湖南大學《隨機過程》課程習題集.doc

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湖南大學本科課程《隨機過程》習題集 主講教師：何松華 教授 第一章：概述及概率論復習 1.1 設一批產品共50個，其中45個合格，5個為次品，從這一批產品中任意抽取3個，求其中有次品的概率。 1.2 設一批零件共100個，次品率為10%，每次從其中任取一個零件，取出的零件不再放回，求第3次才取得合格品的概率。 1.3 設一袋中有N個球，其中有M個紅球，甲、乙兩人先后各從袋中取出一個球，求乙取得紅球的概率(甲取出的球不放回)。 1.4 設一批產品有N個，其中有M個次品，每次從其中任取一個來檢查，取出后再放回，求連續(xù)n次取得合格品的概率。 1.5設隨機變量X的概率分布函數(shù)為連續(xù)的，且 其中l(wèi)0為常數(shù)，求常數(shù)A、B的值。 1.6設隨機變量X的分布函數(shù)為 (1) 求系數(shù)A、B；(2)求隨機變量落在(-1,1)內的概率；(3)求其概率密度函數(shù)。 1.7已知二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為 (1)求條件概率密度函數(shù)、；(2)問X、Y是否相互獨立？ 1.8已知隨機變量X的概率密度分布函數(shù)為 隨機變量Y與X的關系為 Y=cX+b，其中c，b為常數(shù)。求Y的概率密度分布函數(shù)。 1.9設X、Y是兩個相互獨立的隨機變量，其概率密度分布函數(shù)分別為 ， 求隨機變量Z=X+Y的概率密度分布函數(shù)。 1.10設隨機變量Y與X的關系為對數(shù)關系，Y=ln(X)，隨機變量Y服從均值為mY、標準差為sY的正態(tài)分布，求X的概率密度分布。 1.11隨機變量X服從標準正態(tài)分布，求隨機變量(n為正整數(shù))的數(shù)學期望及方差。 1.12隨機變量X服從均值為mX、標準差為sX的正態(tài)分布，X通過雙向平方率檢波器，Y=cX2(c>0)，求Y的概率密度分布。 1.13設二維隨機變量的聯(lián)合概率密度分布函數(shù)為 (1) 求系數(shù)A，(2)求數(shù)學期望E[X]、E[Y]，方差D[X]、D[Y]；(3)求X、Y的相關函數(shù)及相關系數(shù)。 1.14設X為拉譜拉斯隨機變量，；求：(1)X的特征函數(shù)，(2)利用特征函數(shù)求X的均值與方差，(3)討論特征函數(shù)實部與虛部的奇偶性。 第二章：隨機過程的基本概念 2.1某公共汽車站停放著兩輛公共汽車A、B，從t=1s開始，每隔1s有一名乘客到達車站。如果每名乘客以概率1/2登上A車，以概率1/2登上B車，各乘客登上哪輛車是相互獨立的，用Xj表示第j秒到達的乘客的登車狀態(tài)，即登上A車則Xj=1，登上B車則Xj=0；設t=n時A車上的乘客數(shù)為Yn。(1)求離散時間隨機過程Yn的一維概率分布率；(2)當公共汽車A上的乘客達到10個時，A即開車，求A車出發(fā)時刻n的概率分布。 2.2一個正弦振蕩器，由于元器件的熱噪聲和電路分布參數(shù)變化的影響，其輸出的正弦波可以看作一個隨機過程，其中A、W、j為相互獨立的隨機變量，且 ，， 求隨機過程X(t)的一維概率密度分布函數(shù)。 2.3用一枚硬幣擲1次的試驗定義一個隨機過程 設“出現(xiàn)正面”和“出現(xiàn)反面”的概率各為1/2。(1) 確定X(t)的一維分布函數(shù)FX(x,1/2)、FX(x,1)；(2) 確定X(t)的二維分布函數(shù)FX(x1, x2;1/2,1)；(3)畫出上述分布函數(shù)的圖形。 