北京大學(xué)量子力學(xué)課件第6講.ppt

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第六講 薛定諤方程的討論波包擴(kuò)展的時(shí)間量級(jí)我們從所舉的例子可以估算到波包擴(kuò)展的時(shí)間量級(jí) 人 億年 塵粒 萬(wàn)年 電子 秒 波函數(shù)隨時(shí)間的演化可用Green函數(shù)來(lái)實(shí)現(xiàn) 格林函數(shù)的含義是 時(shí)刻 粒子處于 則時(shí)刻 處發(fā)現(xiàn)粒子的幾率密度振幅就是 即 B 粒子數(shù)守恒在非相對(duì)論的情況下 波函數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足方程這即要求 凡滿(mǎn)足Schrodinger eq 的波函數(shù) 必須滿(mǎn)足上式 若取 則稱(chēng)為幾率流密度矢 這即為幾率守恒的微分形式 C 多粒子體系的薛定諤方程設(shè) 體系有個(gè)粒子 質(zhì)量分別為 所處的位勢(shì)為 相互作用為 則其中 不含時(shí)間的薛定諤方程 定態(tài)問(wèn)題我們已介紹一些極為有用的特例 即位勢(shì)與時(shí)間無(wú)關(guān) 1 不含時(shí)間的薛定諤方程由于H與t無(wú)關(guān) 可簡(jiǎn)單地用分離變數(shù)法求特解 即H與t無(wú)關(guān)時(shí) 含時(shí)間的薛定諤方程的特解為 其中方程被稱(chēng)為不含時(shí)間的薛定諤方程 或稱(chēng)為能量本征方程 根據(jù)態(tài)疊加原理 是含時(shí)間的薛定諤方程的一個(gè)特解 也就是 是該體系的一個(gè)可能態(tài) 所以普遍的可能態(tài)一定可表為 通常稱(chēng) 其中 為定態(tài)波函數(shù) 對(duì)體系可按各種定態(tài)波函數(shù)展開(kāi)來(lái)表示 但只有按自身的定態(tài)波函數(shù)展開(kāi)時(shí) 系數(shù)C才與t無(wú)關(guān) 否則與t有關(guān) 2 定態(tài) A 定態(tài)定義 具有確定能量的態(tài) 稱(chēng)為體系的定態(tài) 或者說(shuō) 以波函數(shù) B 定態(tài)的性質(zhì) 若體系Hamiltonian與t無(wú)關(guān) 則1 體系的幾率密度不隨時(shí)間變化 幾率流密度矢的散度為0 即無(wú)幾率源 這表明 在任何地方都無(wú)幾率源 空間的幾率密度分布不變 2 幾率流密度矢 不隨時(shí)間變化 3 任何不含t的力學(xué)量在該態(tài)的平均值不隨時(shí)間變化 4 任何不顯含t的力學(xué)量在該態(tài)中取值的幾率不隨時(shí)間變化 2 6測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系由于粒子應(yīng)由態(tài)函數(shù)來(lái)描述 因此 就不能像經(jīng)典那樣以每時(shí)刻 來(lái)描述 事實(shí)上由前一節(jié)也看出 自由粒子的動(dòng)量并不一定取一個(gè)值 但是否仍能像經(jīng)典那樣在處發(fā)現(xiàn)粒子具有動(dòng)量呢 W Heisenberg指出 當(dāng)我們測(cè)量客體的動(dòng)量如有一測(cè)不準(zhǔn)度 即客體動(dòng)量在這區(qū)域中的幾率很大 我們?cè)谕瑫r(shí) 不可能預(yù)言它的位置比更精確 也就是說(shuō) 在同一時(shí)刻測(cè)量動(dòng)量和位置 其測(cè)不準(zhǔn)度必須滿(mǎn)足類(lèi)似這稱(chēng)為Heisenberg測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 應(yīng)該注意 這是實(shí)驗(yàn)的結(jié)果 當(dāng)然也是波一粒兩象性的結(jié)果 自然也是波函數(shù)幾率解釋和態(tài)疊加原理的結(jié)果 我們將從幾個(gè)方面來(lái)論述它 1 一些例子 A 具有確定動(dòng)量 一維運(yùn)動(dòng) 的自由粒子 是以來(lái)描述 其幾率密度 所以 對(duì)任何處的相對(duì)幾率都相同 也就是說(shuō) 發(fā)現(xiàn)粒子在區(qū)域中的幾率都相同 所以 的不準(zhǔn)確度為 雖 但不違背測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 B 如一個(gè)自由粒子是由一系列沿x方向的平面波疊加而成的波包描述 設(shè) k很小 變化很緩慢 可近似取為 所以 這是具有一定形狀沿x方向傳播的波包 波包的極大值位置為 所以它移動(dòng)的速度即粒子的速度 