2018-2019版高中數(shù)學(xué) 第三章 不等式 3.4.1 基本不等式練習(xí) 新人教A版必修5.doc

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第1課時(shí)　基本不等式 課后篇鞏固探究 　　　　　　　　　　　　　　　　 A組 1.若a≥0,b≥0,且a+b=2,則下列不等式正確的是 (　　) A.ab≤1 B.ab≥1 C.a2+b2≥4 D.a2+b2≤4 解析由已知可得ab≤a+b22=1,而a2+b2=(a+b)2-2ab=4-2ab≥2,故只有A正確. 答案A 2.若x>0,y>0,且x+y=,則xy的最大值為(　　) A.233 B.23 C. D.136 解析由基本不等式可得xy≤x+y22=1322=136,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=時(shí),xy取最大值136. 答案D 3.若實(shí)數(shù)a,b滿足a+b=2,則3a+3b的最小值是(　　) A.18 B.6 C.23 D.243 解析3a+3b≥23a3b=23a+b=232=6,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),取等號(hào).故3a+3b的最小值是6. 答案B 4.已知a,b均為正實(shí)數(shù),則下列不等式不一定成立的是 (　　) A.a+b+1ab≥22 B.(a+b)1a+1b≥4 C.a2+b2ab≥a+b D.2aba+b≥ab 解析A項(xiàng),a+b+1ab≥2ab+1ab≥22,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=22時(shí)等號(hào)同時(shí)成立;B項(xiàng),(a+b)1a+1b=2+ab+ba≥4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào);C項(xiàng),a2+b2ab≥(a+b)22ab≥(a+b)2a+b=a+b,當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)取等號(hào).故選D. 答案D 5.若lg x+lg y=2,則1x+1y的最小值為(　　) A.120 B. C. D.2 解析由lg x+lg y=2可知x>0,y>0,且xy=100,于是1x+1y=x+yxy=1100(x+y)≥11002xy=15,當(dāng)且僅當(dāng)x=y=10時(shí),取等號(hào).故1x+1y的最小值為. 答案B 6.已知a>1,且m=loga(a2+1),n=loga(a+1),p=loga(2a),則m,n,p的大小關(guān)系是　　　　　.(用“>”連接) 解析∵a>1,∴a2+1>2a>a+1, ∴l(xiāng)oga(a2+1)>loga(2a)>loga(a+1),∴m>p>n. 答案m>p>n 7.已知t>0,則y=t2-3t+1t的最小值為　　　　. 解析y=t2-3t+1t=t+-3≥2t1t-3=-1,當(dāng)且僅當(dāng)t=1時(shí),取等號(hào).故函數(shù)的最小值為-1. 答案-1 8.已知a>b>c,則(a-b)(b-c)與a-c2的大小關(guān)系是　　　　　　　　　　. 解析∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0, ∴a-c2=(a-b)+(b-c)2≥(a-b)(b-c). 當(dāng)且僅當(dāng)b=a+c2時(shí)取等號(hào). 答案(a-b)(b-c)≤a-c2 9.已知a,b均為正實(shí)數(shù),求證:1a2+1b2+ab≥22. 證明由于a,b均為正實(shí)數(shù),所以1a2+1b2≥21a21b2=2ab,當(dāng)且僅當(dāng)1a2=1b2,即a=b時(shí),等號(hào)成立.又因?yàn)?ab+ab≥22abab=22,當(dāng)且僅當(dāng)2ab=ab時(shí)等號(hào)成立,所以1a2+1b2+ab≥2ab+ab≥22,當(dāng)且僅當(dāng)1a2=1b2,2ab=ab,即a=b=42時(shí)取等號(hào). 