套利定價理論

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1、2021/5/231套利定價理論（套利定價理論（APT）2021/5/232概述概述在上一節(jié)，為了得到投資者的最優(yōu)投資組合，在上一節(jié)，為了得到投資者的最優(yōu)投資組合，要求知道：要求知道： 回報率均值向量回報率均值向量 回報率方差回報率方差-協(xié)方差矩陣協(xié)方差矩陣 無風(fēng)險利率無風(fēng)險利率估計量和計算量隨著證券種類的增加以指數(shù)估計量和計算量隨著證券種類的增加以指數(shù)級增加級增加2021/5/233引入因子模型可以大大簡化計算量引入因子模型可以大大簡化計算量由于因子模型的引入，使得估計由于因子模型的引入，使得估計Markowitz有效有效集的艱巨而煩瑣的任務(wù)得到大大的簡化。集的艱巨而煩瑣的任務(wù)得到大大的簡化

2、。因子模型還給我們提供關(guān)于證券回報率生成因子模型還給我們提供關(guān)于證券回報率生成過程的一種新視點過程的一種新視點一元或者多元統(tǒng)計分析，以一個或者多個變量來一元或者多元統(tǒng)計分析，以一個或者多個變量來解釋證券的收益，從而比僅僅以市場來解釋證解釋證券的收益，從而比僅僅以市場來解釋證券的收益更準(zhǔn)確。券的收益更準(zhǔn)確。2021/5/234 CAPM與與APT建立在均值建立在均值-方差分析基礎(chǔ)上的方差分析基礎(chǔ)上的CAPM是一種理是一種理論上相當(dāng)完美的模型，但實際上只有理論意義，論上相當(dāng)完美的模型，但實際上只有理論意義，因為假設(shè)條件太多、太嚴(yán)格！因為假設(shè)條件太多、太嚴(yán)格！除除CAPM理論外，另一種重要的定價理論

3、是由理論外，另一種重要的定價理論是由Stephen Ross在在1976年建立的套利定價理論年建立的套利定價理論（Arbitrage pricing theory，APT），從另），從另一個角度探討了資產(chǎn)的定價問題。一個角度探討了資產(chǎn)的定價問題。市場均衡條件下的最優(yōu)投資組合理論市場均衡條件下的最優(yōu)投資組合理論=CAPM無套利假定下因子模型無套利假定下因子模型=APT2021/5/235CAPM是建立在一系列假設(shè)之上的非常理想是建立在一系列假設(shè)之上的非常理想化的模型，這些假設(shè)包括化的模型，這些假設(shè)包括Harry Markowitz建立均值建立均值-方差模型時所作的假方差模型時所作的假設(shè)。這其中最

4、關(guān)鍵的假設(shè)是設(shè)。這其中最關(guān)鍵的假設(shè)是同質(zhì)性假設(shè)同質(zhì)性假設(shè)。相反，相反，APT所作的假設(shè)少得多。所作的假設(shè)少得多。APT的基本的基本假設(shè)之一是：假設(shè)之一是：個體是非滿足個體是非滿足，而不需要風(fēng)，而不需要風(fēng)險規(guī)避的假設(shè)！險規(guī)避的假設(shè)！每個人都會利用套利機會：在不增加風(fēng)險的前提每個人都會利用套利機會：在不增加風(fēng)險的前提下提高回報率。下提高回報率。只要一個人套利，市場就會出現(xiàn)均衡！只要一個人套利，市場就會出現(xiàn)均衡！2021/5/236因子模型因子模型 （Factor model）定義定義：因子模型是一種假設(shè)證券的回報率只：因子模型是一種假設(shè)證券的回報率只與不同的因子波動（與不同的因子波動（相對數(shù)相對數(shù)

5、）或者指標(biāo)的）或者指標(biāo)的運動有關(guān)的經(jīng)濟模型。運動有關(guān)的經(jīng)濟模型。因子模型是因子模型是APT的基礎(chǔ)，其目的是找出這些的基礎(chǔ)，其目的是找出這些因素并確認(rèn)證券收益率對這些因素變動的因素并確認(rèn)證券收益率對這些因素變動的敏感度。敏感度。依據(jù)因子的數(shù)量，可以分為單因子模型和多依據(jù)因子的數(shù)量，可以分為單因子模型和多因子模型。因子模型。2021/5/237單因子模型單因子模型引子引子若把經(jīng)濟系統(tǒng)中的所有相關(guān)因素作為一個總的宏若把經(jīng)濟系統(tǒng)中的所有相關(guān)因素作為一個總的宏觀經(jīng)濟指數(shù)。觀經(jīng)濟指數(shù)。假設(shè)假設(shè)：（：（1）證券的證券的回報率回報率僅僅取決于該僅僅取決于該指數(shù)的指數(shù)的變化變化；（；（2）除此以外的因素是公司特

