42 力矩 轉(zhuǎn)動定律 轉(zhuǎn)動慣量jm

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1、14- -2力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量力矩轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動慣量2sin|abba2、矢量的矢積（叉積）矢量的矢積（叉積） bac大?。捍笮。悍较颍河沂址▌t（右手螺旋法則）方向：右手法則（右手螺旋法則）abc復(fù)習(xí)：復(fù)習(xí)：1、矢量的標(biāo)量積（點(diǎn)積）矢量的標(biāo)量積（點(diǎn)積）cosabba3Pz*OFrFrM 對轉(zhuǎn)軸對轉(zhuǎn)軸 Z 的力矩的力矩 F 一、一、力矩力矩 M 描述描述力力對剛體的對剛體的轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動動作用作用方向方向: 服從右手螺旋法則服從右手螺旋法則Fd : 力臂力臂sinrd 設(shè)設(shè) 在平面內(nèi)在平面內(nèi)F大小大小:sinFrM d4軸正向?。耗鏁r針轉(zhuǎn)動方向?yàn)?Z1、 定軸轉(zhuǎn)動的力矩方向可用正、負(fù)號表示定軸轉(zhuǎn)動的力矩

2、方向可用正、負(fù)號表示 軸正向的方向?yàn)楸砻鱖:0MM軸反向的方向與表明Z:0MMFrM定義：zOrFzOrFMM0MM052、合力矩等于各分力矩的矢量和合力矩等于各分力矩的矢量和321MMMM3、 合力為零，但合力矩不一定為零合力為零，但合力矩不一定為零 0,0iiMFFF0,0iiMFFFFdFrMsinFrM定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動321MMMM代數(shù)和6 0F 0FoFF4、一對力偶的力矩一對力偶的力矩F Fol 0MFl 0M22lFlFMFdM 0FrrFMr7zOkFr討論討論FFFzFrkMzsin rFMzzFF （1）若力若力 不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分不在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)，把力分解為平行和垂直于

3、轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量解為平行和垂直于轉(zhuǎn)軸方向的兩個分量 F 其中其中 對轉(zhuǎn)軸的對轉(zhuǎn)軸的力矩為零，故力矩為零，故 對轉(zhuǎn)對轉(zhuǎn)軸的力矩軸的力矩zFF8O （2）剛體內(nèi)剛體內(nèi)作用力作用力和和反作用力反作用力的力矩的力矩互相互相抵消抵消jririjFFdMM 0dFFdMMMij0ijM為零。剛體對轉(zhuǎn)軸的合內(nèi)力矩Z9rRT1T2TRTRM 對轉(zhuǎn)軸：FdFrMsinFrM5、求合力矩求合力矩rTRTM12轉(zhuǎn)對軸：+10 Lmg cos21Lcos2mgLM T2T1RFRFMOT2FT1FCPOR11Ormz二二 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律FtFnFrFMsinmrM （1）單個質(zhì)點(diǎn)單個質(zhì)點(diǎn) 與轉(zhuǎn)軸剛性連接與轉(zhuǎn)軸剛性

4、連接mtrFM 轉(zhuǎn)動平面轉(zhuǎn)動平面合力2mrOzimir外iF內(nèi)iF（2）剛體剛體ititFrFrMiii2iirmiiitirmamFFitit質(zhì)量元質(zhì)量元ttmaF 12 質(zhì)元繞質(zhì)元繞Z軸轉(zhuǎn)動的力矩軸轉(zhuǎn)動的力矩ititFrFrMiii2iirmOzimir外iF內(nèi)iF質(zhì)量元質(zhì)量元合外合外力矩力矩合內(nèi)合內(nèi)力矩力矩ititFrFrMiii2iirm 剛體繞剛體繞Z軸轉(zhuǎn)動的力矩軸轉(zhuǎn)動的力矩rmMMiiii2內(nèi)外13rmMMiiii2內(nèi)外0內(nèi)合內(nèi)力矩：iMrmMMiii)(2外剛體對轉(zhuǎn)軸的合外力矩剛體對轉(zhuǎn)軸的合外力矩:)(2iirmJ令：令：Oz轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律JM 剛體對轉(zhuǎn)軸的剛體對轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量

