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1、2020年高考理科數(shù)學一輪復習題型歸納與變式演練《直線方程》
【題型一】：直線的傾斜角與斜率
型二】
:兩直線的位置關(guān)系
11
【題型三】：直線的方程
【題型四】：對稱問題
型五】
:綜合應(yīng)用
C.
【思路點撥】已知條件中直線XCO八
,3y 2=0中的角〉并不是這條直線的傾斜角
【題型一】：直線的傾斜角與斜率
【例1】.直線XC0S1 ?、、3y *2=0的傾斜角的范圍是
5■:
5■:
【答案】B
【解析】由直線xcoslr,3y ? 2 = 0 ,
所以直線的斜率為
2、k二
C0S-
cos：
設(shè)直線的傾斜角為
又因為&汽v，即一『…寸，
所以阮PA#")
【總結(jié)升華】本題要求正確理解直線傾斜角的概念以及傾斜角與斜率的關(guān)系
【變式訓練】
1
【變式】已知動直線y=kx - 2k - 1與直線I : y=，x - 2的交點在第一象限，求k的取
2
值范圍。
【答案】：由題意可知，動直線I過定點C(—2,1),
直線I與x軸，y軸分別交于點A (4,0), B(0,2),
由圖可知kAc ::: k ::: kBc時5動直線與直線I交點在第一象限，
,0-1 1 2—1 1
Kac ,
3、Kbc -
ac 4-(-2) 6 bc 0-(-2) 2
1 1
―k為所求.
6 2
【題型二】：兩直線的位置關(guān)系
[例 2] ?四邊形 ABCD 的頂點為 A(2,2 2 2)，B(-2,2)，C(0,2-2 遼)，D(4,2)，試判
斷四邊形ABCD的形狀.
【思路點撥】證明一個四邊形為矩形，我們往往先證明這個四邊形為平行四邊形，然后再證 明平行四邊形的一個角為直角?
【解析】AB邊所在直線的斜率kAB
CD邊所在直線的斜率CD二孑，
BC邊所在直線的斜率kBc =7?,
DA邊所在直線的斜率kD八--.2 .
T kAB二心。，kBc=kDA，二 AB /
4、/ CD , BC // DA，即四邊形 ABCD 為平行四邊形.
又 kABLkBc - (-.2)=-1，二 AB_BC，即四邊形 ABCD 為矩形. 2
【總結(jié)升華】證明不重和的的兩直線平行，只需要他們的斜率相等，證明垂直，只需要 他們斜率的乘積為?1?
【變式訓練】
【變式1】直線h:ax+(1-a)y=3與直線12： (a-1)x+(2a+3)y=2互相垂直，求a的值。
【答案】方法一：當a=1時，h:x=3, 12： y=2,.，*JL12 5
當a =?3時，卜y x ? 6/2 :
A二顯然兩直線不垂直
5 5
當 aAl 且 a—3 時，li
5、：
2
2a+3
y =-x 12： y 2
a—1 a—1 2a+ 3
ki = —a, k 2 ，由 ki k2=-1 得 a 1 ，解得 a=-3
2a+3 2a+3
? ??當 a=1 或 a=-3 時，li _L I2。
方法二:???a(a-1)+(1-a)(2a+3)=0 解得 a=1 或 a=-3
? ??當 a=1 或 a=-3 時 h iho
【題型三】：直線的方程
【例3】.過點P(2, 1)作直線I與x軸、y軸正半軸交于A、B兩點，求△ AOB面積的最 小值及此時直線I的方程?
【思路點撥】因直線I已經(jīng)過定點P(2, 1)，只缺斜率，可先設(shè)出直
6、線I的點斜式方程，且易 知kvO,再用k表示A、B點坐標，結(jié)合函數(shù)及不等式知識求解.
【解析】解法一：設(shè)直線I的方程為：y-1=k(x.2)，
令 y=o，得:x= 2k—1 ；
k
令 x=0 , 得 y=1-2k，
V I與X軸、y軸的交點均在正半軸上,
坐二〉。且 1 -2K>0 K
故 k
7、法二：設(shè)直線方程為x =1 , a b
…A(a, 0), B(0, b),且 a>0, b>0,
，舄得ab.8,當且僅當
2 1 2 1
? ??點P(2, 1)在直線I上，故一=1 ,由均值不等式：仁一 a b a b
3 即，=4, b=2時取等號，且$=恒4,此時1方程為vr〔,即沖一同
解法三：如圖，過P(2, 1)作x軸與y軸的垂線PM、PN, 垂足分別為M、N，設(shè)二=Z PAM= / BPN，貝AOB面積 S=S 矩形 ompn+Sapam+Sabpn
c J1 coA 2 ta n& 2
1
=2 — 1 cot 二 2ta n 二 _ 2 2
1 1
8、=4,當且僅當一cot71 - 2ta n =，即 tan 71 -1 時，Saaob 2 2
有最小值4,故此時直線I的方程為y-1-1 (x-2)，即:x+2y-4=0. 2
【總結(jié)升華】解法一與解法二選取了直線方程的不同形式，解法三考慮到圖形的直觀性， 利用了形數(shù)結(jié)合的思想，體現(xiàn)了解題的靈活性” ?已知直線過一點時，常設(shè)其點斜式方程，但 需注意斜率不存在的直線不能用點斜式表示，從而使用點斜式或斜截式方程時，要考慮斜率
不存在的情況，以免丟解?而直線在坐標軸上的截距，可正、可負，也可以為零，不能與距 離
混為一談，注意如何由直線方程求其在坐標軸上的截距 ?
