新版高中數(shù)學(xué)北師大版選修22 第1章 單元綜合檢測1 Word版含解析

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1、新版數(shù)學(xué)北師大版精品資料 第一章　單元綜合檢測(一) (時間120分鐘　　滿分150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．根據(jù)偶函數(shù)定義可推得“函數(shù)f(x)＝x2在R上是偶函數(shù)”的推理過程是(　　) A．歸納推理 B．類比推理 C．演繹推理 D．非以上答案 解析：由偶函數(shù)定義，定義域關(guān)于原點對稱的函數(shù)f(x)滿足f(－x)＝f(x)，則f(x)為偶函數(shù)，∵f(x)＝x2時，f(－x)＝f(x)，∴“f(x)＝x2在R上是偶函數(shù)”是利用演繹推理． 答案：C　 2．命題“有理數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)，整數(shù)是有理數(shù)，所以整數(shù)是無限循環(huán)小數(shù)”是假命題，推理錯誤的

2、原因是(　　) A．使用了歸納推理 B．使用了類比推理 C．使用了“三段論”，但大前提錯誤 D．使用了“三段論”，但小前提錯誤 解析：大前提錯誤，小前提正確． 答案：C　 3．用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角中至少有一個角不大于60”時，應(yīng)假設(shè)(　　) A．三角形的三個內(nèi)角都不大于60 B．三角形的三個內(nèi)角都大于60 C．三角形的三個內(nèi)角至多有一個大于60 D．三角形的三個內(nèi)角至少有兩個大于60 解析：其假設(shè)應(yīng)是對“至少有一個角不大于60”的否定，即“都大于60”． 答案：B　 4．分析法是要從證明的結(jié)論出發(fā)逐步尋求使結(jié)論成立的(　　) A．充分條件 B．必要條件

3、 C．充要條件 D．等價條件 解析：由分析法定義知選A. 答案：A　 5．[2014山東高考]用反證法證明命題“設(shè)a，b為實數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”時，要做的假設(shè)是(　　) A．方程x3＋ax＋b＝0沒有實根 B．方程x3＋ax＋b＝0至多有一個實根 C．方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個實根 D．方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個實根 解析：因為“方程x3＋ax＋b＝0至少有一個實根”等價于“方程x3＋ax＋b＝0的實根的個數(shù)大于或等于1”，所以要做的假設(shè)是“方程x3＋ax＋b＝0沒有實根”． 答案：A　 6．用數(shù)學(xué)歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)

4、＝(n∈N*)，驗證n＝1時，左邊應(yīng)取的項是(　　) A．1 B．1＋2 C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4 解析：n＝1時，n＋3＝4，∴左邊＝1＋2＋3＋4. 答案：D　 7．設(shè)f(x)是定義在正整數(shù)集上的函數(shù)，且f(x)滿足：“當f(k)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，那么，下列命題總成立的是(　　) A．若f(3)≥9成立，則當k≥1時，均有f(k)≥k2成立 B．若f(5)≥25成立，則當k≤5時，均有f(k)≥k2成立 C．若f(7)<49成立，則當k≥8時，均有f(k)

5、成立 解析：由題設(shè)f(x)滿足：“當f(x)≥k2成立時，總可推出f(k＋1)≥(k＋1)2成立”，因此，對于A不一定有k＝1,2時成立． 對于B、C顯然錯誤． 對于D，∵f(4)＝25>42，因此對于任意的k≥4， 有f(k)≥k2成立． 答案：D　 8．設(shè)正數(shù)x，y滿足log2(x＋y＋3)＝log2x＋log2y，則x＋y的取值范圍是(　　) A．(0,6] B．[6，＋∞) C．[1＋，＋∞) D．(0,1＋] 解析：x＋y＋3＝xy≤()2?(x＋y)2－4(x＋y)－12≥0，故x＋y≥6，當且僅當x＝y(tǒng)＝3時等號成立． 答案：B　 9．已知實數(shù)a，b，c滿足

6、a＋b＋c＝0，abc>0，則＋＋的值(　　) A．一定是正數(shù) B．一定是負數(shù) C．可能是零 D．正、負不能確定 解析：∵(a＋b＋c)2＝0， ∴ab＋bc＋ac＝－(a2＋b2＋c2)<0. 又abc>0，∴＋＋＝<0. 答案：B　 10．已知數(shù)列{an}的前n項和Sn＝n2an(n≥2)，而a1＝1，通過計算a2，a3，a4，猜想an等于(　　) A． B． C． D． 解析：∵Sn＝n2an(a≥2)，a1＝1， ∴S2＝4a2＝a1＋a2?a2＝＝. S3＝9a3＝a1＋a2＋a3?a3＝＝＝. S4＝16a4＝a1＋a2＋a3＋a4?a4＝＝. ∴猜想a

7、n＝. 答案：B　 11．若函數(shù)f(x)＝x2－2x＋m(x∈R)有兩個零點，并且不等式f(1－x)≥－1恒成立，則實數(shù)m的取值范圍為(　　) A．(0,1) B．[0,1) C．(0,1] D．[0,1] 解析：∵f(x)＝x2－2x＋m有兩個零點， ∴4－4m>0，∴m<1. 由f(1－x)≥－1，得(1－x)2－2(1－x)＋m≥－1， 即x2＋m≥0，∴m≥－x2. ∵－x2的最大值為0，∴0≤m<1. 答案：B　 12．某人在上樓梯時，一步上一個臺階或兩個臺階，設(shè)他從平地上到第一級臺階時有f(1)種走法，從平地上到第二級臺階時有f(2)種走法，……則他從平地上到

