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1、
二、考前必會的27個規(guī)律、推論
1．集合問題必須牢記的重要結論
(1)a與{a}的區(qū)別：一般地，a表示一個元素，而{a}表示只有一個元素a的集合．
(2)易混淆0，?，{0}：0是一個實數，?是一個集合，它含有0個元素，{0}是以0為元素的單元素集合，但是0??，而??{0}．
(3)?是任意一個集合的子集，是任意一個非空集合的真子集．所以當兩個集合之間存在子集關系時，不要忘記對空集的討論，即若A?B，則應分A＝?和A≠?兩種情況進行分析．
(4)若集合是不等式的解集，則在兩個集合的交集與并集以及集合的補集的求解過程中要注意端點值的取與舍，不能遺漏，在利用數軸表示集
2、合時，注意端點值的標注，區(qū)分實點和虛點．
(5)求解集合的補集時，要先求出集合，然后再寫其補集，不要直接轉化條件導致出錯，如A＝的補集是{x|x≤0}，而不是.
(6)交集的補集等于補集的并集，即?U(A∩B)＝(?UA)∪(?UB)；并集的補集等于補集的交集，即?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)．
(7)對于含有n個元素的有限集合M，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的個數依次為2n,2n－1，2n－1，2n－2.
(8)如圖所示的Venn圖中區(qū)域Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ依次表示集合?U(A∪B)＝(?UA)∩(?UB)，A∩(?UB)，A∩B，B∩(?UA)．
2．常用邏輯用語的
3、常用規(guī)律
(1)兩個命題互為逆否命題，它們有相同的真假性．
(2)兩個命題為互逆命題或互否命題，它們的真假性沒有關系．
(3)在判斷一些命題的真假時，如果不容易直接判斷，可轉化為判斷其逆否命題的真假．
3．有關函數單調性和奇偶性的重要結論
(1)f(x)與f(x)＋c(c為常數)具有相同的單調性．
(2)當k＞0時，函數f(x)與kf(x)的單調性相同；當k＜0時，函數f(x)與kf(x)的單調性相反．
(3)當f(x)，g(x)同為增(減)函數時，f(x)＋g(x)則為增(減)函數．
(4)奇函數在對稱的兩個區(qū)間上有相同的單調性，偶函數在對稱的兩個區(qū)間上有相反的單調性．
(
4、5)f(x)為奇函數?f(x)的圖像關于原點對稱；f(x)為偶函數?f(x)的圖像關于y軸對稱．
(6)偶函數的和、差、積、商是偶函數，奇函數的和、差是奇函數，積、商是偶函數，奇函數與偶函數的積、商是奇函數．
(7)函數f(x)與kf(x)，(f(x)≠0)的奇偶性相同(其中k為非零常數)．
(8)定義在(－∞，＋∞)上的奇函數的圖像必過原點，即有f(0)＝0.存在既是奇函數，又是偶函數的函數：f(x)＝0.
(9)f(x)＋f(－x)＝0?f(x)為奇函數；f(x)－f(－x)＝0?f(x)為偶函數．
4．判斷函數周期的幾個重要結論
(1)若滿足f(x＋a)＝f(x－a)，則f(
5、x)是周期函數，T＝2a.
(2)若滿足f(x＋a)＝－f(x)，則f(x)是周期函數，T＝2a.
(3)若滿足f(x＋a)＝，則f(x)是周期函數，T＝2a.
(4)若滿足f(x＋a)＝，則f(x)是周期函數，T＝2a.
