高中數(shù)學《第三章 函數(shù)的應用》本章小結 新人教A版必修1

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1、本章小結 一、函數(shù)的零點與方程根的關系確定函數(shù)零點的個數(shù)有兩個基本方法，一是利用圖象研究與x軸的交點個數(shù)或轉化成兩個函數(shù)圖象的交點個數(shù)定性判斷二是判斷區(qū)間(a，b)上是否有零點，可應用f(a)f(b)0判斷，但還需結合函數(shù)的圖象和單調(diào)性，特別是二重根容易漏掉【例1】求函數(shù)f(x)ex4x4的零點的個數(shù)思路分析：可以利用計算機畫出f(x)的圖象，利用圖象的直觀性直接判斷；也可以利用函數(shù)的單調(diào)性及區(qū)間(a，b)內(nèi)存在零點的條件進行判斷；或令f(x)0，即有ex4(1x)，然后在同一直角坐標系中作出yex，y44x的圖象，觀察兩圖象交點的個數(shù)解法一：利用計算機畫出函數(shù)f(x)ex4x4的圖象，如下圖

2、所示，可知函數(shù)有一個零點，且零點在(0,1)之間解法二：函數(shù)f(x)的圖象是連續(xù)不斷的，且f(0)30，f(0)f(1)0，又函數(shù)f(x)在R上是增函數(shù)，函數(shù)f(x)在(0,1)之間有且只有一個零點解法三：根據(jù)函數(shù)零點與方程實根之間的關系，令f(x)0，即有ex44x.在同一直角坐標系中分別作出yex，y44x的圖象，如右圖所示，由右圖易知，兩函數(shù)圖象僅有一個公共點，故方程ex44x有唯一實根，從而函數(shù)f(x)ex4x4有唯一的零點溫馨提示：對于一般函數(shù)零點個數(shù)的判斷問題，不僅要用零點存在定理來判斷區(qū)間a，b上是否有f(a)f(b)0，還需結合函數(shù)的單調(diào)性情況，其步驟是：(1)用計算器或計算機

3、列出x、f(x)的對應值表；(2)用描點法作出函數(shù)的圖象；(3)取區(qū)間a，b，判斷f(a)f(b)0是否成立；(4)判斷函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(5)結合單調(diào)性確定函數(shù)零點的個數(shù)【例2】若關于x的方程x2(m1)x10在0,2內(nèi)有解，求m的取值范圍思路分析：構造函數(shù)，利用對稱軸、判別式、端點函數(shù)值建立不等式組解法二：由0m3或m1.若m3，則x1x20，x1x21，方程有兩個正根，且互為倒數(shù)方程在0,1內(nèi)必有一個根，方程在0,2內(nèi)必有一個根m1.二、函數(shù)模型及應用把握函數(shù)模型的分類，熟練掌握不同類型應用題的解題步驟，比較例題的類型通過體會實例來掌握各類應用題的解法函數(shù)模型的應用實例主要包含三個方

4、面：1.利用給定的函數(shù)模型解決實際問題；2.建立確定性函數(shù)模型解決問題；3.建立擬合函數(shù)模型解決實際問題【例3】如圖所示是某廠老板和工會主席所畫的股東紅利和工資增長的函數(shù)圖，通過以下兩圖能說出老板和工會主席各持什么觀點嗎？年份 200620072008股東紅利(萬元)57.510工資總額(萬元)1012.515思路分析：老板所畫的兩條線平行，說明其增長幅度相同，工會主席所畫的兩條線起點重合，說明隨后的增長率有差異解：老板和工會主席都選擇一次函數(shù)來描述此問題，直線的傾斜程度就反映出了增長的快慢，老板從工資額增長的角度說明工資總額和股東紅利在數(shù)量上同步增長，工會主席從增長率的角度說明股東紅利提高的

5、速度比工資總額提高的速度要快【例4】某租賃公司擁有汽車100輛，當每輛車的月租金為3000元時，可全部租出當每輛車的月租金每增加50元，未租出的車將會增加1輛租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費50元(1)當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？(2)每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大？最大月利益是多少？思路分析：(1)先求出未租出的車輛數(shù)(2)收益租車總收入已租車輛維護費未租車輛維護費【例5】某商場經(jīng)營一批進價是30元/件的商品，在市場試銷中發(fā)現(xiàn)，此商品的銷售單價x元與日銷售量y件之間有如下關系：x30404550y6030150 (1)在

6、所給坐標系中，根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)描出實數(shù)對(x，y)對應的點，并確定y與x的一個函數(shù)關系式y(tǒng)f(x)； (2)設經(jīng)營此商品的日銷售利潤為P元，根據(jù)上述關系寫出P關于x的函數(shù)關系式，并指出銷售單價x為多少元時，才能獲得最大的日銷售利潤？思路分析：依據(jù)表中的數(shù)據(jù)作為點的坐標畫出散點圖再確定模擬函數(shù)來解決解：(1)根據(jù)上表作圖，如下圖中點(30,60)，(40,30)，(45,15)，(50,0)，它們近似在同一條直線上，設它們共線于直線l ykxb.(2)依題意有Py(x30)(3x150)(x30)3(x40)2300.當x40時，P有最大值300.故當銷售單價為40元時，才能獲得最大日銷售利潤