2.4設隨機過程，其中w>0為常數(shù)，X、Y為相互獨立的隨機變量，概率密度分布函數(shù)分別為標準正態(tài)分布(即均值為0，標準差為1)。若將Z(t)寫成，(1)求隨機變量V、F的概率密度分布函數(shù)及聯(lián)合概率密度分布函數(shù)，問二者是否統(tǒng)計獨立？(2)求隨機過程的一維概率密度分布函數(shù)。 2.5求4題所給出的隨機過程的均值及相關函數(shù)，并判斷該隨機過程是否為廣義平穩(wěn)隨機過程。 2.6設某信號源每T(s)產生一個幅度為A的方波脈沖，脈沖寬度X為均勻分布于[0,T]的隨機變量。這樣構成一個隨機過程Y(t)(0t<)。設不同的脈沖是統(tǒng)計獨立的，求隨機過程Y(t)的一維概率密度分布函數(shù)。 2.7設隨機過程X(t)=Ycos(t) (-t2>t1，有 4.17 (與第3章第26題重復)。 4.18設有二維隨機矢量[X1,X2]，其概率密度為 在橢圓 上概率密度為常數(shù)，稱該橢圓為等概率橢圓，求隨機矢量落在等概率橢圓內的概率。 4.19設n維隨機矢量X=[X1,X2,…,Xn]服從聯(lián)合高斯分布，各個分量相互獨立，且均值為0，隨機矢量的協(xié)方差矩陣為 求其N維特征函數(shù) 4.20 (接上題)若各個分量的之間的協(xié)方差為 設另一隨機變量Y為，求Y的特征函數(shù) 4.21設3維高斯隨機矢量X=[X1,X2,X3]各個分量的均值為0，其協(xié)方差矩陣的元素值為kij(i,j=1,2,3),且k11=k22=k33=s2；求(1) ，(2) ，(3) 4.22設3維高斯隨機矢量X=[X1,X2,X3]的概率密度為 (1) 證明經過線性變換 得到的隨機矢量Y=[Y1,Y2,Y3]，則Y1,Y2,Y3是相互統(tǒng)計獨立的隨機變量；(2)求C的值。 4.23設X1、X2是相互獨立的零均值、單位方差高斯隨機變量，定義二維隨機矢量Y 證明：(1)Y1、Y2都是高斯分布的，(2)Y不是聯(lián)合高斯分布的。 4.24設某一線性系統(tǒng)的單位沖激響應為 (a>0) 輸入N(t)為零均值白色噪聲，功率譜密度為N0/2，輸出為X(t)；，假設輸入從-開始，求Y(t)的一維概率密度函數(shù)。 4.25設隨機變量X、Y是聯(lián)合高斯隨機變量，且具有邊緣概率密度、，，，；證明： 4.26設零均值高斯隨機過程X(t)的相關函數(shù)為，對其進行量化處理，得到時間連續(xù)但取值離散的隨機過程Y(t)，即 (1)求Y(t)的均值函數(shù)；(2)求Y(t)的一維概率密度函數(shù)。 4.27設線性系統(tǒng)的輸入過程X(t)為零均值高斯隨機過程，相關函數(shù)為(a>0)，系統(tǒng)的沖激響應為 (b>0,ba) X(t)是在t=-接入系統(tǒng)的，(1)求在t=0時輸出Y(0)大于y的概率；(2)如果在t=-T時，X(-T)=0，求條件概率(T>0)；(3) 如果在t=T時，觀察到X(T)=0，求條件概率(T>0)。 4.28 設有平穩(wěn)高斯隨機過程X(t)，其均值為0，功率譜密度函數(shù)為 求：(1)該過程在單位時間內取得極大值的平均次數(shù)；(2)極大值的概率密度分布；(3)該過程在單位時間內正穿越X=a(從水平線X=a的下方向上穿過)的次數(shù)。 4.29設有平穩(wěn)實高斯過程X(t)，均值為0，相關函數(shù)為RX(t)，該過程依均方意義可導，其導數(shù)過程為，求在t1,t2兩個時刻,,,的四維概率密度。 