2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量的概念及其線性運(yùn)算訓(xùn)練 理 新人教A版.doc

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2019-2020年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第四章 平面向量的概念及其線性運(yùn)算訓(xùn)練 理 新人教A版 [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解向量的實(shí)際背景． 2.理解平面向量的概念，理解兩個(gè)向量相等的含義． 3.理解向量的幾何表示． 4.掌握向量加法、減法的運(yùn)算，并理解其幾何意義． 5.掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算及其幾何意義，理解兩個(gè)向量共線的含義． 6.了解向量線性運(yùn)算的性質(zhì)及其幾何意義. 1.主要考查平面向量的有關(guān)概念及線性運(yùn)算、共線向量定理的理解和應(yīng)用，如xx年浙江T5，遼寧T3等． 2.考查題型為選擇題或填空題. [歸納知識(shí)整合] 1．向量的有關(guān)概念 名稱 定義 向量 既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的長(zhǎng)度(或稱模) 零向量 長(zhǎng)度為零的向量叫做零向量，其方向是任意的，零向量記作0 單位向量 長(zhǎng)度等于1個(gè)單位的向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量叫做平行向量，平行向量又叫共線向量．規(guī)定：0與任一向量平行 相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量 相反向量 長(zhǎng)度相等且方向相反的向量 [探究]　1.兩向量共線與平行是兩個(gè)不同的概念嗎？?jī)上蛄抗簿€是指兩向量的方向一致嗎？ 提示：方向相同或相反的一組非零向量，叫做平行向量，又叫共線向量，是同一個(gè)概念．顯然兩向量平行或共線，其方向可能相同，也可能相反． 2．兩向量平行與兩直線(或線段)平行有何不同？ 提示：平行向量也叫共線向量，這里的“平行”與兩直線(或線段)平行的意義不同，兩向量平行時(shí)，兩向量可以在同一條直線上． 2．向量的線性運(yùn)算 向量運(yùn)算 定義 法則(或幾何意義) 運(yùn)算律 加法 求兩個(gè)向量和的運(yùn)算 (1)交換律：a＋b＝b＋a (2)結(jié)合律：(a＋b)＋c＝a＋(b＋c) 減法 求a與b的相反向量－b的和的運(yùn)算叫做a與b的差 a－b＝a＋(－b) 數(shù)乘 求實(shí)數(shù)λ與向量a的積的運(yùn)算 (1)|λa|＝|λ||a| (2)當(dāng)λ＞0時(shí)，λa與a的方向相同；當(dāng)λ＜0時(shí)，λa與a的方向相反；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝0 λ(μ a)＝(λ μ) a (λ＋μ)a＝λa＋μ a λ(a＋b)＝λa＋λb [探究]　3.λ＝0與a＝0時(shí)，λa的值是否相等？ 提示：相等，且均為0. 4．若|a＋b|＝|a－b|，你能給出以a，b為鄰邊的平行四邊形的形狀嗎？ 提示：如圖，說(shuō)明平行四邊形的兩條對(duì)角線長(zhǎng)度相等，故四邊形是矩形． 3．共線向量定理 向量a(a≠0)與b共線的充要條件是存在唯一一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使得b＝λa. [探究]　5.當(dāng)兩個(gè)非零向量a，b共線時(shí)，一定有b＝λa，反之成立嗎？ 提示：成立． [自測(cè)牛刀小試] 1．下列說(shuō)法中正確的是(　　) A．只有方向相同或相反的向量是平行向量 B．零向量的長(zhǎng)度為零 C．長(zhǎng)度相等的兩個(gè)向量是相等向量 D．共線向量是在一條直線上的向量 解析：選B　由于零向量與任意向量平行，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；長(zhǎng)度相等且方向相同的兩個(gè)向量是相等向量，故C錯(cuò)誤；方向相同或相反的兩個(gè)非零向量是共線向量，故D錯(cuò)誤． 2.(教材習(xí)題改編)D是△ABC的邊AB上的中點(diǎn)，則向量等于(　　) A．－＋　　　　　　 B．－－ C．－ D．＋ 解析：選A　如圖，由于D是AB的中點(diǎn)，所以＝＋＝＋＝－＋. 3．如圖，e1，e2為互相垂直的單位向量，則向量a－b可表示為(　　) A．3e2－e1 B．－2e1－4e2 C．e1－3e2 D．3e1－e2 解析：選C　連接a，b的終點(diǎn)，并指向a的終點(diǎn)的向量是a－b. 4．(教材習(xí)題改編)點(diǎn)C在線段AB上，且＝，則＝________，＝________. 解析：如圖，∵＝，∴＝，＝－. 答案：?。? 5．(教材習(xí)題改編)化簡(jiǎn)－＋－的結(jié)果為_(kāi)_____． 解析：－＋－ ＝(＋)＋(－) ＝＋＝. 答案： 向量的概念 [例1]　給出下列命題： ①若|a|＝|b|，則a＝b； ②若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，則＝是四邊形ABCD為平行四邊形的充要條件； ③若a＝b，b＝c，則a＝c； ④a＝b的充要條件是|a|＝|b|且a∥b； ⑤若a∥b，b∥c，則a∥c. 其中正確命題的序號(hào)是(　　) A．②③　　　　　　　　　　　 B．①② C．③④ D．④⑤ [自主解答]　①不正確，長(zhǎng)度相等，但方向不同的向量不是相等向量． ②正確．∵＝，∴||＝||且∥，又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，∴四邊形ABCD為平行四邊形；反之，若四邊形ABCD為平行四邊形，則∥且||＝||，因此，＝. ③正確．∵a＝b，∴a，b的長(zhǎng)度相等且方向相同； 又b＝c，∴b，c的長(zhǎng)度相等且方向相同， ∴a，c的長(zhǎng)度相等且方向相同，故a＝c. ④不正確．當(dāng)a＝－b時(shí)，也有|a|＝|b|且a∥b，故|a|＝|b|且a∥b不是a＝b的充要條件，而是必要不充分條件． ⑤不正確．未考慮b＝0這種特殊情況． 綜上所述，正確命題的序號(hào)是②③. [答案]　A ——————————————————— 解決平面向量概念辨析題的方法 解決與向量概念有關(guān)題目的關(guān)鍵是突出向量的核心——方向和長(zhǎng)度，如，共線向量的核心是方向相同或相反，長(zhǎng)度沒(méi)有限制；相等向量的核心是方向相同且長(zhǎng)度相等；單位向量的核心是方向沒(méi)有限制，但長(zhǎng)度都是一個(gè)單位長(zhǎng)度；零向量的核心是方向沒(méi)有限制，長(zhǎng)度是0；規(guī)定零向量與任意向量共線．只有緊緊抓住概念的核心才能順利解決與向量概念有關(guān)的問(wèn)題． 