《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)（7頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
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【考綱下載】
1．會(huì)用向量的數(shù)量積推導(dǎo)出兩角差的余弦公式．
2．能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角差的正弦、正切公式．
3．能利用兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的正弦、余弦、正切公式，導(dǎo)出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系．
4．能運(yùn)用上述公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變換(包括導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角公式，但對(duì)這三組公式不要求記憶)．
1．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式[來(lái)源:]
sin(αβ)＝sin_αcos_βcos_αsin_β，
cos(αβ)＝cos_αcos_β?sin_αsin_β，
t
2、an(αβ)＝.
2．二倍角的正弦、余弦、正切公式
sin 2α＝2sin_αcos_α，
cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，
tan 2α＝.
3．有關(guān)公式的逆用、變形
(1)tan αtan β＝tan(αβ)(1?tan_αtan_β)；
(2)cos2α＝，sin2α＝；
(3)1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2,1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，sin αcos α＝sin.
4．輔助角公式
asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)，其中sin φ＝，cos φ＝.
1．兩角和與差的正弦、
3、余弦公式對(duì)任意角α，β都成立嗎？
提示：都成立．
2．兩角和與差的正切公式對(duì)任意角α，β都成立嗎？其適用條件是什么？
提示：在公式T(α＋β)與T(α－β)中，α，β，αβ都不等于kπ＋(k∈Z)，即保證tan α，tan β，tan(α＋β)都有意義；若α，β中有一角是kπ＋(k∈Z)，可利用誘導(dǎo)公式化簡(jiǎn)．
3．函數(shù)f(x)＝asin x＋bcos x的最大值和最小值各是什么？
提示：最大值為，最小值為－.
1．(2013江西高考)若sin＝，則cos α＝( )
A．－ B．－ C. D.
解析：選C 因?yàn)閟in＝，
4、所以cos α＝1－2sin2 ＝1－22＝.
2．(教材習(xí)題改編)sin 34sin 26－cos 34cos 26的值是( )
A. B. C．－ D．－
解析：選C sin 34sin 26－cos 34cos 26
＝－(cos 34cos 26－sin 34sin 26)
＝－cos(34＋26)＝－cos 60＝－.
3．已知tan＝，tan＝，則tan(α＋β)的值為( )
A. B. C. D．1
解析：選D tan(α＋β)＝tan
＝＝＝1.
4
5、．(2013四川高考)設(shè)sin 2α＝－sin α，α∈，則tan 2α的值是________．
解析：∵sin 2α＝2sin αcos α＝－sin α，∴cos α＝－，又α∈，∴sin α＝，tan α＝－，∴tan 2α＝＝＝.
答案：
5．tan 20＋tan 40＋tan 20tan 40＝________.
解析：∵tan (20＋40)＝，
∴－tan 20tan 40＝tan 20＋tan 40，
即tan 20＋tan 40＋tan 20tan 40＝.
答案：
考點(diǎn)一
三角函數(shù)的化簡(jiǎn)求值
[例1] (1)(2013重慶高考)4co
6、s 50－tan 40＝( )
A. B.
C. D．2－1
(2)化簡(jiǎn)：(0＜θ＜π)．
[自主解答] (1)4cos 50－tan 40＝4sin 40－
＝[來(lái)源:]
＝
＝
＝
＝＝.
(2)原式＝
＝
＝.
因?yàn)?＜θ＜π，所以0＜＜，
所以cos＞0，故原式＝－cos θ.
[答案] (1)C
【方法規(guī)律】
1．三角函數(shù)式化簡(jiǎn)的原則
三角函數(shù)式的化簡(jiǎn)要遵循“三看”原則，即一看角，二看名，三看式子結(jié)構(gòu)與特征．
2．解決給角求值問(wèn)題的基本思路
對(duì)于給角求值問(wèn)題，往往所給角都是非特殊角，解決這類(lèi)
7、問(wèn)題的基本思路有：
(1)化為特殊角的三角函數(shù)值；
(2)化為正、負(fù)相消的項(xiàng)，消去求值；
(3)化分子、分母出現(xiàn)公約數(shù)進(jìn)行約分求值．
化簡(jiǎn)：
(1)sin 50(1＋tan 10)；
(2).
解：(1)sin 50(1＋tan 10)＝sin 50(1＋tan 60tan 10)
＝sin 50
＝sin 50
＝
＝＝＝1.[來(lái)源:]
(2)原式＝
＝＝
＝＝cos 2x.
考點(diǎn)二
三角函數(shù)的條件求值
[例2] (1)(2013浙江高考)已知α∈R，sin α＋2cos α＝，則tan 2α＝( )
A. B.
8、
C．－ D．－
(2)(2013廣東高考)已知函數(shù)f(x)＝cos，x∈R.