5、轉(zhuǎn)動慣量14 剛體定軸轉(zhuǎn)動的角剛體定軸轉(zhuǎn)動的角加速度與它所受的加速度與它所受的合外合外力矩力矩成正比，與剛體的成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量成反比。成反比。JM 2iirmJ轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)動慣量1、剛體的定軸剛體的定軸轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律Ozimir15討論討論JM（1）tJJMdd（2）（3） 不變不變M，0轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律JM Ozimir外iFM ，改變改變了物體了物體 轉(zhuǎn)動的狀態(tài)轉(zhuǎn)動的狀態(tài)，使物體轉(zhuǎn)動變快或變慢。使物體轉(zhuǎn)動變快或變慢。 力矩作用的效果：力矩作用的效果：產(chǎn)生角加速度產(chǎn)生角加速度2iirmJ16比較比較JMamFJ是物體轉(zhuǎn)動慣性的量度。是物體轉(zhuǎn)動慣性的量度。m是物體平動慣性的量度

6、。是物體平動慣性的量度。改變物體平動狀態(tài)的原因改變物體平動狀態(tài)的原因aFM改變物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因改變物體轉(zhuǎn)動狀態(tài)的原因牛頓二定理牛頓二定理定軸轉(zhuǎn)動定理定軸轉(zhuǎn)動定理 J 的的意義：物體意義：物體轉(zhuǎn)動慣性的量度轉(zhuǎn)動慣性的量度 .17v 質(zhì)量離散分布質(zhì)量離散分布22222112jjjjrmrmrmrmJv 質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布VrmrrmJVjjjdd222 ：質(zhì)量元：質(zhì)量元md ：體積元：體積元Vd三轉(zhuǎn)動慣量三轉(zhuǎn)動慣量Ozdmr* r: 質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離 單位：單位：kgm2dm=dV18v 質(zhì)量離散分布質(zhì)量離散分布22222112jjjjrmrmrmrmJ J 的計(jì)算

7、方法的計(jì)算方法 1、 如圖，如圖，求質(zhì)點(diǎn)求質(zhì)點(diǎn) m 對過圓心且垂對過圓心且垂直于轉(zhuǎn)動平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。直于轉(zhuǎn)動平面的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。mromrJ2解：192、 由長由長l 的輕桿連接的的輕桿連接的質(zhì)點(diǎn)如圖所示，求質(zhì)點(diǎn)質(zhì)點(diǎn)如圖所示，求質(zhì)點(diǎn)系對過系對過A垂直于紙面的軸垂直于紙面的軸的轉(zhuǎn)動慣量的轉(zhuǎn)動慣量222232)2)(54()2(32mllmmlmmlJ解：解：llllAmm2m3m4m5l 222222112jjjjrmrmrmrmJ20v 質(zhì)量連續(xù)分布質(zhì)量連續(xù)分布mrJd23. 一長為一長為 的細(xì)桿，質(zhì)量的細(xì)桿，質(zhì)量 均勻分布均勻分布 ，求該，求該過桿的中點(diǎn)且垂直于桿的軸的轉(zhuǎn)動慣量。過桿

8、的中點(diǎn)且垂直于桿的軸的轉(zhuǎn)動慣量。Lmo解：解：mrJd2x2L2L2331218831mLLLLmxdxmddx222dLLxLmxxrdmx221剛體的對軸的轉(zhuǎn)動慣量與什么因素有關(guān)剛體的對軸的轉(zhuǎn)動慣量與什么因素有關(guān)？mrJd2與剛體總質(zhì)量有關(guān)與剛體總質(zhì)量有關(guān);與剛體對轉(zhuǎn)軸的位置與剛體對轉(zhuǎn)軸的位置r有關(guān)有關(guān);與剛體質(zhì)量分布有關(guān)與剛體質(zhì)量分布有關(guān).圖圖1圖圖221JJ 常用的轉(zhuǎn)動慣量常用的轉(zhuǎn)動慣量 （P110 表）表）222mdJJCO四四 平行軸定理平行軸定理 質(zhì)量為質(zhì)量為 的剛體的剛體，如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動如果對其質(zhì)心軸的轉(zhuǎn)動慣量為慣量為 ，則對任一與則對任一與該軸平行該軸平行，相距為相距為