1．設(shè)a0為單位向量，①若a為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則a＝|a|a0；②若a與a0平行，則a＝|a|a0；③若a與a0平行且|a|＝1，則a＝a0.上述命題中，假命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選D　向量是既有大小又有方向的量，a與|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命題；若a與a0平行，則a與a0的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)a＝－|a|a0，故②③也是假命題．綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3. 向量的線性運(yùn)算 [例2]　在△ABC中， (1)若D是AB邊上一點(diǎn)，且＝2，＝＋λ，則λ＝(　　) A.　　　 B.　　　 C．－　　　 D．－ (2)若O是△ABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，D為BC邊中點(diǎn)，且2＋＋＝0，那么(　　) A．＝ B．＝2 C．＝3 D．2＝ [自主解答]　(1)法一：由＝2得－＝2(－)，即＝＋，所以λ＝. 法二：因?yàn)椋剑剑剑?－)＝＋，所以λ＝. (2)因?yàn)镈是BC邊的中點(diǎn)，所以有＋＝2，所以2＋＋＝2＋2＝2(＋)＝0?＋＝0?＝. [答案]　(1)A　(2)A 在本例條件下，若||＝||＝|－|＝2，則|＋|為何值？ 解：∵||＝||＝|－|， ∴△ABC為正三角形． ∴|＋|＝2.　　　　 ——————————————————— 平面向量線性運(yùn)算的一般規(guī)律 (1)用已知向量來(lái)表示另外一些向量是用向量解題的基本功，除利用向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算外，還應(yīng)充分利用平面幾何的一些定理． (2)在求向量時(shí)，要盡可能轉(zhuǎn)化到平行四邊形或三角形中，運(yùn)用平行四邊形法則、三角形法則，利用三角形中位線、相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例等平面幾何的性質(zhì)，把未知向量轉(zhuǎn)化為與已知向量有直接關(guān)系的向量來(lái)求解． 2．如圖，在△OAB中，延長(zhǎng)BA到C，使AC＝BA，在OB上取點(diǎn)D，使DB＝OB.設(shè)＝a，＝b，用a，b表示向量，. 解：＝＋＝＋2＝＋2(－) ＝2－＝2a－b. ＝－＝－ ＝(2a－b)－b ＝2a－b. 共線向量定理的應(yīng)用 [例3]　設(shè)兩個(gè)非零向量a與b不共線， (1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求證：A、B、D三點(diǎn)共線． (2)試確定實(shí)數(shù)k，使ka＋b和a＋kb共線． [自主解答]　(1)∵＝a＋b，＝2a＋8b， ＝3(a－b)， ∴＝＋＝2a＋8b＋3(a－b)， ＝2a＋8b＋3a－3b＝5(a＋b)＝5. ∴、共線，又∵它們有公共點(diǎn)B， ∴A、B、D三點(diǎn)共線． (2)∵ka＋b與a＋kb共線， ∴存在實(shí)數(shù)λ，使ka＋b＝λ(a＋kb)， 即ka＋b＝λa＋λkb. ∴(k－λ)a＝(λk－1)b. ∵a、b是不共線的兩個(gè)非零向量， ∴k－λ＝λk－1＝0，∴k2－1＝0，∴k＝1. ——————————————————— 1．共線向量定理及其應(yīng)用 (1)可以利用共線向量定理證明向量共線，也可以由向量共線求參數(shù)的值． (2)若a，b不共線，則λa＋μb＝0的充要條件是λ＝μ＝0，這一結(jié)論結(jié)合待定系數(shù)法應(yīng)用非常廣泛． 2．證明三點(diǎn)共線的方法 若＝λ，則A、B、C三點(diǎn)共線． 3．已知a，b不共線，＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，設(shè)t∈R，如果3a＝c,2b＝d，e＝t(a＋b)，是否存在實(shí)數(shù)t使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上？若存在，求出實(shí)數(shù)t的值，若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：由題設(shè)知，＝d－c＝2b－3a，＝e－c＝(t－3)a＋tb，C，D，E三點(diǎn)在一條直線上的充要條件是存在實(shí)數(shù)k，使得＝k，即(t－3)a＋tb＝－3ka＋2kb， 整理得(t－3＋3k)a＝(2k－t)b. 因?yàn)閍，b不共線，所以有 解之得t＝. 故存在實(shí)數(shù)t＝使C，D，E三點(diǎn)在一條直線上． 1個(gè)規(guī)律——向量加法規(guī)律 一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即＋＋＋…＋＝.特別地，一個(gè)封閉圖形首尾連接而成的向量和為零向量． 2個(gè)結(jié)論——向量的中線公式及三角形的重心 (1)向量的中線公式 若P為線段AB的中點(diǎn)，O為平面內(nèi)一點(diǎn)，則＝(＋)． (2)三角形的重心 已知平面內(nèi)不共線的三點(diǎn)A、B、C，＝(＋＋)?G是△ABC的重心，特別地，＋＋＝0?P為△ABC的重心． 3個(gè)等價(jià)轉(zhuǎn)化——與三點(diǎn)共線有關(guān)的等價(jià)轉(zhuǎn)化 A，P，B三點(diǎn)共線?＝λ (λ≠0)? ＝(1－t)＋t (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，t∈R)? ＝x＋y (O為平面內(nèi)異于A，P，B的任一點(diǎn)，x∈R，y∈R，x＋y＝1)． 4個(gè)注意點(diǎn)——向量線性運(yùn)算應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)用平行四邊形法則進(jìn)行向量加法和減法運(yùn)算時(shí)，需將向量平移至共起點(diǎn)； (2)作兩個(gè)向量的差時(shí)，要注意向量的方向是指向被減向量的終點(diǎn)； (3)在向量共線的重要條件中要注意“a≠0”，否則λ可能不存在，也可能有無(wú)數(shù)個(gè)； (4)要注意向量共線與三點(diǎn)共線的區(qū)別與聯(lián)系. 創(chuàng)新交匯——以平面向量為背景的新定義問(wèn)題 1．從近幾年新課標(biāo)省份的高考可以看出，高考以新定義的形式考查向量的概念及線性運(yùn)算的頻率較大，且常與平面幾何、解析幾何、充要條件等知識(shí)交匯，具有考查形式靈活，題材新穎，解法多樣等特點(diǎn)． 2．