第三十一講 分解質(zhì)因數(shù)法

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1、第三十一講 分解質(zhì)因數(shù)法 ————————————————姚老師數(shù)學(xué)樂(lè)園 廣安岳池 姚文國(guó) 通過(guò)把一個(gè)合數(shù)分解為兩個(gè)或兩個(gè)以上質(zhì)因數(shù)，來(lái)解答應(yīng)用題的解題方法叫做分解質(zhì)因數(shù)法。 分解質(zhì)因數(shù)的方法在求最大公約數(shù)和最小公倍數(shù)時(shí)有用，在學(xué)習(xí)有理數(shù)的運(yùn)算、因式分解、解方程等方面也有廣泛的應(yīng)用。分解質(zhì)因數(shù)的方法還可為一些數(shù)學(xué)問(wèn)題提供新穎的解法，有益于開(kāi)辟解題思路，啟迪創(chuàng)造性思維。 例1 一塊正方體木塊，體積是1331立方厘米。這塊正方體木塊的棱長(zhǎng)是多少厘米？（適于六年級(jí)程度） 解：把1331分解質(zhì)因數(shù)： 1331=11×11×11 答：這塊正方體木塊的棱長(zhǎng)是11厘米。 例2

2、 一個(gè)數(shù)的平方等于324，求這個(gè)數(shù)。（適于六年級(jí)程度） 解：把324分解質(zhì)因數(shù)： 324= 2×2×3×3×3×3 =（2×3×3）×（2×3×3） =18×18 答：這個(gè)數(shù)是18。例3 相鄰兩個(gè)自然數(shù)的最小公倍數(shù)是462，求這兩個(gè)數(shù)。（適于六年級(jí)程度） 解：把462分解質(zhì)因數(shù)： 462=2×3×7×11 =（3×7）×（2×11） =21×22 答：這兩個(gè)數(shù)是21和22。 *例4 ABC×D=1673，在這個(gè)乘法算式中，A、B、C、D代表不同的數(shù)字，ABC是一個(gè)三位數(shù)。求ABC代表什么數(shù)？（適于六年級(jí)程度） 解：因?yàn)锳BC×D=1673，ABC是一個(gè)三位數(shù)，所

3、以可把1673分解質(zhì)因數(shù)，然后把質(zhì)因數(shù)組合成一個(gè)三位數(shù)與另一個(gè)數(shù)相乘的形式，這個(gè)三位數(shù)就是ABC所代表的數(shù)。 1673=239×7 答：ABC代表239。 例5 一塊正方形田地，面積是2304平方米，這塊田地的周長(zhǎng)是多少米？（適于六年級(jí)程度） 解：先把2304分解質(zhì)因數(shù)，并把分解后所得的質(zhì)因數(shù)分成積相同的兩組質(zhì)因數(shù)，每組質(zhì)因數(shù)的積就是正方形的邊長(zhǎng)。 2304=2×2×2×2×2×2×2×2×3×3 =（2×2×2×2×3）×（2×2×2×2×3） =48×48 正方形的邊長(zhǎng)是48米。 這塊田地的周長(zhǎng)是： 48×4=192（米） 答略。 *例6 有3250個(gè)桔子，平均分給

4、一個(gè)幼兒園的小朋友，剩下10個(gè)。已知每一名小朋友分得的桔子數(shù)接近40個(gè)。求這個(gè)幼兒園有多少名小朋友？（適于六年級(jí)程度） 解：3250-10=3240（個(gè)） 把3240分解質(zhì)因數(shù)： 3240=23×34×5 接近40的數(shù)有36、37、38、39 這些數(shù)中36=22×32，所以只有36是3240的約數(shù)。 23×34×5÷（22×32） =2×32×5 =90 答：這個(gè)幼兒園有90名小朋友。 *例7 105的約數(shù)共有幾個(gè)？（適于六年級(jí)程度） 解：求一個(gè)給定的自然數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)，可先將這個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，然后按一個(gè)質(zhì)數(shù)、兩個(gè)質(zhì)數(shù)、三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積……逐一由小到大寫(xiě)出，再求出它的個(gè)數(shù)即

5、可。 因?yàn)椋?05=3×5×7， 所以，含有一個(gè)質(zhì)數(shù)的約數(shù)有1、3、5、7共4個(gè)； 含有兩個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有3×5、3×7、5×7共3個(gè)； 含有三個(gè)質(zhì)數(shù)的乘積的約數(shù)有3×5×7共1個(gè)。 所以，105的約數(shù)共有4+3+1=8個(gè)。 答略。 *例8 把15、22、30、35、39、44、52、77、91這九個(gè)數(shù)平均分成三組，使每組三個(gè)數(shù)的乘積都相等。這三組數(shù)分別是多少？（適于六年級(jí)程度） 解：將這九個(gè)數(shù)分別分解質(zhì)因數(shù)： 15=3×5 22=2×11 30=2×3×5 35=5×7 39=3×13 44=2×2×11 52=2×2×13 77=7×11 91=7×1

6、3 觀察上面九個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)，不難看出，九個(gè)數(shù)的質(zhì)因數(shù)中共有六個(gè)2，三個(gè)3，三個(gè)5，三個(gè)7，三個(gè)11，三個(gè)13，這樣每組中三個(gè)數(shù)應(yīng)包括的質(zhì)因數(shù)有兩個(gè)2，一個(gè)3，一個(gè)5，一個(gè)7，一個(gè)11和一個(gè)13。 由以上觀察分析可得這三組數(shù)分別是： 15、52和77； 22、30和91； 35、39和44。 答略。 *例9 有四個(gè)學(xué)生，他們的年齡恰好一個(gè)比一個(gè)大一歲，他們的年齡數(shù)相乘的積是5040。四個(gè)學(xué)生的年齡分別是幾歲？（適于六年級(jí)程度） 解：把5040分解質(zhì)因數(shù)： 5040=2×2×2×2×3×3×5×7 由于四個(gè)學(xué)生的年齡一個(gè)比一個(gè)大1歲，所以他們的年齡數(shù)就是四個(gè)連續(xù)自然數(shù)。用八個(gè)質(zhì)

7、因數(shù)表示四個(gè)連續(xù)自然數(shù)是： 7，2×2×2，3×3，2×5 即四個(gè)學(xué)生的年齡分別是7歲、8歲、9歲、10歲。 答略。 *例10 在等式35×（??? ）×81×27=7×18×（??? ）×162的兩個(gè)括號(hào)中，填上適當(dāng)?shù)淖钚〉臄?shù)。（適于六年級(jí)程度） 解：將已知等式的兩邊分解質(zhì)因數(shù)，得： 5×37×7×（??? ）=22×36×7×（??? ） 把上面的等式化簡(jiǎn)，得： 15×（??? ）=4×（??? ） 所以，在左邊的括號(hào)內(nèi)填4，在右邊的括號(hào)內(nèi)填15。 15×（4）=4×（15） 答略。 *例11 把84名學(xué)生分成人數(shù)相等的小組（每組最少2人），一共有幾種分法？（適于六

8、年級(jí)程度） 解：把84分解質(zhì)因數(shù)： 84=2×2×3×7 除了1和84外，84的約數(shù)有： 2，3，7，2×2=4，2×3=6，2×7=14，3×7=21，2×2×3=12，2×2×7=28，2×3×7=42。下面可根據(jù)不同的約數(shù)進(jìn)行分組。84÷2=42（組），84÷3=28（組），84÷4=21（組），84÷6=14（組），84÷7=12（組），84÷12=7（組），84÷14=6（組），84÷21=4（組），84÷28=3（組），84÷42=2（組）。 因此每組2人分42組；每組3人分28組；每組4人分21組；每組6人分14組；每組7人分12組；每組12人分7組；每組14人分6組；

