工程光學(xué)郁道銀版習(xí)題解答一題不落第十二章光及衍射

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1、工程光郁道銀學(xué)習(xí)題解答 第十二章光的衍射 1.波長為500nm的平行光垂直照射在寬度為0.025mm的單縫上，以焦距為50cm的會聚透鏡將衍射光聚焦于焦面上進行觀察，求(1)衍射圖樣中央亮紋的半寬度；(2) 第一亮紋和第二亮紋到中央亮紋的距離；(3)第一亮紋和第二亮紋的強度。 解：(1)零強度點有asinn(n1,2,3) ?.中央亮紋的角半寬度為 ，亮紋半寬度r0f 50 10 2___9 50010 3 0.02510 0.01m (2)第一亮紋，有  —asin14.493 4.493 1 a 4

2、.493500 109 3.140.02510 0.0286rad 「1 2 f1501020.02860.0143m14.3mm 同理r224.6mm 2 (3)衍射光強II0sJ,其中一asin 當(dāng)asinn時為暗紋，tg為亮紋 001 14.4930.04718 27.7250.01694 2.平行光斜入射到單縫上，證明：(1)單縫夫瑯和費衍射強度公式為 2asin[——(sinsini)] II0式中，I0是中央亮紋中心強度；a是縫寬；是 —a(sinsini) 衍射角，i是入射角(見圖12-50) (2)中央亮

3、紋的角半寬度為 acosi  證明: 即可 ，對于中央亮斑 sinsini 3 .在不透明細絲的夫瑯和費衍射圖樣中，測得暗條紋的間距為1.5mm,所用透鏡的焦距 為30mm,光波波長為632.8nm。問細絲直徑是多少？ 解：設(shè)直徑為a,則有一fd a f632.81090.03 a30.0126mm d1.5103 4 .利用第三節(jié)的結(jié)果導(dǎo)出外徑和內(nèi)徑分別為a和b的圓環(huán)（見圖12-51）的夫瑯和費衍射強 a 度公式，并求出當(dāng)ba時，（1）圓環(huán)衍射與半徑為a的圓孔衍射圖樣的中心強度之比；（2） 2 解: 圓環(huán)衍射圖樣第一個暗環(huán)的角半徑。 同樣，解區(qū)嶗P點

4、振那［、圖 22Jkb Ebpb2c'—4 kb 因此圓環(huán)在P點產(chǎn)生的振幅為 工程光郁道銀學(xué)習(xí)題解答 E Ea Eb 2 2 .. a J1 ka c' ka 2 b J1 kb kb P點強度為 I E2 2c'2 2 .. a J1 ka ka b2J1 I kb 2 kb 對于衍射場中心, b2 4 2 ,2 a c'— b4 2.2 a b c a2 b2 2 (1) 9 —ca 16 (2) Ia 0 16 第一暗紋有 2 .. a J1 ka ka b2J1 I kb kb 1 a aJ

5、i ka -aJ〔 k- 2 2 查表可有ka 3.144 ka 3.144 3.144 ——0.51 — 2 a a 4. (1) 一束直徑為2mm的氨速激光( 632.8nm )自地面射向月球，已知地面和月 球相距3.76 103km，問在月球上得到的光斑有多大？( 2)如果用望遠鏡用作為擴 束器將該擴展成直徑為 4m的光束, 月球，在月球上的光斑為多大？ 該用多大倍數(shù)的望遠鏡？將擴束后的光束再射向 解：(1)圓孔衍射角半寬度為 0.61 ，傳到月球上時光斑直徑為 0.61 D 2 l 2 —— a 0.61 632.8 10 9 1 10 3

6、3.76 108 290.3km (2)若用望遠鏡擴束，則放大倍數(shù)為 2000倍。直徑 D' 2 'l 2 06^ l 2 0.61 632.8 10 9 - 3.76 108 145.2m 2 工程光郁道銀學(xué)習(xí)題解答 5. 若望遠鏡能分辨角距離為3107rad的兩顆星，它的物鏡的最小直徑是多少？同時為 了充分利用望遠鏡的分辨率，望遠鏡應(yīng)有多大的放大率? 一一一一一一9一 2.24m 0.610.61550102 解：D= 310 人眼分辨率為1' 一 一 4 2.9 10 rad 10 4 3 10 7 = 900 6.若要使照相