解決此類問(wèn)題，首先需要分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問(wèn)題的本質(zhì)弄清楚，通過(guò)轉(zhuǎn)化思想解決，這是破解新定義信息題難點(diǎn)的關(guān)鍵所在． [典例]　(xx山東高考)設(shè)A1，A2，A3，A4是平面直角坐標(biāo)系中兩兩不同的四點(diǎn)，若＝λ(λ∈R)，＝μ (μ∈R)，且＋＝2，則稱A3，A4調(diào)和分割A(yù)1，A2已知點(diǎn)C(c,0)，D(d,0)(c，d∈R)調(diào)和分割點(diǎn)A(0,0)，B(1,0)，則下面說(shuō)法正確的是(　　) A．C可能是線段AB的中點(diǎn) B．D可能是線段AB的中點(diǎn) C．C，D可能同時(shí)在線段AB上 D．C，D不可能同時(shí)在線段AB的延長(zhǎng)線上 [解析]　根據(jù)已知得(c,0)－(0,0)＝λ[(1,0)－(0,0)]，即(c,0)＝λ(1,0)，從而得c＝λ；(d,0)－(0,0)＝μ[(1,0)－(0,0)]，即(d,0)＝μ(1,0)，得d＝μ.根據(jù)＋＝2，得＋＝2.線段AB的方程是y＝0，x∈[0,1]．若C是線段AB的中點(diǎn)，則c＝，代入＋＝2得，＝0，此等式不可能成立，故選項(xiàng)A的說(shuō)法不正確；同理選項(xiàng)B的說(shuō)法也不正確；若C，D同時(shí)在線段AB上，則01，d>1，則＋<2，與＋＝2矛盾，若c<0，d<0，則＋是負(fù)值，與＋＝2矛盾，若c>1，d<0，則<1，<0，此時(shí)＋<1，與＋＝2矛盾；故選項(xiàng)D的說(shuō)法是正確的． [答案]　D 1．本題具有以下創(chuàng)新點(diǎn) (1)命題背景新穎：本題為新定義題目，用新定義考查考生閱讀能力與知識(shí)遷移能力． (2)考查知識(shí)新穎：本題把坐標(biāo)系、向量、點(diǎn)與線段的位置關(guān)系通過(guò)新定義有機(jī)結(jié)合在一起，能較好地考查學(xué)生的閱讀理解能力和解決問(wèn)題的能力． 2．解決本題的關(guān)鍵有以下兩點(diǎn) 解決本題的關(guān)鍵是抓住兩條：一是A1，A2，A3，A4四點(diǎn)共線；二是＋＝2，同時(shí)應(yīng)用排除法． 1．定義平面向量之間的一種運(yùn)算“⊙”如下：對(duì)任意的a＝(m，n)，b＝(p，q)，令a⊙b＝mq－np，下面說(shuō)法錯(cuò)誤的是(　　) A．若a與b共線，則a⊙b＝0 B．a(chǎn)⊙b＝b⊙a(bǔ) C．對(duì)任意的λ∈R，有(λa)⊙b＝λ(a⊙b) D．(a⊙b)2＋(ab)2＝|a|2|b|2 解析：選B　若a與b共線，則有mq－np＝0，故A正確；因?yàn)閎⊙a(bǔ)＝pn－qm，而a⊙b＝mq－np，所以有a⊙b≠b⊙a(bǔ)，故B錯(cuò)誤；因?yàn)棣薬＝(λm，λn)，所以(λa)⊙b＝λmq－λnp.又λ(a⊙b)＝λ(mq－np)＝(λa)⊙b，故C正確；因?yàn)?a⊙b)2＋(ab)2＝(mq－np)2＋(mp＋nq)2＝(m2＋n2)(p2＋q2)＝|a|2|b|2，故D正確． 2．已知點(diǎn)A、B、C是直線l上不同的三個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)O不在直線l上，則關(guān)于x的方程x2＋x＋＝0的解集為(　　) A．?　　　　　　　　　　　 B．{－1} C. D．{－1,0} 解析：選A　由條件可知，x2＋x不能和共線，即使x＝0時(shí)，也不滿足條件，所以滿足條件的x不存在． 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1.如圖，已知＝a，＝b，＝3，用a，b表示，則＝(　　) A．a(chǎn)＋b　　　　　 B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：選B　∵＝－＝a－b，又＝3， ∴＝＝(a－b)，∴＝＋＝b＋(a－b)＝a＋b. 2．設(shè)P是△ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，＋＝2，則(　　) A．＋＝0　　　　　　　 B．＋＝0 C．＋＝0 D．＋＋＝0 解析：選B　如圖，根據(jù)向量加法的幾何意義，＋＝2?P是AC的中點(diǎn)，故＋＝0. 3．已知向量p＝＋，其中a、b均為非零向量，則|p|的取值范圍是(　　) A．[0，] B．[0,1] C．(0,2] D．[0,2] 解析：選D　與均為單位向量，當(dāng)它們同向時(shí)，|p|取得最值2，當(dāng)它們反向時(shí)，|p|取得最小值0.故|p|∈[0,2]． 4．已知四邊形ABCD中，＝，||＝||，則這個(gè)四邊形的形狀是(　　) A．平行四邊形 B．矩形 C．等腰梯形 D．菱形 解析：選B　由＝可知AB綊CD，所以四邊形ABCD為平行四邊形．由||＝||知對(duì)角線相等，所以平行四邊形ABCD為矩形． 5．(xx保定模擬)如圖所示，已知點(diǎn)G是△ABC的重心，過(guò)G作直線與AB，AC兩邊分別交于M，N兩點(diǎn)，且＝x，＝y(tǒng)，則的值為(　　) A．3 B. C．2 D. 解析：選B　(特例法)利用等邊三角形，過(guò)重心作平行于底面BC的直線，易得＝. 6．設(shè)D、E、F分別是△ABC的三邊BC、CA、AB上的點(diǎn)，且＝2，＝2，＝2，則＋＋與 (　　) A．反向平行　　　　　　　 B．同向平行 C．互相垂直 D．既不平行也不垂直 解析：選A　由題意得＝＋＝＋， ＝＋＝＋， ＝＋＝＋， 因此＋＋＝＋(＋－) ＝＋＝－， 故＋＋與反向平行． 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．在?ABCD中，＝a，＝b，＝3，M為BC的中點(diǎn)，則＝________(用a，b表示)． 解析：由＝3得4＝3＝3(a＋b)， ＝a＋b， 所以＝(a＋b)－＝－a＋b. 答案：－a＋b 8．設(shè)a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，若8a＋kb與ka＋2b共線，則實(shí)數(shù)k＝________. 解析：因?yàn)?a＋kb與ka＋2b共線，所以存在實(shí)數(shù)λ，使8a＋kb＝λ(ka＋2b)，即(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0.又a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，故解得k＝4. 答案：4 9．(xx淮陰模擬)已知△ABC和點(diǎn)M滿足＋＋＝0.若存在實(shí)數(shù)m使得＋＝m成立，則m＝________. 解析：由題目條件可知，M為△ABC的重心，連接AM并延長(zhǎng)交BC于D，則＝，因?yàn)锳D為中線，則＋＝2＝3，所以m＝3. 答案：3 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 10．已知P為△ ABC內(nèi)一點(diǎn)，且3＋4＋5＝0，延長(zhǎng)AP交BC于點(diǎn)D，若＝a，＝b，用a、b表示向量，. 解：∵＝－＝－a， ＝－＝－b， 又3＋4＋5＝0. ∴3＋4(－a)＋5(－b)＝0，∴＝a＋b. 