數(shù)學(xué)第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第5節(jié) 直接證明與間接證明(供選用) 理

第第5節(jié)直接證明與間接證明節(jié)直接證明與間接證明(供選用供選用)最新考綱1.了解直接證明的兩種基本方法分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的思考過程和特點(diǎn)；2.了解間接證明的一種基本方法反證法；了解反證法的思考過程和特點(diǎn).1.直接證明知知 識(shí)識(shí) 梳梳 理理充分內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的推理論證，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋求使它成立的_條件，直到最后把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止實(shí)質(zhì)由因?qū)Ч麍?zhí)果索因2.間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法，反證法是一種常用的間接證明方法.(1)反證法的定義：假設(shè)原命題_(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出矛盾，因此說明假設(shè)錯(cuò)誤，從而證明_的證明方法.(2)用反證法證明的一般步驟：反設(shè)假設(shè)命題的結(jié)論不成立；歸謬根據(jù)假設(shè)進(jìn)行推理，直到推出矛盾為止；結(jié)論斷言假設(shè)不成立，從而肯定原命題的結(jié)論成立.不成立原命題成立常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒分析法與綜合法相輔相成，對(duì)較復(fù)雜的問題，常常先從結(jié)論進(jìn)行分析，尋求結(jié)論與條件、基礎(chǔ)知識(shí)之間的關(guān)系，找到解決問題的思路，再運(yùn)用綜合法證明，或者在證明時(shí)將兩種方法交叉使用.診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.()(2)用反證法證明結(jié)論“ab”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“ab”.()(3)反證法是指將結(jié)論和條件同時(shí)否定，推出矛盾.()(4)在解決問題時(shí)，常用分析法尋找解題的思路與方法，再用綜合法展現(xiàn)解決問題的過程.()解析(1)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.(2)應(yīng)假設(shè)“ab”.(3)反證法只否定結(jié)論.答案(1)(2)(3)(4)解析a2b21a2b20(a21)(b21)0.答案D3.若a，b，c為實(shí)數(shù)，且ab0，則下列命題正確的是()A.ac2abb2解析a2aba(ab)，ab0，ab0，a2ab.又abb2b(ab)0，abb2，由得a2abb2.答案B4.用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要做的假設(shè)是()A.方程x3axb0沒有實(shí)根B.方程x3axb0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3axb0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3axb0恰好有兩個(gè)實(shí)根解析因?yàn)椤胺匠蘹3axb0至少有一個(gè)實(shí)根”等價(jià)于“方程x3axb0的實(shí)根的個(gè)數(shù)大于或等于1”，所以要做的假設(shè)是“方程x3axb0沒有實(shí)根”.答案A5.在ABC中，三個(gè)內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且A，B，C成等差數(shù)列，a，b，c成等比數(shù)列，則ABC的形狀為_.a2c22ac0，即(ac)20，ac，6.(2017紹興檢測(cè))完成反證法證題的全過程.設(shè)a1，a2，a7是1，2，7的一個(gè)排列，求證：乘積p(a11)(a22)(a77)為偶數(shù).證明：假設(shè)p為奇數(shù)，則a11，a22，a77均為奇數(shù).因奇數(shù)個(gè)奇數(shù)之和為奇數(shù)，故有奇數(shù)_0.但0奇數(shù)，這一矛盾說明p為偶數(shù).解析a11，a22，a77均為奇數(shù)，(a11)(a22)(a77)也為奇數(shù)，即(a1a2a7)(127)為奇數(shù).又a1，a2，a7是1，2，7的一個(gè)排列，a1a2a7127，故上式為0，奇數(shù)(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)0.答案(a11)(a22)(a77)(a1a2a7)(127)考點(diǎn)一綜合法的應(yīng)用【例1】 已知a，b，c0，abc1.求證：規(guī)律方法用綜合法證題是從已知條件出發(fā)，逐步推向結(jié)論，綜合法的適用范圍：(1)定義明確的問題，如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、求證無條件的等式或不等式；(2)已知條件明確，并且容易通過分析和應(yīng)用條件逐步逼近結(jié)論的題型.在使用綜合法證明時(shí)，易出現(xiàn)的錯(cuò)誤是因果關(guān)系不明確，邏輯表達(dá)混亂.【訓(xùn)練1】 設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且abc1，證明：證明(1)由a2b22ab，b2c22bc，c2a22ac得a2b2c2abbcca.由題設(shè)知(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.考點(diǎn)二分析法的應(yīng)用規(guī)律方法(1)逆向思考是用分析法證題的主要思想，通過反推，逐步尋找使結(jié)論成立的充分條件.正確把握轉(zhuǎn)化方向是使問題順利獲解的關(guān)鍵.(2)證明較復(fù)雜的問題時(shí)，可以采用兩頭湊的辦法，即通過分析法找出某個(gè)與結(jié)論等價(jià)(或充分)的中間結(jié)論，然后通過綜合法證明這個(gè)中間結(jié)論，從而使原命題得證.只需證c(bc)a(ab)(ab)(bc)，需證c2a2acb2，又ABC三內(nèi)角A，B，C成等差數(shù)列，故B60，由余弦定理，得b2c2a22accos 60，即b2c2a2ac，故c2a2acb2成立.于是原等式成立.考點(diǎn)三反證法的應(yīng)用規(guī)律方法(1)當(dāng)一個(gè)命題的結(jié)論是以“至多”、“至少”、“唯一”或以否定形式出現(xiàn)時(shí)，可用反證法來證，反證法關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾，矛盾可以是與已知條件矛盾，與假設(shè)矛盾，與定義、公理、定理矛盾，與事實(shí)矛盾等.(2)用反證法證明不等式要把握三點(diǎn)：必須否定結(jié)論；必須從否定結(jié)論進(jìn)行推理；推導(dǎo)出的矛盾必須是明顯的.【訓(xùn)練3】 (2017鄭州一中月考)已知a1a2a3a4100，求證：a1，a2，a3，a4中至少有一個(gè)數(shù)大于25.證明假設(shè)a1，a2，a3，a4均不大于25，即a125，a225，a325，a425，則a1a2a3a425252525100，這與已知a1a2a3a4100矛盾，故假設(shè)錯(cuò)誤.所以a1，a2，a3，a4中至少有一個(gè)數(shù)大于25.