9、每組21人分4組；每組28人分3組；每組42人分2組。一共有10種分法。 答略。 *例12 把14、30、33、75、143、169、4445、4953這八個(gè)數(shù)分成兩組，每組四個(gè)數(shù)，要使各組數(shù)中四個(gè)數(shù)的乘積相等。求這兩組數(shù)。（適于六年級(jí)程度） 解：要使兩組數(shù)的乘積相等，這兩組乘積中的每個(gè)因數(shù)不必相同，但這些因數(shù)經(jīng)分解質(zhì)因數(shù)，它們所含有的質(zhì)因數(shù)一定相同。因此，首先應(yīng)把八個(gè)數(shù)分解質(zhì)因數(shù)。 14=2×7??????? 143=11×13 30=2×3×5??? 169=13×13 33=3×11?????? 4445=5×7×127 75=3×5×5??? 4953=3×13×127

10、 在上面的質(zhì)因式中，質(zhì)因數(shù)2、7、11、127各有2個(gè)，質(zhì)因數(shù)3、5、13各有4個(gè)。 在把題中的八個(gè)數(shù)分為兩組時(shí)，應(yīng)使每一組中的質(zhì)因數(shù)2、7、11、127各有1個(gè)，質(zhì)因數(shù)3、5、13各有2個(gè)。 按這個(gè)要求每一組四個(gè)數(shù)的積應(yīng)是： 2×7×11×127×3×3×5×5×13×13 因?yàn)?，?×7）×（3×5×5）×（11×13）×（3×13×127）=14×75×143×4953，根據(jù)接下來(lái)為“14、75、143、4953”正符合題意，因此，要求的一組數(shù)是14、75、143、4953，另一組的四個(gè)數(shù)是：30、33、169、4445。 答略。 *例13 一個(gè)長(zhǎng)方形的面積是315平方厘米，

11、長(zhǎng)比寬多6厘米。求這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬。（適于五年級(jí)程度） 解：設(shè)長(zhǎng)方形的寬為x厘米，則長(zhǎng)為（x+6）厘米。根據(jù)題意列方程，得： x（x+6）= 315 x（x+6）=3×3×5×7 =（3×5）×（3×7） x（x+6）=15×21 x（x+6）=15×（15+6） x=15 x+6=21 答：這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)是21厘米，寬是15厘米。 *例14 已知三個(gè)連續(xù)自然數(shù)的積為210，求這三個(gè)自然數(shù)各是多少？（適于五年級(jí)程度） 解：設(shè)這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別是x-1，x，x+1，根據(jù)題意列方程，得： （x-1）×x×（x+1） =210 =21×10 =3×7×2×5 =5

12、×6×7 比較方程兩邊的因數(shù)，得：x=6，x-1=5，x+1=7。 答：這三個(gè)連續(xù)自然數(shù)分別是5、6、7。 *例15 將37分為甲、乙、丙三個(gè)數(shù)，使甲、乙、丙三個(gè)數(shù)的乘積為1440，并且甲、乙兩數(shù)的積比丙數(shù)的3倍多12，求甲、乙、丙各是幾？（適于六年級(jí)程度） 解：把1440分解質(zhì)因數(shù)： 1440= 12×12×10 =2×2×3×2×2×3×2×5 =（2×2×2）×（3×3）×（2×2×5） =8×9×20 如果甲、乙二數(shù)分別是8、9，丙數(shù)是20，則： 8×9=72， 20×3+12=72 正符合題中條件。 答：甲、乙、丙三個(gè)數(shù)分別是8、9、20。 *例16 一個(gè)

13、星期天的早晨，母親對(duì)孩子們說(shuō)：“你們是否發(fā)現(xiàn)在你們中間，大哥的年齡等于兩個(gè)弟弟年齡之和？”兒子們齊聲回答說(shuō)：“是的，我們的年齡和您年齡的乘積，等于您兒子人數(shù)的立方乘以1000加上您兒子人數(shù)的平方乘以10?！睆倪@次談話中，你能否確定母親在多大時(shí)，才生下第二個(gè)兒子？（適于六年級(jí)程度） 解：由題意可知，母親有三個(gè)兒子。母親的年齡與三個(gè)兒子年齡的乘積等于： 33×1000+32×10=27090 把27090分解質(zhì)因數(shù)： 27090=43×7×5×32×2 根據(jù)“大哥的年齡等于兩個(gè)弟弟年齡之和”，重新組合上面的質(zhì)因式得： 43×14×9×5 這個(gè)質(zhì)因式中14就是9與5之和。 所以母親4

14、3歲，大兒子14歲，二兒子9歲，小兒子5歲。 43-9=34（歲） 答：母親在34歲時(shí)生下第二個(gè)兒子。 第三十二講 最大公約數(shù)法 通過(guò)計(jì)算出幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)來(lái)解題的方法，叫做最大公約數(shù)法。 例1 甲班有42名學(xué)生，乙班有48名學(xué)生，現(xiàn)在要把這兩個(gè)班的學(xué)生平均分成若干個(gè)小組，并且使每個(gè)小組都是同一個(gè)班的學(xué)生。每個(gè)小組最多有多少名學(xué)生？（適于六年級(jí)程度） 解：要使每個(gè)小組都是同一個(gè)班的學(xué)生，并且要使每個(gè)小組的人數(shù)盡可能多，就要求出42和48的最大公約數(shù)： 2×3=6 42和48的最大公約數(shù)是6。 答：每個(gè)小組最多能有6名學(xué)生。 例2 有一張長(zhǎng)150厘米、寬

15、60厘米的長(zhǎng)方形紙板，要把它分割成若干個(gè)面積最大，井已面積相等的正方形。能分割成多少個(gè)正方形？（適于六年級(jí)程度） 解：因?yàn)榉指畛傻恼叫蔚拿娣e最大，并且面積相等，所以正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是150和60的最大公約數(shù)。 求出150和60的最大公約數(shù)： 2×3×5=30 150和60的最大公約數(shù)是30，即正方形的邊長(zhǎng)是30厘米。 看上面的短除式中，150、60除以2之后，再除以3、5，最后的商是5和2。這說(shuō)明，當(dāng)正方形的邊長(zhǎng)是30厘米時(shí)，長(zhǎng)方形的長(zhǎng)150厘米中含有5個(gè)30厘米，寬60厘米中含有2個(gè)30厘米。 所以，這個(gè)長(zhǎng)方形能分割成正方形： 5×2=10（個(gè)） 答：能分割成10個(gè)正方形

16、。 例3 有一個(gè)長(zhǎng)方體的方木，長(zhǎng)是3.25米，寬是1.75米，厚是0.75米。如果將這塊方木截成體積相等的小正方體木塊，并使每個(gè)小正方體木塊盡可能大。小木塊的棱長(zhǎng)是多少？可以截成多少塊這樣的小木塊？（適于六年級(jí)程度） 解：3.25米=325厘米，1.75米=175厘米，0.75米=75厘米，此題實(shí)際是求325、175和75的最大公約數(shù)。 5×5=25 325、175和75的最大公約數(shù)是25，即小正方體木塊的棱長(zhǎng)是25厘米。 因?yàn)?5、175、325除以5得商15、35、65，15、35、65再除以5，最后的商是3、7、13，而小正方體木塊的棱長(zhǎng)是25厘米，所以，在75厘米中包含3

17、個(gè)25厘米，在175厘米中包含7個(gè)25厘米，在325厘米中包含13個(gè)25厘米。 可以截成棱長(zhǎng)是25厘米的小木塊： 3×7×13=273（塊） 答：小正方體木塊的棱長(zhǎng)是25厘米，可以截成這樣大的正方體273塊。 例4 有三根繩子，第一根長(zhǎng)45米，第二根長(zhǎng)60米，第三根長(zhǎng)75米?，F(xiàn)在要把三根長(zhǎng)繩截成長(zhǎng)度相等的小段。每段最長(zhǎng)是多少米？一共可以截成多少段？（適于六年級(jí)程度） 解：此題實(shí)際是求三條繩子長(zhǎng)度的最大公約數(shù)。 3×5=15 45、60和75的最大公約數(shù)是15，即每一小段繩子最長(zhǎng)15米。 因?yàn)槎坛街凶詈蟮纳淌?、4、5，所以在把繩子截成15米這么長(zhǎng)時(shí)，45米長(zhǎng)的繩子可以截成