8、第n(n≥3)級臺階時的走法f(n)等于(　　) A．f(n－1)＋1 B．f(n－2)＋2 C．f(n－2)＋1 D．f(n－1)＋f(n－2) 解析：到第n級臺階可分兩類：從第n－2級一步到第n級有f(n－2)種走法，從第n－1級到第n級有f(n－1)種走法，共有f(n－1)＋f(n－2)種走法． 答案：D　 二、填空題(本大題共4小題，每小題5分，共20分) 13．設(shè)f(n)＝＋＋…＋(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)＝__________. 解析：f(n＋1)－f(n)＝(＋＋…＋＋＋)－(＋＋…＋)＝＋－＝－. 答案：－ 14．如圖，第n個圖形是由正n＋2邊形

9、“擴展”而來(n＝1,2,3，…)，則第n－2(n>2)個圖形中共有________個頂點． 解析：設(shè)第n個圖形中有an個頂點， 則a1＝3＋33，a2＝4＋44，…， an＝(n＋2)＋(n＋2)(n＋2)，an－2＝n2＋n. 答案：n2＋n 15．由“等腰三角形的兩底角相等，兩腰相等”可以類比推出正棱錐的類似屬性是____________________________________________ 解析：等腰三角形的底與腰可分別與正棱錐的底面與側(cè)面類比． .答案：正棱錐各側(cè)面與底面所成二面角相等，各側(cè)面都是全等的三角形或各側(cè)棱相等 16．[2012陜西高考]觀察下

10、列不等式 1＋<， 1＋＋<， 1＋＋＋<， …… 照此規(guī)律，第五個不等式為________________． 解析：觀察得出規(guī)律，第n(n∈N*)個不等式的左邊為1＋＋＋…＋，右邊為，因此可得第五個不等式為1＋＋＋＋＋<. 答案：1＋＋＋＋＋< 三、解答題(本大題共6小題，共70分) 17．(10分)用反證法證明：已知a與b均為有理數(shù)，且與都是無理數(shù)，證明：＋是無理數(shù)． 證明：假設(shè)＋為有理數(shù)， 則(＋)(－)＝a－b， 由a>0，b>0，得＋>0. ∴－＝. ∵a、b為有理數(shù)且＋為有理數(shù)， ∴即－為有理數(shù)． ∴(＋)＋(－)，即2為有理數(shù)． 從而也就為有理數(shù)

11、，這與已知為無理數(shù)矛盾， ∴＋一定為無理數(shù)． 18．(12分)已知a、b、c是不等正數(shù)，且abc＝1， 求證：＋＋<＋＋. 證明：∵a、b、c是不等正數(shù)，且abc＝1， ∴＋＋＝＋＋ <＋＋ ＝＋＋. 故＋＋<＋＋. 19．(12分)函數(shù)列{fn(x)}滿足f1(x)＝(x>0)，fn＋1(x)＝f1[fn(x)]． (1)求f2(x)、f3(x)； (2)猜想fn(x)的表達式，并證明． 解：(1)f1(x)＝(x>0)， f2(x)＝＝， f3(x)＝＝ ?。? (2)猜想fn(x)＝， 下面用數(shù)學(xué)歸納法證明： ①當n＝1時，命題顯然成立． ②假設(shè)當n

12、＝k時，fk(x)＝， 那么fk＋1(x)＝ ＝＝. 這就是說，當n＝k＋1時命題成立． 由①②，可知fn(x)＝對所有n∈N*均成立． 20．(12分)[2014天津高考]已知q和n均為給定的大于1的自然數(shù)．設(shè)集合M＝{0,1,2，…，q－1}，集合A＝{x|x＝x1＋x2q＋…＋xnqn－1，xi∈M，i＝1,2，…，n}． (1)當q＝2，n＝3時，用列舉法表示集合A； (2)設(shè)s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，其中ai，bi∈M，i＝1,2，…，n.證明：若an

13、1}，A＝{x|x＝x1＋x22＋x322，xi∈M，i＝1,2,3}． 可得，A＝{0,1,2,3,4,5,6,7}． (2)證明：由s，t∈A，s＝a1＋a2q＋…＋anqn－1，t＝b1＋b2q＋…＋bnqn－1，ai，bi∈M，i＝1,2，…，n及an

14、試問f(x)是周期函數(shù)嗎？證明你的結(jié)論． 解：(1)證明：tan＝ ＝； (2)f(x)是以4為一個周期的周期函數(shù)． 證明如下： ∵f(x＋2)＝f((x＋1)＋1)＝ ＝＝－， ∴f(x＋4)＝f((x＋2)＋2)＝－＝f(x)． ∴f(x)是周期函數(shù)． 22．(12分)已知點Pn(an，bn)滿足an＋1＝anbn＋1，bn＋1＝(n∈N*)且點P1的坐標為(1，－1)． (1)求過點P1，P2的直線l的方程； (2)試用數(shù)學(xué)歸納法證明：對于n∈N*，點Pn都在(1)中的直線l上． 解：(1)由P1的坐標為(1，－1)知a1＝1，b1＝－1. ∴b2＝＝，a2＝a1b2＝. ∴點P2的坐標為. ∴直線l的方程為2x＋y＝1. (2)證明：①當n＝1時，2a1＋b1＝21＋(－1)＝1成立． ②假設(shè)n＝k(k∈N*，k≥1)時，2ak＋bk＝1成立． 則2ak＋1＋bk＋1＝2akbk＋1＋bk＋1 ＝(2ak＋1)＝＝＝1. ∴n＝k＋1時，命題也成立． 由①②知，對n∈N*，都有2an＋bn＝1，即點Pn在直線l上．