設(shè)＝t (t∈R)， 則＝ta＋tb.① 又設(shè)＝k (k∈R)， 由＝－＝b－a，得＝k(b－a)． 而＝＋＝a＋. ∴＝a＋k(b－a)＝(1－k)a＋kb② 由①②得解得t＝. 代入①得＝a＋b. ∴＝a＋b，＝a＋b. 11．設(shè)兩個(gè)非零向量e1和e2不共線． (1)如果＝e1－e2，＝3e1＋2e2，＝－8e1－2e2， 求證：A、C、D三點(diǎn)共線； (2)如果＝e1＋e2，＝2e1－3e2，＝2e1－ke2，且A、C、D三點(diǎn)共線，求k的值． 解：(1)證明：∵＝e1－e2，＝3e1＋2e2， ＝－8e1－2e2， ∴＝＋＝4e1＋e2 ＝－(－8e1－2e2)＝－， ∴與共線． 又∵與有公共點(diǎn)C，∴A、C、D三點(diǎn)共線． (2) ＝＋＝(e1＋e2)＋(2e1－3e2)＝3e1－2e2， ∵A、C、D三點(diǎn)共線，∴與共線，從而存在實(shí)數(shù)λ使得＝λ，即3e1－2e2＝λ(2e1－ke2)，得 解得λ＝，k＝. 12．設(shè)點(diǎn)O在△ABC內(nèi)部，且有4＋＋＝0，求△ABC的面積與△OBC的面積之比． 解：取BC的中點(diǎn)D，連接OD， 則＋＝2， 又4＝－(＋)＝－2， 即＝－， ∴O、A、D三點(diǎn)共線，且||＝2||， ∴O是中線AD上靠近A點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)， ∴S△ABC∶S△OBC＝3∶2. 1．已知△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A、B、C及平面內(nèi)一點(diǎn)P滿足＋＋＝，則點(diǎn)P與△ABC的關(guān)系為(　　) A．P在△ABC內(nèi)部 B．P在△ABC外部 C．P在AB邊所在直線上 D．P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn) 解析：選D　∵＋＋＝， ∴＋＋＝－，∴＝－2＝2， ∴P是AC邊的一個(gè)三等分點(diǎn)． 2．平面向量a，b共線的充要條件是(　　) A．a(chǎn)，b方向相同 B．a(chǎn)，b兩向量中至少有一個(gè)為0 C．存在λ∈R，使b＝λa D．存在不全為零的實(shí)數(shù)λ1，λ2，使λ1a＋λ2b＝0 解析：選D　a，b共線時(shí)，a，b方向相同或相反，故A錯(cuò)．a(chǎn)，b共線時(shí)，a，b不一定是零向量，故B錯(cuò)．當(dāng)b＝λa時(shí)，a，b一定共線，若b≠0，a＝0，則b＝λa不成立，故C錯(cuò)．排除A、B、C. 3．△ABC中，點(diǎn)D在邊AB上，CD平分∠ACB.設(shè)＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，則等于(　　) A.a＋b B.a＋b C.a＋b D.a＋b 解析：選B　∵CD平分∠ACB， ∴＝. 又∵＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2， ∴＝. ∴＝＋＝a＋ ＝a＋(－) ＝a＋(b－a)＝a＋b. 4.如圖所示，在五邊形ABCDE中，點(diǎn)M、N、P、Q分別是AB、CD、BC、DE的中點(diǎn)，K和L分別是MN和PQ的中點(diǎn)，求證：＝. 證明：任取一點(diǎn)O，＝－. ∵K、L為MN、PQ的中點(diǎn)． ∴＝(＋)，＝(＋)． 又∵M(jìn)，N，P，Q分別為AB，CD，BC，DE中點(diǎn)， ∴＝(＋)，＝(＋)， ＝(＋)，＝(＋)． ∴＝－＝[－(＋)＋(＋)] ＝[－(＋＋＋)＋(＋＋＋)] ＝(－＋)＝. [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解平面向量基本定理及其意義． 2.掌握平面向量的正交分解及坐標(biāo)表示． 3.會(huì)用坐標(biāo)表示平面向量的加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算． 4.理解用坐標(biāo)表示的平面向量共線的條件. 本節(jié)內(nèi)容在高考中一般不單獨(dú)命題，常常是結(jié)合向量的其他知識(shí)命制綜合性的小題，這些小題多屬于中低檔題，問(wèn)題常常涉及以下幾個(gè)方面： (1)結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算求向量的值，如xx年重慶T6等． (2)結(jié)合平面向量基本定理考查向量的線性表示，如xx年廣東T3等． (3)結(jié)合向量的垂直與共線等知識(shí)，求解參數(shù)問(wèn)題，如xx年北京T10等. [歸納知識(shí)整合] 1．兩個(gè)向量的夾角 (1)定義 已知兩個(gè)非零向量a和b，作＝a，＝b，則∠AOB＝θ叫做向量a與b的夾角． (2)范圍 向量夾角θ的范圍是[0，π]，a與b同向時(shí)，夾角θ＝0；a與b反向時(shí)，夾角θ＝π. (3)向量垂直 如果向量a與b的夾角是，則a與b垂直，記作a⊥b. 2．平面向量基本定理及坐標(biāo)表示 (1)平面向量基本定理： 如果e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對(duì)于這一平面內(nèi)的任意向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λ1，λ2，使a＝λ1e1＋λ2e2. 其中，不共線的向量e1，e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底． (2)平面向量的坐標(biāo)表示： ①在平面直角坐標(biāo)系中，分別取與x軸、y軸方向相同的兩個(gè)單位向量i，j作為基底，對(duì)于平面內(nèi)的一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)x，y，使a＝xi＋yj，把有序數(shù)對(duì)(x，y)叫做向量a的坐標(biāo)，記作a＝(x，y)，其中x叫做a在x軸上的坐標(biāo)，y叫做a在y軸上的坐標(biāo)． ②設(shè)＝xi＋yj，則向量的坐標(biāo)(x，y)就是A點(diǎn)的坐標(biāo)，即若＝(x，y)，則A點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)，反之亦成立．(O是坐標(biāo)原點(diǎn)) [探究]　1.向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)有何不同？ 提示：向量的坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)有所不同，相等向量的坐標(biāo)是相同的，但起點(diǎn)、終點(diǎn)的坐標(biāo)卻可以不同，以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的向量的坐標(biāo)與點(diǎn)A的坐標(biāo)相同． 3．