4.30設X(n)為均值為0、方差為s2的離散白噪聲，通過一個單位脈沖響應為h(n)的線性時不變離散時間線性系統(tǒng)，Y(n)為其輸出，試證： ， 4.31均值為0、方差為s2的離散白噪聲X(n)通過單位脈沖響應分別為h1(n)=anu(n)以及h2(n)=bnu(n)的級聯(lián)系統(tǒng)(|a|<1,|b|<1)，輸出為W(n)，求sW2。 4.32設離散系統(tǒng)的單位脈沖響應為，輸入為自相關函數(shù)為的白噪聲，求系統(tǒng)輸出Y(n)的自相關函數(shù)和功率譜密度。 4.33序列X(n)和Y(n)滿足差分方程 其中a為整常數(shù)，試用X(n)的相關函數(shù)表示Y(n)的相關函數(shù)。 4.34實值一階自回歸過程X(n)滿足差分方程 其中a1為常數(shù)，V(n)為方差為s2的白噪聲，輸入從n=0開始，。 (1)證明：若V(n)均值非零，則X(n)非平穩(wěn)；(2)證明：若V(n)均值為零、|a1|<1，則當n足夠大時，；(3)若V(n)均值為零，|a1|<1，求X(n)的自相關函數(shù)的平穩(wěn)解。 4.35考察如下的二階自回歸過程X(n) (1)若已知隨機過程的相關函數(shù)值、、，試寫出用于計算系數(shù)a1,a2以及零均值白色噪聲的方差的Yule-Walker方程；(2)反過來，若已知a1= -1,a2=0.5, ，求、、的值；(3)求相關函數(shù)的通解。 4.36察如下的二階自回歸過程X(n) 零均值白色噪聲的方差為，；求：(1)X(n)的功率譜密度；(2)根據(jù)Wold分解求X(n)的自相關函數(shù)；(3)求Yule-Walker方程 4.37考察如下的二階MA模型，輸入X(n)的功率譜密度為，求Y(n)的自相關函數(shù)和功率譜密度。 4.38考察如下的ARMA模型 其中V(n)為零均值、單位方差離散白色噪聲，求X(n)的自相關函數(shù)。 第五章：窄帶隨機過程 5.1證明：偶函數(shù)的希爾伯特變換為奇函數(shù)，奇函數(shù)的希爾伯特變換為偶函數(shù)。 5.2設一個線性系統(tǒng)的輸入為時，相應的輸出為，證明：若該系統(tǒng)的輸入為的希爾伯特，則其輸出為的希爾伯特。 5.3設功率譜密度為的零均值高斯白噪聲通過一個理想帶通濾波器，此濾波器的增益為1，中心頻率為，帶寬為（），濾波器輸出為，求的自相關函數(shù)以及其同相分量與正交分量的自相關函數(shù)。 5.4設與為低頻信號，即當時，其頻譜值為0，，證明 5.5證明廣義平穩(wěn)隨機過程與其希爾伯特的相關函數(shù)存在如下關系 ， ，為奇函數(shù) 5.6設的解釋信號(復信號表示)為，證明： 并用的功率譜密度函數(shù)來表示的功率譜密度函數(shù)。 5.7在復隨機過程中，如果其均值為復常數(shù)，且其自相關函數(shù)為僅與有關的復函數(shù)，則稱為復平穩(wěn)隨機過程，設是個實隨機變量，是個實數(shù)。試問：以及之間應滿足什么條件，才能使是一個復平穩(wěn)隨機過程。 5.8考慮窄帶高斯過程，假定其物理功率譜密度對稱于載頻，求概率密度。 5.9設復隨機過程為，其中、為相互獨立的零均值實隨機變量，，對于任意的，、以及、相互正交，求該復隨機過程的自相關函數(shù)。 5.10設窄帶信號的物理帶寬為()，證明其復包絡模平方的物理帶寬為()。 5.11設窄帶平穩(wěn)隨機過程，證明： 5.12對于調頻信號，設，即為窄帶信號，求該信號的復包絡與包絡的表示式。 5.13設窄帶平穩(wěn)隨機過程，證明其自相關函數(shù)為 5.14設窄帶平穩(wěn)隨機過程，若滿足： 證明的功率譜密度為 5.15將相關函數(shù)為的窄帶平穩(wěn)隨機過程表示為 試在(1) ，(2) 的條件下，分別求出相關函數(shù)、以及。 