10.導(dǎo)學(xué)號(hào)04994085已知不等式ax2-3x+2<0的解集為A={x|10,解得a=1,b=2. (2)由(1)知a=1,b=2,A={x|10時(shí),4x+≥24x9x=26=12.當(dāng)且僅當(dāng)4x=,即x=時(shí)取等號(hào). 而x=32∈A,故f(x)的最小值為12. B組 1.已知3a+2b=2(a>0,b>0),則ab的最小值是(　　) 　　　　　　　　　　　　　　　　 A.4 B.5 C.6 D.7 解析∵3a+2b=2(a>0,b>0), ∴2≥23a2b,化為ab≥6,當(dāng)且僅當(dāng)a=3,b=2時(shí)取等號(hào).∴ab的最小值是6.故選C. 答案C 2.若a,b,c∈R,且ab+bc+ca=1,則下列不等式成立的是 (　　) A.a2+b2+c2≥2 B.a+b+c≤3 C.1a+1b+1c≤23 D.(a+b+c)2≥3 解析因?yàn)閍2+b2≥2ab,b2+c2≥2bc,a2+c2≥2ac,于是a2+b2+c2≥ab+bc+ca=1,故A錯(cuò);而(a+b+c)2=a2+b2+c2+2(ab+bc+ca)≥3(ab+bc+ca)=3,故選項(xiàng)D正確;從而選項(xiàng)B錯(cuò)誤;令a=b=c=33,則ab+bc+ca=1,但1a+1b+1c=33>23,故選項(xiàng)C錯(cuò)誤. 答案D 3.已知x,y均為正數(shù),且x≠y,則下列四個(gè)數(shù)中最大的一個(gè)是(　　) A.121x+1y B.1x+y C.1xy D.12(x2+y2) 解析取x=1,y=2,可得121x+1y=34,1x+y=13,1xy=12,12(x2+y2)=110,因此最大的是121x+1y. 答案A 4.函數(shù)f(x)=x+4x的最小值等于　　　　. 解析由基本不等式可知f(x)=x+4x≥2x4x=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=4x,即x=4時(shí)取最小值. 答案4 5.已知a>0,b>0,若lg a和lg b的等差中項(xiàng)是0,則1a+1b的最小值是　　　　. 解析由已知得lg a+lg b=0,即ab=1,于是1a+1b=a+bab=a+b≥2ab=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1時(shí),取等號(hào).故1a+1b的最小值是2. 答案2 6.已知函數(shù)f(x)=4x+ (x>0,a>0)在x=3處取得最小值,則a=　　　　　. 解析由基本不等式,得4x+≥24xax=4a,當(dāng)且僅當(dāng)4x=,即x=a2時(shí),等號(hào)成立,即a2=3,a=36. 答案36 7.若x,y∈R,且滿足(x2+y2+2)(x2+y2-1)-18≤0. (1)求x2+y2的取值范圍;(2)求證:xy≤2. (1)解由(x2+y2)2+(x2+y2)-20≤0,得(x2+y2+5)(x2+y2-4)≤0, 因?yàn)閤2+y2+5>0,所以有0≤x2+y2≤4.故x2+y2的取值范圍是[0,4]. (2)證明由(1)知x2+y2≤4,所以xy≤x2+y22≤42=2,當(dāng)且僅當(dāng)x=y時(shí),取等號(hào).故xy≤2. 8.導(dǎo)學(xué)號(hào)04994086已知a,b為正實(shí)數(shù),且1a+1b=22. (1)求a2+b2的最小值; (2)若(a-b)2≥4(ab)3,求ab的值. 解(1)∵a,b為正實(shí)數(shù),且1a+1b=22,∴1a+1b=22≥21ab,即ab≥ (當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立). ∵a2+b2≥2ab≥2=1(當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立), ∴a2+b2的最小值為1. (2)∵1a+1b=22,∴a+b=22ab.∵(a-b)2≥4(ab)3,∴(a+b)2-4ab≥4(ab)3,即(22ab)2-4ab≥4(ab)3,即(ab)2-2ab+1≤0,(ab-1)2≤0.∵a,b為正實(shí)數(shù),∴ab=1.