平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 (1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則ab＝(x1x2，y1y2)； (2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則＝(x2－x1，y2－y1)； (3)若a＝(x，y)，則λa＝(λx，λy)； (4)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b?x1y2＝x2y1. [探究]　2.相等向量的坐標(biāo)一定相同嗎？相等向量起點(diǎn)和終點(diǎn)坐標(biāo)可以不同嗎？ 提示：相等向量的坐標(biāo)一定相同，但是起點(diǎn)和終點(diǎn)的坐標(biāo)可以不同．如A(3,5)，B(6,8)，則＝(3,3)；C(－5,3)，D(－2，6)，則＝(3,3)，顯然＝，但A，B，C，D四點(diǎn)坐標(biāo)均不相同． 3．若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件能表示成＝嗎？ 提示：若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0.同時(shí)，a∥b的充要條件也不能錯(cuò)記為x1x2－y1y2＝0，x1y1－x2y2＝0等． [自測(cè)牛刀小試] 1．若向量a＝(1,1)，b＝(－1,0)，c＝(6,4)，則c＝(　　) A．4a－2b　　　　　　　　 B．4a＋2b C．－2a＋4b D．2a＋4b 解析：選A　設(shè)c＝λa＋μb，則有(6,4)＝(λ，λ)＋(－μ，0)＝(λ－μ，λ)，即λ－μ＝6，λ＝4，從而μ＝－2， 故c＝4a－2b. 2．下列各組向量中，能作為基底的組數(shù)為(　　) ①a＝(－1,2)，b＝(5,7)； ②a＝(2，－3)，b＝(4，－6)； ③a＝(2，－3)，b＝(12，－34)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析：選C　對(duì)①，由于－17－25≠0，所以a與b不共線，故a，b可作為基底；對(duì)②，由于b＝2a，a與b共線，不能作為基底；對(duì)③，由于－342＋312≠0，所以a與b不共線，故a，b可作為基底． 3．設(shè)向量a＝(m,1)，b＝(1，m)，如果a與b共線且方向相反，則m的值為(　　) A．－1 B．1 C．－2 D．2 解析：選A　設(shè)a＝λb，則 即λ＝1，又∵a與b共線且方向相反， ∴λ<0，即λ＝－1. 4．(教材習(xí)題改編)在?ABCD中，AC為一條對(duì)角線，＝(2,4)，＝(1,3)，則向量的坐標(biāo)為_(kāi)_______． 解析：設(shè)＝(x，y)，∵＝＋ ∴(1,3)＝(2,4)＋(x，y)， ∴即 ∴＝(－1，－1)． ∴＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)． 答案：(－3，－5) 5．已知向量a＝(2，－1)，b＝(－1，m)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________. 解析：∵a＋b＝(1，m－1)．∴(a＋b)∥c， ∴2－(－1)(m－1)＝0，∴m＝－1. 答案：－1 平面向量基本定理的應(yīng)用 [例1]　如圖所示，在△ABC中，點(diǎn)M是AB的中點(diǎn)，且＝，BN與CM相交于點(diǎn)E，設(shè)＝a，＝b，試用基底a，b表示向量. [自主解答]　易得＝＝b，＝＝a，由N，E，B三點(diǎn)共線知，存在實(shí)數(shù)m，滿足＝m＋(1－m) ＝mb＋(1－m)a. 由C，E，M三點(diǎn)共線知存在實(shí)數(shù)n，滿足＝n＋(1－n) ＝na＋(1－n)b. 所以mb＋(1－m)a＝na＋(1－n)b. 由于a，b為基底，所以解得 所以＝a＋b. ——————————————————— 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的方法 應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加法、減法或數(shù)乘運(yùn)算，基本方法有兩種： (1)運(yùn)用向量的線性運(yùn)算法則對(duì)待求向量不斷進(jìn)行化簡(jiǎn)，直至用基底表示為止； (2)將向量用含參數(shù)的基底表示，然后列方程或方程組，利用基底表示向量的唯一性求解． 1.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，且AD＝BC，E，F(xiàn)分別為線段AD與BC的中點(diǎn)．設(shè)＝a，＝b，試用a，b為基底表示向量，，. 解：＝＋＋＝－b－a＋b＝b－a， ＝＋＝－b＋＝b－a， ＝＋＝－b－＝a－b. 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算 [例2]　已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設(shè)＝a，＝b，＝c，且＝3c，＝－2b.求： (1)3a＋b－3c； (2)M、N的坐標(biāo)及向量的坐標(biāo)． [自主解答]　由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1,8)． (1)3a＋b－3c ＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8) ＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)． (2)∵＝－＝3c， ∴＝3c＋＝(3,24)＋(－3，－4)＝(0,20)． ∴M(0,20)． 又∵＝－＝－2b， ∴＝－2b＋＝(12,6)＋(－3，－4)＝(9,2)， ∴N(9,2)．∴＝(9，－18)． ——————————————————— 平面向量坐標(biāo)運(yùn)算的技巧 (1)向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量加、減、數(shù)乘運(yùn)算的法則來(lái)進(jìn)行求解的，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求向量的坐標(biāo)． (2)解題過(guò)程中，常利用向量相等則其坐標(biāo)相同這一原則，通過(guò)列方程(組)來(lái)進(jìn)行求解，并注意方程思想的應(yīng)用． 2．已知點(diǎn)A(－1,2)，B(2,8)以及＝，＝－，求點(diǎn)C、D的坐標(biāo)和的坐標(biāo)． 解：設(shè)點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別為(x1，y1)、(x2，y2)， 得＝(x1＋1，y1－2)，＝(3,6)， ＝(－1－x2,2－y2)，＝(－3，－6)． 因?yàn)椋剑剑? 所以有，和 解得和 所以點(diǎn)C、D的坐標(biāo)分別是(0,4)、(－2,0)， 從而＝(－2，－4). 