18、3段，60米長(zhǎng)的繩子可以截成4段，75米長(zhǎng)的繩子可以截成5段。所以有： 3+4+5=12（段） 答：每段最長(zhǎng)15米，一共可以截成12段。 例5 某校有男生234人，女生146人，把男、女生分別分成人數(shù)相等的若干組后，男、女生各剩3人。要使組數(shù)最少，每組應(yīng)是多少人？能分成多少組？（適于六年級(jí)程度） 解：因?yàn)槟?、女生各?人，所以進(jìn)入各組的男、女生的人數(shù)分別是： 234-3=231（人）…………………男 146-3=143（人）…………………女 要使組數(shù)最少，每一組的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是最多的，即每一組的人數(shù)應(yīng)當(dāng)是231人和143人的最大公約數(shù)。 231、143的最大公約數(shù)是11，即每一

19、組是11人。 因?yàn)?31、143除以11時(shí)，商是21和13，所以男生可以分為21組，女生可以分為13組。 21+13=34（組） 答：每一組應(yīng)是11人，能分成34組。 例6 把330個(gè)紅玻璃球和360個(gè)綠玻璃球分別裝在小盒子里，要使每一個(gè)盒里玻璃球的個(gè)數(shù)相同且裝得最多。一共要裝多少個(gè)小盒？（適于六年級(jí)程度） 解：求一共可以裝多少個(gè)盒子，要知道紅、綠各裝多少盒。要將紅、綠分別裝在盒子中，且每個(gè)盒子里球的個(gè)數(shù)相同，裝的最多，則每盒球的個(gè)數(shù)必定是330和360的最大公約數(shù)。 2×3×5=30 330和360的最大公約數(shù)是30，即每盒裝30個(gè)球。 330÷30=11（盒）……………

20、紅球裝11盒 360÷30=12（盒）……………綠球裝12盒 11+12=23（盒）……………共裝23盒 答略。 例7 一個(gè)數(shù)除40不足2，除68也不足2。這個(gè)數(shù)最大是多少？（適于六年級(jí)程度） 解：“一個(gè)數(shù)除40不足2，除68也不足2”的意思是：40被這個(gè)數(shù)除，不能整除，要是在40之上加上2，才能被這個(gè)數(shù)整除；68被這個(gè)數(shù)除，也不能整除，要是在68之上加上2，才能被這個(gè)數(shù)整除。 看來(lái)，能被這個(gè)數(shù)整除的數(shù)是：40+2=42，68+2=70。這個(gè)數(shù)是42和70的公約數(shù)，而且是最大的公約數(shù)。 2×7=14 答：這個(gè)數(shù)最大是14。 例8 李明昨天賣(mài)了三筐白菜，每筐白菜的重量都是整

21、千克。第一筐賣(mài)了1.04元，第二筐賣(mài)了1.95元，第三筐賣(mài)了2.34元。每1千克白菜的價(jià)錢(qián)都是按當(dāng)?shù)厥袌?chǎng)規(guī)定的價(jià)格賣(mài)的。問(wèn)三筐白菜各是多少千克，李明一共賣(mài)了多少千克白菜？（適于六年級(jí)程度） 解：三筐白菜的錢(qián)數(shù)分別是104分、195分、234分，每千克白菜的價(jià)錢(qián)一定是這三個(gè)數(shù)的公約數(shù)。 把104、195、234分別分解質(zhì)因數(shù)： 104=23×13 195=3×5×13 234=2×32×13 104、195、234最大的公有的質(zhì)因數(shù)是13，所以104、195、234的最大公約數(shù)是13，即每千克白菜的價(jià)錢(qián)是0.13元。 1.04÷0.13=8（千克）………第一筐 1.95÷0.13

22、=15（千克）………第二筐 2.34÷0.13=18（千克）………第三筐 8+15+18=41（千克） 答：第一、二、三筐白菜的重量分別是8千克、15千克、18千克，李明一共賣(mài)了41千克白菜。 例9 一個(gè)兩位數(shù)除472，余數(shù)是17。這個(gè)兩位數(shù)是多少？（適于六年級(jí)程度） 解：因?yàn)檫@個(gè)“兩位數(shù)除472，余數(shù)是17”，所以，472-17=455，455一定能被這個(gè)兩位數(shù)整除。 455的約數(shù)有1、5、7、13、35、65、91和455，這些約數(shù)中35、65和91大于17，并且是兩位數(shù)，所以這個(gè)兩位數(shù)可以是35或65，也可以是91。 答略。 例10 把圖32-1的鐵板用點(diǎn)焊的方式焊在一個(gè)

23、大的鐵制部件上，要使每個(gè)角必須有一個(gè)焊點(diǎn)，并且各邊焊點(diǎn)間的距離相等。最少要焊多少個(gè)點(diǎn)？（單位：厘米）（適于六年級(jí)程度） 解：要求焊點(diǎn)最少，焊點(diǎn)間距就要最大；要求每個(gè)角有一個(gè)焊點(diǎn)，焊點(diǎn)間距離相等，焊點(diǎn)間距離就應(yīng)是42厘米、24厘米、18厘米、36厘米的最大公約數(shù)。 2×3=6 它們的最大公約數(shù)是6，即焊點(diǎn)間距離為6厘米。焊點(diǎn)數(shù)為： 7+4+3+6=20（個(gè)） 按這個(gè)算法每個(gè)角上的焊點(diǎn)是兩個(gè)，因?yàn)橐竺恳粋€(gè)角上要有一個(gè)焊點(diǎn)，所以，要從20個(gè)焊點(diǎn)中減4個(gè)焊點(diǎn)。 20-4=16（個(gè)） 答略。 第三十三講 最小公倍數(shù)法 通過(guò)計(jì)算出幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)，從而解答出問(wèn)題的解

24、題方法叫做最小公倍數(shù)法。 例1 用長(zhǎng)36厘米，寬24厘米的長(zhǎng)方形瓷磚鋪一個(gè)正方形地面，最少需要多少塊瓷磚？（適于六年級(jí)程度） 解：因?yàn)榍筮@個(gè)正方形地面所需要的長(zhǎng)方形瓷磚最少，所以正方形的邊長(zhǎng)應(yīng)是36、24的最小公倍數(shù)。 2×2×3×3×2=72 36、24的最小公倍數(shù)是72，即正方形的邊長(zhǎng)是72厘米。 72÷36=2 72÷24=3 2×3=6（塊） 答：最少需要6塊瓷磚。 *例2 王光用長(zhǎng)6厘米、寬4厘米、高3厘米的長(zhǎng)方體木塊拼最小的正方體模型。這個(gè)正方體模型的體積是多大？用多少塊上面那樣的長(zhǎng)方體木塊？（適于六年級(jí)程度） 解：此題應(yīng)先求正方體模型的棱長(zhǎng)，這個(gè)棱長(zhǎng)就是

25、6、4和3的最小公倍數(shù)。 2×3×2=12 6、4和3的最小公倍數(shù)是12，即正方體模型的棱長(zhǎng)是12厘米。 正方體模型的體積為： 12×12×12=1728（立方厘米） 長(zhǎng)方體木塊的塊數(shù)是： 1728÷（6×4×3） =1728÷72 =24（塊） 答略。例3 有一個(gè)不足50人的班級(jí)，每12人分為一組余1人，每16人分為一組也余1人。這個(gè)班級(jí)有多少人？（適于六年級(jí)程度） 解：這個(gè)班的學(xué)生每12人分為一組余1人，每16人分為一組也余1人，這說(shuō)明這個(gè)班的人數(shù)比12與16的公倍數(shù)（50以內(nèi)）多1人。所以先求12與16的最小公倍數(shù)。 2×2×3×4=48 12與16的最小

26、公倍數(shù)是48。 48+1=49（人） 49<50，正好符合題中全班不足50人的要求。 答：這個(gè)班有49人。 例4 某公共汽車(chē)站有三條線路通往不同的地方。第一條線路每隔8分鐘發(fā)一次車(chē)；第二條線路每隔10分鐘發(fā)一次車(chē)；第三條線路每隔12分鐘發(fā)一次車(chē)。三條線路的汽車(chē)在同一時(shí)間發(fā)車(chē)以后，至少再經(jīng)過(guò)多少分鐘又在同一時(shí)間發(fā)車(chē)？（適于六年級(jí)程度） 解：求三條線路的汽車(chē)在同一時(shí)間發(fā)車(chē)以后，至少再經(jīng)過(guò)多少分鐘又在同一時(shí)間發(fā)車(chē)，就是要求出三條線路汽車(chē)發(fā)車(chē)時(shí)間間隔的最小公倍數(shù)，即8、10、12的最小公倍數(shù)。 2×2×2×5×3=120 答：至少經(jīng)過(guò)120分鐘又在同一時(shí)間發(fā)車(chē)。 例5 有一筐雞蛋，