7、機感光膠片能分辨 2 m的線距，（1）感光膠片的分辨率至少是每毫米當(dāng) 時線；（2）照相機鏡頭的相對孔徑 D/f至少有多大？（光波波長為 550nm） 解：（1）膠片分辨率為 （2） D 1.22 d 7. 一臺顯微鏡的數(shù)值孔徑為 1 ，八一? N 3 500線/毫米 2 10 3 N = N^— 0.34 1490 0.85,問(1)它用于波長 400nm時的最小分辨距離是 多少？（2）若利用油浸物鏡使數(shù)值孔徑增大到1.45,分辨率提高了多少倍？（3）顯 微鏡的放大率應(yīng)設(shè)計成多大？（設(shè)人眼的最小分辨率為1）。 9 0.610.6140010

8、6 解：(1)0.2910m nsinu0.85 145 (2)提高'竺1.7 0.85 (3)人眼在明視距離處能夠分辨的長度為 e250mm2502.91047.25102mm ，放大率至少為 2 425 7.25102mm 3 0.2910mm1.7 8 .在雙縫夫瑯和費衍射實驗中，所用光波波長632.8nm,透鏡焦距f50cm,觀 察到兩相鄰亮條紋之間的距離e1.5mm,并且第四級亮紋缺級。試求（1）雙縫的縫 距和縫寬；（2）第1,2,3級亮紋的相對強度。 解：（1）雙縫衍射亮紋條件為dsinm,m0,1,2 取微分有dcos 令 m 1 ,且co

9、s 1 ,則 三一 d 632.8 10 9 0.5 3 1.5 10 3 0.21 10 m (2)衍射極小位置為 asin n —一,n 1, 2 m 0, 1, 2 n m 取 n 1,m 4 d 0.05mm 4 （3）對于第一級亮紋有 rr 2 即 ——d sin d sin asin -asin ???第一級亮紋的相對強度 ” 10 sin 2 0 . 2 2 sin 一 -2_ 2 sin —4 0.81 sin 一 2 同理以0.4,0.09 9 .在雙縫的一個縫前貼一塊厚0.001mm,折射率為1.5的玻璃片

10、。設(shè)雙縫間距為1.5m, 縫寬為0.5m,用波長500nm的平行光垂直入射。試分析該雙縫的夫瑯和費衍射圖 樣。 解：衍射圖樣不變，干涉位置變?yōu)閐sinnn0dm 10 .一塊光柵的寬度為10cm,每毫米內(nèi)有500條縫，光柵后面放置的透鏡焦距為 500nmo問（1）它產(chǎn)生的波長632.8nm的單色光的1級和2級譜線的半寬度是 多少？（2）若入射光是波長為632.8nm和波長之相差0.5nm的兩種單色光，它們 的1級和2級譜線之間的距離是多少？ 2 10 對于一級主極大有 d sin 1 18.43 11 ——— Nd cos 3.34 10 3 mm 同理r2

11、 4.08 3 10 mm 5,、1mm1mm 解：(1)d———— N500 (2) rdsinm ，線色散— dcos ??.1,2級衍射線色散為 500mm 0.26mm/nm 0.002mmcos18.43 0.64mm/nm 0.5nm ???譜線間距 11 0.26mm/nm 0.5 0.13mm 120.32mm 11. 設(shè)計一塊光柵，要求（1）使波長 600nm的第2級譜線的衍射角 30°, (2) 色散盡可能大，（3）第3級譜線缺級，（4）在波長 600nm的2級譜線處能分辨 0.02nm的

12、波長差。在選定光柵的參數(shù)后, 的幾條譜線？ 解：為使 600nm的二級譜線的衍射角 問在透鏡的焦面上只可能看到波長 600nm 30 ,則光柵常數(shù)d應(yīng)滿足 m d sin 2 600 10 9 sin 30 2.4 10 ?.?色散- d d cos d越小色散越大 d 2.4 6 10 m 3 右第二級缺級，應(yīng)有a—0.810md 由條件(4)N60015000 m0.022 ，光柵總長度LNd36mm 可看到最高級條紋為 m dsin d2.4106, -94 60010 ???可看到0,1,2級，3級缺級，共5條條紋。