9、 的的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量CJmddCOmcJJ 23質(zhì)量為質(zhì)量為m，長為，長為L的細(xì)棒繞其一端的的細(xì)棒繞其一端的JP2221mRmRJP圓盤對圓盤對P 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量RmO2231)2(mLLmJJc2mdJJc2121mLJcO1d=L/2O1O2O2242222112121RmRmJ如如: 兩個圓盤對兩個圓盤對 軸的轉(zhuǎn)動慣量軸的轉(zhuǎn)動慣量2R2mO21R1mO1 同軸的轉(zhuǎn)動慣量可以疊加同軸的轉(zhuǎn)動慣量可以疊加25 飛輪的質(zhì)量為什么飛輪的質(zhì)量為什么大都分布于外輪緣？大都分布于外輪緣？2mRJ 圓環(huán)：22mRJ 圓盤：JM 定軸轉(zhuǎn)動定理定軸轉(zhuǎn)動定理JM /更穩(wěn)定更穩(wěn)定26竿子長

10、些還是短些較安全？竿子長些還是短些較安全？JM 定軸轉(zhuǎn)動定理定軸轉(zhuǎn)動定理JM細(xì)棒繞其一端細(xì)棒繞其一端231mLJ mgdM sin2Ld mgd3/) 2/(sin2mLLmgLg2sin3oNF27( (2) ) 為瞬時關(guān)系為瞬時關(guān)系 ( (3) ) 轉(zhuǎn)動中轉(zhuǎn)動中 與平動中與平動中 地位相同地位相同maF JM ( (1) ) , 與與 方向相同方向相同 JM M說明說明 轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用JM 28例例: : 一定滑輪的質(zhì)量為一定滑輪的質(zhì)量為 ，半徑為，半徑為 ，一輕繩，一輕繩兩邊分別系兩邊分別系 和和 兩物體掛于滑輪上，繩不伸兩物體掛于滑輪上，繩不伸長，繩與滑輪間無相對滑動。不計(jì)軸

11、的摩擦，初角長，繩與滑輪間無相對滑動。不計(jì)軸的摩擦，初角速度為零，求滑輪轉(zhuǎn)動角速度隨時間變化的規(guī)律。速度為零，求滑輪轉(zhuǎn)動角速度隨時間變化的規(guī)律。m1m2mr2m1mrm已知已知0,021rmmm求：求： ?t思路：思路：先求角加速度先求角加速度受力平動受力平動 +受力矩轉(zhuǎn)動受力矩轉(zhuǎn)動 amFJMz滑輪質(zhì)滑輪質(zhì)量不能量不能忽略忽略291T1agm12a2Tgm2以向下為正以向下為正) 1 (11111amTgmm： 以向上為正以向上為正)2(22222amgmTm：2m1mrm解：解：取地面參考系取地面參考系 （受力分析）（受力分析）amF平動平動r+1T2TNmg JMz定軸轉(zhuǎn)動定軸轉(zhuǎn)動) 3

12、(21221mrJrTrT思考：思考：?2121TTaa 滑輪質(zhì)量滑輪質(zhì)量不能忽略不能忽略不可伸長不可伸長平動平動30四個未知數(shù)：四個未知數(shù)：,21TTa繩與滑輪間無相對滑動：繩與滑輪間無相對滑動：)4(raatrmmmgtmmt2121210) 3(21221mrJrTrT2m1mrm三個方程三個方程 ？) 1 (111amTgm) 2 (222amgmT解得：解得：rmmmgmm212121常數(shù)常數(shù)taarap31 例例2 質(zhì)量為質(zhì)量為mA的物體的物體A 靜止靜止在光滑水平面在光滑水平面上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩跨過一半徑上，和一質(zhì)量不計(jì)的繩索相連接，繩跨過一半徑為為R、質(zhì)量為、質(zhì)量