如前述稱(chēng)為群速度 在時(shí) 位相為 在時(shí) 位相也為所以 位相傳播速度 如前述稱(chēng)為相速度 這個(gè)波包擴(kuò)展度的區(qū)域不是任意小 即 于是有所以要波包僅局限于空間一定區(qū)域 相應(yīng)的擴(kuò)展度不可能任意小 當(dāng)?shù)臄U(kuò)展度一定時(shí) 那波包的擴(kuò)展度也不可能任意小 2 一些實(shí)驗(yàn) A 位置測(cè)量 一束電子平行地沿方向入射 通過(guò)窄縫 從而測(cè)出方向的位置 在方向有一不確定度 y a 而人們認(rèn)為 但事實(shí)上 通過(guò)縫后 在不同位置接收到的電子數(shù)的多少顯示出干涉圖象 電子數(shù)的大小 這一單縫干涉的第一極小為即通過(guò)單縫后 電子在方向的動(dòng)量不再為0 而在0附近有一寬度所以 當(dāng)測(cè)量y的位置越精確 即a越小 那動(dòng)量在y方向越不精確 它們的精確度至少要滿(mǎn)足B 用顯微鏡測(cè)量電子的位置 一束具有確定動(dòng)量的電子沿x軸運(yùn)動(dòng) 用顯微鏡觀察被電子散射的光束來(lái)測(cè)量電子的位置 但成的像是一衍射斑點(diǎn) 所以 顯微鏡的分辯率為 即電子位 置的精度 事實(shí)上 光子是一個(gè)個(gè)到達(dá)屏上 3 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是波一粒兩象性的必然結(jié)果因波 粒兩象性的實(shí)驗(yàn)事實(shí) 要求用波函數(shù)來(lái)描述物質(zhì)粒子 且要求對(duì)波函數(shù)進(jìn)行幾率解釋 并有疊加性 用來(lái)描述物質(zhì)粒子時(shí) 它總可以表為由Fourier逆變換有 從Fourier變換理論知 的擴(kuò)展范圍 即有意義的區(qū)域 和它的富氏變換所擴(kuò)展的范圍不能同時(shí)任意小 幾率解釋 態(tài)疊加原理給出了Fourier變換理論用在量子力學(xué)波函數(shù)時(shí)的物理含意 4 能量 時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系A(chǔ) 能量 時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 在狹義相對(duì)論中 都看作四度矢 所以有測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系 即推測(cè)也應(yīng)有 當(dāng)固定t時(shí) 有 現(xiàn)固定x 有B 能量 時(shí)間測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系的物理含意1 在空間固定處 發(fā)現(xiàn)體系如有一不確定的時(shí)間間隔 t 那該體系的能量必有一擴(kuò)展度 E 且有 例如 若一個(gè)自由粒子的波包寬 它通過(guò)所需時(shí)間 所以 在間隔內(nèi) 都有可能在處發(fā)現(xiàn)粒子 由所以 這一自由粒子波包的能量并不是取確定值 而是有一擴(kuò)展度 2 體系幾率分布發(fā)生大的改變需時(shí)間 t 那體系的能量不確定度為 使例1 定態(tài) 其幾率分布不隨時(shí)間變 所以要使這一分布發(fā)生變化 則要求 所以 即具有確定能量 例2 若體系的波函數(shù)為 所以幾率分布在和之間振蕩 振蕩周期 所以體系幾率分布發(fā)生明顯變化的時(shí)間間隔 即 3 若體系能量有一不確定度 E 體系保持不變的平均時(shí)間不小于例 不穩(wěn)定體系的能級(jí)有一定寬度 所以 平均壽命 5 一些應(yīng)用舉例 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系可用作一些問(wèn)題的數(shù)量級(jí)的估計(jì)A 類(lèi)氫離子的基態(tài)能量估計(jì) 設(shè) 類(lèi)氫離子的電子軌道半徑為r 在一 平面中 所以 不確定度 因此 于是 由所以 B 考慮重力下粒子的 靜止 現(xiàn)作一簡(jiǎn)單的估計(jì) 經(jīng)典 基態(tài) 是靜止的 而量子粒子其位置有一不確定度 動(dòng)量也有一不確定度 所以 所以 對(duì)于經(jīng)典物理學(xué) 則認(rèn)為z 0 而對(duì)于量子粒子則為i 塵粒 ii 電子 C 介子質(zhì)量的預(yù)言核子與介子場(chǎng)相互作用而導(dǎo)致與另一核子作用 如核力是通過(guò)核子交換新的量子 介子 來(lái)實(shí)現(xiàn) 若該介子的靜止質(zhì)量為 則核子在發(fā)射前后有一能量不確定度 改變 i 其最小的值為 因此時(shí)間有一 最大 不確定度 