6、有風(fēng)）除此以外的因素是公司特有風(fēng)險險殘余風(fēng)險殘余風(fēng)險則可以建立以宏觀經(jīng)濟指數(shù)變化為自變量，以證券則可以建立以宏觀經(jīng)濟指數(shù)變化為自變量，以證券回報率為因變量的單因子模型。回報率為因變量的單因子模型。例如，例如，GDP的預(yù)期增長率是影響證券回報率的的預(yù)期增長率是影響證券回報率的主要因素主要因素。 2021/5/238例例1：設(shè)證券回報僅僅與市場因子回報有關(guān)：設(shè)證券回報僅僅與市場因子回報有關(guān)其中其中 =在給定的時間在給定的時間t，證券，證券i 的回報率的回報率 =在同一時間區(qū)間，市場因子在同一時間區(qū)間，市場因子m的相對數(shù)的相對數(shù) =截距項截距項 =證券證券i對因素對因素m的敏感度的敏感度 =隨機誤差

7、項，隨機誤差項，itiim mtitrab reitrmtriaimbite0,cov(,)0,cov(,)0ititmtitjtE er2021/5/239因子模型回歸因子模型回歸年份年份IGDPt（%）股票股票A收益率（收益率（%）15.7 14.326.4 19.23 8.923.44 8.015.65 5.1 9.26 2.913.04%trtGDPI613.0%r 63.2%e 62.9%GDPI2021/5/2311圖中，橫軸表示圖中，橫軸表示GDP的增長率，縱軸表示股的增長率，縱軸表示股票票A的回報率。圖上的每一點表示：在給的回報率。圖上的每一點表示：在給定的年份，股票定的年份，

8、股票A的回報率與的回報率與GDP增長率。增長率。通過線性回歸，我們得到一條符合這些點的通過線性回歸，我們得到一條符合這些點的直線為（極大似然估計）直線為（極大似然估計）4%2tGDP ttrIe2021/5/2312從這個例子可以看出，從這個例子可以看出，A在任何一期的回在任何一期的回報率包含了三種成份：報率包含了三種成份：1.在任何一期都相同的部分在任何一期都相同的部分a2.依賴于依賴于GDP的預(yù)期增長率，每一期都的預(yù)期增長率，每一期都不相同的部分不相同的部分bIGDPt3.屬于特定一期的特殊部分屬于特定一期的特殊部分et。2021/5/2313 通過分析上面這個例子，可歸納出單因子模型的一

9、通過分析上面這個例子，可歸納出單因子模型的一般形式：對時間般形式：對時間t 的任何證券的任何證券i 有時間序列有時間序列其中：其中： ft是是t時期公共因子的預(yù)測值；時期公共因子的預(yù)測值； rit在時期在時期t證券證券i的回報；的回報； eit在時期在時期t證券證券i的特有回報的特有回報 ai零因子零因子 bi證券證券i對公共因子對公共因子f的敏感度的敏感度(sensitivity),或或因子載荷（因子載荷（factor loading）itiititrab fe（8.1）2021/5/2314 為簡單計，只考慮在某個特定的時間的因為簡單計，只考慮在某個特定的時間的因子模型，從而省掉角標(biāo)子模型

10、，從而省掉角標(biāo)t，從而（，從而（8.1）式）式變?yōu)樽優(yōu)椴⑶壹僭O(shè)并且假設(shè)(1)cov( , )0ie f (2)cov( ,)0ije e0iE eiiiirab fe（8.2）2021/5/2315 假設(shè)假設(shè)(1)：因子：因子f具體取什么值對隨機項沒有具體取什么值對隨機項沒有影響，即因子影響，即因子f與隨機項是獨立的，與隨機項是獨立的，這樣保這樣保證了因子證了因子f是回報率的唯一因素。是回報率的唯一因素。 若不獨立，結(jié)果是什么？若不獨立，結(jié)果是什么？ 假設(shè)假設(shè)(2)：一種證券的隨機項對其余任何證券：一種證券的隨機項對其余任何證券的隨機項沒有影響，換言之，兩種證券之的隨機項沒有影響，換言之，兩種

11、證券之所以相關(guān)，是由于它們具有共同因子所以相關(guān)，是由于它們具有共同因子f所致。所致。 如果上述假設(shè)不成立，則單因子模型不準(zhǔn)確，如果上述假設(shè)不成立，則單因子模型不準(zhǔn)確，應(yīng)該考慮增加因子或者其他措施。應(yīng)該考慮增加因子或者其他措施。2021/5/2316對于證券對于證券i，由（由（8.2）其回報率的均值（期望值）為）其回報率的均值（期望值）為 其回報率的方差其回報率的方差2222iifeib因子風(fēng)險因子風(fēng)險非因子風(fēng)險非因子風(fēng)險對于證券對于證券i和和j而言，它們之間的協(xié)方差為而言，它們之間的協(xié)方差為2cov( ,)cov(,)ijijiiijjjijfr rab fe ab febbiiirab f（

