精修版貴州省貴陽(yáng)市九年級(jí)數(shù)學(xué)競(jìng)賽講座 18第十八講 圓的基本性質(zhì)

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1、精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理精修版資料整理 【例題求解】 【例1】在半徑為1的⊙O中，弦AB、AC的長(zhǎng)分別為和，則∠BAC度數(shù)為 ． 作出輔助線，解直角三角形，注意AB與AC有不同的位置關(guān)系． 注： 由圓的對(duì)稱性可引出許多重要定理，垂徑定理是其中比較重要的一個(gè)，它溝通了線段、角與圓弧的關(guān)系，應(yīng)用的一般方法是構(gòu)造直角三角形，常與勾股定理和解直角三角形知識(shí)結(jié) 合起來(lái)． 圓是一個(gè)對(duì)稱圖形，注意圓的對(duì)稱性

2、，可提高解與圓相關(guān)問題周密性． 【例2】 如圖，用3個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方形組成一個(gè)對(duì)稱圖形，則能將其完全覆蓋的圓的最小半徑為( ) A． B． C． D． 思路點(diǎn)撥 所作最小圓圓心應(yīng)在對(duì)稱軸上，且最小圓應(yīng)盡可能通過(guò)圓形的某些頂點(diǎn)，通過(guò)設(shè)未知數(shù)求解． ⌒ ⌒ 【例3】 如圖，已知點(diǎn)A、B、C、D順次在⊙O上，AB=BD，BM⊥AC于M，求證：AM=DC+CM．

3、 思路點(diǎn)撥 用截長(zhǎng)(截AM)或補(bǔ)短(延長(zhǎng)DC)證明，將問題轉(zhuǎn)化為線段相等的證明，證題的關(guān)鍵是促使不同量的相互轉(zhuǎn)換并突破它． ⌒ 【例4】 如圖甲，⊙O的直徑為AB，過(guò)半徑OA的中點(diǎn)G作弦C E⊥AB，在CB上取一點(diǎn)D，分別作直線CD、ED，交直線AB于點(diǎn)F，M． (1)求∠COA和∠FDM的度數(shù)； ⌒ (2)求證：△FDM∽△COM； (3)如圖乙，若將垂足G改取為半徑OB上任意一點(diǎn)，點(diǎn)D改取在EB上，仍作直線CD、ED，分別交直線AB于點(diǎn)F、M，試判斷：此時(shí)

4、是否有△FDM∽△COM? 證明你的結(jié)論． 思路點(diǎn)撥 (1)在Rt△COG中，利用OG=OA=OC；(2)證明∠COM=∠FDM，∠CMO= ∠FMD；(3)利用圖甲的啟示思考． 注：善于促成同圓或等圓中不同名稱的相互轉(zhuǎn)化是解決圓的問題的重要技巧，此處，要努力把圓與直線形相合起來(lái)，認(rèn)識(shí)到圓可為解與直線形問題提供新的解題思路，而在解與圓相關(guān)問題時(shí)常用到直線形的知識(shí)與方法(主要是指全等與相似)． 【例5】 已知：在△ABC中，AD為∠BAC

5、的平分線，以C為圓心，CD為半徑的半圓交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，交AD于點(diǎn)F，交AE于點(diǎn)M，且∠B=∠CAE，EF：FD＝4：3． (1)求證：AF＝DF； (2)求∠AED的余弦值； (3)如果BD＝10，求△ABC的面積． 思路點(diǎn)撥 (1)證明∠ADE＝∠DAE；(2)作AN⊥BE于N，cos∠AED＝，設(shè)FE=4x，F(xiàn)D＝3x，利用有關(guān)知識(shí)把相關(guān)線段用x的代數(shù)式表示；(3)尋找相似三角形，運(yùn)用比例線段求出x的值． 注：本例的解答，需運(yùn)用相似三角形、等腰三角形的判定、面積方法、代數(shù)化等知識(shí)方法思想，綜合運(yùn)用直線形相關(guān)知識(shí)方

6、法思想是解與圓相關(guān)問題的關(guān)鍵． 學(xué)歷訓(xùn)練 1．D是半徑為5cm的⊙O內(nèi)一點(diǎn)，且OD＝3cm，則過(guò)點(diǎn)D的所有弦中，最小弦AB= ． 2．閱讀下面材料： 對(duì)于平面圖形A，如果存在一個(gè)圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這個(gè)圓所覆蓋． 對(duì)于平面圖形A，如果存在兩個(gè)或兩個(gè)以上的圓，使圖形A上的任意一點(diǎn)到其中某個(gè)圓的圓心的距離都不大于這個(gè)圓的半徑，則稱圖形A被這些圓所覆蓋． 例如：圖甲中的三角形被一個(gè)圓所覆蓋，圖乙中的四邊形被兩個(gè)圓所覆蓋． 回答下列問題： (1)邊長(zhǎng)為lcm的正方形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋

7、，r的最小值是 cm； (2)邊長(zhǎng)為lcm的等邊三角形被一個(gè)半徑為r的圓所覆蓋，r的最小值是 cm； (3)長(zhǎng)為2cm，寬為lcm的矩形被兩個(gè)半徑都為r的圓所覆蓋，r的最小值是 cm． (2003年南京市中考題) 3．世界上因?yàn)橛辛藞A的圖案，萬(wàn)物才顯得富有生機(jī)，以下來(lái)自現(xiàn)實(shí)生活的圖形中都有圓：它們看上去多么美麗與和諧，這正是因?yàn)閳A具有軸對(duì)稱和中心對(duì)稱性． (1)請(qǐng)問以下三個(gè)圖形中是軸對(duì)稱圖形的有 ，是中心對(duì)稱圖形的有