平面向量共線的坐標(biāo)表示 [例3]　平面內(nèi)給定三個(gè)向量a＝(3,2)，b＝(－1,2)， c＝(4,1)． (1)求滿足a＝mb＋nc的實(shí)數(shù)m，n； (2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求實(shí)數(shù)k； (3)若d滿足(d－c)∥(a＋b)，且|d－c|＝，求d. [自主解答]　(1)由題意得(3,2)＝m(－1,2)＋n(4,1)， 所以得 (2)∵a＋kc＝(3＋4k,2＋k)，2b－a＝(－5,2)， ∴2(3＋4k)－(－5)(2＋k)＝0.∴k＝－. (3)設(shè)d＝(x，y)，d－c＝(x－4，y－1)，a＋b＝(2,4)， 由題意得 得或故d＝(3，－1)或(5,3)． 本例(2)成立的前提下，a＋kc與2b－a是同向還是反向． 解：∵由例題知，k＝－. ∴a＋kc＝(3,2)－(4,1)＝， 2b－a＝(－2,4)－(3,2)＝(－5,2)， ∴a＋kc＝(2b－a)， 又∵＞0，∴a＋kc與2b－a同向．　　　　 ——————————————————— 利用兩向量共線解題的技巧 (1)一般地，在求與一個(gè)已知向量a共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為λa(λ∈R)，然后結(jié)合其他條件列出關(guān)于λ的方程，求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量． (2)如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，則利用“若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件是x1y2＝x2y1”解題比較方便． 3．(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC.已知點(diǎn)A(－2,0)，B(6,8)，C(8,6)，則D點(diǎn)的坐標(biāo)為_(kāi)_______． (2)已知向量a＝(m，－1)，b＝(－1，－2)，c＝(－1,2)，若(a＋b)∥c，則m＝________. 解析：(1)由條件中的四邊形ABCD的對(duì)邊分別平行，可以判斷該四邊形ABCD是平行四邊形．設(shè)D(x，y)，則有＝，即(6,8)－(－2,0)＝(8,6)－(x，y)，解得(x，y)＝(0，－2)，即D點(diǎn)的坐標(biāo)為(0，－2)． (2)由題意知a＋b＝(m－1，－3)，c＝(－1,2)， 由(a＋b)∥c得(－3)(－1)－(m－1)2＝0， 即2(m－1)＝3，所以m＝. 答案：(1)(0，－2)　(2) 1個(gè)區(qū)別——向量坐標(biāo)與點(diǎn)的坐標(biāo)的區(qū)別 在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為起點(diǎn)的向量＝a，點(diǎn)A的位置被向量a唯一確定，此時(shí)點(diǎn)A的坐標(biāo)與a的坐標(biāo)統(tǒng)一為(x，y)，但應(yīng)注意其表示形式的區(qū)別，如點(diǎn)A(x，y)，向量a＝＝(x，y)． 2種形式——向量共線的充要條件的兩種形式 (1)a∥b?b＝λa(a≠0，λ∈R)； (2)a∥b?x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))． 3個(gè)注意點(diǎn)——解決平面向量共線問(wèn)題應(yīng)注意的問(wèn)題 (1)注意0的方向是任意的； (2)若a、b為非零向量，當(dāng)a∥b時(shí)，a，b的夾角為0或180，求解時(shí)容易忽視其中一種情形而導(dǎo)致出錯(cuò)； (3)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則a∥b的充要條件不能表示成＝，因?yàn)閤2，y2有可能等于0，所以應(yīng)表示為x1y2－x2y1＝0. 易誤警示——忽視向量平行的主要條件致誤 [典例]　(xx湖南高考)設(shè)向量a，b滿足|a|＝2，b＝(2,1)，且a與b的方向相反，則a的坐標(biāo)為_(kāi)_______． [解析]　設(shè)a＝(x，y)，x＜0，y＜0，則x－2y＝0且x2＋y2＝20，解得x＝4，y＝2(舍去)，或者x＝－4，y＝－2，即a＝(－4，－2)． [答案]　(－4，－2) 1．解答本題易誤認(rèn)為“a與b的方向相反?a∥b”，致使出現(xiàn)增解(4,2)，而造成解題錯(cuò)誤． 2．解決此類問(wèn)題常有混淆向量共線與向量垂直的充要條件致誤． 1．已知向量a＝(1,0)，b＝(0,1)，c＝ka＋b(k∈R)，d＝a－b，如果c∥d，那么(　　) A．k＝1且c與d同向 B．k＝1且c與d反向 C．k＝－1且c與d同向 D．k＝－1且c與d反向 解析：選D　∵a＝(1,0)，b＝(0,1)，若k＝1，則c＝a＋b＝(1,1)，d＝a－b＝(1，－1)．顯然，c與d不平行，排除A、B.若k＝－1，則c＝－a＋b＝(－1,1)，－d＝－a＋b＝(－1,1)，即c∥d且c與d反向，排除C. 2．若三點(diǎn)A(2,2)，B(a,0)，C(0，b)(ab≠0)共線，則＋的值等于________． 解析：＝(a－2，－2)，＝(－2，b－2)，依題意，有(a－2)(b－2)－4＝0，即ab－2a－2b＝0， 所以＋＝. 答案： 一、選擇題(本大題共6小題，每小題5分，共30分) 1．(xx廣東高考)若向量＝(2,3)，＝(4,7)，則＝(　　) A．(－2，－4)　　　　　　　　 B．(2,4) C．(6,10) D．(－6，－10) 解析：選A　由于＝(2,3)，＝(4,7)，那么＝＋＝(2,3)＋(－4，－7)＝(－2，－4)． 2．如圖，在平行四邊形ABCD中，E為DC邊的中點(diǎn)，且＝a，＝b，則＝(　　) A．b－a B．b＋a C．a(chǎn)＋b D．a(chǎn)－b 解析：選A?。剑剑璦＋b＋a＝b－a. 3．(xx鄭州模擬)已知平面直角坐標(biāo)系內(nèi)的兩個(gè)向量a＝(1,2)，b＝(m,3m－2)，且平面內(nèi)的任一向量c都可以唯一的表示成c＝λa＋μb(λ、μ為實(shí)數(shù))，則m的取值范圍是(　　) A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，＋∞) D．(－∞，2)∪(2，＋∞) 解析：選D　由題意知向量a，b不共線，故m≠，解得m≠2. 4．已知A(7,1)、B(1,4)，直線y＝ax與線段AB交于C，且＝2，則實(shí)數(shù)a等于(　　) A．2 B．1 C. D. 解析：選A　設(shè)C(x，y)，則＝(x－7，y－1)，＝(1－x,4－y)， ∵＝2，∴ 解得∴C(3,3)． 又∵C在直線y＝ax上， ∴3＝a3，∴a＝2. 5．已知點(diǎn)A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，給出下面的結(jié)論： ①直線OC與直線BA平行；②＋＝；③＋＝；④＝－2. 其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　　 B．2　　　　 C．3　　　　 D．