12、8.3）2021/5/2317單因子模型的優(yōu)點單因子模型的優(yōu)點 單因子模型能夠大大簡化我們在均值單因子模型能夠大大簡化我們在均值-方差方差分析中的估計量和計算量。假定分析人員需分析中的估計量和計算量。假定分析人員需要分析要分析n種股票，則種股票，則 均值方差模型：均值方差模型：n個期望收益，個期望收益，n個方差，個方差， (n2-n)/2個協(xié)方差個協(xié)方差 單因子模型：單因子模型：n個期望收益，個期望收益，n個個bi，n個殘個殘差差 ，一個因子，一個因子f方差方差 ，共，共3n1個估計個估計值。值。 若若n50，前者為，前者為1325，后者為，后者為151。2ei2f2021/5/2318單因子

13、模型具有兩個重要的性質(zhì)單因子模型具有兩個重要的性質(zhì)風(fēng)險的分散化風(fēng)險的分散化分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險的平均化分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險的平均化分散化縮小非因子風(fēng)險分散化縮小非因子風(fēng)險21222limlim ()limnpiiiinnipfepnDw ab feb22211nnpiiepieiiibwbw其中，2021/5/2319假設(shè)殘差有界，即假設(shè)殘差有界，即22eis 且組合且組合p高度分散化，即高度分散化，即wi充分小，則對充分小，則對于資產(chǎn)于資產(chǎn)i成立成立/iwn則有則有222222111nepissnn從而從而222222limlimppfeppfnnbb2021/5/2320 單因素模型的簡化是有

14、成本的，它僅僅將資單因素模型的簡化是有成本的，它僅僅將資產(chǎn)的不確定性簡單地認(rèn)為與僅僅與一個因產(chǎn)的不確定性簡單地認(rèn)為與僅僅與一個因子相關(guān)，這些因子如利率變化，子相關(guān)，這些因子如利率變化，GDP增長增長率等。率等。 例子：公用事業(yè)公司與航空公司，前者對例子：公用事業(yè)公司與航空公司，前者對GDP不敏感，后者對利率不敏感。不敏感，后者對利率不敏感。 單因素模型難以把握公司對不同的宏觀經(jīng)濟單因素模型難以把握公司對不同的宏觀經(jīng)濟因素的反應(yīng)。因素的反應(yīng)。多因子模型多因子模型2021/5/2321兩因子模型兩因子模型 若只考慮一期的模型，則可以省略表示時若只考慮一期的模型，則可以省略表示時間的下標(biāo)，從而兩因子

15、模型方程為間的下標(biāo)，從而兩因子模型方程為1 122iiiiirab fb fe0, cov(,)0iijE eee其 中 ，12cov( ,)0,cov( ,)0iiefef2021/5/2322在兩因子模型下，對于證券在兩因子模型下，對于證券i ，其回報率的均值，其回報率的均值 1122iiiirab fb f其回報率的方差其回報率的方差122222221212122cov(,)iififiieibbb bff對于證券對于證券i和和j，其協(xié)方差為，其協(xié)方差為1 1221 122cov( ,)cov(,)ijijiiiijjjjr rab fb feab fbfe22111222122112(

16、)cov(,)ijfijfijijb bb bb bb bff證券證券i對因子對因子1的敏感度的敏感度2021/5/2323 兩因子模型同樣具有單因子模型的重要兩因子模型同樣具有單因子模型的重要優(yōu)點：優(yōu)點： 有關(guān)資產(chǎn)組合有效邊界的估計和計算量大有關(guān)資產(chǎn)組合有效邊界的估計和計算量大大減少（但比單因子增加），若要計算均大減少（但比單因子增加），若要計算均方有效邊界，需要方有效邊界，需要 n個期望收益，個期望收益，n個個bi1， n個個bi2， n個殘差，個殘差，2個因子個因子f方差，方差，1個因子間的協(xié)方差，共個因子間的協(xié)方差，共4n3個估計值。個估計值。 分散化導(dǎo)致因子風(fēng)險的平均化。分散化導(dǎo)致因

17、子風(fēng)險的平均化。 分散化縮小非因子風(fēng)險。分散化縮小非因子風(fēng)險。2021/5/2324多因子模型多因子模型對于對于n種證券相關(guān)的種證券相關(guān)的m（mn)個因子，證券個因子，證券i的的收益可以表示為收益可以表示為1miijjijrab fe0, cov(,)0cov(,)0,iijikE eefeeik1,., ;1,.,in jm其中，2021/5/2325套利定價理論（套利定價理論（APT） 定義：套利（定義：套利（Arbitrage）是同時持有一種）是同時持有一種或者多種資產(chǎn)的多頭或空頭，從而存在不或者多種資產(chǎn)的多頭或空頭，從而存在不承擔(dān)風(fēng)險的情況下鎖定一個高于無風(fēng)險利承擔(dān)風(fēng)險的情況下鎖定一個