27、4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)余2個(gè)，5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)余3個(gè)，6個(gè)6個(gè)地?cái)?shù)余4個(gè)。這筐雞蛋最少有多少個(gè)？（適于六年級(jí)程度） 解：從題中的已知條件可以看出.不論是4個(gè)4個(gè)地?cái)?shù)，還是5個(gè)5個(gè)地?cái)?shù)、6個(gè)6個(gè)地?cái)?shù)，筐中的雞蛋數(shù)都是只差2個(gè)就正好是能被4、5、6整除的數(shù)。因?yàn)橐筮@筐雞蛋最少是多少個(gè)，所以求出4、5、6的最小公倍數(shù)后再減去2，就得到雞蛋的個(gè)數(shù)。 2×2×5×3=60 4、5、6的最小公倍數(shù)是60。 60-2=58（個(gè)） 答：這筐雞蛋最少有58個(gè)。 *例6 文化路小學(xué)舉行了一次智力競(jìng)賽。參加競(jìng)賽的人中，平均每15人有3個(gè)人得一等獎(jiǎng)，每8人有2個(gè)人得二等獎(jiǎng)，每12人有4個(gè)人得三等獎(jiǎng)。參加這次競(jìng)賽的

28、共有94人得獎(jiǎng)。求有多少人參加了這次競(jìng)賽？得一、二、三等獎(jiǎng)的各有多少人？（適于六年級(jí)程度） 解：15、8和12的最小公倍數(shù)是120，參加這次競(jìng)賽的人數(shù)是120人。 得一等獎(jiǎng)的人數(shù)是： 3×（120÷15）=24（人） 得二等獎(jiǎng)的人數(shù)是： 2×（120÷8）=30（人） 得三等獎(jiǎng)的人數(shù)是： 4×（120÷12）=40（人） 答略。 *例7 有一個(gè)電子鐘，每到整點(diǎn)響一次鈴，每走9分鐘亮一次燈。中午12點(diǎn)整時(shí)，電子鐘既響鈴又亮燈。求下一次既響鈴又亮燈是幾點(diǎn)鐘？（適于六年級(jí)程度） 解：每到整點(diǎn)響一次鈴，就是每到60分鐘響一次鈴。求間隔多長(zhǎng)時(shí)間后，電子鐘既響鈴又亮燈，就是求60與9的

29、最小公倍數(shù)。 60與9的最小公倍數(shù)是180。 180÷60=3（小時(shí)） 由于是中午12點(diǎn)時(shí)既響鈴又亮燈，所以下一次既響鈴又亮燈是下午3點(diǎn)鐘。 答略。 *例8 一個(gè)植樹(shù)小組原計(jì)劃在96米長(zhǎng)的一段土地上每隔4米栽一棵樹(shù)，并且已經(jīng)挖好坑。后來(lái)改為每隔6米栽一棵樹(shù)。求重新挖樹(shù)坑時(shí)可以少挖幾個(gè)？（適于六年級(jí)程度） 解：這一段地全長(zhǎng)96米，從一端每隔4米挖一個(gè)坑，一共要挖樹(shù)坑： 96÷4+1=25（個(gè)） 后來(lái)，改為每隔6米栽一棵樹(shù)，原來(lái)挖的坑有的正好趕在6米一棵的坑位上，可不重新挖。由于4和6的最小公倍數(shù)是12，所以從第一個(gè)坑開(kāi)始，每隔12米的那個(gè)坑不必挖。 96÷12+1=9（個(gè)）

30、96米中有8個(gè)12米，有8個(gè)坑是已挖好的，再加上已挖好的第一個(gè)坑，一共有9個(gè)坑不必重新挖。 答略。 例9 一項(xiàng)工程，甲隊(duì)單獨(dú)做需要18天，乙隊(duì)單獨(dú)做需要24天。兩隊(duì)合作8天后，余下的工程由甲隊(duì)單獨(dú)做，甲隊(duì)還要做幾天？（適于六年級(jí)程度） 解：由18、24的最小公倍數(shù)是72，可把全工程分為72等份。 72÷18=4（份）…………是甲一天做的份數(shù) 72÷24=3（份）…………是乙一天做的份數(shù) （4+3）×8=56份）………兩隊(duì)8天合作的份數(shù) 72-56=16（份）…………余下工程的份數(shù) 16÷4=4（天）……………甲還要做的天數(shù) 答略。 *例10 甲、乙兩個(gè)碼頭之間的水路長(zhǎng)234

31、千米，某船從甲碼頭到乙碼頭需要9小時(shí)，從乙碼頭返回甲碼頭需要13小時(shí)。求此船在靜水中的速度？（適于高年級(jí)程度） 解：9、13的最小公倍數(shù)是117，可以把兩碼頭之間的水路234千米分成117等份。 每一份是： 234÷117=2（千米） 靜水中船的速度占總份數(shù)的： （13+9）÷2=11（份） 船在靜水中每小時(shí)行： 2×11=22（千米） 答略。 *例11 王勇從山腳下登上山頂，再按原路返回。他上山的速度為每小時(shí)3千米，下山的速度為每小時(shí)5千米。他上、下山的平均速度是每小時(shí)多少千米？（適于六年級(jí)程度） 解：設(shè)山腳到山頂?shù)木嚯x為3與5的最小公倍數(shù)。 3×5=15（千米） 上

32、山用： 15÷3=5（小時(shí)） 下山用： 15÷5=3（小時(shí)） 總距離÷總時(shí)間=平均速度 （15×2）÷（5+3）=3.75（千米） 答：他上、下山的平均速度是每小時(shí)3.75千米。 *例12 某工廠生產(chǎn)一種零件，要經(jīng)過(guò)三道工序。第一道工序每個(gè)工人每小時(shí)做50個(gè)；第二道工序每個(gè)工人每小時(shí)做30個(gè)；第三道工序每個(gè)工人每小時(shí)做25個(gè)。在要求均衡生產(chǎn)的條件下，這三道工序至少各應(yīng)分配多少名工人？（適于六年級(jí)程度） 解：50、30、25三個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)是150。 第一道工序至少應(yīng)分配： 150÷50=3（人） 第二道工序至少應(yīng)分配： 150÷30=5（人） 第三道工序至少應(yīng)分配：

33、 150÷25=6（人） 答略。 第三十四講 解平均數(shù)問(wèn)題的方法 已知幾個(gè)不相等的數(shù)及它們的份數(shù)，求總平均值的問(wèn)題，叫做平均數(shù)問(wèn)題。 解答平均數(shù)問(wèn)題時(shí)，要先求出總數(shù)量和總份數(shù)?？倲?shù)量是幾個(gè)數(shù)的和，總份數(shù)是這幾個(gè)數(shù)的份數(shù)的和。解答這類(lèi)問(wèn)題的公式是； 總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù) 例1 氣象小組在一天的2點(diǎn)、8點(diǎn)、14點(diǎn)、20點(diǎn)測(cè)得某地的溫度分別是13攝氏度、16攝氏度、25攝氏度、18攝氏度。算出這一天的平均溫度。（適于四年級(jí)程度） 解：本題可運(yùn)用求平均數(shù)的解題規(guī)律“總數(shù)量÷總份數(shù)=平均數(shù)”進(jìn)行計(jì)算。這里的總數(shù)量是指測(cè)得的四個(gè)溫度的和，即13攝氏度、16攝氏度、25攝氏度、18