13、為mC的圓柱形滑輪的圓柱形滑輪C，并系在另一質(zhì)量，并系在另一質(zhì)量為為mB 的物體的物體B上，上，B 豎直懸掛豎直懸掛滑輪與繩索間無滑輪與繩索間無滑動滑動， 且且滑輪與軸承間的摩擦可滑輪與軸承間的摩擦可略去不計(jì)略去不計(jì) ( (1) )兩物體兩物體線加速度線加速度為多為多少？少？ 水平和豎直兩段繩的水平和豎直兩段繩的張力張力各為多少？各為多少？ ( (2) ) B 從從靜止落下靜止落下距離距離 y 時，其時，其速率速率是多少是多少？ABAmBmCmamFAAJMamFBBCtaaaa32解解 ( (1) ) 隔離物體隔離物體,受力受力分析，運(yùn)動分析，取坐標(biāo)，分析，運(yùn)動分析，取坐標(biāo)，建立方程建立方程

14、ABCAmBmCmAPOxT1FNFAmyOT2FBPBmT2FT1FCPCFaa向向里里為為正正順時針為正順時針為正33amFAT1amFgmBT2BJRFRFT1T2RaatyOT2FBPBmT2FT1FCPCFAPOxT1FNFAmaa221mRJ 342CBABmmmgma2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmF解解得得T2T1FF時：0CmABCAmBmCm35BABAT2T1mmgmmFF如令如令 ，可得，可得0Cm2CBABAT1mmmgmmF2)2(CBABCAT2mmmgmmmFABCAmBmCm輕繩和輕滑輪輕繩和輕滑輪: 繩中的張力處處相等繩中

15、的張力處處相等.36 （2） B 從從靜止落下靜止落下距離距離 y 時，其時，其速率速率是是多少？多少？2/22CBABmmmgymayv2CBABmmmgma初速度為零初速度為零ABCAmBmCma常數(shù)常數(shù)勻加速直線運(yùn)動勻加速直線運(yùn)動37穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細(xì)穩(wěn)定平衡狀態(tài)，當(dāng)其受到微小擾動時，細(xì)桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈桿將在重力作用下由靜止開始繞鉸鏈 O 轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成動試計(jì)算細(xì)桿轉(zhuǎn)動到與豎直線成 角時角時的的角加速度角加速度和和角速度角速度例例3一長為一長為 l 、質(zhì)量質(zhì)量為為 m 勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，勻質(zhì)細(xì)桿豎直放置，其下端與一固定鉸鏈其下端與一固定

16、鉸鏈O相相接，并可繞其轉(zhuǎn)動接，并可繞其轉(zhuǎn)動由于由于此豎直放置的細(xì)桿處于非此豎直放置的細(xì)桿處于非m,lOmgJM 38J式中式中231mlJ 得得sin23lgNFm,lOmg解：解： 受力分析，力矩（受力分析，力矩（O）分析）分析重力對重力對O點(diǎn)的力矩點(diǎn)的力矩sin2LdmgdM dJmglsin21有：有：39tdd由角加速度的定義由角加速度的定義lgdsin23d代入初始條件積分得代入初始條件積分得)cos1 (3lgddNFm,lOmgsin23lgtddddlgdsin23d0040 一力矩一力矩 小結(jié)小結(jié): : 力臂力臂dFrM方向方向: 服從右手螺旋法則服從右手螺旋法則FdFrMsin大小大小:1、定義：、定義： JM 2、剛體的定剛體的定 軸軸 轉(zhuǎn)動定律轉(zhuǎn)動定律RmOZ41 二轉(zhuǎn)動慣量二轉(zhuǎn)動慣量 2iirmJ 離散質(zhì)點(diǎn)系離散質(zhì)點(diǎn)系mrJd2 連續(xù)質(zhì)點(diǎn)系連續(xù)質(zhì)點(diǎn)系* r: 質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離質(zhì)點(diǎn)到轉(zhuǎn)軸的垂直距離2mdJJc 平行軸定理平行軸定理42221mRJ 圓盤圓盤(圓柱圓柱):RmO231mLJ端2121mLJcO1d=L/2O1O2O2mrJm2質(zhì)點(diǎn)： 常用的轉(zhuǎn)動慣量公式常用的轉(zhuǎn)動慣量公式桿：桿：