18、高于無風(fēng)險利率的收益。率的收益。 不花錢就能掙到錢，即免費的午餐！不花錢就能掙到錢，即免費的午餐！ 兩種套利方法：兩種套利方法： 當(dāng)前時刻凈支出為當(dāng)前時刻凈支出為0，將來獲得正收益（收益，將來獲得正收益（收益凈現(xiàn)值為正）凈現(xiàn)值為正） 當(dāng)前時刻一系列能帶來正收益的投資，將來的當(dāng)前時刻一系列能帶來正收益的投資，將來的凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為凈支出為零（支出的凈現(xiàn)值為0）。）。2021/5/2326 假設(shè)現(xiàn)在假設(shè)現(xiàn)在6個月即期年利率為個月即期年利率為10%（連續(xù)復(fù)（連續(xù)復(fù)利，下同），利，下同），1年期的即期利率是年期的即期利率是12%。如。如果有人把今后果有人把今后6個月到個月到1年期的遠(yuǎn)期利率定

19、年期的遠(yuǎn)期利率定為為11%，則有套利機會。，則有套利機會。 套利過程是：套利過程是：交易者按交易者按10%的利率借入一筆的利率借入一筆6個月資金（假個月資金（假設(shè)設(shè)1000萬元）萬元）1.簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定簽訂一份協(xié)議（遠(yuǎn)期利率協(xié)議），該協(xié)議規(guī)定該交易者可以按該交易者可以按11%的價格的價格6個月后從市場借個月后從市場借入資金入資金1051萬元（等于萬元（等于1000e0.100.5）。）。2021/5/2327 按按12%的利率貸出一筆的利率貸出一筆1年期的款項金年期的款項金額為額為1000萬元。萬元。 1年后收回年后收回1年期貸款，得本息年期貸款，得本息1127萬萬元

20、（等于元（等于1000e0.121），并用），并用1110萬萬元（等于元（等于1051e0.110.5）償還）償還1年期的債年期的債務(wù)后，交易者凈賺務(wù)后，交易者凈賺17萬元（萬元（1127萬元萬元-1110萬元）。萬元）。 這是哪一種套利？這是哪一種套利？ 2021/5/2328 套利不僅僅局限于同一種資產(chǎn)（組合），套利不僅僅局限于同一種資產(chǎn)（組合），對于整個資本市場，還應(yīng)該包括那些對于整個資本市場，還應(yīng)該包括那些“相相似似”資產(chǎn)（組合）構(gòu)成的近似套利機會。資產(chǎn)（組合）構(gòu)成的近似套利機會。 無套利原則（無套利原則（Non-arbitrage principle)：根據(jù)一價定律（根據(jù)一價定律（t

21、he law of one price），），兩種具有相同風(fēng)險的資產(chǎn)（組合）不能以兩種具有相同風(fēng)險的資產(chǎn)（組合）不能以不同的期望收益率出售。不同的期望收益率出售。 套利行為將導(dǎo)致一個價格調(diào)整過程，最終使套利行為將導(dǎo)致一個價格調(diào)整過程，最終使同一種資產(chǎn)的價格趨于相等，套利機會消失！同一種資產(chǎn)的價格趨于相等，套利機會消失！2021/5/2329 APT的基本原理：由無套利原則，的基本原理：由無套利原則，在因子模在因子模型下，具有相同因子敏感性的資產(chǎn)（組合）型下，具有相同因子敏感性的資產(chǎn)（組合）應(yīng)提供相同的期望收益率。應(yīng)提供相同的期望收益率。 APT與與CAPM的比較的比較 APT對資產(chǎn)的評價不是基

22、于馬克維茨模型，對資產(chǎn)的評價不是基于馬克維茨模型，而是基于無套利原則和因子模型。而是基于無套利原則和因子模型。 不要求不要求“同質(zhì)期望同質(zhì)期望”假設(shè)，假設(shè)，并不要求人人一致并不要求人人一致行動。行動。只需要少數(shù)投資者的套利活動就能消除只需要少數(shù)投資者的套利活動就能消除套利機會。套利機會。 不要求投資者是風(fēng)險規(guī)避的！不要求投資者是風(fēng)險規(guī)避的！2021/5/2330APT的基本假設(shè)的基本假設(shè)市場是有效的、充分競爭的、無摩擦的市場是有效的、充分競爭的、無摩擦的（Perfectly competitive and frictionless capital markets）；）；投資者是不知足的：只要有

23、套利機會就投資者是不知足的：只要有套利機會就會不斷套利，直到無利可圖為止。會不斷套利，直到無利可圖為止。因此，不必對投資者風(fēng)險偏好作假設(shè)？因此，不必對投資者風(fēng)險偏好作假設(shè)？資產(chǎn)的回報可以用因子表示資產(chǎn)的回報可以用因子表示 APT假設(shè)證券回報可以用預(yù)期到的回報和未假設(shè)證券回報可以用預(yù)期到的回報和未預(yù)期到的回報兩個部分來解釋，構(gòu)成了一預(yù)期到的回報兩個部分來解釋，構(gòu)成了一個特殊的因子模型個特殊的因子模型iiiirrb fe1()0ttE f未預(yù)期到的變化未預(yù)期到的變化預(yù)期的回報預(yù)期的回報f是證券是證券i的某個因子的變化，的某個因子的變化，基于有效市場理基于有效市場理論論，它是不可預(yù)測的。，它是不可預(yù)