4 解析：選C　∵由題意得kOC＝＝－，kBA＝＝－，∴OC∥BA，①正確；∵＋＝，∴②錯(cuò)誤； ∵＋＝(0,2)＝，∴③正確； ∵－2＝(－4,0)，＝(－4,0)，∴④正確． 6．(xx成都模擬)在△ABC中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，m＝(b－c，cos C)，n＝(a，cos A)，m∥n，則cos A的值等于(　　) A. B. C. D. 解析：選C　m∥n?(b－c)cos A－acos C＝0，再由正弦定理得sin BcosA＝sin Ccos A＋cos Csin A?sin Bcos A＝sin(C＋A)＝sin B，即cos A＝. 二、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分) 7．在△ABC中，點(diǎn)P在BC上，且＝2，點(diǎn)Q是AC的中點(diǎn)，若＝(4,3)，＝(1,5)，則＝________. 解析：＝－＝(－3,2)， ∴＝2＝(－6,4)． ＝＋＝(－2,7)， ∴＝3＝(－6,21)． 答案：(－6,21) 8．在△ABC中，＝a，＝b，M是CB的中點(diǎn)，N是AB的中點(diǎn)，且CN、AM交于點(diǎn)P，則＝____________(用a，b表示)． 解析：如圖所示，＝＋＝－＋＝－＋(＋)＝－＋＋＝－＋＝－a＋b. 答案：－a＋b 9．已知向量a＝(，1)，b＝(0，－1)，c＝(k，)，若a－2b與c共線，則k＝________. 解析：a－2b＝(，1)－2(0，－1)＝(，3)， 又∵a－2b與c共線， ∴(a－2b)∥c ∴－3k＝0，解得k＝1. 答案：1 三、解答題(本大題共3小題，每小題12分，共36分) 10．如圖，已知點(diǎn)A(4,0)，B(4,4)，C(2,6)，求AC與OB的交點(diǎn)P的坐標(biāo)． 解：法一：由O，P，B三點(diǎn)共線，可設(shè)＝λ＝(4λ，4λ)，則＝－＝(4λ－4,4λ)． 又＝－＝(－2,6)，由與共線得(4λ－4)6－4λ(－2)＝0，解得λ＝，所以＝＝(3,3)， 所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3)． 法二：設(shè)P(x，y)，則＝(x，y)，因?yàn)椋?4,4)，且與共線，所以＝，即x＝y(tǒng). 又＝(x－4，y)，＝(－2,6)，且與共線， 所以(x－4)6－y(－2)＝0，解得x＝y(tǒng)＝3， 所以P點(diǎn)的坐標(biāo)為(3,3)． 11．已知O(0,0)、A(1,2)、B(4,5)及＝＋t，試問(wèn)： (1)t為何值時(shí)，P在x軸上？在y軸上？P在第三象限？ (2)四邊形OABP能否成為平行四邊形？若能，求出相應(yīng)的t值；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由． 解：(1)∵＝(1,2)，＝(3,3)， ∴＝＋t＝(1＋3t,2＋3t)． 若點(diǎn)P在x軸上，則2＋3t＝0，解得t＝－； 若點(diǎn)P在y軸上，則1＋3t＝0，解得t＝－； 若點(diǎn)P在第三象限，則解得t<－. (2)不能，若四邊形OABP成為平行四邊形， 則＝，即 ∵該方程組無(wú)解， ∴四邊形OABP不能成為平行四邊形． 12．若平面向量a、b滿足|a＋b|＝1，a＋b平行于x軸，b＝(2，－1)，求a的坐標(biāo)． 解：設(shè)a＝(x，y)， ∵b＝(2，－1)， ∴a＋b＝(x＋2，y－1)． 又∵a＋b平行于x軸， ∴y－1＝0，得y＝1， ∴a＋b＝(x＋2,0)． 又∵|a＋b|＝1， ∴|x＋2|＝1， ∴x＝－1或x＝－3， ∴a＝(－1,1)或a＝(－3,1)． 1．已知a1＋a2＋…＋an＝0，且an＝(3,4)，則a1＋a2＋…＋an－1的坐標(biāo)為(　　) A．(4,3) B．(－4，－3) C．(－3，－4) D．(－3,4) 解析：選C　∵a1＋a2＋…＋an＝0， ∴(a1＋a2＋…＋an－1)＝－an＝(－3，－4)． 2．若α，β是一組基底，向量γ＝xα＋yβ(x，y∈R)，則稱(x，y)為向量γ在基底α，β下的坐標(biāo)，現(xiàn)已知向量a在基底p＝(1，－1)，q＝(2,1)下的坐標(biāo)為(－2,2)，則a在另一組基底m＝(－1,1)，n＝(1,2)下的坐標(biāo)為(　　) A．(2,0) B．(0，－2) C．(－2,0) D．(0,2) 解析：選D　由題意，a＝－2p＋2q＝(－2,2)＋(4,2)＝(2,4)． 設(shè)a在基底m，n下的坐標(biāo)為(λ，μ)，則 a＝λ(－1,1)＋μ(1,2)＝(－λ＋μ，λ＋2μ)＝(2,4)． 故解得即坐標(biāo)為(0,2)． 3．已知平面向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，則向量a－b＝(　　) A．(－2，－1) B．(－2,1) C．(－1,0) D．(－1,2) 解析：選D　a＝，b＝， 故a－b＝(－1,2)． 4.如圖，在平行四邊形ABCD中，M，N分別為DC，BC的中點(diǎn)，已知＝c，＝d，試用c，d表示，. 解：法一：在△ADM中， ＝－＝c－ ① 在△ABN中，＝－＝d－ ② 由①②得＝(2d－c)，＝(2c－d)． 法二：設(shè)＝a，＝b，因?yàn)镸，N分別為CD，BC的中點(diǎn)，所以＝b，＝a，于是有： 解得 即＝(2d－c)，＝(2c－d)． 第三節(jié)　平面向量的數(shù)量積及平面向量的應(yīng)用 [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.理解平面向量數(shù)量積的含義及其物理意義．了解平面向量的數(shù)量積與向量投影的關(guān)系． 2.掌握數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式，會(huì)進(jìn)行平面向量數(shù)量積的運(yùn)算． 3.能運(yùn)用數(shù)量積表示兩個(gè)向量的夾角，會(huì)用數(shù)量積判斷兩個(gè)平面向量的垂直關(guān)系． 4.會(huì)用向量方法解決某些簡(jiǎn)單的平面幾何問(wèn)題．會(huì)用向量方法解決簡(jiǎn)單的力學(xué)問(wèn)題與其他一些實(shí)際問(wèn)題. 近年來(lái)的新課標(biāo)高考對(duì)平面向量的數(shù)量積的考查，主要以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)： (1)直接利用數(shù)量積進(jìn)行平面向量的運(yùn)算，如xx年北京T13，上海T12等． (2)利用平面向量的數(shù)量積計(jì)算及兩個(gè)向量的夾角問(wèn)題，如xx年新課標(biāo)全國(guó)T13，江西T7等. (3)利用平面向量的數(shù)量積解決垂直問(wèn)題．如xx年安徽T11等. [歸納知識(shí)整合] 1．平面向量的數(shù)量積 平面向量數(shù)量積的定義 已知兩個(gè)非零向量a和b，它們的夾角為θ，把數(shù)量|a||b|cos θ叫做a和b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作ab.即ab＝|a||b|cos θ，規(guī)定0a＝0. 