fā)生，要么不發(fā)生1將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，出現(xiàn)“3個正面，1個反面”的概率是()A.B.C. D.解析：由題意，出現(xiàn)正面的次數(shù)XB，出現(xiàn)3個正面1個反面的概率為P(X3)C3.答案：D2甲每次投資獲利的概率是p0.8，對他進(jìn)行的6次相互獨(dú)立的投資，計算：(1)有5次獲利的概率；

5、(2)6次都獲利的概率解：用X表示甲在6次投資中獲利的次數(shù)，則X服從二項分布B(6,0.8)，且(1)P(X5)C0.85(10.8)0.39，他5次獲利的概率約等于0.39.(2)P(X6)C0.860.26.他6次都獲利的概率約等于0.26.3甲、乙兩人各進(jìn)行3次射擊，甲每次擊中目標(biāo)的概率為，乙每次擊中目標(biāo)的概率為，求：(1)甲恰好擊中目標(biāo)2次的概率；(2)乙至少擊中目標(biāo)2次的概率；(3)乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次的概率解：(1)甲恰好擊中目標(biāo)2次的概率為C3.(2)乙至少擊中目標(biāo)2次的概率為C2C3.(3)設(shè)乙恰好比甲多擊中目標(biāo)2次為事件A，乙恰好擊中目標(biāo)2次且甲恰好擊中目標(biāo)0次為事件B1

6、，乙恰好擊中目標(biāo)3次且甲恰好擊中目標(biāo)1次為事件B2，則AB1B2，B1，B2為互斥事件P(A)P(B1)P(B2)C2C3C3C3.服從二項分布的隨機(jī)變量的分布列例2(12分)從學(xué)校乘車到火車站的途中有三個交通崗，假設(shè)在各個交通崗遇到紅燈的事件是相互獨(dú)立的，并且概率都是，設(shè)X為途中遇到紅燈的次數(shù)求(1)隨機(jī)變量X的分布列；(2)這名學(xué)生在途中至少遇到一次紅燈的概率思路點(diǎn)撥求隨機(jī)變量的分布列，首先應(yīng)根據(jù)題目中的條件確定離散型隨機(jī)變量的取值，然后再求隨機(jī)變量取各個值的概率精解詳析(1)由題意XB，則P(X0)C03，(3分)P(X1)C12，(4分)P(X2)C21，(5分)P(X3)C30.(6

7、分)X的分布列為Xk0123P(Xk)(8分)(2)由題意知，“至少遇到一次紅燈”的對立事件是“一次紅燈都沒有遇到”因此有P(X1)1P(X0)1.(12分)一點(diǎn)通解決這類問題一般步驟：(1)判斷所述問題是否是相互獨(dú)立試驗(yàn)；(2)建立二項分布模型；(3)求出相應(yīng)概率；(4)寫出分布列4設(shè)某批電子手表正品率為，次品率為，現(xiàn)對該批電子手表進(jìn)行測試，設(shè)第X次首次測到正品，則P(X3)等于()AC2 BC2C.2 D.2解析：P(X3)是前兩次未抽到正品，第三次抽到正品的概率，則P(X3)2.答案：C5某廠生產(chǎn)電子元件，其產(chǎn)品的次品率為5%.現(xiàn)從一批產(chǎn)品中任意地連續(xù)取出2件，寫出其中次品數(shù)X的分布列解

8、：由題意，得到的次品數(shù)XB(2,0.05)，P(X0)C0.9520.902 5；P(X1)C0.050.950.095；P(X2)C0.0520.002 5.因此，次品數(shù)X的分布列如下：Xk012P(Xk)0.902 50.0950.002 56射擊運(yùn)動員在雙向飛碟比賽中，每輪比賽連續(xù)發(fā)射兩槍，擊中兩個飛靶得2分，擊中一個飛靶得1分，不擊中飛靶得0分某射擊運(yùn)動員在每輪比賽連續(xù)發(fā)射兩槍時，第一槍命中率為，第二槍命中率為，該運(yùn)動員進(jìn)行2輪比賽(1)求該運(yùn)動員得4分的概率為多少？(2)若該運(yùn)動員所得分?jǐn)?shù)為X，求X的分布列解：(1)記“運(yùn)動員得4分”為事件A，則P(A).(2)X的可能取值為0,1,