8、 (分別用下面三個(gè)圖的代號(hào)a，b，c填空)． (2)請(qǐng)你在下面的兩個(gè)圓中，按要求分別畫出與上面圖案不重復(fù)的圖案(草圖) (用尺規(guī)畫或徒手畫均可，但要盡可能準(zhǔn)確些，美觀些)． a．是軸對(duì)稱圖形但不是中心對(duì)稱圖形． b．既是軸對(duì)稱圖形又是中心對(duì)稱圖形． 4．如圖，AB是⊙O的直徑，CD是弦，若AB=10cm，CD＝8cm，那么A、B兩點(diǎn)到直線CD的距離之和為( ) A．12cm B．10cm C． 8cm D．6cm 5．一種花邊是由如圖的弓形組成的，ACB的半徑為5，弦AB＝8，則弓

9、形的高CD為( ) A．2 B． C．3 D． ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ ⌒ 6．如圖，在三個(gè)等圓上各自有一條劣弧AB、CD、EF，如果AB+CD=EF，那么AB+CD與E的大小關(guān)系是（ ） A．AB+CD＝EF B．AB+CD=F C． AB+CD

10、前的單晶硅材料是一種薄形圓片，叫“晶圓片”．現(xiàn)為了生產(chǎn)某種CPU芯片，需要長(zhǎng)、寬都是1cm的正方形小硅片若干．如果晶圓片的直徑為10．05cm，問：一張這種晶圓片能否切割出所需尺寸的小硅片66張?請(qǐng)說(shuō)明你的方法和理由(不計(jì)切割損耗)． ⌒ 8．如圖，已知⊙O的兩條半徑OA與OB互相垂直，C為AmB上的一點(diǎn)，且AB2+OB2=BC2，求∠OAC的度數(shù)． 9．不過(guò)圓心的直線交⊙O于C、D兩點(diǎn)，AB是⊙O的直徑，AE⊥，垂足為E，BF⊥，垂足為F． (1)在下面三

11、個(gè)圓中分別補(bǔ)畫出滿足上述條件的具有不同位置關(guān)系的圖形； (2)請(qǐng)你觀察(1)中所畫圖形，寫出一個(gè)各圖都具有的兩條線段相等的結(jié)論(不再標(biāo)注其他字母，找結(jié)論的過(guò)程中所連輔助線不能出現(xiàn)在結(jié)論中，不寫推理過(guò)程)； (3)請(qǐng)你選擇(1)中的一個(gè)圖形，證明(2)所得出的結(jié)論． 10．以AB為直徑作一個(gè)半圓，圓心為O，C是半圓上一點(diǎn)，且OC2＝ACBC， ⌒ 則∠CAB= ． 11．如圖，把正三角形ABC的外接圓對(duì)折，使點(diǎn)A落在BC的中點(diǎn)A′上，若BC=5，則折痕在△ABC內(nèi)的部分DE長(zhǎng)為 ． 12．如圖，已知AB為⊙O的弦，直徑MN與AB相交

12、于⊙O內(nèi)，MC⊥AB于C，ND⊥AB于D，若MN=20，AB=，則MC—ND= ． ⌒ 13．如圖，已知⊙O的半徑為R，C、D是直徑AB同側(cè)圓周上的兩點(diǎn)，AC的度數(shù)為96，BD的度數(shù)為36，動(dòng)點(diǎn)P在AB上，則CP+PD的最小值為 ． 14．如圖1，在平面上，給定了半徑為r的圓O，對(duì)于任意點(diǎn)P，在射線OP上取一點(diǎn)P′，使得OPOP′=r2，這種把點(diǎn)P變?yōu)辄c(diǎn)P′的變換叫作反演變換，點(diǎn)P與點(diǎn)P′叫做互為反演點(diǎn)． (1

13、)如圖2，⊙O內(nèi)外各有一點(diǎn)A和B，它們的反演點(diǎn)分別為A′和B′，求證：∠A′=∠B； (2)如果一個(gè)圖形上各點(diǎn)經(jīng)過(guò)反演變換得到的反演點(diǎn)組成另一個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形叫做互為反演圖形． ①選擇：如果不經(jīng)過(guò)點(diǎn)O的直線與⊙O相交，那么它關(guān)于⊙O的反演圖形是( ) A．一個(gè)圓 B．一條直線 C．一條線段 D．兩條射線 ②填空：如果直線與⊙O相切，那么它關(guān)于⊙O的反演圖形是 ，該圖形與圓O的位置關(guān)系是 ． ⌒ 15．如圖，已知四邊形ABCD內(nèi)接于直徑為3的圓O，對(duì)角線A

14、C是直徑，對(duì)角線AC和BD的交點(diǎn)為P，AB=BD，且PC=0．6，求四邊形ABCD的周長(zhǎng)． 16．如圖，已知圓內(nèi)接△ABC中，AB>AC，D為BAC的中點(diǎn)，DE⊥AB于E，求證：BD2-AD2=ABAC． 17．將三塊邊長(zhǎng)均為l0cm的正方形煎餅不重疊地平放在圓碟內(nèi)，則圓碟的直徑至少是多少?(不考慮其他因素，精確到0．1cm) 18．如圖，直徑為13的⊙O′，經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，并且與軸、軸分別交于A、B兩點(diǎn)，線段OA、OB(OA>OB)的長(zhǎng)分別是方程的兩根． ⌒ (1)求線段OA、OB的長(zhǎng)； (2)已知點(diǎn)C在劣弧OA上，連結(jié)BC交OA于D，當(dāng)OC2=CDCB時(shí)，求C點(diǎn)坐標(biāo)； (3)在⊙O，上是否存在點(diǎn)P，使S△POD=S△ABD?若存在，求出P點(diǎn)坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．  參考答案 最新精品資料