34、攝氏度的和；這里的總份數(shù)是指測(cè)量氣溫的次數(shù)，一天測(cè)量四次氣溫，所以總份數(shù)為4。 （13+16+25+18）÷4 =72÷4 =18（攝氏度） 答：這一天的平均氣溫為18攝氏度。 例2 王師傅加工一批零件，前3天加工了148個(gè)，后4天加工了167個(gè)。王師傅平均每天加工多少個(gè)零件？（適于四年級(jí)程度） 解：此題的總數(shù)量是指前3天和后4天一共加工的零件數(shù)，總份數(shù)是指前、后加工零件的天數(shù)之和。用總數(shù)量除以總份數(shù)，便求出平均數(shù)。 前、后共加工的零件數(shù)： 148+167=315（個(gè)） 前、后加工零件共用的天數(shù)： 3+4=7（天） 平均每天加工的零件數(shù)： 315÷7=45（個(gè)） 綜合

35、算式： （148+167）÷（3+4） ＝315÷7 =45（個(gè)） 答：平均每天加工45個(gè)零件。 例3 某工程隊(duì)鋪一段自來(lái)水管道。前3天每天鋪150米，后2天每天鋪200米，正好鋪完。這個(gè)工程隊(duì)平均每天鋪多少米？（適于四年級(jí)程度） 解：本題的總數(shù)量是指工程隊(duì)前3天、后2天一共鋪?zhàn)詠?lái)水管道的米數(shù)?？偡輸?shù)是指鋪?zhàn)詠?lái)水管道的總天數(shù)。用鋪?zhàn)詠?lái)水管道的總米數(shù)除以鋪?zhàn)詠?lái)水管道的總天數(shù)，就可以求出平均每天鋪的米數(shù)。 前3天鋪的自來(lái)水管道米數(shù)： 150×3=450（米） 后2天鋪的自來(lái)水管道米數(shù)： 200×2=400（米） 一共鋪的自來(lái)水管道米數(shù)： 450+400=850（米） 一共

36、鋪的天數(shù)： 3+2=5（天） 平均每天鋪的米數(shù)： 850÷5=170（米） 綜合算式： （150×3+200×2）÷（3+2） ＝（450+400）÷5 ＝850÷5 ＝170（米） 答略。 例4 有兩塊實(shí)驗(yàn)田，第一塊有地3.5畝，平均畝產(chǎn)小麥480千克；第二塊有地1.5畝，共產(chǎn)小麥750千克。這兩塊地平均畝產(chǎn)小麥多少千克？（適于四年級(jí)程度） 解：本題的總數(shù)量是指兩塊地小麥的總產(chǎn)量，總份數(shù)是指兩塊地的總畝數(shù)，用兩塊地的總產(chǎn)量除以兩塊地的總畝數(shù)，可求出兩塊地平均畝產(chǎn)小麥多少千克。 3.5畝共產(chǎn)小麥： 480×3.5=1680（千克） 兩塊地總產(chǎn)量： 1680+750

37、=2430（千克） 兩塊地的總畝數(shù)： 3.5+1.5=5（畝） 兩塊地平均畝產(chǎn)小麥： 2430÷5=486（千克） 綜合算式： （480×3.5+750）÷（3.5+1.5） ＝（1680+750）÷5 ＝2430÷5 =486（千克） 答略。 例5 東風(fēng)機(jī)器廠，五月份上半月的產(chǎn)值是125.2萬(wàn)元，比下半月的產(chǎn)值少70萬(wàn)元。這個(gè)廠五月份平均每天的產(chǎn)值是多少萬(wàn)元？（適于四年級(jí)程度） 解：本題的總數(shù)量是指五月份的總產(chǎn)值。五月份上半月的產(chǎn)值是125.2萬(wàn)元，比下半月的產(chǎn)值少70萬(wàn)元，也就是下半月比上半月多70萬(wàn)元，所以下半月產(chǎn)值為125.2+70=195.2（萬(wàn)元）。把上半月

38、的產(chǎn)值和下半月的產(chǎn)值相加，求出五月份的總產(chǎn)值。 本題的總份數(shù)是指五月份的實(shí)際天數(shù)。五月份為大月，共有31天。用五月份的總產(chǎn)值除以五月份的實(shí)際天數(shù)，可求出五月份平均每天的產(chǎn)值是多少萬(wàn)元。 下半月產(chǎn)值： 125.2+70=195.2（萬(wàn)元） 五月份的總產(chǎn)值： 125.2+195.2=320.4（萬(wàn)元） 五月份平均每天的產(chǎn)值： 320.4÷31≈10.3（萬(wàn)元） 綜合算式： （125.2+125.2+70）÷31 =320.4÷31 ≈10.3（萬(wàn)元） 答略。 例6 崇光軸承廠六月上旬平均每天生產(chǎn)軸承527只，中旬生產(chǎn)5580只，下旬生產(chǎn)5890只。這個(gè)月平均每天生產(chǎn)軸承多

39、少只？（適于四年級(jí)程度） 解：本題的總數(shù)量是指六月份生產(chǎn)軸承的總只數(shù)，總份數(shù)是指六月份生產(chǎn)軸承的總天數(shù)。用六月份生產(chǎn)軸承的總只數(shù)除以六月份的總天數(shù)，可求出六月份平均每天生產(chǎn)軸承數(shù)。 六月上旬生產(chǎn)軸承的只數(shù)： 527×10=5270（只） 六月中、下旬共生產(chǎn)軸承： 5580+5890=11470(只） 六月份共生產(chǎn)軸承： 5270+11470=16740（只） 六月份平均每天生產(chǎn)軸承： 16740÷30=558（只） 綜合算式： （527×10+5580+5890）÷30 =（5270+5580+5890）÷30 =16740÷30 =558（只） 答略。 例7

40、糖果店配混合糖，用每千克4.8元的奶糖5千克，每千克3.6元的軟糖10千克，每千克2.4元的硬糖10千克。這樣配成的混合糖，每千克應(yīng)賣(mài)多少元？（適于四年級(jí)程度） 解：本題中的總數(shù)量是指三種糖的總錢(qián)數(shù)；總份數(shù)是指三種糖的總重量?？傚X(qián)數(shù)除以總重量，可求出每千克混合糖應(yīng)賣(mài)多少錢(qián)。 三種糖總的錢(qián)數(shù)： 4.8×5+3.6×10+2.4×10 =24+36+24 =84（元） 三種糖的總的重量： 5+10+10=25（千克） 每千克混合糖應(yīng)賣(mài)的價(jià)錢(qián)： 84÷25=3.36（元） 綜合算式： （4.8×5+3.6×10+2.4×10）÷(5+10+10） ＝84÷25 ＝3.36（

41、元） 答略。 例8 一輛汽車(chē)從甲地開(kāi)往乙地，在平地上行駛了2.5小時(shí)，每小時(shí)行駛42千米；在上坡路行駛了1.5小時(shí)，每小時(shí)行駛30千米；在下坡路行駛了2小時(shí)，每小時(shí)行駛45千米，就正好到達(dá)乙地。求這輛汽車(chē)從甲地到乙地的平均速度。（適于四年級(jí)程度） 解：本題中的總數(shù)量是由甲地到乙地的總路程： 42×2.5+30×1.5+45×2 =105+45+90 =240（千米） 本題中的總份數(shù)是由甲地到乙地所用的時(shí)間： 2.5+1.5+2=6（小時(shí)） 這輛汽車(chē)從甲地到乙地的平均速度是： 240÷6=40（千米/小時(shí)） 綜合算式： （42×2.5+30×1.5+45×2）÷（2.5+

42、1.5+2） ＝240÷6 ＝40（千米/小時(shí)） 答略。 *例9 學(xué)校發(fā)動(dòng)學(xué)生積肥支援農(nóng)業(yè)，三年級(jí)85人積肥3640千克，四年級(jí)92人比三年級(jí)多積肥475千克，五年級(jí)的人數(shù)比四年級(jí)多3人，積肥數(shù)比三年級(jí)多845千克。三個(gè)年級(jí)的學(xué)生平均每人積肥多少千克？（適于四年級(jí)程度） 解：本題中的總數(shù)量是三個(gè)年級(jí)積肥的總重量。已知三年級(jí)積肥3640千克。 四年級(jí)積肥： 3640+475=4115（千克） 五年級(jí)積肥： 3640+845=4485（千克） 三個(gè)年級(jí)共積肥： 3640+4115+4485=12240（千克） 本題中的總份數(shù)就是三個(gè)年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)。三年級(jí)學(xué)生人數(shù)是85人已