24、測的。要依靠要依靠“舊舊”的的f來獲利是不可能的！來獲利是不可能的！2021/5/2332 若市場有效，則若市場有效，則t-1時刻的信息集預(yù)測時刻的信息集預(yù)測t時刻時刻的價格無效，的價格無效，這等價于這等價于t-1時刻信息無法預(yù)時刻信息無法預(yù)測測t時刻的因子，即對于因子的變化沒有任時刻的因子，即對于因子的變化沒有任何傾向何傾向公平賭局（公平賭局（Fair game） 從有效市場的理論來看，價格（回報）的不從有效市場的理論來看，價格（回報）的不可預(yù)測，本質(zhì)上是信息的不可預(yù)測，可預(yù)測，本質(zhì)上是信息的不可預(yù)測，也就也就是因子的變化不可預(yù)測，是因子的變化不可預(yù)測，這些信息既有宏這些信息既有宏觀的、也有

25、微觀的。觀的、也有微觀的。1()0ttE f2021/5/2333構(gòu)建套利組合構(gòu)建套利組合（Arbitrage portfolio）零投資：套利組合中對一種證券的購買所需要零投資：套利組合中對一種證券的購買所需要的資金可以由賣出別的證券來提供，即自融資的資金可以由賣出別的證券來提供，即自融資（Self-financing）組合。）組合。無風(fēng)險：在因子模型條件下，因子波動導(dǎo)致風(fēng)無風(fēng)險：在因子模型條件下，因子波動導(dǎo)致風(fēng)險，因此，無風(fēng)險就是套利組合對任何因子的險，因此，無風(fēng)險就是套利組合對任何因子的敏感度為敏感度為0。正收益：套利組合的正收益：套利組合的期望收益期望收益大于零。大于零。 用數(shù)學(xué)表示就

26、是用數(shù)學(xué)表示就是111000niiniiini iiwbwwr11121()( = () = ( )()nni iiiiiiiniiiniiiDwrDw rb feDwb fD fwb11()0,0nni iiiiiDwrwb若要則要（8.1）（8.2）（8.3）套利定價模型套利定價模型 假設(shè)投資者構(gòu)造這樣的資產(chǎn)組合：（假設(shè)投資者構(gòu)造這樣的資產(chǎn)組合：（1）無風(fēng)）無風(fēng)險利率借入險利率借入1元錢；（元錢；（2） 1元錢投資在兩種資元錢投資在兩種資產(chǎn)，這樣構(gòu)造一個自融資組合。產(chǎn)，這樣構(gòu)造一個自融資組合。00()(1)()1()()piijjijjijjrw rb fwrb fw rrrw bbbf

27、0ij設(shè)設(shè)無無風(fēng)風(fēng)險險利利率率為為 ，兩兩個個資資產(chǎn)產(chǎn)是是資資產(chǎn)產(chǎn) 和和資資產(chǎn)產(chǎn)，在在因因子子模模型型的的假假定定下下，套套利利組組合合的的收收益益為為（忽忽略略殘殘差差）l若不存在套利機會，則該套利組合的收益為若不存在套利機會，則該套利組合的收益為0jpijbwrbb 時, 無風(fēng)險根據(jù)條件（根據(jù)條件（2），），()0ijjw bbb當(dāng)，即0()0,jpijjijbrrrrbb =001jiijrrbb01iirb1miiijjjrrb f命題命題1 ：假設(shè)：假設(shè)n種資產(chǎn)其收益率種資產(chǎn)其收益率m個因子決定個因子決定（mn），即），即其中，其中，i=1,2,n ，j=1,2,m，則，則01mii

28、jjjrb01,.,j 為常數(shù)嚴(yán)格證明嚴(yán)格證明2021/5/2338 證明：假設(shè)在資產(chǎn)證明：假設(shè)在資產(chǎn)i上投資上投資wi，構(gòu)造零投資，構(gòu)造零投資且無風(fēng)險的組合，即且無風(fēng)險的組合，即wi滿足下列條件滿足下列條件10nTiiww 1112211000nTiiinTiiinTiimmiwbwbwb1w bw bw b零投資零投資無風(fēng)險無風(fēng)險（8.5）（8.4）即，即，1、bj（j=1,2,m)線性無關(guān)。線性無關(guān)。2021/5/2339如果市場有效，則不會有套利均衡，即零投如果市場有效，則不會有套利均衡，即零投資、無風(fēng)險的組合必然是無收益的，從而只資、無風(fēng)險的組合必然是無收益的，從而只要（要（8.4）

