數(shù)學第七章 數(shù)列與數(shù)學歸納法 第5節(jié) 直接證明與間接證明(供選用) 理

第第5節(jié)直接證明與間接證明節(jié)直接證明與間接證明(供選用供選用)最新考綱1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點；2.了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程和特點.1.直接證明知知 識識 梳梳 理理充分內容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等，經過一系列的推理論證，最后推導出所要證明的結論成立從要證明的結論出發(fā)，逐步尋求使它成立的_條件，直到最后把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止實質由因導果執(zhí)果索因2.間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法.(1)反證法的定義：假設原命題_(即在原命題的條件下，結論不成立)，經過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設錯誤，從而證明_的證明方法.(2)用反證法證明的一般步驟：反設假設命題的結論不成立；歸謬根據假設進行推理，直到推出矛盾為止；結論斷言假設不成立，從而肯定原命題的結論成立.不成立原命題成立常用結論與微點提醒分析法與綜合法相輔相成，對較復雜的問題，常常先從結論進行分析，尋求結論與條件、基礎知識之間的關系，找到解決問題的思路，再運用綜合法證明，或者在證明時將兩種方法交叉使用.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內打“”或“”)(1)分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使結論成立的充要條件.()(2)用反證法證明結論“ab”時，應假設“ab”.()(3)反證法是指將結論和條件同時否定，推出矛盾.()(4)在解決問題時，常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.()解析(1)分析法是從要證明的結論出發(fā)，逐步尋找使結論成立的充分條件.(2)應假設“ab”.(3)反證法只否定結論.答案(1)(2)(3)(4)解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.答案D3.若a，b，c為實數(shù)，且ab0，則下列命題正確的是()A.ac2abb2解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.答案B4.用反證法證明命題：“設a，b為實數(shù)，則方程x3axb0至少有一個實根”時，要做的假設是()A.方程x3axb0沒有實根B.方程x3axb0至多有一個實根C.方程x3axb0至多有兩個實根D.方程x3axb0恰好有兩個實根解析因為“方程x3axb0至少有一個實根”等價于“方程x3axb0的實根的個數(shù)大于或等于1”，所以要做的假設是“方程x3axb0沒有實根”.答案A5.在ABC中，三個內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為_.a2c22ac0，即(ac)20，ac，6.(2017紹興檢測)完成反證法證題的全過程.設a1，a2，a7是1，2，7的一個排列，求證：乘積p(a11)(a22)(a77)為偶數(shù).證明：假設p為奇數(shù)，則a11，a22，a77均為奇數(shù).因奇數(shù)個奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)_0.但0奇數(shù)，這一矛盾說明p為偶數(shù).解析a11，a22，a77均為奇數(shù)，(a11)(a22)(a77)也為奇數(shù)，即(a1a2a7)(127)為奇數(shù).又a1，a2，a7是1，2，7的一個排列，a1a2a7127，故上式為0，奇數(shù)(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0.答案(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)考點一綜合法的應用【例1】 已知a，b，c0，abc1.求證：規(guī)律方法用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結論，綜合法的適用范圍：(1)定義明確的問題，如證明函數(shù)的單調性、奇偶性、求證無條件的等式或不等式；(2)已知條件明確，并且容易通過分析和應用條件逐步逼近結論的題型.在使用綜合法證明時，易出現(xiàn)的錯誤是因果關系不明確，邏輯表達混亂.【訓練1】 設a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由題設知(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.考點二分析法的應用規(guī)律方法(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結論成立的充分條件.正確把握轉化方向是使問題順利獲解的關鍵.(2)證明較復雜的問題時，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個與結論等價(或充分)的中間結論，然后通過綜合法證明這個中間結論，從而使原命題得證.只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內角A，B，C成等差數(shù)列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立.于是原等式成立.考點三反證法的應用規(guī)律方法(1)當一個命題的結論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時，可用反證法來證，反證法關鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實矛盾等.(2)用反證法證明不等式要把握三點：必須否定結論；必須從否定結論進行推理；推導出的矛盾必須是明顯的.【訓練3】 (2017鄭州一中月考)已知a1a2a3a4100，求證：a1，a2，a3，a4中至少有一個數(shù)大于25.證明假設a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，則a1a2a3a425252525100，這與已知a1a2a3a4100矛盾，故假設錯誤.所以a1，a2，a3，a4中至少有一個數(shù)大于25.