13、12.為在一塊每毫米1200條刻線的光柵的1級光譜中分辨波長為632.8nm的一束氫就 激光的模結(jié)構(gòu)（兩個模之間的頻率差為450MHz）,光柵需要有多寬？ 解：632.8nm對應(yīng)的頻率為4.7411014Hz 450 106 14 4.741 10 632.8 一 ― 4 6 10 nm 13. .??光柵總條紋數(shù)為 N m ，長度為 L Nd 1.005 106 632.8 6 10 4 1.005 106 879mm 1200 證明光束斜入射時，（1）光柵衍射強度分布公式為 I I0 2 2 sin N , 王' sin

14、 .a..d 中——sinsini,——sinsini為衍射角；i為入射角，見圖 ,光柵形成主級大的條件可以寫為 d cosi 12-53 , N為光柵縫數(shù)。（2）若光柵常數(shù) d 圖12-53 習(xí)題18圖 2 2 證明：（1）與垂直入射相匕 看 — —d sin sin i d……. —sinsini a..一 同理——sinsini （2）光柵形成主極大有dsinsini 工程光郁道銀學(xué)習(xí)題解答 2 2dcos—— 2 ii -sin——m ,i0 icos 2 icosi,sin 2 ..有dcosi 12-

15、54所示，縫數(shù)為2N,縫寬為a,縫間不透明部分的寬度 依次為a和3a。試求正入射情況下，這一衍射屏的夫瑯和費衍射強度分布公式。 6asin 19圖 ，多光束產(chǎn)生干涉有 14.有一多縫衍射屏如圖 圖12-54習(xí)題 sin i2e i3e sin 設(shè)復(fù)數(shù)M sin 1ei 2 4cos ei1 1ei si吟 iNe ei exp 1-1ei 2 expiN

16、 工程光郁道銀學(xué)習(xí)題解答 ，透射光強I4I0 sin .Nsin-2 41 cos— 2 12 bsin 22 sinsin6N I4I0cos2 6 15. 一塊閃耀光柵寬260mm,每毫米有300個刻槽，閃耀角為77012。（1）求光束垂 直于槽面入射時，對于波長500nm的光的分辨本領(lǐng)；（2）光柵的自由光譜范圍有多大？（3）試問空氣間隔為1cm,精細度為25的法布里-珀羅標(biāo)準(zhǔn)具的分辨本領(lǐng)和自由光譜范圍作一比較。 解：（1）光柵刻痕數(shù)為 N — 7.8 d

17、 104 閃耀級數(shù)為 2d sin m 1 2 ——mm sin77 12' 300 500 10 6mm =13 ，分辨本領(lǐng)為 mN 106 (2)自由光譜范圍為一50038.5nm m13 2h (3) F-P標(biāo)傕具的分辨為A0.97ms0.97——s=10 自由光譜范圍為 比光柵小得多 25002 70.0125nm 2h210 16. 一透射式階梯光柵由20塊折射率相同、厚度相等的玻璃平板平行呈階梯狀疊成， 厚板t1cm,玻璃折射率n1.5,階梯高度d0.1cm。以波長500nm的單色光垂直照射，試計算（1）入射光方向上干涉

18、主極大的級次；（2）光柵的角色散和分 辨本領(lǐng)（假定玻璃折射率不隨波長變化）。 解：（1）由于階梯高度d與相比極大，所以衍射角極小，此時相鄰兩階梯的光程 差為nlcosldsinn1ld n1l4 對應(yīng)0處，m0104 設(shè)n與相比變化很小，即,0 m2,, ——一10rad/nmd 分辨本領(lǐng)a—mN104202105 17. 設(shè)光柵的振幅透射系數(shù)為t(x)t0t1cos2f°xt1cos(2f°x—),這塊光柵 2 的夫瑯和費衍射場中將出現(xiàn)幾個衍射斑？各斑的中心強度與零級的比值是多少？ 18. 在寬度為b的狹縫上放一折射率為n、折射角為的小光楔，由平面單色波垂直照 射

