2018年秋高中數(shù)學(xué) 課時(shí)分層作業(yè)15 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 新人教A版選修2-1.doc

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課時(shí)分層作業(yè)(十五) 空間向量的數(shù)量積運(yùn)算 (建議用時(shí)：40分鐘) [基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練] 一、選擇題 1．設(shè)平面上有四個(gè)互異的點(diǎn)A，B，C，D，已知(＋－2DA)(－)＝0，則△ABC是(　　) A．直角三角形　　　 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等邊三角形 B　[因?yàn)椋?＝(－)＋(－)＝＋ 所以(＋－2)(－)＝(＋)(－)＝2－2＝0 所以||＝||，因此△ABC是等腰三角形．] 2．若向量m垂直于向量a和b，向量n＝λa＋μb(λ，μ∈R且λ，μ≠0)，則(　　) A．m∥n B．m⊥n C．m不平行于n，m也不垂直于n D．以上三種情況都有可能 B　[由題意知，ma＝0，mb＝0，則mn＝m(λa＋μb)＝λma＋μ mb＝0. 因此m⊥n.] 3．已知空間四邊形ABCD的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于a，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，則的值為(　　) A．a(chǎn)2 B．a(chǎn)2 C．a(chǎn)2 D．a(chǎn)2 C　[＝(＋)AD＝(＋)＝＝a2.] 4．已知空間四邊形ABCD中，∠ACD＝∠BDC＝90，且AB＝2，CD＝1，則AB與CD所成的角是(　　) 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342143】 A．30 B．45 C．60 D．90 C　[根據(jù)已知∠ACD＝∠BDC＝90，得＝＝0，∴＝(＋＋)＝＋||2＋＝||2＝1，∴cos〈，〉＝＝，∴AB與CD所成的角為60.] 5.如圖3124，已知平行四邊形ABCD中，AD＝4，CD＝3，∠D＝60，PA⊥平面ABCD，且PA＝6，則PC＝(　　) 圖3124 A．3 B．7 C．4 D．6 B　[||2＝＝(＋＋)2＝||2＋||2＋||2＋2＋2＋2＝62＋42＋32＋2||||cos 120＝49. 所以||＝7.] 二、填空題 6．已知|a|＝2，|b|＝1，〈a，b〉＝60，則使向量a＋λb與λa－2b的夾角為鈍角的實(shí)數(shù)λ的取值范圍是________． (－1－，－1＋)　[由題意知 即 得λ2＋2λ－2<0. ∴－1－<λ<－1＋.] 7.如圖3125，已知正三棱柱ABCA1B1C1的各條棱長(zhǎng)都相等，M是側(cè)棱CC1的中點(diǎn)，則異面直線AB1和BM所成的角的大小是________． 圖3125 90　[不妨設(shè)棱長(zhǎng)為2，則1＝－，＝＋， cos〈，〉＝ ＝＝0，故填90.] 8．如圖3126所示，在一個(gè)直二面角αABβ的棱上有A，B兩點(diǎn)，AC，BD分別是這個(gè)二面角的兩個(gè)面內(nèi)垂直于AB的線段，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，則CD的長(zhǎng)為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342144】 圖3126 2　[∵＝＋＋＝－＋，∴2＝(－＋)2＝2＋2－2＋2＋2－2＝16＋36＋64＝116，∴||＝2.] 三、解答題 9．如圖3127，在正方體ABCDA1B1C1D1中，O為AC與BD的交點(diǎn)，G為CC1的中點(diǎn)．求證：A1O⊥平面BDG. 圖3127 [證明]　設(shè)＝a，＝b，＝C． 則ab＝0，ac＝0，bc＝0. 而＝＋ ＝＋(＋) ＝c＋(a＋b)， ＝－＝b－a， ＝＋ ＝(＋)＋ ＝(a＋b)－C． ∴＝(b－a) ＝c(b－a)＋(a＋b)(b－a) ＝cb－ca＋(b2－a2) ＝(|b|2－|a|2)＝0. ∴⊥. ∴A1O⊥BD． 同理可證⊥. ∴A1O⊥OG. 又OG∩BD＝O且A1O?平面BDG， ∴A1O⊥平面BDG. 10．已知長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，AB＝AA1＝2，AD＝4，E為側(cè)面AB1的中心，F(xiàn)為A1D1的中點(diǎn)，試計(jì)算：(1)；(2)；(3). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342145】 [解]　如圖所示，設(shè)＝a，＝b，＝c， 則|a|＝|c|＝2，|b|＝4，ab＝bc＝ca＝0. (1)＝(＋) ＝ ＝b ＝|b|2＝42＝16. (2)＝(＋)(＋) ＝(＋) ＝(a＋c) ＝|c|2－|a|2＝22－22＝0. (3)＝(＋)(＋) ＝ ＝ ＝(－a＋b＋c) ＝－|a|2＋|b|2＝2. [能力提升練] 1．已知邊長(zhǎng)為1的正方體ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心為O1，則的值為(　　) A．－1 B．0 C．1 D．2 C　[＝＋＝＋(＋)＝＋(＋)，而＝＋，則＝(2＋2)＝1，故選C．] 2．已知a，b是兩異面直線，A，B∈a，C，D∈b，AC⊥b，BD⊥b且AB＝2，CD＝1，則直線a，b所成的角為(　　) A．30 B．60 C．90 D．45 B　[由于＝＋＋，則＝(＋＋)＝2＝1. cos〈，〉＝＝，得〈，〉＝60.] 3．已知正三棱柱ABCDEF的側(cè)棱長(zhǎng)為2，底面邊長(zhǎng)為1，M是BC的中點(diǎn)，若直線CF上有一點(diǎn)N，使MN⊥AE，則＝________. 　[設(shè)＝m，由于＝＋，＝＋m， 又＝0， 得11＋4m＝0， 解得m＝.] 4．已知在正四面體DABC中，所有棱長(zhǎng)都為1，△ABC的重心為G，則DG的長(zhǎng)為_(kāi)_______. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：46342146】 　[如圖，連接AG并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)M，連接DM，∵G是△ABC的重心，∴AG＝AM， ∴＝，＝＋＝＋＝＋(－)＝＋＝(＋＋)，而(＋＋)2＝2＋2＋2＋2＋2＋2＝1＋1＋1＋2(cos 60＋cos 60＋cos 60)＝6，∴||＝.] 5．如圖3128，正四面體VABC的高VD的中點(diǎn)為O，VC的中點(diǎn)為M. 圖3128 (1)求證：AO，BO，CO兩兩垂直； (2)求〈，〉． [解]　(1)證明：設(shè)＝a，＝b，＝c，正四面體的棱長(zhǎng)為1， 則＝(a＋b＋c)，＝(b＋c－5a)， ＝(a＋c－5b)，＝(a＋b－5c)， 所以＝(b＋c－5a)(a＋c－5b)＝(18ab－9|a|2)＝(1811cos 60－9)＝0， 所以⊥，即AO⊥BO. 同理，AO⊥CO，BO⊥CO. 所以AO，BO，CO兩兩垂直． (2)＝＋＝－(a＋b＋c)＋c＝(－2a－2b＋c)， 所以||＝＝. 又||＝＝， ＝(－2a－2b＋c)(b＋c－5a)＝， 所以cos〈，〉＝＝. 又〈，〉∈(0，π)，所以〈，〉＝.