5.16考慮隨機相位正弦波與窄帶平穩(wěn)實高斯隨機過程之和 其中、為常數(shù)，為窄帶實平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度的中心頻率，為上均勻分布的隨機變量，、，并假設、相互獨立； (1)對每一個固定的值，求的均值和相關函數(shù)，判斷是否為高斯過程以及平穩(wěn)過程；(2)當為上均勻分布的隨機變量時，求的均值和相關函數(shù)，判斷是否為高斯過程以及平穩(wěn)過程。 5.17考慮圖示RLC帶通濾波器，設其品質因素，輸入是功率譜密度為的零均值高斯白噪聲，求濾波器輸出端的窄帶過程及其同相分量、正交分量的功率譜密度、、，并以圖示之。 5.18設為窄帶平穩(wěn)高斯平穩(wěn)隨機過程的包絡，試證： 、 其中為該窄帶隨機過程的方差。 5.19設窄帶信號，其中為高斯過程，為[]上均勻分布隨機變量，且 證明的包絡平方的相關函數(shù)為 5.20變量為卡方分布變量的的平方根，證明n個自由度的變量的概率密度為 5.21證明n個自由度的卡方分布變量的m階原點矩為 第六章：隨機過程的非線性變換 6.1給定實數(shù)和一個平穩(wěn)隨機過程，定義理想門限系統(tǒng)的特性為 試證：(1) ；(2) 6.2設平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一窄帶高斯隨機過程，其概率密度函數(shù)為 在檢波器后聯(lián)接一個理想低通濾波器，求低通濾波器輸出過程的一維概率密度和均值；當時結果有何變化。 6.3設對稱限幅器的特性為 (1)已知輸入隨機過程的一維概率密度，求輸出隨機過程的一維概率密度。(2)當輸入隨機過程為零均值平穩(wěn)高斯過程、自相關函數(shù)為時，求輸出過程的相關函數(shù)。 6.4設有理想限幅器 假定輸入為零均值平穩(wěn)高斯隨機過程。(1)求的一維概率密度和均值；(2)用Price定理證明：。 6.5設有零均值高斯平穩(wěn)隨機過程，其自相關函數(shù)為，它的一維概率分布函數(shù)為，定義一個無記憶非線性系統(tǒng)，試用Price定理證明的相關函數(shù)為 6.6平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機過程，其方差為，相關函數(shù)為，求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值及相關函數(shù)。 6.7全波線性檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機過程，其方差為，相關函數(shù)為，(1)求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值；(2)用Price定理求輸出過程的相關函數(shù)及方差。 6.8半波線性檢波器的傳輸特性為 在檢波器輸入端加入一零均值平穩(wěn)高斯隨機過程，其方差為，相關函數(shù)為，(1)求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值；(2)用Price定理求輸出過程的相關函數(shù)及方差。 6.9圖示非線性系統(tǒng)。輸入為零均值、功率譜密度為的高斯白噪聲，求輸出隨機過程的自相關函數(shù)和功率譜密度。 6.10設隨機變量和是零均值、方差為的聯(lián)合高斯隨機變量，其概率密度分布函數(shù)分別為和，且，證明： 6.11設功率譜密度為的白噪聲通過一個物理帶寬為的理想低通濾波器，在低通濾波器后接一個傳輸特性為的平方律檢波器，求檢波器輸出隨機信號的自相關函數(shù)和功率譜密度，并將功率譜密度函數(shù)用圖表示。 