29、和（）和（8.5）成立，則）成立，則蘊含蘊含(followed),1,.,jjmw1,wbwr這等價于，這等價于，只要只要10ni iiwrTw r對于任意的對于任意的W，必然有必然有2021/5/2340 又由于非零向量又由于非零向量1,b1,b2,bm線性無關(guān)，則線性無關(guān)，則 必定落在由必定落在由1,b1,b2,bm組成的向量空間組成的向量空間Rm+1中，中，也就是存在一組不全為零的數(shù)也就是存在一組不全為零的數(shù) 使使得r01,.,m 01122,.,mmr1bbb證畢。證畢。理解：理解： 必須落在必須落在Rm+1空間中，才能必然成立空間中，才能必然成立 rwr1和和bj是該空間的一組基是該

30、空間的一組基abCd在向量空間中，如果向量在向量空間中，如果向量a、b正交于正交于c，蘊蘊含著含著d正交與正交與c，則，則d必須落在由必須落在由a和和b張成的張成的二維空間上，二維空間上，d可以由可以由a、b線性表示！線性表示！0示意圖：向量空間示意圖：向量空間錯誤的證明錯誤的證明10nTiiww 1112211000nTiiinTiiinTiimmiwbwbwb1w bw bw b10ni iiwrTw r01122,.,mmr1bbbAPT的意義的意義01miijjjrb若若bij0，則上式退化為無風(fēng)險資產(chǎn)，則意味，則上式退化為無風(fēng)險資產(chǎn)，則意味著著01mfifijjjrrrb若若bij0

31、，則期望回報，則期望回報 隨著隨著 的增加而增大，的增加而增大，所以所以 是因子是因子 的風(fēng)險價格。的風(fēng)險價格。ijbirjif自變量自變量1,1,.,ifirrb in在單因子條件下，有12112,.,ffnfnrrrrrrbbbAPT1對于所有風(fēng)險資產(chǎn)則有由此可見，方程的斜率 實際上是因子1的風(fēng)險價格。結(jié)論：當(dāng)所有證券關(guān)于因子的風(fēng)險價格相等時，結(jié)論：當(dāng)所有證券關(guān)于因子的風(fēng)險價格相等時，則證券之間不存在套利。則證券之間不存在套利。APT的意義的意義01iribhrlrhlhlbb若給定等投資額的證券若給定等投資額的證券h多頭和證券多頭和證券l空頭，則形成套空頭，則形成套利組合。投資者為獲利必

32、定盡可能地購入證券利組合。投資者為獲利必定盡可能地購入證券h，從從而使其價格上升，預(yù)期收益率下降，而使其價格上升，預(yù)期收益率下降，最終到達(dá)最終到達(dá)APT定定價線價線。在均衡時，所有的證券都落在套利定價線上，。在均衡時，所有的證券都落在套利定價線上，只要證券偏離只要證券偏離APT定價線就會有套利機會。定價線就會有套利機會。APT定價線定價線APT的另一種表達(dá)的另一種表達(dá)11ppfbprr在單因子模型下，考慮一個使的（資產(chǎn)）組合 ，即，則有,()mifmfirrrrr b特別地，當(dāng)即純因子組合為市場組合時有1pfrr101,()pfiiffirrrbrr b令即風(fēng)險價格,則則稱該組合則稱該組合p為

33、純因子組合為純因子組合(類似于類似于CAPM的市場組合的市場組合)在兩因子模型下，我們有在兩因子模型下，我們有1122ifiirrbb11211,0,iipbb若存在純因子組合 ，使得且其期望收益為 則11ifrr11fr即即2122220,1,iifpbbr同理，若存在純因子組合 ，使得其期望收益為 ，則=從而第第1因子的風(fēng)險價格因子的風(fēng)險價格第第2因子的風(fēng)險價格因子的風(fēng)險價格1122()iffifirrr br b(22fr這樣可將這樣可將APT的表達(dá)式可以改寫為的表達(dá)式可以改寫為在多因子模型下在多因子模型下01122,.,iiimimrbbb證券的期望收益率等于無風(fēng)險收益率，加上證券的期

34、望收益率等于無風(fēng)險收益率，加上j個因個因素的風(fēng)險補償（風(fēng)險價格素的風(fēng)險補償（風(fēng)險價格風(fēng)險因子載荷）；風(fēng)險因子載荷）；資產(chǎn)對風(fēng)險因子的敏感度（因子載荷）越大，則資產(chǎn)對風(fēng)險因子的敏感度（因子載荷）越大，則其應(yīng)得到的風(fēng)險補償越大。其應(yīng)得到的風(fēng)險補償越大。1122(),., ()ffifimfimrr br br b（j1,.,j jm其中， 為因子 （）的純因子組合的期望收益111()(),APTCAPMififfiifimfmiirrbrrbrrrrrb顯然，若純因子組合是市場組合即代表 ，則與一致。APT與與CAPM的比較的比較APT與與CAPM的一致性的一致性若只有一個風(fēng)險因子，且純因子組合是