19、(見圖12-55),求夫瑯和費衍射圖樣的光強分布以及中央零級極大和極小的方向。 19. 圖12-56為一透射型閃耀光柵，周期為d,閃耀角為，由平面波垂直入射(1) 求夫瑯和費衍射圖樣的光強分布。(2)求光柵對m1級光譜閃耀時應(yīng)滿足的條件。 (3)試分析對m1級閃耀時，光譜強度分布的特點。 圖 12-56 習(xí)題24圖 20. 如圖12-58所示，單色點光源（波長500nm）安放在離光闌1m遠的地方，光闌上有一個內(nèi)外半徑分別為0.5mm和1mm的通光圓環(huán)?？疾禳cP離光闌1m（SP連線通過圓環(huán)中心并垂直于圓環(huán)平面），問在P點的光強和沒有光闌時的光強之比是多 少？

20、P 圖12-58習(xí)題28圖 解：半徑為1mm的圓孔包含波帶數(shù)為 22 Rr01mm1000mm1000mm J一64 r0R1000mm1000mm50010mm 半徑為0.5mm的圓屏擋住的J'1 ???圓環(huán)通過波帶數(shù)為3,由于相鄰波帶相消，所以只有一個波帶的光在P點產(chǎn)生振 1~，—、一，『、，， 幅，無光闌時P點振幅為第一波帶產(chǎn)生振幅的一，所以放置光闌前后光強變化4 2 倍。 21.波長563.3nm的平行光正入射直徑D2.6mm的圓孔，與孔相距r01m處 放一屏幕。問（1）屏幕上正對圓孔中心的P點是亮點還是暗點？（2）要使P點變成 與（1）相反的情況，至

21、少要把屏幕向前（同時求出向后）移動多少距離？ 解：在P點包含的波帶數(shù)為 Rr021.310 -93R r0Rr01563.3109 ???中心為亮點 2 r0 一 J 32 1.3103 91.5m 2563.310 32 1.310 J4563.3109 0.75m (設(shè)縫寬為a,縫距為b,且 22.試寫出圖中雙狹縫衍射屏的復(fù)振幅透射系數(shù)的表達式b=4a)。 L后焦面內(nèi)沿x軸的復(fù)振幅 (2) .用單位振幅單色平面光波正入射照明時，試求在透鏡分布。 (3) .求在透鏡L后焦面內(nèi)沿x軸的光強度分布。 干涉主亮紋間距 其它 t(

22、) 0, 或 b 2 t( rect( (2)復(fù)振幅分布為：a 2) rect ( ? E(x) 1 . exp[ik(f i f 2 工)] 2f ? E( ikl )e d ~ E(x) 1 —exp[ik(f i f x2 27)] ~ E( )e ikl d 1 -exp[ik( f x2 27)] 2a . / a 、 sin(- x) a —x f b cos(- x) (3)光強度分布為: I(x)4I0 asin(-f 2 x) 2,cos( iklx1dx1

23、 ikl a2 e a2 iklx1d(iklx1) ^2 ikl x edx ikl ikla2iklaikla [e2e2] 1 [i2sin(ikl kla )] klasin()a2— kla ./la、sin(——) la asinc昌 .,a asinc"x) 23.簡要分析如圖 2所示夫瑯和費衍射裝置如有以下變動時，衍射圖樣會發(fā)生怎樣的變 化? 1) 2) 3) 增大透鏡 減小透鏡 L2的焦距; L2的口徑; 衍射屏作垂直于光軸的移動（不超出入射光束照明范圍） O 答：1）增大透鏡L2的焦距，將使接收屏上衍射圖樣的間隔增大。因有公式 此時 衍射角不變，條紋間隔e增大; 2）增大透鏡L2的口徑，不會改變衍射圖樣的分布，但進入系統(tǒng)的光束寬度增加, 可使光強增加； 3）衍射屏垂直于系統(tǒng)光軸方向移動時，衍射圖樣不會改變，因為衍射屏移動前后 光的入射角不變，縫寬不變，由衍射公式知其接收屏上的光強分布不變；