6.12設為均值為、相關函數(shù)為的平穩(wěn)高斯過程，將其加入到模型為 的理想限幅器輸入端，求限幅器輸出過程的自相關函數(shù)。 6.13平方律檢波器的傳輸特性為，在檢波器輸入端加入一窄帶隨機信號，其中包絡服從瑞利分布 求檢波器輸出過程的一維概率密度、均值和方差。 6.14同步檢波器如下圖所示，設為窄帶平穩(wěn)隨機信號，其相關函數(shù)為 求檢波器輸出端的相關函數(shù)及平均功率。 6.15設全波線性檢波器的傳輸特性為，檢波器的輸入為，其中為直流電平信號，為零均值平穩(wěn)高斯隨機過程，其方差為，求檢波器輸入、輸出端的信噪比(考慮高信噪比情況)。 第七章：馬爾可夫過程 7.1設由獨立隨機序列構成一個新的序列，且定義為 試證明隨機序列為馬爾可夫序列。 7.2設為馬爾可夫過程，又設，試證明 即一個馬爾可夫過程的反向也具有馬爾可夫性。 7.3試證明對于任何一個馬爾可夫過程，如果“現(xiàn)在”的值為已知，則該過程的“過去”和“將來”是統(tǒng)計獨立的，即如果，其中代表“現(xiàn)在”，、代表“過去”和“將來”，若為已知，試證明 7.4設齊次馬爾可夫鏈有四個狀態(tài)、、、，其轉移概率矩陣為 (1)如果該鏈在第n時刻處于狀態(tài)，求在n+2時刻處于狀態(tài)的概率；(2) 如果該鏈在第n時刻處于狀態(tài)，求在n+3時刻處于狀態(tài)的概率。 7.5為馬爾可夫過程，又設，試證明 7.6一個質點沿標有整數(shù)的直線移動，經過一步從點移動到的概率為，停止在點的概率為，移動到的概率為，且。(1)求該馬爾可夫過程的一步轉移概率矩陣以及二步轉移概率矩陣；(2)若該質點在n時刻位于點，求該質點在n+2時刻位于各點的概率。 7.7若質點M在(0,1,2)三個位置隨機徘徊，每經一單位時間按下列概率規(guī)則改變一次位置：自0出發(fā)，下一步停留在0的概率為q，來到1的概率為p；自1出發(fā)到達0,2的概率分別為p和q；自2出發(fā)停留在2及到達1的概率分別為p和q。該馬爾可夫過程的一步轉移概率矩陣以及二步轉移概率矩陣。 7.8若質點M在圖示的反射壁間四個位置上隨機游動，在處向右移動一步的概率為1；在處向左移動一步的概率為1；在、處向左或向右移動一步的概率為1/4、停留的概率為1/2，試求在平穩(wěn)情況下，質點處于各狀態(tài)的概率。 7.9設為相互統(tǒng)計獨立的零均值隨機變量構成的序列，各自的概率密度分布函數(shù)分別為，定義另外一個隨機變量序列{}如下 試證明：(1) 序列{}具有馬爾可夫性 (2) 7.10設齊次馬爾可夫鏈的一步轉移矩陣為，請應用該過程的遍歷性證明： 7.11從1，2，3，4，5，6六個數(shù)中等可能地取一個數(shù)，然后還原，不斷獨立地連續(xù)下去，如果在前n次中所取的最大數(shù)為，就說質點在第n步時的位置處于狀態(tài)。質點的運動構成馬爾可夫鏈，試寫出其轉移概率矩陣。 7.12設有隨機過程X(n)，n=1,2,3,…；它的狀態(tài)空間I：{x,00} X(1),X(2),…,X(m)的聯(lián)合概率密度函數(shù)為 (1)求邊際概率密度分布、；(2)求邊際概率密度 ；(3)求轉移概率密度，并問該過程是否為馬爾可夫過程。 7.16三個黑球與三個白球，將這6個球任意等分兩個袋中，并將甲袋中的白球數(shù)定義為隨機過程的狀態(tài)，則有四種狀態(tài)：0，1，2，3；現(xiàn)每次從甲、乙袋中各取一球，然后相互交換，經過n次交換，過程的狀態(tài)為X(n)，n=1,2,3，…； (1)該過程是否為馬爾可夫鏈；(2)計算其一步轉移概率矩陣；(3)該鏈的平穩(wěn)分布是否存在，為什么？若存在，求其平穩(wěn)分布；(4)若X(0)=0，求經過三次交換后甲袋中有三個白球的概率。 