35、市場組若只有一個風(fēng)險因子，且純因子組合是市場組合，則當(dāng)合，則當(dāng)APT與與CAPM均成立時有均成立時有命題命題2：若純因子組合不是市場組合，若純因子組合不是市場組合，APT與與CAPM可能不一致。可能不一致。證明：只要證明存在一個反例證明：只要證明存在一個反例cov( ,)cov(,)cov(,)cov( ,)iiiiimiiimimiimrab fer rab fe rbf rbe r由單因子模型可得上式兩邊同除以上式兩邊同除以2m并且定義并且定義,2cov( ,)mf mmf r2021/5/2352由于由于2cov( ,)imme r很小，不妨把它忽略，則有很小，不妨把它忽略，則有,2co

36、v( ,)imif mimr rb如果如果APT 也成立，且滿足也成立，且滿足CAPM，則，則,1()ifif mmfifirrbrrrrb1,()mff mrr得到得到若因素若因素f與市場組合正相關(guān)，那么與市場組合正相關(guān)，那么,2cov( ,)cov( ,)00mmf mmf rf r0,mfrr且由于從而1,()0mff mrr也就是，如果也就是，如果CAPM成立，則必然要求上述條件成立，則必然要求上述條件成立，它構(gòu)成了對成立，它構(gòu)成了對APT中中 的約束。的約束。12021/5/2354但是，如果但是，如果APT成立，不受成立，不受CAPM約束，即約束，即僅從僅從APT本身推斷，必有本身

37、推斷，必有100fr或者只有當(dāng)只有當(dāng)mr才成立才成立10反之，如果反之，如果mr，則可能有10fr則對于證券則對于證券i的定價就會出現(xiàn)不同的定價就會出現(xiàn)不同2021/5/2355即如果純因子組合不是市場組合，即如果純因子組合不是市場組合，APT與與CAPM可能不一致?？赡懿灰恢隆?()()ifif mmfr CAPMrbrr()()ififr APTrbr,0,0,0,()0()0if mfif mmfifbrbrrbr若，2021/5/2356若純因子組合不是市場組合，則若純因子組合不是市場組合，則APT與與CAPM不一定一致，不一定一致，CAPM僅僅是僅僅是APT的的特例。當(dāng)且僅當(dāng)純因子組

38、合是市場組合時，特例。當(dāng)且僅當(dāng)純因子組合是市場組合時，CAPM與與APT等價。等價。在在CAPM中，市場組合居于不可或缺的地中，市場組合居于不可或缺的地位（若無此，則其理論瓦解），但位（若無此，則其理論瓦解），但APT即即使在沒有市場組合條件下仍成立。使在沒有市場組合條件下仍成立。APT模型可以得到與模型可以得到與CAPM類似的期望回報類似的期望回報-b b直線關(guān)系，但并不要求組合一定是市場組合，直線關(guān)系，但并不要求組合一定是市場組合，可以是任何風(fēng)險分散良好的組合可以是任何風(fēng)險分散良好的組合CAPM與與APT的區(qū)別的區(qū)別2021/5/23571()()ifififimfrrbrrrrr注意二者

39、并注意二者并不一致不一致由于市場組合在實際中是無法得到的，因此，由于市場組合在實際中是無法得到的，因此，在實際應(yīng)用中，只要指數(shù)基金等組合，其即可在實際應(yīng)用中，只要指數(shù)基金等組合，其即可滿足滿足APT。所以。所以APT的適用性更強！的適用性更強！2021/5/2358CAPM屬于單一時期模型，但屬于單一時期模型，但APT并不受到單并不受到單一時期的限制。一時期的限制。APT的推導(dǎo)以無套利為核心，的推導(dǎo)以無套利為核心，CAPM則以均值則以均值方差模型為核心，隱含投資者風(fēng)險厭惡的假方差模型為核心，隱含投資者風(fēng)險厭惡的假設(shè)，但設(shè)，但APT無此假設(shè)。無此假設(shè)。在在CAPM中，證券的風(fēng)險只與市場組合的中，

40、證券的風(fēng)險只與市場組合的相關(guān)，相關(guān)，它只給出了市場風(fēng)險大小，而沒有表明風(fēng)險來它只給出了市場風(fēng)險大小，而沒有表明風(fēng)險來自何處。自何處。APT承認(rèn)有多種因素影響證券價格，承認(rèn)有多種因素影響證券價格，從而擴大了資產(chǎn)定價的思考范圍（從而擴大了資產(chǎn)定價的思考范圍（CAPM認(rèn)為認(rèn)為資產(chǎn)定價僅有一個因素），也為識別證券風(fēng)險資產(chǎn)定價僅有一個因素），也為識別證券風(fēng)險的來源提供了分析工具。的來源提供了分析工具。2021/5/2359APT對資產(chǎn)組合的指導(dǎo)意義對資產(chǎn)組合的指導(dǎo)意義APT對系統(tǒng)風(fēng)險進(jìn)行了細(xì)分，使得投資者能對系統(tǒng)風(fēng)險進(jìn)行了細(xì)分，使得投資者能夠測量資產(chǎn)對各種系統(tǒng)因素的敏感系數(shù)，因夠測量資產(chǎn)對各種系統(tǒng)因素的