43、知，四年級(jí)學(xué)生人數(shù)是92人已知，五年級(jí)學(xué)生人數(shù)是： 92+3=95（人） 三個(gè)年級(jí)學(xué)生的總?cè)藬?shù)是： 85+92+95=272（人） 三個(gè)年級(jí)的學(xué)生平均每人積肥： 12240÷272=45（千克） 綜合算式： （3640×3+475+845）÷（85+92×2+3） =12240÷272 =45（千克） 答略。 例10 山上某鎮(zhèn)離山下縣城有60千米的路程。一人騎自行車(chē)從該鎮(zhèn)出發(fā)去縣城，每小時(shí)行20千米。從縣城返回該鎮(zhèn)時(shí)，由于是上坡路，每小時(shí)只行了15千米。問(wèn)此人往返一次平均每小時(shí)行了多少千米？（適于四年級(jí)程度） 解：本題中的總數(shù)量是從某鎮(zhèn)到縣城往返一次的總路程： 60×

44、2=120（千米） 總份數(shù)是往返一次用的時(shí)間： 60÷20+6O÷15 =3+4 =7（小時(shí)） 此人往返一次平均每小時(shí)行的路程是： 120÷7≈17.14（千米） 綜合算式： 60×2÷（60÷20+60÷15） ＝120÷(3+4） ＝120÷7 ≈17.14（千米） 答略。 *例11 有兩塊棉田，平均畝產(chǎn)皮棉91.5千克。已知一塊田是3畝，平均畝產(chǎn)皮棉104千克。另一塊田是5畝，求這塊田平均畝產(chǎn)皮棉多少千克？（適于四年級(jí)程度） 解：兩塊棉田皮棉的總產(chǎn)量是： 91.5×（3+5）=732（千克） 3畝的那塊棉田皮棉的產(chǎn)量是： 104×3=312（千克） 另

45、一塊棉田皮棉的平均畝產(chǎn)量是： （732-312）÷5 ＝420÷5 ＝84（千克） 綜合算式： [91.5×（3+5）-104×3］÷5 ＝[732-312]÷5 ＝420÷5 ＝84（千克） 答略。 *例12 王伯伯釣魚(yú)，前4天共釣了36條，后6天平均每天比前4天多釣了5條。問(wèn)王伯伯平均每天釣魚(yú)多少條？（適于四年級(jí)程度） 解（1）：題中前4天共釣36條已知，后6天共釣魚(yú)： （36÷4+5）×6 =14×6 =84（條） 一共釣魚(yú)的天數(shù)是： 4+6=10（天） 10天共釣魚(yú)： 36+84=120（條） 平均每天釣魚(yú)： 120÷10=12（條） 綜合算式

46、： [36+（36÷4+5）×6]÷（4+6） =[36+84]÷10 =120÷10 =12（條） 答略。 解（2）：這道題除用一般方法解之外，還可將后6天多釣的魚(yú)按10天平均后，再加上原來(lái)4天的平均釣魚(yú)數(shù)。 （5×6）÷（4+6）+36÷4 =3+9 =12（條） 答：王伯伯平均每天釣魚(yú)12條。 例13 一個(gè)小朋友爬山，上山速度為每小時(shí)2千米，到達(dá)山頂后立即按原路下山，下山速度為每小時(shí)6千米。這個(gè)小朋友上、下山的平均速度是多少？（適于四年級(jí)程度） 解：本題的總數(shù)量是上山、下山的總路程，題中沒(méi)有說(shuō)總路程是多少。假設(shè)上山的路程是1千米，那么下山的路程也是1千米，上山、下

47、山的總路程是2千米。 本題的總份數(shù)是上山、下山總共用的時(shí)間。 上山、下山總共用的時(shí)間是： 所以，上山、下山的平均速度是： 答略。 例14 某廠一、二月份的平均產(chǎn)值是1.2萬(wàn)元，三月份的產(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬(wàn)元。這個(gè)工廠三月份的產(chǎn)值是多少萬(wàn)元？（適于四年級(jí)程度） 解：此題數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，用“總數(shù)量÷總份數(shù)”的方法做不出來(lái)。作圖（34-1）。從圖34-1可以看出，一、二月份的平均產(chǎn)值都是1.2萬(wàn)元。題中說(shuō)“三月份的產(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬(wàn)元”，那么三月份的產(chǎn)值一定比一、二月份的平均產(chǎn)值要高，所以圖34-1中表示三月份產(chǎn)值的線段比表示一、二月份

48、平均產(chǎn)值的線段長(zhǎng)。 第一季度的平均產(chǎn)值是多少萬(wàn)元呢？ 我們用“移多補(bǔ)少”的方法，把圖34-1中三月份的0.4萬(wàn)元平均分成2份，分別加到一、二月份的產(chǎn)值上，這樣就得到第一季度的平均產(chǎn)值了。 1.2+0.4÷2=1.4（萬(wàn)元） 因?yàn)槿路莸漠a(chǎn)值比第一季度的平均月產(chǎn)值還多0.4萬(wàn)元，所以三月份的產(chǎn)值是： 1.4+0.4=1.8（萬(wàn)元） 綜合算式： 1.2+0.4÷2+0.4 =1.4+0.4 =1.8（萬(wàn)元） 答略。 *例15 蘋(píng)果2千克賣(mài)2元錢(qián)，梨3千克賣(mài)2元錢(qián)。把每一筐15千克的梨、蘋(píng)果各一筐摻到一起，按2元錢(qián)2.5千克來(lái)賣(mài)，是掙錢(qián)，還是賠錢(qián)？按照前面的標(biāo)準(zhǔn)價(jià)計(jì)算差了多

49、少元？（適于四年級(jí)程度） 解：蘋(píng)果的單價(jià)是每1千克1元錢(qián)，梨的單價(jià)是每1千克2/3元，混合后每1千克混合水果的價(jià)錢(qián)應(yīng)當(dāng)是： 因?yàn)槭前衙恳豢?5千克的梨、蘋(píng)果各一筐摻合到一起，所以混合的水果一共是30千克，這30千克水果要少賣(mài)錢(qián)： 答：混合后是賠錢(qián)，照標(biāo)準(zhǔn)價(jià)差了1元錢(qián)。 *例16 三塊小麥實(shí)驗(yàn)田的平均畝產(chǎn)量是267.5千克。已知第一塊地是3畝，平均畝產(chǎn)量是275千克；第二塊是5畝，平均畝產(chǎn)量是285千克；而第三塊地的平均畝產(chǎn)量只有240千克。第三塊地是多少畝？（適于四年級(jí)程度） 解：第三塊地的畝產(chǎn)量比總平均畝產(chǎn)量低： 267.5-240=27.5（千克） 每畝低27

50、.5千克，需要第一、二兩塊地可拿出多少千克來(lái)填補(bǔ)呢？ （275-267.5）×3+（285-267.5）×5 =7.5×3+17.5×5 =22.5+87.5 =110（千克） 110千克中含有多少個(gè)27.5千克，第三塊地就是多少畝。 110÷27.5=4（畝） 綜合算式： [（275-267.5）×3+（285-267.5）×5]÷（267.5-240） =[22.5+87.5]÷27.5 =110÷27.5 =4（畝） 答：第三塊地是4畝。 第三十五講 解行程問(wèn)題的方法 已知速度、時(shí)間、距離三個(gè)數(shù)量中的任何兩個(gè)，求第三個(gè)數(shù)量的應(yīng)用題，叫做行程問(wèn)題。 解答行