7.17設{X(n)}是一馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為I：{0,1,2}，初始狀態(tài)概率分布為 一步轉移概率矩陣為 (1)計算概率；(2)計算 7.18設有馬爾可夫鏈，它的狀態(tài)空間為I：{0，1，2}，它的一步轉移概率矩陣為 (1)試求，并證明； (2)求，。 7.19設{X(n)}是一馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間為I：{0,1}，其一步轉移概率矩陣為 證明： 7.20天氣預報問題。假設今日是否下雨依賴于前3天是否有雨，請將這一問題歸結為馬爾可夫鏈。如果過去一連3天有雨，今天有雨的概率為0.8，連續(xù)3天為晴，今天有雨的概率為0.2；在其他天氣情況下，今日的天氣與昨日相同的概率為0.6，求這個馬爾可夫鏈的轉移矩陣。 7.21設{}為馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間，轉移矩陣為 (1)求 (2)求 7.22設{}為馬爾可夫鏈，其狀態(tài)空間，轉移概率矩陣為 ，求其閉集。 7.23確定下列馬爾可夫鏈的狀態(tài)分類，哪些屬于常返的，哪些屬于非常返的。其一步轉移概率矩陣分別為。 (1) ；(2) ； (4) ；(5) 7.24設為具有比率為的泊松記數(shù)過程，其相應的概率分布為 試求該過程的特征函數(shù)，并根據(jù)特征函數(shù)求其均值、方差。 7.25設為具有比率為的泊松記數(shù)過程，以如下方式產生一個新的隨機過程，，在過程中，每發(fā)生一事件，就變化一隨機數(shù)量，對應第n次事件的隨機變量為，并且對應不同的事件，這些變化之間以及與間是相互獨立的，這樣 假設每個隨機變量具有相同的概率密度函數(shù)，對應的均值、均方值分別為、，試求該過程的特征函數(shù)，并根據(jù)特征函數(shù)求其均值、方差。 7.26設與是兩個相互獨立的、比率分別為和的泊松過程 (1)證明是比率為的泊松過程； (2)證明不是泊松過程 7.27設在時間t內向電話總機呼喚k次的概率為，其中為常數(shù)，在任意相鄰的時間間隔內的呼喚次數(shù)是相互獨立的，求在2t時間內呼喚n次的概率。 7.28設、、…、是相互獨立、分別服從參數(shù)為、、…、的泊松分布隨機變量，證明隨機變量服從參數(shù)為的泊松分布。 7.29電子管中的電子發(fā)射問題。設單位時間內到達陽極的電子數(shù)目N服從泊松分布，即，每個電子攜帶的能量構成隨機序列、、…、；已知各間相互獨立且與N相互獨立，、；，求均值與方差。 7.30給定一個隨機過程的任意兩個時刻和，若對于任意時刻，與統(tǒng)計獨立，試證明為馬爾可夫過程。 7.31多級單調諧電流放大器的頻率響應特性為 其輸入端接入電流，為電子的電荷，已知泊松脈沖序列 的相關函數(shù)為，如果中頻放大器輸出電流的均值和方差都可以測出，求輸入脈沖列每秒的平均個數(shù)。 7.32已知為泊松過程，如果，且和為非負整數(shù)，證明： 7.33一質點沿圓周運動，圓周按順時針等距排列3個點(0,1,2)將圓周分成3格，質點每次移動或順時針或逆時針移動一格，順時針前進一格的概率為，逆時針退一格的概率為。設代表質點經過n次游動后所處的位置，為齊次馬爾可夫鏈。試求：(1)一步轉移概率矩陣，(2)極限概率分布。 7.34一質點沿圓周運動，圓周按順時針等距排列5個點(0,1,2,3,4)將圓周分成5格，質點每次移動或順時針或逆時針移動一格，順時針前進一格的概率為，逆時針退一格的概率為。設代表質點經過n次游動后所處的位置，為齊次馬爾可夫鏈。試求：(1)一步轉移概率矩陣，(2)極限概率分布。