(5)若函數y＝f(x)的圖像關于直線x＝a對稱，且關于直線x＝b對稱，則f(x)是周期函數，T＝2|b－a|(b≠a)．
5．函數圖像對稱變換的相關結論
(1)y＝f(x)的圖像關于y軸對稱的圖像是函數y＝f(－x)的圖像．
(2)y＝f(x)的圖像關于x軸對稱的圖像是函數y＝－f(x)的圖像．
(3)y＝f(x)的圖像關于原點對稱的圖像是函數y＝－f(－
6、x)的圖像．
(4)y＝f(x)的圖像關于直線y＝x對稱的圖像是函數y＝f－1(x)的圖像．
(5)y＝f(x)的圖像關于直線x＝m對稱的圖像是函數y＝f(2m－x)的圖像．
(6)y＝f(x)的圖像關于直線y＝n對稱的圖像是函數y＝2n－f(x)的圖像．
(7)y＝f(x)的圖像關于點(a，b)對稱的圖像是函數y＝2b－f(2a－x)的圖像．
6．函數圖像平移變換的相關結論
(1)把y＝f(x)的圖像沿x軸左右平移|c|個單位(c＞0時向左移，c＜0時向右移)得到函數y＝f(x＋c)的圖像(c為常數)．
(2)把y＝f(x)的圖像沿y軸上下平移|b|個單位(b＞0時向上移，b＜
7、0時向下移)得到函數y＝f(x)＋b的圖像(b為常數)．
7．函數圖像伸縮變換的相關結論
(1)把y＝f(x)的圖像上各點的縱坐標伸長(a＞1)或縮短(0＜a＜1)到原來的a倍，而橫坐標不變，得到函數y＝af(x)(a＞0)的圖像．
(2)把y＝f(x)的圖像上各點的橫坐標伸長(0＜b＜1)或縮短(b＞1)到原來的倍，而縱坐標不變，得到函數y＝f(bx)(b＞0)的圖像．
8．正余弦定理及其推論
(1)正弦定理：
＝＝＝2R(2R為△ABC外接圓的直徑)．
變形：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C；
sin A＝，sin B＝，sin C＝；
a∶b∶
8、c＝sin A∶sin B∶sin C.
(2)余弦定理：
a2＝b2＋c2－2bccos A；b2＝a2＋c2－2accos B；
c2＝a2＋b2－2abcos C.
推論：cos A＝；cos B＝；
cos C＝.
變形：b2＋c2－a2＝2bccos A；a2＋c2－b2＝2accos B；a2＋b2－c2＝2abcos C.
9．三角形四心的向量形式
設O為△ABC所在平面上一點，角A，B，C所對邊長分別為a，b，c，則
(1)O是三邊中垂線的交點?O是△ABC的外心?||＝||＝||＝；
(2)O是三條中線的交點?O是△ABC的重心?＋＋＝0；
(3)O是三
9、條高線的交點?O是△ABC的垂心?·＝·＝·；
(4)O是三個內角角平分線的交點?O是△ABC的內心?a＋b＋c＝0.
10．等差數列{an}的常用性質
(1)an＝a1＋(n－1)d＝am＋(n－m)d；p＋q＝m＋n?ap＋aq＝am＋an.
(2){kan}也成等差數列．
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，仍成等差數列．
(4)Sn＝，Sn＝na1＋d＝n2＋n.
(5)ap＝q，aq＝p(p≠q)?ap＋q＝0，Sm＋n＝Sm＋Sn＋mnd.
11．等比數列{an}的常用性質
(1)an＝a1qn－1＝amqn－m；p＋q＝m
10、＋n?ap·aq＝am·an.
(2){an}，{bn}成等比數列?{anbn}成等比數列．
(3)Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…，成等比數列(q≠－1)．
(4)Sn＝
＝
12．等差數列與等比數列的區(qū)分與聯系
(1)如果數列{an}成等差數列，那么數列{Aan}(Aan總有意義)必成等比數列．
(2)如果數列{an}成等比數列，且an＞0，那么數列{logaan}(a＞0，a≠1)必成等差數列．
(3)如果數列{an}既成等差數列又成等比數列，那么數列{an}是非零常數數列．數列{an}是常數數列僅是數列既成等差數列又成等比數列的必要非充分條件．
11、
(4)如果兩個等差數列有公共項，那么由它們的公共項順次組成的新數列也是等差數列，且新等差數列的公差是兩個原等差數列公差的最小公倍數．
(5)如果由一個等差數列與一個等比數列的公共項順次組成新數列，那么常選用“由特殊到一般”的方法進行討論，且以等比數列的項為主，探求等比數列中哪些項是它們的公共項，構成什么樣的新數列．
13．常用?？嫉牟坏仁?