①求f的值；
②若cos θ＝，θ∈，求f.
[自主解答] (1)法一：(直接法)兩邊平方，再同時(shí)除以cos2α，得3tan2α－8tan α－3＝0，tan α＝3或tan α＝－，代入tan 2α＝，得tan 2α＝－.
法二：(猜想法)由給出的數(shù)據(jù)及選項(xiàng)的唯一性，記sin α＝，cos α＝，這時(shí)sin α＋2cos α＝符合要求，此時(shí)tan α＝3，代入二倍角公式得到答案C.
(2)①f＝cos＝cos＝
cos ＝1.
②f＝ cos＝cos＝cos
9、2θ－sin 2θ.
因?yàn)閏os θ＝，θ∈，所以sin θ＝－.
所以sin 2θ＝2sin θcos θ＝－，cos 2θ＝cos2θ－sin2θ＝－.
所以f＝cos 2θ－sin 2θ＝－－＝.
[答案] (1)C
【互動(dòng)探究】
保持本例(2)②條件不變，求f的值．
解：因?yàn)棣取?，cos θ＝，
所以sin θ＝－＝－ ＝－.
所以f＝cos＝cos
＝
＝cos θ＋sin θ＝－＝－.
【方法規(guī)律】
三角函數(shù)求值的兩種類(lèi)型
(1)給角求值：關(guān)鍵是正確選用公式，以便把非特殊角的三角函數(shù)轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．
(2)給值求值：關(guān)鍵是找出已知式
10、與待求式之間的聯(lián)系及函數(shù)的差異．
①一般可以適當(dāng)變換已知式，求得另外函數(shù)式的值，以備應(yīng)用；
②變換待求式，便于將已知式求得的函數(shù)值代入，從而達(dá)到解題的目的．
1．(2013新課標(biāo)全國(guó)卷Ⅱ)設(shè)θ為第二象限角，若tan＝，則sin θ＋cos θ＝________.
解析：法一：由θ在第二象限，且tan＝，因而sin＝－，因而sin θ＋cos θ＝ sin＝－.
法二：如果將tan＝利用兩角和的正切公式展開(kāi)，則＝，求得tan θ＝－.又因?yàn)棣仍诘诙笙?，則sin θ＝，cos θ＝－，從而sin θ＋cos θ＝－＝－.
答案：－
2．已知0＜β＜＜α＜π，且cos＝－，s
11、in＝，求cos(α＋β)的值．
解：∵0＜β＜＜α＜π，
∴－＜－β＜，＜α－＜π，
∴cos＝ ＝，
sin＝ ＝，
∴cos＝cos
＝coscos＋sinsin
＝＋
＝，
∴cos(α＋β)＝2cos2－1
＝2－1＝－.
易誤警示(三)
三角函數(shù)求角中的易誤點(diǎn)
[典例] (2013北京高考)已知函數(shù)f(x)＝(2cos2x－1)sin 2x＋cos 4x.
(1)求f(x)的最小正周期及最大值；
(2)若α∈，且f(α)＝，求α的值．
[解題指導(dǎo)] 先利用倍角公式化簡(jiǎn)f(x)的解析式，然后求解．
[解] (1)因?yàn)閒(x)＝(2cos2x
12、－1)sin 2x＋cos 4x
＝cos 2xsin 2x＋cos 4x
＝(sin 4x＋cos 4x)
＝sin，
所以f(x)的最小正周期為，最大值為.
(2)因?yàn)閒(α)＝，所以sin＝1.
因?yàn)棣痢剩琜來(lái)源:]
所以4α＋∈，即4α＋＝.
故α＝.[來(lái)源:]
[名師點(diǎn)評(píng)] 1.解決本題易忽視α∈，由sin＝1，得出4α＋＝，從而得到α＝的錯(cuò)誤結(jié)論．
2．在解決三角函數(shù)求角中的問(wèn)題時(shí)，要牢記：當(dāng)求出某角的三角函數(shù)值，如果要求這角的取值時(shí)，一定要考慮角的范圍，只有同時(shí)滿足三角函數(shù)值及角的范圍的角才是正確的．
已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝，tan β＝－，求2α－β的值．
解：∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝＝＝>0，∴0<α<.
又tan 2α＝＝＝>0，∴0<2α<.
∴tan(2α－β)＝＝＝1.
∵tan β＝－<0，∴<β<π，－π<2α－β<0.
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高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)：第三章 ：第五節(jié)兩角和與差的正弦、余弦和正切回扣主干知識(shí)提升學(xué)科素養(yǎng)
