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第六章 第4節(jié) 基本不等式
[基礎訓練組]
1．(導學號14577548)設0
0，即>a，D錯誤，故選B.]
2．(導學號14577549)已知00.
∴x(3－3x)＝3x(1－x)≤32＝.
當x＝1－x，即x＝時取等號．]
3．(導學號14577550)函數(shù)y＝(x>1)的最小值是( )
A．2＋2 B．2－2
C．2 D．2
解析：A [∵x>1，∴x－1>0.
∴y＝＝
＝
＝＝x－1＋＋2
≥2＋2＝2＋2.
當且僅當x－1＝，即x＝1＋時，取等號．]
4．(導學號14577551)(2018長春市質(zhì)檢)設正實數(shù)a，b滿足a＋b＝1，則( )
A.＋有最大值4 B.有最小值
C.＋有最大值 D．a(chǎn)2＋b2有最小值
解析：C [由于a>0，b>0，由基本不等式得1＝a＋b≥2，當且僅當a＝b時，等號成立，∴≤，∴ab≤，＋＝＝≥4，因此＋的最小值為4，a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－＝，(＋)2＝a＋b＋2＝1＋2≤1＋1＝2，所以＋有最大值，故選C.]
5．(導學號14577552)要制作一個容積為4 m3，高為1 m的無蓋長方體容器．已知該容器的底面造價是每平方米20元，側面造價是每平方米10元，則該容器的最低總造價是( )
A．80元 B．120元
C．160元 D．240元
解析：C [設該容器的總造價為y元，長方體的底面矩形的長為x m，因為無蓋長方體的容積為4 m3，高為1 m，所以長方體的底面矩形的寬為 m，依題意，得y＝204＋10＝80＋20≥80＋202 ＝160，所以該容器的最低總造價為160元．]
6．(導學號14577553)當x＞1時，不等式x＋≥a恒成立，則實數(shù)a的最大值為 ________ .
解析：因為x＞1，所以x－1＞0.又x＋＝x－1＋＋1≥2＋1＝3，當且僅當x＝2時等號成立，所以a的最大值為3.
答案：3
7．(導學號14577554)(文科)設＝(1，－2)，＝(a，－1)，＝(－b,0)，a＞0，b＞0，O為坐標原點，若A，B，C三點共線，則＋的最小值是 ________ .
解析：＝－＝(a－1,1)，＝－
＝(－b－1,2)，∵A，B，C三點共線，∴與共線，
∴2(a－1)＋b＋1＝0，即2a＋b＝1.
∵a＞0，b＞0，∴＋＝(2a＋b)＝4＋＋≥4＋4＝8，當且僅當＝，即b＝2a時等號成立．
答案：8
7．(導學號14577555)(理科)(2018濟寧市一模)已知圓x2＋y2－2x－4y＋3＝0關于直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)對稱，則＋的最小值為 _________ .
解析：∵圓x2＋y2－2x－4y＋3＝0?(x－1)2＋(y－2)2＝2，圓x2＋y2－2x－4y＋3＝0關于直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)對稱，
∴該直線經(jīng)過圓心(1,2)．
把圓心(1,2)代入直線ax＋by－3＝0(a＞0，b＞0)，
得2a＋2b－3＝0，
∴a＋b＝，a＞0，b＞0，
∴＋＝(a＋b)
＝≥＝2＋，
當且僅當＝，即b＝a時取得最小值2＋.
答案：2＋
8．(導學號14577556)(2018天津河北區(qū)三模)已知a＞0，b＞0滿足a＋b＝ab－3，那么a＋2b的最小值為 ____ .
解析：因為a＋b＝ab－3，所以ab－a＝b＋3.
又因為a＞0，b＞0，所以a＝，
所以a＋2b＝＋2b＝＋2(b－1)＋2＝＋2(b－1)＋3≥2＋3＝4＋3，當且僅當＝2(b－1)即b＝＋1時取“＝”．
答案：4＋3
9．(導學號14577557)已知a＞0，b＞0，c＞0，求證：＋＋≥a＋b＋c.
證明：∵a＞0，b＞0，c＞0，
∴＋≥2＝2c，
＋≥2＝2b，
＋≥2＝2a.
以上三式相加得：
2≥2(a＋b＋c)，
即＋＋≥a＋b＋c.