9、2,3,4.P(X0)P(X4)，P(X1)P(X3)C3C3，P(X2)44422.X的分布列為Xk01234P(Xk)1各次試驗(yàn)互不影響，相互獨(dú)立；每次試驗(yàn)只有兩個可能的結(jié)果，且這兩個結(jié)果是對立的；兩個結(jié)果在每次試驗(yàn)中發(fā)生的概率不變，是判斷隨機(jī)變量服從二項分布的三個條件2二項式(1p)pn的展開式中，第k1項Tk1C(1p)nkpk，可見P(Xk)Cpk(1p)nk就是二項式(1p)pn的展開式中的第k1項 1若XB，則P(X2)()A.B.C. D.解析：XB，P(X2)C24.答案：D2在4次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的概率相同，若事件A至少發(fā)生1次的概率為，則事件A在1次試驗(yàn)中發(fā)生的

10、概率為()A. B.C. D.解析：事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率為p，由題意得1Cp0(1p)4.所以1p，p.答案：A3某人射擊一次擊中目標(biāo)的概率為0.6，經(jīng)過3次射擊，此人至少有2次擊中目標(biāo)的概率為()A. B.C. D.解析：至少有2次擊中目標(biāo)包含以下情況：只有2次擊中目標(biāo)，此時概率為C0.62(10.6)，3次都擊中目標(biāo)，此時的概率為C0.63，至少有2次擊中目標(biāo)的概率為.答案：A4甲、乙兩名籃球隊員輪流投籃直至某人投中為止，設(shè)甲每次投籃命中的概率為0.4，乙投中的概率為0.6，而且不受其他次投籃結(jié)果的影響，設(shè)投籃的輪數(shù)為X，若甲先投，則P(Xk)等于()A0.6k10.4 B0.24

11、k10.76C0.4k10.6 D0.76k10.24解析：甲每次投籃命中的概率為0.4，不中的概率為0.6，乙每次投籃命中的概率為0.6，不中的概率為0.4，則在一輪中兩人均未中的概率為0.60.40.24，至少有一人中的概率為0.76.所以P(Xk)的概率是前k1輪兩人均未中，第k輪時至少有一人中，則P(Xk)0.24k10.76.答案：B5設(shè)XB(2，p)，若P(X1)，則p_.解析：XB(2，p)，P(Xk)Cpk(1p)2k，k0,1,2.P(X1)1P(X1)1P(X0)1Cp0(1p)21(1p)2.由P(X1)，得1(1p)2，結(jié)合0p1，得p.答案：6某一批花生種子，如果每一

12、粒發(fā)芽的概率為，那么播下4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率是_解析：每粒種子的發(fā)芽概率為，并且4粒種子的發(fā)芽與不發(fā)芽互不影響，符合二項分布B，則4粒種子恰有2粒發(fā)芽的概率為：C22.答案：7某射手進(jìn)行射擊訓(xùn)練，假設(shè)每次射擊擊中目標(biāo)的概率為，且各次射擊的結(jié)果互不影響該射手射擊了5次，求：(1)其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)的概率；(2)其中恰有3次擊中目標(biāo)的概率解：(1)該射手射擊了5次，其中只在第一、三、五次擊中目標(biāo)，是在確定的情況下?lián)糁心繕?biāo)3次，也即在第二、四次沒有擊中目標(biāo)，所以只有一種情況，又各次射擊的結(jié)果互不影響，故所求其概率為P1；(2)該射手射擊了5次，其中恰有3次擊中目標(biāo)，擊中次數(shù)XB(5，)，故所求其概率為P(X3)C32.8(四川高考)某居民小區(qū)有兩個相互獨(dú)立的安全防范系統(tǒng)(簡稱系統(tǒng))A和B，系統(tǒng)A和系統(tǒng)B在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和p.(1)若在任意時刻至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，求p的值；(2)設(shè)系統(tǒng)A在3次相互獨(dú)立的檢測中不發(fā)生故障的次數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的概率分布列解：(1)設(shè)“至少有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件C，那么1P()1p，解得p.(2)由題意，P(X0)C3，P(X1)C2，P(X2)C2，P(X3)C3.所以，隨機(jī)變量X的概率分布列為X0123P