2．向量數(shù)量積的運(yùn)算律 (1)ab＝ba (2)(λa)b＝λ(ab)＝a(λb) (3)(a＋b)c＝ac＋bc [探究]　根據(jù)數(shù)量積的運(yùn)算律，判斷下列結(jié)論是否成立． (1)ab＝ac，則b＝c嗎？ (2)(ab)c＝a(bc)嗎？ 提示：(1)不一定，a＝0時(shí)不成立， 另外a≠0時(shí)，ab＝ac.由數(shù)量積概念可知b與c不能確定； (2)(ab)c＝a(bc)不一定相等． (ab)c是c方向上的向量，而a(bc)是a方向上的向量，當(dāng)a與c不共線時(shí)它們必不相等． 3．平面向量數(shù)量積的有關(guān)結(jié)論 已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2) 結(jié)論 幾何表示 坐標(biāo)表示 模 |a|＝ |a|＝ 夾角 cos θ＝ cos θ＝ a⊥b的充要條件 ab＝0 x1x2＋y1y2＝0 |ab|與|a||b|的關(guān)系 |ab|≤|a||b| |x1x2＋y1y2|≤ [自測(cè)牛刀小試] 1．(教材習(xí)題改編)已知|a|＝5，|b|＝4，ab＝－10，則a與b的夾角為(　　) A.　　　　　　　　 B.π C. D.π 解析：選B　設(shè)a與b的夾角為θ， 則ab＝|a||b|cos θ＝54cos θ＝－10，即cos θ＝－. 又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π. 2．(教材習(xí)題改編)等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為1，＝a，＝b，＝c，那么ab＋bc＋ca等于(　　) A．3 B．－3 C. D．－ 解析：選D　由題意知|a|＝|b|＝|c|＝1，且a與b的夾角為120，b與c的夾角為120，c與a的夾角也為120. 故ab＋bc＋ca＝－. 3．設(shè)向量a，b滿足|a|＝|b|＝1，ab＝－，則|a＋2b|＝ (　　) A. B. C. D. 解析：選B　|a＋2b|＝＝ ＝＝. 4．(教材習(xí)題改編)已知|a|＝3，|b|＝4，且a與b不共線，若向量a＋kb與a－kb垂直，則k＝________. 解析：∵(a＋kb)⊥(a－kb)， ∴(a＋kb)(a－kb)＝0， 即|a|2－k2|b|2＝0. 又∵|a|＝3，|b|＝4，∴k2＝，即k＝. 答案： 5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)滿足條件(8a－b)c＝30，則x＝________. 解析：由題意可得8a－b＝(6,3)，又(8a－b)c＝30，c＝(3，x)，則18＋3x＝30，解得x＝4. 答案：4 平面向量數(shù)量積的運(yùn)算 [例1]　(1)(xx天津高考)已知△ABC為等邊三角形，AB＝2.設(shè)點(diǎn)P，Q滿足＝λ，＝(1－λ) ，λ∈R，若＝－，則λ＝(　　) A.　　　　　　　　　　 B. C. D. (2)(xx上海高考)在平行四邊形ABCD中，∠A＝，邊AB、AD的長(zhǎng)分別為2、1.若M、N分別是邊BC、CD上的點(diǎn)，且滿足＝，則的取值范圍是________． [自主解答]　(1)以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，則B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ) ，得Q(1－λ，(1－λ))，所以＝(－λ－1，(1－λ))(2λ－1，－)＝－(λ＋1)(2λ－1)－(1－λ)＝－，解得λ＝. (2)建立平面直角坐標(biāo)系，如圖． 則B(2,0)，C，D. 令＝＝λ，則M，N. ∴＝＋λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6. ∵0≤λ≤1，∴∈[2,5]． [答案]　(1)A　(2)[2,5] ——————————————————— 平面向量數(shù)量積的類型及求法 (1)向量數(shù)量積有兩種計(jì)算公式：一是夾角公式ab＝|a||b|cos θ；二是坐標(biāo)公式ab＝x1x2＋y1y2. (2)求較復(fù)雜的向量數(shù)量積的運(yùn)算時(shí)，可先利用向量數(shù)量積的運(yùn)算律或相關(guān)公式進(jìn)行化簡(jiǎn)． 注意以下兩個(gè)重要結(jié)論的應(yīng)用： ①(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2； ②(a＋b)(a－b)＝a2－b2. 1.(xx江蘇高考)如圖，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2，點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，點(diǎn)F在邊CD上，若＝，則的值是________． 解析：以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB，AD所在的直線分別為x，y軸建立直角坐標(biāo)系，則B(，0)，E(，1)，D(0,2)，C(，2)．設(shè)F(x,2)(0≤x≤)，由＝?x＝?x＝1，所以F(1,2)，＝(，1)(1－，2)＝. 答案： 平面向量的夾角與模的問(wèn)題 [例2]　已知|a|＝4，|b|＝3，(2a－3b)(2a＋b)＝61. (1)求a與b的夾角θ； (2)求|a＋b|和|a－b|. [自主解答]　(1)∵(2a－3b)(2a＋b)＝61，解得 ab＝－6.∴cos θ＝＝＝－， 又0≤θ≤π，∴θ＝. (2)|a＋b|2＝a2＋2ab＋b2＝13，∴|a＋b|＝. |a－b|2＝a2－2ab＋b2＝37. ∴|a－b|＝. 本例條件不變，若＝a，＝b，試求△ABC的面積． 解：∵與的夾角θ＝π， ∴∠ABC＝π－π＝π. 又||＝|a|＝4，||＝|b|＝3， ∴S△ABC＝||||sin ∠ABC＝43＝3.　　　　 ——————————————————— 1．利用數(shù)量積求解長(zhǎng)度問(wèn)題的處理方法 (1)a2＝aa＝|a|2或|a|＝. (2)|ab|＝＝. (3)若a＝(x，y)，則|a|＝. 2．求向量夾角的方法 (1)利用向量數(shù)量積的定義知，cos θ＝，其中兩向量夾角的范圍為0≤θ≤180，求解時(shí)應(yīng)求出三個(gè)量：ab，|a|，|b|或者找出這三個(gè)量之間的關(guān)系． (2)利用坐標(biāo)公式，若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，則 cos θ＝. (3)三角函數(shù)法，可以把這兩個(gè)向量的夾角放在三角形中；利用正余弦定理、三角形的面積公式等求解． 2．(1)已知平面向量α，β，|α|＝1，β＝(2,0)，α⊥(α－2β)，求|2α＋β|的值； (2)已知三個(gè)向量a、b、c兩兩所夾的角都為120，|a|＝1，|b|＝2，|c|＝3，求向量a＋b＋c與向量a的夾角． 解：(1)∵β＝(2,0)， ∴|β|＝2，又α⊥(α－2β)， ∴α(α－2β)＝α2－2αβ＝1－2αβ＝0. ∴αβ＝. ∴