10．(導學號14577558)已知lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)．
(1)求xy的最小值；
(2)求x＋y的最小值．
解：由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)
得
(1)∵x＞0，y＞0，
∴3xy＝x＋y＋1≥2＋1，
∴3xy－2－1≥0，
即3()2－2－1≥0，
∴(3＋1)(－1)≥0，
∴≥1，∴xy≥1，
當且僅當x＝y(tǒng)＝1時，等號成立．
∴xy的最小值為1.
(2)∵x＞0，y＞0，
∴x＋y＋1＝3xy≤32，
∴3(x＋y)2－4(x＋y)－4≥0，
∴[3(x＋y)＋2][(x＋y)－2]≥0，
∴x＋y≥2，
當且僅當x＝y(tǒng)＝1時取等號，
∴x＋y的最小值為2.
[能力提升組]
11．(導學號14577559)(2018金麗衢市聯(lián)考)若函數(shù)f(x)＝(a<2)在區(qū)間(1，＋∞)上的最小值為6，則實數(shù)a的值為( )
A．0 B.
C．1 D.
解析：B [由題意得f(x)＝
＝＝2(x－1)＋＋4≥2＋4＝2＋4，當且僅當2(x－1)＝，即x＝1＋時，等號成立，所以2＋4＝6，即a＝，故選B.]
12．(導學號14577560)(理科)(2018平頂山市一模)若對于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，則實數(shù)a的取值范圍為( )
A．a(chǎn)≥ B．a(chǎn)＞
C．a(chǎn)＜ D．a(chǎn)≤
解析：A [由x＞0，＝，令t＝x＋，則t≥2＝2，
當且僅當x＝1時，t取得最小值2，取得最大值，所以對于任意的x＞0，不等式≤a恒成立，則a≥，故選A.]
12．(導學號14577561)(文科)(2018邯鄲市調(diào)研)若正數(shù)a，b滿足＋＝1，則＋的最小值為( )
A．16 B．25
C．36 D．49
解析：A [因為a，b>0，＋＝1，所以a＋b＝ab，所以＋＝＝＝4b＋16a－20.又4b＋16a＝4(b＋4a)＝4(b＋4a)＝20＋4≥20＋42＝36，當且僅當＝且＋＝1，即a＝，b＝3時取等號．所以＋≥36－20＝16.]
13．(導學號14577562)規(guī)定記號“?”表示一種運算，即a?b＝＋a＋b(a，b為正實數(shù))．若1?k＝3，則k的值為 ____________ ，此時函數(shù)f(x)＝的最小值為 ________ .
解析：1?k＝＋1＋k＝3，即k＋－2＝0，
∴＝1或＝－2(舍去)，k＝1.
f(x)＝＝＝1＋＋≥1＋2＝3，
當且僅當＝即x＝1時等號成立．
答案：1 3
14．(導學號14577563)(2018安徽皖北片第一次聯(lián)考)某工廠某種產(chǎn)品的年固定成本為250萬元，每生產(chǎn)x千件，需另投入成本為C(x)，當年產(chǎn)量不足80千件時，C(x)＝x2＋10x(萬元)．當年產(chǎn)量不小于80千件時，C(x)＝51x＋－1 450(萬元)．每件商品售價為0.05萬元．通過市場分析，該廠生產(chǎn)的商品能全部售完．
(1)寫出年利潤L(x)(萬元)關于年產(chǎn)量x(千件)的函數(shù)解析式；
(2)年產(chǎn)量為多少千件時，該廠在這一商品的生產(chǎn)中所獲利潤最大？
解：(1)∵每件商品售價為0.05萬元，
∴x千件商品銷售額為0.051 000x萬元，
①當0＜x＜80時，根據(jù)年利潤＝銷售收入－成本，
∴L(x)＝(0.051 000x)－x2－10x－250＝－x2＋40x－250；
②當x≥80時，根據(jù)年利潤＝銷售收入－成本，
∴L(x)＝(0.051 000x)－51x－＋1 450－250＝1 200－.
綜合①②可得，L(x)＝
(2)由(1)可知，
①當0＜x＜80時，L(x)＝－x2＋40x－250＝－(x－60)2＋950，
∴當x＝60時，L(x)取得最大值L(60)＝950萬元；
②當x≥80時，L(x)＝1 200－≤1 200－2＝1 200－200＝1 000，
當且僅當x＝，即x＝100時，L(x)取得最大值L(100)＝1 000萬元．
綜合①②，由于950＜1 000，
∴當產(chǎn)量為100千件時，該廠在這一商品中所獲利潤最大，最大利潤為1 000萬元．
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