由于動(dòng)能改變沒(méi)計(jì)入 所以能量改變以最小估計(jì) 因而時(shí)間不確定度 即體系保持不變的平均時(shí)間是最大估計(jì) 即的范圍內(nèi)的任何時(shí)間發(fā)射介子都有較大的幾率 可在這一段時(shí)間內(nèi) 任一時(shí)間發(fā)射 可移動(dòng)的最大距離或在最遠(yuǎn)處而被 另一核子吸收 下一時(shí)刻將發(fā)射另一介子 所以二核子交換一個(gè)介子的相互作用的最大力程 即介子的康普頓波長(zhǎng)的 實(shí)驗(yàn)測(cè)得核力力程為1 4fm 所以 即得 實(shí)驗(yàn)值為139MeV 就我個(gè)人的看法 測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系是對(duì)兩個(gè)物理量同時(shí)測(cè)量結(jié)果可能值的最佳區(qū)域 或不確定度 關(guān)系的約束 它不是測(cè)量的影響 第三章一維定態(tài)問(wèn)題現(xiàn)在從最簡(jiǎn)單的問(wèn)題來(lái)應(yīng)用所得的原理和方程 一維 不顯含時(shí)間的位勢(shì)且位勢(shì)有一定性質(zhì)時(shí) 如則三維問(wèn)題可化為一維問(wèn)題處理 所以一維問(wèn)題是解決三維問(wèn)題的基礎(chǔ) 3 1一般性質(zhì)設(shè)粒子具有質(zhì)量m 沿x軸運(yùn)動(dòng) 位勢(shì)為 于是有 1 定理1 一維運(yùn)動(dòng)的分立能級(jí) 束縛態(tài) 一般是不簡(jiǎn)并的 簡(jiǎn)并度 degeneracy 一個(gè)力學(xué)量的某個(gè)測(cè)量值 可在n個(gè)獨(dú)立的 線性無(wú)關(guān)的 波函數(shù)中測(cè)得 則稱(chēng)這一測(cè)量值是具有n重簡(jiǎn)并度 如某能量本征值有n個(gè)獨(dú)立的定態(tài)相對(duì)應(yīng) 則稱(chēng)這能量本征值是n重簡(jiǎn)并的 證 假設(shè) 是具有同樣能量的波函數(shù) 1 2 從而得于是 c是與x無(wú)關(guān)的常數(shù) 對(duì)于束縛態(tài) 或在有限區(qū)域有某值使 所以c 0 從而有 若不是處處為零 則有應(yīng)當(dāng)注意 分立能級(jí)是不簡(jiǎn)并的 而對(duì)于連續(xù)譜時(shí) 若一端 那也不簡(jiǎn)并 但如兩端都不趨于0 如自由粒子 則有簡(jiǎn)并 當(dāng)變量在允許值范圍內(nèi) 包括端點(diǎn) 波函數(shù)無(wú)零點(diǎn) 就可能有簡(jiǎn)并存在 因常數(shù)c 0 當(dāng)V x 有奇異點(diǎn) 簡(jiǎn)并可能存在 因這時(shí)可能導(dǎo)致處處為零 推論 一維束縛態(tài)的波函數(shù)必為實(shí)函數(shù) 當(dāng)然可保留一相因子 證令 都是實(shí)函數(shù) 則 但對(duì)束縛態(tài) 沒(méi)有簡(jiǎn)并 所以只有一個(gè)解 因而Rn和In應(yīng)是線性相關(guān)的 所以因此 2 不同的分立能級(jí)的波函數(shù)是正交的 1 2 所以從而證明得 3 振蕩定理 當(dāng)分立能級(jí)按大小順序排列 一般而言 第n 1條能級(jí)的波函數(shù) 在其取值范圍內(nèi)有n個(gè)節(jié)點(diǎn) 即有n個(gè)x點(diǎn)使 不包括邊界點(diǎn)或 遠(yuǎn) 所以從而證明得 基態(tài)無(wú)節(jié)點(diǎn) 當(dāng)然處處不為零的波函數(shù)沒(méi)有這性質(zhì) 如 它是簡(jiǎn)并的 同樣 多體波函數(shù)由于反對(duì)稱(chēng)性 而可能無(wú)這性質(zhì) 4 在無(wú)窮大位勢(shì)處的邊條件 首先討論有有限大小的間斷點(diǎn) 由方程即 由于存在 即存在 即的導(dǎo)數(shù)存在 所以函數(shù)連續(xù) 也就是波函數(shù)導(dǎo)數(shù)連續(xù) 而在位勢(shì)是無(wú)窮時(shí)又如何呢 設(shè) 令 所以 得解 要求波函數(shù)有界 所以C 0 要求波函數(shù)x 0處連續(xù) 且導(dǎo)數(shù)連續(xù)當(dāng)E給定 所以 于是 當(dāng) 方程有解這表明 在無(wú)窮大的位勢(shì)處 波函數(shù)為0 邊界上要求波函數(shù)連續(xù) 但并不要求再計(jì)及導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性 當(dāng)然 幾率密度和幾率流密度矢總是連續(xù)的 3 2階梯位勢(shì) 討論最簡(jiǎn)單的定態(tài)問(wèn)題