(1)|a|≥0，a2≥0(a∈R)．
(2)a，b∈R?a2＋b2≥2 ab(當且僅當a＝b時取等號)．
(3)a>0，b>0?≥(當且僅當a＝b時取等號)．
(4)a3＋b3＋c3≥3abc(a＞0，b＞0，c＞0)，a2＋b
12、2＋c2≥ab＋bc＋ac，當且僅當a＝b＝c時取等號．
(5)|a|－|b|≤|a＋b|≤|a|＋|b|.
(6)≤≤≤ (當且僅當a＝b時取等號，且a>0，b>0)．
14．給定區(qū)間上，含參數的不等式恒成立或有解的條件依據
(1)在給定區(qū)間(－∞，＋∞)的子區(qū)間L(形如[α，β]，(－∞，β]，[α，＋∞)等)上，含參數的不等式f(x)≥t(t為參數)恒成立的充要條件是f(x)min≥t(x∈L)．
(2)在給定區(qū)間(－∞，＋∞)的子區(qū)間L上，含參數的不等式f(x)≤t(t為參數)恒成立的充要條件是f(x)max≤t(x∈L)．
(3)在給定區(qū)間(－∞，＋∞)的子區(qū)
13、間L上，含參數的不等式f(x)≥t(t為參數)有解的充要條件是f(x)max≥t(x∈L)．
(4)在給定區(qū)間(－∞，＋∞)的子區(qū)間L上，含參數的不等式f(x)≤t(t為參數)有解的充要條件是f(x)min≤t(x∈L)．
15．直觀圖
(1)空間幾何體直觀圖的畫法常采用斜二測畫法．對斜二測畫法的規(guī)則可以記憶為：“平行要保持，橫長不變，縱長減半”．
(2)由直觀圖的畫法規(guī)則可知：任何一個平面圖形的面積S與它的斜二測畫法得到的直觀圖的面積S′之間具有關系S′＝S.用這個公式可以方便地解決相關的計算問題．
16．三視圖
(1)三視圖的正視圖、側視圖、俯視圖分別是從幾何體的正前方、正左方
14、、正上方觀察幾何體畫出的輪廓線．畫三視圖的基本要求：正俯一樣長，俯側一樣寬，正側一樣高．
(2)三視圖排列規(guī)則：俯視圖放在正視圖的下面，長度與正視圖一樣；側視圖放在正視圖的右面，高度和正視圖一樣，寬度與俯視圖一樣．
(3)一般地，若俯視圖中出現圓，則該幾何體可能是球或旋轉體；若俯視圖是多邊形，則該幾何體一般是多面體；若正視圖和側視圖中出現三角形，則該幾何體可能為錐體．
17．兩直線的位置關系的應用
(1)討論兩條直線的位置關系應注意斜率不存在或斜率為0的情況，當兩條直線中的一條直線斜率不存在，另一條直線斜率為0時，它們也垂直．
(2)已知直線l：Ax＋By＋C＝0，則與直線l平行的直
15、線方程可設為Ax＋By＋m＝0(m≠C)；與直線l垂直的直線方程可設為Bx－Ay＋n＝0.
18．點與圓的位置關系
已知點M(x0，y0)及圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，
(1)點M在圓C外?|CM|＞r
?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2；
(2)點M在圓C內?|CM|＜r
?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2；
(3)點M在圓C上?|CM|＝r
?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2.
19．直線與圓的位置關系
直線l：Ax＋By＋C＝0和圓C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)有相交、相離、相切．可從代數和幾何兩個方面來判斷：
(1
16、)代數方法(判斷直線與圓的方程聯立所得方程組的解的情況)：Δ＞0?相交；Δ＜0?相離；Δ＝0?相切；
(2)幾何方法(比較圓心到直線的距離與半徑的大小)：設圓心到直線的距離為d，則d＜r?相交；d＞r?相離；d＝r?相切 .
