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1、
“4道”保分題專練卷(二)
1．已知函數(shù)f(x)＝4sin ωxcos＋(ω＞0)的最小正周期為π.
(1)求f(x)的解析式；
(2)求f(x)在區(qū)間上的最大值和最小值及取得最值時(shí)x的值．
解：(1)f(x)＝4sin ωx＋
＝2sin ωxcos ωx－2sin2ωx＋
＝sin 2ωx＋cos 2ωx
＝2sin.
∵T＝＝π，∴ω＝1.
∴f(x)＝2sin.
(2)∵－≤x≤，∴－≤2x＋≤.
∴－≤sin≤1，即－1≤f(x)≤2，
當(dāng)2x＋＝－，即x＝－時(shí)，f(x)min＝－1；
當(dāng)2x＋＝，即x＝時(shí)，f(x)max＝2.
2．為加強(qiáng)
2、大學(xué)生實(shí)踐、創(chuàng)新能力和團(tuán)隊(duì)精神的培養(yǎng)，促進(jìn)高等教育教學(xué)改革，教育部門主辦了全國(guó)大學(xué)生智能汽車競(jìng)賽．該競(jìng)賽分為預(yù)賽和決賽兩個(gè)階段，參加決賽的隊(duì)伍按照抽簽方式?jīng)Q定出場(chǎng)順序．通過(guò)預(yù)賽，選拔出甲、乙等五支隊(duì)伍參加決賽．
(1)求決賽中甲、乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位的概率；
(2)若決賽中甲隊(duì)和乙隊(duì)之間間隔的隊(duì)伍數(shù)記為X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．
解：(1)設(shè)“甲、乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位”為事件A，
則P(A)＝＝＝.
所以甲、乙兩支隊(duì)伍恰好排在前兩位的概率為.
(2)由題意知隨機(jī)變量X的可能取值為0,1,2,3.
P(X＝0)＝＝＝，
P(X＝1)＝＝＝，
P(X＝2)＝＝＝，
P
3、(X＝3)＝＝＝.
所以隨機(jī)變量X的分布列為：
X
0
1
2
3
P
從而有E(X)＝0＋1＋2＋3＝1，
所以隨機(jī)變量X的數(shù)學(xué)期望為1.
3.如圖，在直三棱柱(側(cè)棱與底面垂直的三棱柱)ABCA1B1C1中，AC＝AA1＝2AB＝2，∠BAC＝90，點(diǎn)D是側(cè)棱CC1延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，EF是平面ABD與平面A1B1C1的交線．
(1)求證：EF⊥A1C；
(2)當(dāng)平面DAB與平面CA1B1所成銳二面角的余弦值為時(shí)，求DC1的長(zhǎng)．
解：(1)證明：∵三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，
∴平面ABC∥平面A1B1C1.
又平面ABC∩平面ABD＝AB，平
4、面A1B1C1∩平面ABD＝EF，
∴EF∥AB.
∵三棱柱ABCA1B1C1為直三棱柱，且∠BAC＝90，
∴AB⊥AA1，AB⊥AC.
而AA1∩AC＝A，∴AB⊥平面ACC1A1.
又A1C?平面ACC1A1，
∴AB⊥A1C.
∴EF⊥A1C.
(2)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)xyz.
設(shè)C1D＝t(t＞0)，
則B(1,0,0)，C(0,2,0)，D(0,2,2＋t)，A1(0,0,2)，B1(1,0,2)．
∴＝(1,0,0)，＝(0,2，－2)．
設(shè)平面CA1B1的一個(gè)法向量為n＝(x1，y1，z1)，
則得令z1＝1，則y1＝1，
∴n＝(0,1
5、,1)．
同理可求得平面DAB的一個(gè)法向量為m＝.
由|cos〈n，m〉|＝＝，
得t＝1或t＝－(舍去)．
∴DC1＝1.
4．已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－an－n－1＋2(n∈N*)，數(shù)列{bn}滿足bn＝2nan.
(1)求證數(shù)列{bn}是等差數(shù)列，并求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)設(shè)cn＝log2，數(shù)列的前n項(xiàng)和為Tn，求滿足Tn＜(n∈N*)的n的最大值．
解：(1)在Sn＝－an－n－1＋2中，令n＝1，可得S1＝－a1－1＋2＝a1，即a1＝.
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝－an－1－n－2＋2，
∴an＝Sn－Sn－1＝－an＋an－1＋n－1，
∴2an＝an－1＋n－1，即2nan＝2n－1an－1＋1.
∵bn＝2nan，
∴bn＝bn－1＋1，即當(dāng)n≥2時(shí)，bn－bn－1＝1.
又b1＝2a1＝1，
∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列．
于是bn＝1＋(n－1)1＝n＝2nan，∴an＝.
(2)∵cn＝log2＝log22n＝n，
∴＝＝－，
∴Tn＝＋＋＋…＋＋＝1＋－－.
由Tn＜，得1＋－－＜，
即＋＞.
設(shè)f(n)＝＋(n∈N*)，
則f(n)＝＋單調(diào)遞減，
∵f(4)＝，f(5)＝，
∴n的最大值為4.
浙江高考數(shù)學(xué) 理科二輪專題訓(xùn)練：“4道”保分題專練卷二含答案
