精修版貴州省貴陽(yáng)市九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座 22第二十二講 圓冪定理

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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 【例題求解】 【例1】 如圖，PT切⊙O于點(diǎn)T，PA交⊙O于A、B兩點(diǎn)，且與直徑CT交于點(diǎn)D，CD=2，AD=3，BD=6，則PB= ． (成都市中考題) 思路點(diǎn)撥 綜合運(yùn)用圓冪定理、勾股定理求PB長(zhǎng)． 注：比例線段是幾何之中一個(gè)重要問(wèn)題，比例線段的學(xué)習(xí)是一個(gè)由一般到特殊、不斷深化的過(guò)程，大致經(jīng)歷了四個(gè)階段： (1)平行線分線段對(duì)應(yīng)成比例；

2、 (2)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例； (3)直角三角形中的比例線段可以用積的形式簡(jiǎn)捷地表示出來(lái)； (4)圓中的比例線段通過(guò)圓冪定理明快地反映出來(lái)． 【例2】 如圖，在平行四邊形ABCD中，過(guò)A、B、C三點(diǎn)的圓交AD于點(diǎn)E，且與CD相切，若AB=4，BE=5，則DE的長(zhǎng)為( ) A．3 B．4 C． D． (全國(guó)初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題) 思路點(diǎn)撥 連AC，CE，由條件可得許多等線段，為切割線定理的運(yùn)用創(chuàng)設(shè)條件． 注：圓中線段的算，常常需

3、要綜合相似三角形、直角三角形、圓冪定理等知識(shí)，通過(guò)代數(shù)化獲解，加強(qiáng)對(duì)圖形的分解，注重信息的重組與整合是解圓中線段計(jì)算問(wèn)題的關(guān)鍵． 【例3】 如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AB是∠O的直徑，PA是過(guò)A點(diǎn)的直線，∠PAC=∠B． (1)求證：PA是⊙O的切線； (2)如果弦CD交AB于E，CD的延長(zhǎng)線交PA于F，AC=8，CE：ED=6：5，，AE：BE=2：3，求AB的長(zhǎng)和∠ECB的正切值． (北京市海淀區(qū)中考題) 思路點(diǎn)撥 直徑、切線對(duì)應(yīng)著與圓相關(guān)的豐富知識(shí)．(1

4、)問(wèn)的證明為切割線定理的運(yùn)用創(chuàng)造了條件；引入?yún)?shù)x、k處理(2)問(wèn)中的比例式，把相應(yīng)線段用是的代數(shù)式表示，并尋找x與k的關(guān)系，建立x或k的方程． 【例4】 如圖，P是平行四邊形AB的邊AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，DP與AC、BC分別交于點(diǎn)E、E，EG是過(guò)B、F、P三點(diǎn)圓的切線，G為切點(diǎn)，求證：EG=DE (四川省競(jìng)賽題) 思路點(diǎn)撥 由切割線定理得EG2=EFEP，要證明EG=DE，只需證明DE2=EFEP，這樣通過(guò)圓冪定理把線段相等問(wèn)題的證明轉(zhuǎn)化為線段等積式的證

5、明． 注：圓中的許多問(wèn)題，若圖形中有適用圓冪定理的條件，則能化解問(wèn)題的難度，而圓中線段等積式是轉(zhuǎn)化問(wèn)題的橋梁． 需要注意的是，圓冪定理的運(yùn)用不僅局限于計(jì)算及比例線段的證明，可拓展到平面幾何各種類型的問(wèn)題中． 【例5】 如圖，以正方形ABCD的AB邊為直徑，在正方形內(nèi)部作半圓，圓心為O，DF切半圓于點(diǎn)E，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，BF＝4． 求：(1)cos∠F的值；(2)BE的長(zhǎng)． (成都市中考題) 思路點(diǎn)撥 解決本例的基礎(chǔ)是：熟悉圓中

6、常用輔助線的添法(連OE，AE)；熟悉圓中重要性質(zhì)定理及角與線段的轉(zhuǎn)化方法．對(duì)于(1)，先求出EF，F(xiàn)O值；對(duì)于(2)，從△BE F∽△EAF，Rt△AEB入手． 注：當(dāng)直線形與圓結(jié)合時(shí)就產(chǎn)生錯(cuò)綜復(fù)雜的圖形，善于分析圖形是解與圓相關(guān)綜合題的關(guān)鍵，分析圖形可從以下方面入手： (1)多視點(diǎn)觀察圖形．如本例從D點(diǎn)看可用切線長(zhǎng)定理，從F點(diǎn)看可用切割線定理． (2)多元素分析圖形．圖中有沒(méi)有特殊點(diǎn)、特殊線、特殊三角形、特殊四邊形、全等三角形、相似三角形． (3)將以上分析組合，尋找聯(lián)系． 學(xué)力訓(xùn)練 1．如圖，PT是⊙O的切線，T為切