51、程問(wèn)題的關(guān)鍵是，首先要確定運(yùn)動(dòng)的方向，然后根據(jù)速度、時(shí)間和路程的關(guān)系進(jìn)行計(jì)算。 行程問(wèn)題的基本數(shù)量關(guān)系是： 速度×?xí)r間=路程 路程÷速度=時(shí)間 路程÷時(shí)間=速度 行程問(wèn)題常見(jiàn)的類(lèi)型是：相遇問(wèn)題，追及問(wèn)題（即同向運(yùn)動(dòng)問(wèn)題），相離問(wèn)題（即相背運(yùn)動(dòng)問(wèn)題）。 （一）相遇問(wèn)題 兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體作相向運(yùn)動(dòng)或在環(huán)形跑道上作背向運(yùn)動(dòng)，隨著時(shí)間的發(fā)展，必然面對(duì)面地相遇，這類(lèi)問(wèn)題叫做相遇問(wèn)題。它的特點(diǎn)是兩個(gè)運(yùn)動(dòng)物體共同走完整個(gè)路程。 小學(xué)數(shù)學(xué)教材中的行程問(wèn)題，一般是指相遇問(wèn)題。 相遇問(wèn)題根據(jù)數(shù)量關(guān)系可分成三種類(lèi)型：求路程，求相遇時(shí)間，求速度。 它們的基本關(guān)系式如下： 總路程=（甲速+乙速）×相遇

52、時(shí)間 相遇時(shí)間=總路程÷（甲速+乙速） 另一個(gè)速度=甲乙速度和-已知的一個(gè)速度 1.求路程 （1）求兩地間的距離 例1 兩輛汽車(chē)同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開(kāi)出，一輛汽車(chē)每小時(shí)行56千米，另一輛汽車(chē)每小時(shí)行63千米，經(jīng)過(guò)4小時(shí)后相遇。甲乙兩地相距多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：兩輛汽車(chē)從同時(shí)相對(duì)開(kāi)出到相遇各行4小時(shí)。一輛汽車(chē)的速度乘以它行駛的時(shí)間，就是它行駛的路程；另一輛汽車(chē)的速度乘以它行駛的時(shí)間，就是這輛汽車(chē)行駛的路程。兩車(chē)行駛路程之和，就是兩地距離。 56×4=224（千米） 63×4=252（千米） 224+252=476（千米） 綜合算式： 56×4+63×4 =22

53、4+252 =476（千米） 答略。 例2 兩列火車(chē)同時(shí)從相距480千米的兩個(gè)城市出發(fā)，相向而行，甲車(chē)每小時(shí)行駛40千米，乙車(chē)每小時(shí)行駛42千米。5小時(shí)后，兩列火車(chē)相距多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：此題的答案不能直接求出，先求出兩車(chē)5小時(shí)共行多遠(yuǎn)后，從兩地的距離480千米中，減去兩車(chē)5小時(shí)共行的路程，所得就是兩車(chē)的距離。 480-（40+42）×5 =480-82×5 =480-410 =70（千米） 答：5小時(shí)后兩列火車(chē)相距70千米。 例3 甲、乙二人分別從A、B兩地同時(shí)相向而行，甲每小時(shí)行5千米，乙每小時(shí)行4千米。二人第一次相遇后，都繼續(xù)前進(jìn)，分別到達(dá)B、A兩地后又

54、立即按原速度返回。從開(kāi)始走到第二次相遇，共用了6小時(shí)。A、B兩地相距多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：從開(kāi)始走到第一次相遇，兩人走的路程是一個(gè)AB之長(zhǎng)；而到第二次相遇，兩人走的路程總共就是3個(gè)AB之長(zhǎng)（圖35-1），這三個(gè)AB之長(zhǎng)是： （5+4）×6=54（千米） 所以，A、B兩地相距的路程是： 54÷3=18（千米） 答略。 例4 兩列火車(chē)從甲、乙兩地同時(shí)出發(fā)對(duì)面開(kāi)來(lái)，第一列火車(chē)每小時(shí)行駛60千米，第二列火車(chē)每小時(shí)行駛55千米。兩車(chē)相遇時(shí)，第一列火車(chē)比第二列火車(chē)多行了20千米。求甲、乙兩地間的距離。（適于五年級(jí)程度） 解：兩車(chē)相遇時(shí)，兩車(chē)的路程差是20千米。出現(xiàn)路程差的原因是

55、兩車(chē)行駛的速度不同，第一列火車(chē)每小時(shí)比第二列火車(chē)多行（60-55）千米。由此可求出兩車(chē)相遇的時(shí)間，進(jìn)而求出甲、乙兩地間的距離。 （60+55）×[20÷（60-55）] =115×[20÷5] =460（千米） 答略。 *例5 甲、乙二人同時(shí)從A、B兩地相向而行，甲每小時(shí)走6千米，乙每小時(shí)走5千米，兩個(gè)人在距離中點(diǎn)1.5千米的地方相遇。求A、B兩地之間的距離。（適于五年級(jí)程度） 解：由題意可知，當(dāng)二人相遇時(shí)，甲比乙多走了1.5×2千米（圖35-2），甲比乙每小時(shí)多行（6-5）千米。由路程差與速度差，可求出相遇時(shí)間，進(jìn)而求出A、B兩地之間的距離。 （6+5）×[1.5×2÷（6

56、-5）] =11×[1.5×2÷1] =11×3 =33（千米） 答略。 由兩車(chē)“在離中點(diǎn)2千米處相遇”可知，甲車(chē)比乙車(chē)少行： 2×2=4（千米） 所以，乙車(chē)行的路程是： 甲車(chē)行的路程是： A、B兩站間的距離是： 24+20=44（千米） 答略。 同普通客車(chē)相遇。甲、乙兩城間相距多少千米？（適于六年級(jí)程度） 快車(chē)從乙城開(kāi)出，普通客車(chē)與快車(chē)相對(duì)而行。已知普通客車(chē)每小時(shí)行60千米，快車(chē)每小時(shí)行80千米，可以求出兩車(chē)速度之和。又已知兩車(chē)相遇時(shí)間，可以按“速度之和×相遇時(shí)間”，求出兩車(chē)相對(duì)而行的總行程。普通客車(chē)已行駛 普通客車(chē)與快車(chē)速度之

57、和是： 60+80=140（千米/小時(shí)） 兩車(chē)相對(duì)而行的總路程是： 140×4=560（千米） 兩車(chē)所行的總路程占全程的比率是： 甲、乙兩城之間相距為： 綜合算式： 答略。 2）求各行多少 例1 兩地相距37.5千米，甲、乙二人同時(shí)從兩地出發(fā)相向而行，甲每小時(shí)走3.5千米，乙每小時(shí)走4千米。相遇時(shí)甲、乙二人各走了多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：到甲、乙二人相遇時(shí)所用的時(shí)間是： 37.5÷（3.5+4）=5（小時(shí)） 甲行的路程是： 3.5×5=17.5（千米） 乙行的路程是： 4×5=20（千米） 答略。 例2 甲、乙二人從相距40千米的兩地同時(shí)

58、相對(duì)走來(lái)，甲每小時(shí)走4千米，乙每小時(shí)走6千米。相遇后他們又都走了1小時(shí)。兩人各走了多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：到甲、乙二人相遇所用的時(shí)間是： 40÷（4+6）=4（小時(shí)） 由于他們又都走了1小時(shí)，因此兩人都走了： 4+1=5（小時(shí)） 甲走的路程是： 4×5=20（千米） 乙走的路程是： 6×5=30（千米） 答略。 例3 兩列火車(chē)分別從甲、乙兩個(gè)火車(chē)站相對(duì)開(kāi)出，第一列火車(chē)每小時(shí)行48.65千米，第二列火車(chē)每小時(shí)行47.35千米。在相遇時(shí)第一列火車(chē)比第二列火車(chē)多行了5.2千米。到相遇時(shí)兩列火車(chē)各行了多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：兩車(chē)同時(shí)開(kāi)出，行的路程有一個(gè)差，這個(gè)

59、差是由于速度不同而形成的?？梢愿鶕?jù)“相遇時(shí)間=路程差÷速度差”的關(guān)系求出相遇時(shí)間，然后再分別求出所行的路程。 從出發(fā)到相遇所用時(shí)間是： 5.2÷（48.65-47.35） =5.2÷1.3 =4（小時(shí)） 第一列火車(chē)行駛的路程是： 48.65×4=194.6（千米） 第二列火車(chē)行駛的路程是： 47.35×4=189.4（千米） 答略。 *例4 東、西兩車(chē)站相距564千米，兩列火車(chē)同時(shí)從兩站相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)6小時(shí)相遇。第一列火車(chē)比第二列火車(chē)每小時(shí)快2千米。相遇時(shí)這兩列火車(chē)各行了多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：兩列火車(chē)的速度和是： 564÷6=94（千米/小時(shí)） 第一列火車(chē)每