【變式訓練】
【變式
9、1】求通過點（1,-2）,且與兩坐標軸圍成的圖形是等腰直角三角形的直線；
【答案】由題設(shè)，設(shè)所求直線方程為x?y=1，由已知條件得：a-b.1
a b
|a|=|b|
a = -1 a = 3
解之得： 或 ，
[b = -1 \b = -3
故所求直線方程為：x+y+1=0或x-y-3=0.
【變式2]直線I過點P （-1,4），且在兩軸上的截距之和為零，求I的方程。
【答案】（1）若直線?過原點，設(shè)直線? ： y=kx,
因為直線I過點P（-1,4），代人上式得住，解得k=4
所以直線I的方程為；y=_4x.
（2）若直線I在兩軸上截距不為零，設(shè)I的方程為：- =1
10、
a —a
將P （-1,4）代入上式得：一一=1，解得a =-5，
a -a
y_1，即 x_y5Z10,
-5 5
由（1 ）、（ 2）知：直線I的方程為y = -4x或x-y ? 5 = 0.
【題型四】：對稱問題
【例4】?求直線a:2x ? y-4 =0關(guān)于直線上3x 4y -A0對稱的直線b的方程。
【思路點撥】1 ,曲線的對稱通常轉(zhuǎn)化為點的中心對稱或軸對稱 （這里既可選特殊點，也可
選任意點實施轉(zhuǎn)化)。
2?由平面幾何知識可知，若a與b關(guān)于I對稱，則應(yīng)具有下列幾何性質(zhì)：
(1)若點A在直線a上，則A點關(guān)于I的對稱點B 一定在直線b上，即I為線段AB的垂
11、直平分線(AB _ I，AB的中點在I上)；
(2)設(shè)P(x,y)是所求直線b上一點，貝U P關(guān)于I的對稱點P (x ,y )的坐標適合直線a的方 程；
(3)若a與b相交，則I過a與b交點，只需求出交點和一個對稱點，利用兩點式就可以求出 答案；若a//l，則b//l//a，三條直線的斜率相等，只需再求出一個對稱點，利用點斜式可以求出答 案。
【解析】方法一：在直線a:2x T-4=0上取一點A (2.0)，設(shè)A點于I的對稱點B(Xo,y。)，
X。2 4 y。0
|3 ——十 2
則《2 解得B(R)
jy0 -0 =4 5 5
J Xo - 2- 3
gx川二y.d =。
12、由丫，解得交點D (3,-2)。
3x 4y -1 =0
由兩點式可求得直線b的方程：2x, 11yT6=0。
方法二：設(shè)P(x,y)是所求直線b上任一點；設(shè)P關(guān)于I的對稱點P (x ,y)，
0 X、7 A 4A
則有： ，解得 9R
y y1 4 —2a4(x-7y 8
x—x 3 25
V P (x ,y )在直線 a:2x y - 4 =0 上，
…2抉乎，整理得2x11y16=0，故所求直線b的方程：2x11y?16 =0。 25 25
【總結(jié)升華】1 .對稱問題是高考的熱點之一，一般包括點關(guān)于點對稱，直線關(guān)于點對稱，點
關(guān)于直線對稱，直線關(guān)于直線對稱，要掌握通
13、解通法和記憶一些常用結(jié)論。
2.求一條直線關(guān)于已知直線的對稱直線，基本方法之一在直線上任取兩點求其對稱點，方法之 二是利用相關(guān)點一一伴隨曲線方法解決，其中方法2還可以推廣，如改變直線a為二次曲線C， 仍可用此方法解決。
【變式訓練】
【變式】由點P(2, 3)發(fā)出的光線射到直線x?y—1上，反射后過點Q( 1，1)，則反射光線 所在直線的一般方程為.
【答案】：4x-5y仁。
【解析】：設(shè)點P關(guān)于直線x-y--1的對稱點P(xo, y。)，則P (xo, y。)滿足條件
X/也3
22
心二1， xo.2
解得P(-4, 3)…由直線方程的兩點式可求得反射光線所在直線方程為
14、
_3.1 ，
y-1 = (x-1)，即 4x-5y 1=o .
-4—1
【題型五】：綜合應(yīng)用
12 16
〔例5】,已知點A(1，1)，B (2, 2)，C (4, o)，D， ，點P在線段CD垂直
5 5
平分線上，求：
(1)線段CD垂直平分線方程；
(2) IPAf+IPBf取得最小值時P點的坐標.
12 16
【解析】⑴由C (4，o)，D (一，—)
得線段CD的中點M( i6, 8), —-0
5 5 -5__
12 .4
5
1
? ? ?線段CD的垂直平分線的斜率為二
? ? ?線段CD垂直平分線方程為：，即x?2y=0;
5 2 5
15、
(2)設(shè) P(2t, t),
則)|PAf+|PBf=(2t. 1) 2+ (t- 1) 2+ (2t-2) 2+ (t- 2) 2=10t2- 18t+10.
當t=-時，|PAf+|PBf取得最小值，即P ( 9 ,.)
10 5 10
【變式訓練】
【變式】已知三角形的頂點是A (- 5, 0)、B(3,? 3)、C(0, 2),
(1)求直線AB的方程；
(2)求A ABC的面積；
(3)若過點C直線I與線段AB相交，求直線I的斜率k的范圍.
【解析】(1)依題意，作圖如下：
由兩點式得直線AB方程為 上紅耳 整理得：3x+8y+15=0,
-3-0 3—(—5)
(2)v 直線 AB 方程為 3x+8y+15=0,
2
??? de-AB= 31 又 |AB|= .. 73 , V73
1 i _ 3i 3
—Saabc= |AB|?dcab= X 73 X
2 2 v73 2
2
(3) . kAe= , kBe=一
5
要使過點e直線I與線段AB相交，則k〉2或kv- 5 . 5 3
1
2020年高考理科數(shù)學一輪復習題型歸納與變式演練《直線方程》