41、敏感系數(shù)，因而可以使得投資組合的選擇更準(zhǔn)確。例如，而可以使得投資組合的選擇更準(zhǔn)確。例如，基金可以選擇最佳的因素敏感系數(shù)的組合。基金可以選擇最佳的因素敏感系數(shù)的組合。APT的局限的局限：決定資產(chǎn)的價格可能存在多種：決定資產(chǎn)的價格可能存在多種因素，模型本身不能確定這些因素是什么和因素，模型本身不能確定這些因素是什么和因素的數(shù)量，實踐中因素的選擇常常具有經(jīng)因素的數(shù)量，實踐中因素的選擇常常具有經(jīng)驗性和隨意性。驗性和隨意性。2021/5/2360討論：因子的選擇討論：因子的選擇要利用要利用APT來定價，首先必須辨別市場中來定價，首先必須辨別市場中重要的因子的類別。重要的因子的類別。Pari和和Chen收

42、集了收集了19751980年，年，2090家公司股票月報酬回報率，以因子分析家公司股票月報酬回報率，以因子分析（Factor analysis）辨認(rèn)重要因素，使）辨認(rèn)重要因素，使模型的殘差相互獨立，以符合模型的殘差相互獨立，以符合APT的假設(shè)，的假設(shè)，他們歸納了三類因素。他們歸納了三類因素。2021/5/2361總體經(jīng)濟活動總體經(jīng)濟活動 其強弱可以其強弱可以GDP的增減來代表。的增減來代表。能源因素能源因素 它影響消費者的消費能力，尤其是能它影響消費者的消費能力，尤其是能源價格的變動，對通貨膨脹具有顯著的影源價格的變動，對通貨膨脹具有顯著的影響響利率變動利率變動 它影響公司的資本成本，進(jìn)而影響

43、公它影響公司的資本成本，進(jìn)而影響公司的發(fā)展。司的發(fā)展。例子例子使用套利定價理論確定該股票的均衡收益率。若無風(fēng)使用套利定價理論確定該股票的均衡收益率。若無風(fēng)險利率為險利率為6，該股票價格是低估還是高估了？解釋，該股票價格是低估還是高估了？解釋原因。原因。2021/5/23631.00.50.75fIRcrr股票當(dāng)前的預(yù)期收益率股票當(dāng)前的預(yù)期收益率E(r) = 15(因為所有因素的因為所有因素的預(yù)期到的變動都定義為預(yù)期到的變動都定義為0 )?；陲L(fēng)險的要求收益率?；陲L(fēng)險的要求收益率超過了實際的預(yù)期收益率，我們可以得出結(jié)論說該超過了實際的預(yù)期收益率，我們可以得出結(jié)論說該股票定價過高。股票定價過高。

44、也就是也就是15的收益率是不滿足無套利的，若無套利，的收益率是不滿足無套利的，若無套利，則收益率應(yīng)該是則收益率應(yīng)該是16。6% 1 6% 0.5 2% 0.75 4% 16%根據(jù)根據(jù)APT，該股票的期望收益率為，該股票的期望收益率為2021/5/2364個人練習(xí)個人練習(xí)考慮如下一種特定股票收益的多因素證券收益考慮如下一種特定股票收益的多因素證券收益模型：模型：要素要素因子載荷因子載荷 風(fēng)險溢價（）風(fēng)險溢價（）通貨膨脹通貨膨脹1.26行業(yè)生產(chǎn)行業(yè)生產(chǎn)0.58石油價格石油價格0.33（a）短期國庫券可提供）短期國庫券可提供6%的收益率，如果市場認(rèn)的收益率，如果市場認(rèn)為該股票是公平定價的，那么請求出該股票的期望為該股票是公平定價的，那么請求出該股票的期望收益率。收益率。2021/5/2365（b）假定下面第一列給出的三種宏觀因素的值是市）假定下面第一列給出的三種宏觀因素的值是市場預(yù)測值，而實際值在第二列給出。在這種情況下，場預(yù)測值，而實際值在第二列給出。在這種情況下，計算該股票修正后的期望收益率。計算該股票修正后的期望收益率。要素要素預(yù)期變化率預(yù)期變化率(%) 實際變化率（）實際變化率（）通貨膨脹通貨膨脹54行業(yè)生產(chǎn)行業(yè)生產(chǎn)36石油價格石油價格20部分資料從網(wǎng)絡(luò)收集整理而來，供大家參考，感謝您的關(guān)注！