60、小時(shí)行： （94+2）÷2=48（千米） 第二列火車(chē)每小時(shí)行： 48-2=46（千米） 相遇時(shí)，第一列火車(chē)行： 48×6=288（千米） 第二列火車(chē)行： 46×6=276（千米） 答略。 2.求相遇時(shí)間 例1 兩個(gè)城市之間的路程是500千米，一列客車(chē)和一列貨車(chē)同時(shí)從兩個(gè)城市相對(duì)開(kāi)出，客車(chē)的平均速度是每小時(shí)55千米，貨車(chē)的平均速度是每小時(shí)45千米。兩車(chē)開(kāi)了幾小時(shí)以后相遇？（適于五年級(jí)程度） 解：已知兩個(gè)城市之間的路程是500千米，又知客車(chē)和貨車(chē)的速度，可求出兩車(chē)的速度之和。用兩城之間的路程除以兩車(chē)的速度之和可以求出兩車(chē)相遇的時(shí)間。 500÷（55+45） =500÷10

61、0 =5（小時(shí)） 答略。 例2 兩地之間的路程是420千米，一列客車(chē)和一列貨車(chē)同時(shí)從兩個(gè)城市 答略。 例3 在一次戰(zhàn)役中，敵我雙方原來(lái)相距62.75千米。據(jù)偵察員報(bào)告，敵人已向我處前進(jìn)了11千米。我軍隨即出發(fā)迎擊，每小時(shí)前進(jìn)6.5千米，敵人每小時(shí)前進(jìn)5千米。我軍出發(fā)幾小時(shí)后與敵人相遇？（適于五年級(jí)程度） 解：此題已給出總距離是62.75千米，由“敵人已向我處前進(jìn)了11千米”可知實(shí)際的總距離減少到（62.75-11）千米。 （62.75-11）÷（6.5+5） =51.75÷11.5 =4.5（小時(shí)） 答：我軍出發(fā)4.5小時(shí)后與敵人相遇。 例4 甲、乙兩地相距2

62、00千米，一列貨車(chē)由甲地開(kāi)往乙地要行駛5小時(shí)；一列客車(chē)由乙地開(kāi)往甲地需要行駛4小時(shí)。如果兩列火車(chē)同時(shí)從兩地相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)幾小時(shí)可以相遇？（得數(shù)保留一位小數(shù)）（適于五年級(jí)程度） 解：此題用與平常說(shuō)法不同的方式給出了兩車(chē)的速度。先分別求出速度再求和，根據(jù)“時(shí)間=路程÷速度”的關(guān)系，即可求出相遇時(shí)間。 200÷（200÷5+200÷4） =200÷（40+50） =200÷90 ≈2.2（小時(shí)） 答：兩車(chē)大約經(jīng)過(guò)2.2小時(shí)相遇。 例5 在復(fù)線鐵路上，快車(chē)和慢車(chē)分別從兩個(gè)車(chē)站開(kāi)出，相向而行?？燔?chē)車(chē)身長(zhǎng)是180米，速度為每秒鐘9米；慢車(chē)車(chē)身長(zhǎng)210米，車(chē)速為每秒鐘6米。從兩車(chē)頭相遇到兩車(chē)的

63、尾部離開(kāi)，需要幾秒鐘？（適于五年級(jí)程度） 解：因?yàn)槭且詢绍?chē)離開(kāi)為準(zhǔn)計(jì)算時(shí)間，所以兩車(chē)經(jīng)過(guò)的路程是兩個(gè)車(chē)身的總長(zhǎng)?？傞L(zhǎng)除以兩車(chē)的速度和，就得到兩車(chē)從相遇到車(chē)尾離開(kāi)所需要的時(shí)間。 （180+210）÷（9+6） =390÷15 =26（秒） 答略。 3.求速度 例1 甲、乙兩個(gè)車(chē)站相距550千米，兩列火車(chē)同時(shí)由兩站相向開(kāi)出，5小時(shí)相遇?？燔?chē)每小時(shí)行60千米。慢車(chē)每小時(shí)行多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：先求出速度和，再?gòu)乃俣群椭袦p去快車(chē)的速度，便得出慢車(chē)每小時(shí)行： 550÷5-60 =110-60 =50（千米） 答略。 例2 A、B兩個(gè)城市相距380千米?？蛙?chē)和貨車(chē)從兩

64、個(gè)城市同時(shí)相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)4小時(shí)相遇。貨車(chē)比客車(chē)每小時(shí)快5千米。這兩列車(chē)每小時(shí)各行多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：客車(chē)每小時(shí)行： （380÷4-5）÷2 =（95-5）÷2 =45（千米） 貨車(chē)每小時(shí)行： 45+5=50（千米） 答略。 例3 甲、乙兩個(gè)城市相距980千米，兩列火車(chē)由兩城市同時(shí)相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)10小時(shí)相遇?？燔?chē)每小時(shí)行50千米，比慢車(chē)每小時(shí)多行多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：兩城市的距離除以兩車(chē)相遇的時(shí)間，得到兩車(chē)的速度和。從兩車(chē)的速度和中減去快車(chē)的速度，得到慢車(chē)的速度。再用快車(chē)速度減去慢車(chē)的速度，即得到題中所求。 50-（980÷10-50） =50-（

65、98-50） =50-48 =2（千米） 答略。 例4 甲、乙兩地相距486千米，快車(chē)與慢車(chē)同時(shí)從甲、乙兩地相對(duì)開(kāi)出，經(jīng)過(guò)6小時(shí)相遇。已知快車(chē)與慢車(chē)的速度比是5∶4。求快車(chē)和慢車(chē)每小時(shí)各行多少千米？（適于六年級(jí)程度） 兩車(chē)的速度和是： 486÷6=81（千米/小時(shí)） 快車(chē)每小時(shí)行： 慢車(chē)每小時(shí)行： 答略。 例5 兩輛汽車(chē)同時(shí)從相距465千米的兩地相對(duì)開(kāi)出，4.5小時(shí)后兩車(chē)還相距120千米。一輛汽車(chē)每小時(shí)行37千米。另一輛汽車(chē)每小時(shí)行多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：如果兩地間的距離減少120千米，4.5小時(shí)兩車(chē)正好相遇。也就是兩車(chē)4.5小時(shí)行465-120=3

66、45千米，345千米除以4.5小時(shí)，可以求出兩車(chē)速度之和。從速度之和減去一輛車(chē)的速度，得到另一輛車(chē)的速度。 答略。 例6 甲、乙兩人從相距40千米的兩地相向而行。甲步行，每小時(shí)走5千米，先出發(fā)0.8小時(shí)。乙騎自行車(chē)，騎2小時(shí)后，兩人在某地相遇。乙騎自行車(chē)每小時(shí)行多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：兩人相遇時(shí)，甲共走： 0.8+2=2.8（小時(shí)） 甲走的路程是： 5×2.8=14（千米） 乙在2小時(shí)內(nèi)行的路程是： 40-14=26（千米） 所以，乙每小時(shí)行： 26÷2=13（千米） 綜合算式： [40-5×（0.8+2）]÷2 =[40-5×2.8]÷2 =[40-14]÷2 =26÷2 =13（千米） 答略。 例7 甲、乙二人從相距50千米的兩地相對(duì)而行。甲先出發(fā)，每小時(shí)步行5千米。1小時(shí)后乙騎自行車(chē)出發(fā)，騎了2小時(shí)，兩人相距11千米。乙每小時(shí)行駛多少千米？（適于五年級(jí)程度） 解：從相距的50千米中，去掉甲在1小時(shí)內(nèi)先走的5千米，又去掉相隔的11千米，便得到： 50-5-11=34（千米） 這時(shí)，原題就改變成“兩地相隔34千米，甲、乙二人分別