高考數(shù)學一輪復習 第十一章 復數(shù)、算法、推理與證明 第四節(jié) 直接證明與間接證明課件 文

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1、第四節(jié)直接證明與間接證明總綱目錄教材研讀1.直接證明考點突破2.間接證明考點二分析法的應用考點二分析法的應用考點一綜合法的應用考點三反證法的應用考點三反證法的應用1.直接證明直接證明內(nèi)容綜合法分析法定義利用已知條件和某些數(shù)學定義、公理、定理等,經(jīng)過一系列的推理論證,最后推導出所要證明的結論成立成立從要證明的結論出發(fā),逐步尋求使它成立的充分充分條件,直至最后,把要證明的結論歸結為判定一個明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止實質由因導果執(zhí)果索因框圖表示PQ1Q1Q2Q2Q3QnQQ P1P1 P2P2 P3得到一個明顯成立的條件文字語言因為所以或由得要證只需證即證教材研讀教材研讀2.

2、間接證明間接證明間接證明是不同于直接證明的又一類證明方法,反證法是一種常用的間接證明方法.(1)反證法的定義反證法的定義:假設原命題不成立不成立(即在原命題的條件下,結論不成立),經(jīng)過正確的推理,最后得出矛盾矛盾,因此說明假設錯誤,從而證明原命題成立原命題成立的證明方法.(2)用反證法證明的一般步驟用反證法證明的一般步驟:(i)反設假設命題的結論不成立;(ii)歸謬根據(jù)假設進行推理,直到推出矛盾為止;(iii)結論斷言假設不成立,從而肯定原命題的結論成立. 1.命題“對任意角,cos4-sin4=cos 2”的證明:“cos4-sin4=(cos2-sin2)(cos2+sin2)=cos2-

3、sin2=cos 2”過程應用了()A.分析法 B.綜合法C.綜合法、分析法綜合使用 D.間接證明法答案答案 B因為證明過程是“從左往右”,即由條件結論,故選B.B2.用分析法證明時出現(xiàn):欲使AB,只需C0,ab0,b0,a0,b0,即a與b同號,故均能使+2成立.baabbabaab35.已知點An(n,an)為函數(shù)y=圖象上的點,Bn(n,bn)為函數(shù)y=x圖象上的點,其中nN*,設cn=an-bn,則cn與cn+1的大小關系為 .21x 答案答案 cncn+1 解析解析由題意知,an=,bn=n,cn=-n=.顯然,cn隨著n的增大而減小,cncn+1.21n 21n 211nn cnc

4、n+1典例典例1已知函數(shù)f(x)=(x+1)ln x-x+1.(1)若=0,求f(x)的最大值;(2)若曲線y=f(x)在點(1, f(1)處的切線與直線x+y+1=0垂直,證明:0.( )1f xx考點一綜合法的應用考點一綜合法的應用考點突破考點突破解析解析(1)f(x)的定義域為(0,+),當=0時, f(x)=ln x-x+1.則f (x)=-1,令f (x)=0,解得x=1.當0 x0,f(x)在(0,1)上是增函數(shù);當x1時, f (x)0,f(x)在(1,+)上是減函數(shù).故f(x)在x=1處取得最大值,為f(1)=0.(2)證明:由題意可得, f (x)=ln x+-1.由題設條件

5、,得f (1)=1,即=1,f(x)=(x+1)ln x-x+1.由(1)知,ln x-x+10,且x1).1x1xx當0 x1時, f(x)=(x+1)ln x-x+1=xln x+(ln x-x+1)0.當x1時, f(x)=ln x+(xln x-x+1)=ln x-x0,0.綜上可知,0.( )1f xx11ln1xx( )1f xx( )1f xx方法技巧方法技巧用綜合法證題是從已知條件出發(fā),逐步推向結論,綜合法的適用范圍:(1)定義明確的問題,如判定函數(shù)的單調性、奇偶性;(2)已知條件明確,并且容易通過分析和應用條件逐步逼近結論的題型,在使用綜合法證明時,易出現(xiàn)的錯誤是因果關系不明