7、點(diǎn)，PB是⊙O的割線，交⊙O于A、B兩點(diǎn)，交弦CD于點(diǎn)M，已知CM=10，MD=2，PA=MB=4，則PT的長(zhǎng)為 ． (紹興市中考題) 2．如圖，PAB、PCD為⊙O的兩條割線，若PA=5，AB=7，CD=11，則AC：BD= ． 3．如圖，AB是⊙O的直徑，C是AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，CD是⊙O的切線，D為切點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作⊙O的切線交CD于點(diǎn)F，若AB=CD=2，則CE= ．

8、 (天津市中考題) 4．如圖，在△ABC中，∠C=90，AB=10，AC=6，以AC為直徑作圓與斜邊交于點(diǎn)P，則BP的長(zhǎng)為( ) A．6．4 B．3．2 C ．3．6 D．8 (蘇州市中考題) 5．如圖，⊙O的弦AB平分半徑OC，交OC于P點(diǎn)，已知PA、PB的長(zhǎng)分別為方程的兩根，則此圓的直徑為( ) A． B． C． D． (

9、昆明市中考題) ⌒ ⌒ ⌒ 6．如圖，⊙O的直徑Ab垂直于弦CD，垂足為H，點(diǎn)P是AC上一點(diǎn)(點(diǎn)P不與A、C兩點(diǎn)重合)，連結(jié)PC、PD、PA、AD，點(diǎn)E在AP的延長(zhǎng)線上，PD與AB交于點(diǎn)F，給出下列四個(gè)結(jié)論：①CH2=AHBH；②AD＝AC：③AD2=DFDP；④∠EPC=∠APD，其中正確的個(gè)數(shù)是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 (福州市中考題) 7．如圖，BC是半圓的直徑，O為圓心，P是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA切半圓于點(diǎn)A，AD⊥BC于點(diǎn)D． (1)若∠B

10、=30，問(wèn)AB與AP是否相等?請(qǐng)說(shuō)明理由； (2)求證：PDPO=PCPB； (3)若BD：DC=4：l，且BC＝10，求PC的長(zhǎng)． (紹興市中考題) 8．如圖，已知PA切⊙O于點(diǎn)A，割線PBC交⊙O于點(diǎn)B、C，PD⊥AB于點(diǎn)D，PD、AO的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)E，連CE并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連AF． (1)求證：△PBD∽△PEC； (2)若AB=12，tan∠EAF=，求⊙O的半徑的長(zhǎng)．

11、 (北京市崇文區(qū)中考題) 9．如圖，已知AB是⊙O的直徑，PB切⊙O于點(diǎn)B，PA交⊙O于點(diǎn)C，PF分別交AB、BC于E、D，交⊙O于F、G，且BE、BD恰哈好是關(guān)于x的方程 (其中為實(shí)數(shù))的兩根． (1)求證：BE=BD；(2)若GEEF=，求∠A的度數(shù)． (山西省中考題) 10．如圖，△ABC中，∠C=90，O為AB上一點(diǎn)，以O(shè)為圓心，OB為半徑的圓與AB相交于點(diǎn)E，與AC相切于點(diǎn)D，已知AD=2，AE=1，那么BC= ．

12、 (山東省臨沂市中考題) 11．如圖，已知A、B、C、D在同一個(gè)圓上，BC=CD，AC與BD交于E，若AC=8，CD=4，且線段BE、ED為正整數(shù)，則BD= ． 12．如圖，P是半圓O的直徑BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，PA切半圓于點(diǎn)A，AH⊥BC于H，若PA=1，PB+PC=(>2)，則PH=( ) A． B． C． D． 13．如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接正三角形，弦EF經(jīng)過(guò)BC的中點(diǎn)D，且EF∥AB，若AB=2，則DE的長(zhǎng)為( ) A． B． C． D．1 14．如圖，已知AB為⊙O的直徑，C為⊙O上

13、一點(diǎn)，延長(zhǎng)BC至D，使CD=BC，CE⊥AD于E，B E交⊙O于F，AF交CE于P，求證：PE=PC． (太原市競(jìng)賽題) 15．已知：如圖，ABCD為正方形，以D點(diǎn)為圓心，AD為半徑的圓弧與以BC為直徑的⊙O相交于P、C兩點(diǎn)，連結(jié)AC、AP、CP，并延長(zhǎng)CP、AP分別交AB、BC、⊙O于E、H、F三點(diǎn)，連結(jié)OF． (1)求證：△AEP∽△CEA；(2)判斷線段AB與OF的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論； (3)求BH:HC

14、 (四川省中考題) 16．如圖，PA、PB是⊙O的兩條切線，PEC是一條割線，D是AB與PC的交點(diǎn)，若PE=2，CD=1，求DE的長(zhǎng)． (國(guó)家理科實(shí)驗(yàn)班招生試題) 17．如圖，⊙O的直徑的長(zhǎng)是關(guān)于x的二次方程(是整數(shù))的最大整數(shù)根，P是⊙O外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作⊙O 的切線PA和割線PBC，其中A為切點(diǎn)，點(diǎn)B、C是直線PBC與⊙O的交點(diǎn)，若PA、PB、PC的長(zhǎng)都是正整數(shù)，且PB的長(zhǎng)不是合數(shù)，求PA+PB+PC 的值． (全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽題) 參考答案 最新精品資料