6、確,邏輯表達混亂.1-1設f(x)=ax2+bx+c(a0),若函數(shù)f(x+1)與f(x)的圖象關于y軸對稱,求證:f為偶函數(shù).證明證明由函數(shù)f(x+1)與f(x)的圖象關于y軸對稱,可知f(x+1)=f(-x).將x換成x-代入上式可得f=f,即f=f,由偶函數(shù)的定義可知f為偶函數(shù).12x12112x12x12x12x 12x典例典例2已知函數(shù)f(x)=3x-2x,求證:對于任意的x1,x2R,均有 f.證明證明要證明 f,即證明-2,因此只要證明-(x1+x2)-(x1+x2),即證明,因此只要證明,由于x1,x2R,所以0,0,由基本不等式知成立,故原結論成立.12()()2f xf x

7、122xx12()()2f xf x122xx1212(32 )(32)2xxxx1223xx122xx12332xx1223xx12332xx1223xx12332xx1233xx13x23x12332xx1233xx考點二分析法的應用考點二分析法的應用方法技巧方法技巧(1)分析法采用逆向思維,當已知條件與結論之間的聯(lián)系不夠明顯、直接,或證明過程中所需要用的知識不太明確、具體時,往往采用分析法,特別是含有根號、絕對值的等式或不等式,從正面不易推導時,?？紤]用分析法.(2)應用分析法的關鍵在于需保證分析過程的每一步都是可逆的,它的常用書面表達形式為“要證只需要證”或“”.注意用分析法證明時,一

8、定要嚴格按照格式書寫.2-1已知m0,a,bR,求證:.證明證明m0,1+m0,要證原不等式成立,只需證明(a+mb)2(1+m)(a2+mb2),21ambm221ambm即證m(a2-2ab+b2)0,即證(a-b)20,而(a-b)20顯然成立,故原不等式得證.典例典例3設an是公比為q的等比數(shù)列.(1)推導an的前n項和公式;(2)設q1,求證:數(shù)列an+1不是等比數(shù)列.考點三反證法的應用考點三反證法的應用解析解析(1)設an的前n項和為Sn,當q=1時,Sn=a1+a1+a1=na1;當q1時,Sn=a1+a1q+a1q2+a1qn-1,qSn=a1q+a1q2+a1qn,-得,(1

9、-q)Sn=a1-a1qn,Sn=,Sn=(2)證明:假設an+1是等比數(shù)列,則對任意的kN*,(ak+1+1)2=(ak+1)(ak+2+1),+2ak+1+1=akak+2+ak+ak+2+1,q2k+2a1qk=a1qk-1a1qk+1+a1qk-1+a1qk+1,1(1)1naqq11,1,(1),1.1nna qaqqq21ka21aa10,2qk=qk-1+qk+1.q0,q2-2q+1=0,q=1,這與已知矛盾.假設不成立,故an+1不是等比數(shù)列.易錯警示易錯警示用反證法證明不等式要把握三點:(1)必須先否定結論,即肯定結論的反面;(2)必須從結論的反面出發(fā)進行推理,即應把結論的

10、反面作為條件,且必須依據(jù)這一條件進行推證;(3)推導出的矛盾可能多種多樣,有的與已知條件矛盾,有的與假設矛盾,有的與基本事實矛盾等,且推導出的矛盾必須是明顯的.3-1已知數(shù)列an的前n項和為Sn,且滿足an+Sn=2.(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)求證:數(shù)列an中不存在三項按原來順序成等差數(shù)列.解析解析(1)n=1時,a1+S1=2a1=2,則a1=1.又an+Sn=2,所以an+1+Sn+1=2,兩式相減得an+1=an,所以an是首項為1,公比為的等比數(shù)列,所以an=.(2)證明:假設數(shù)列an中存在三項按原來順序成等差數(shù)列,記為ap+1,aq+1,ar+1(pqr,且p,q,rN*),則2=+,所以22r-q=2r-p+1.(*)1212112n12q12p12r又因為pqr,p,q,rN*,所以r-q,r-pN*,所以(*)式左邊是偶數(shù),右邊是奇數(shù),等式不成立.所以假設不成立,原命題得證.