20．圓與圓的位置關系
已知兩圓的圓心分別為O1，O2，半徑分別為r1，r2，則
(1)當|O1O2|＞r1＋r2時，兩圓外離；
(2)當|O1O2|＝r1＋r2時，兩圓外切；
(3)當|r1－r2|＜|O1O2|＜r1＋r2時，兩圓相交；
(4)當|O1O2|＝|r1－r2|時，兩圓內切；
(5)當0≤|O1O2|＜|r1－r2|時，兩圓內含．
21．
17、圓錐曲線的對稱問題
曲線F(x，y)＝0關于原點O成中心對稱的曲線是F(－x，－y)＝0；曲線F(x，y)＝0關于x軸對稱的曲線是F(x，－y)＝0；曲線F(x，y)＝0關于y軸對稱的曲線是F(－x，y)＝0；曲線F(x，y)＝0關于直線y＝x對稱的曲線是F(y，x)＝0；曲線F(x，y)＝0關于直線y＝－x對稱的曲線是F(－y，－x)＝0.
22．二項式定理及其相關推論
(1)二項式定理：
(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－rbr＋…＋Cbn(n∈N*)，展開式共有n＋1項，其中第r＋1項為Tr＋1＝Can－rbr，組合數C叫做第r＋1項的二項式系數．
(2)二項展開
18、式中二項式系數(組合數)的性質：對稱性、增減性與最大值，二項式系數和C＋C＋…＋C＋…＋C＝2n.
(3)奇數項的二項式系數的和等于偶數項的二項式系數的和，都等于2n－1，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1.
23．有關事件關系的重要結論
(1)事件B包含事件A：事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，記作A?B.
(2)事件A與事件B相等：若A?B，B?A，則事件A與B相等，記作A＝B.
(3)并(和)事件：某事件發(fā)生，當且僅當事件A發(fā)生或事件B發(fā)生，記作A∪B(或A＋B)．
(4)交(積)事件：某事件發(fā)生，當且僅當事件A發(fā)生且事件B發(fā)生，記作A∩B(或AB)．
(5)事件A與事
19、件B互斥：若A∩B為不可能事件(A∩B＝?)，則事件A與事件B互斥．
(6)對立事件：A∩B為不可能事件，A∪B為必然事件，則A與B互為對立事件．
24．概率的計算公式
(1)古典概型的概率計算公式：
P(A)＝；
(2)互斥事件的概率計算公式：
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
(3)對立事件的概率計算公式：P()＝1－P(A)；
25．概率與統計
(1)離散型隨機變量的分布列的兩個性質：
①pi≥0(i＝1，2，…，n)；②p1＋p2＋…＋pn＝1.
(2)數學期望公式：E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn.
(3)數學期望的性質：①E(aX＋b)＝aE(X
20、)＋b；②若X～B(n，p)，則E(X)＝np.
(4)方差公式：D(X)＝[x1－E(X)]2·p1＋[x2－E(X)]2·p2＋…＋[xn－E(X)]2·pn，標準差：.
(5)方差的性質：①D[a(X)＋b]＝a2D(X)；
②若X～B(n，p)，則D(X)＝np(1－p)．
(6)方差與期望的關系：D(X)＝E[X－E(X)]2.
(7)①獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式是：
P(AB)＝P(A)P(B)；
②獨立重復試驗的概率計算公式是：
Pn(k)＝Cpk(1－p)n－k；
③條件概率公式：P(B|A)＝.
26．復數的運算
(1)
21、復數的乘法滿足交換律、結合律以及乘法對加法的分配律，即對任意z1，z2，z3∈C，有：z1·z2＝z2·z1；(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)；z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3.
(2)兩個共軛復數z，的積是一個實數，這個實數等于每一個復數的模的平方，即z·＝|z|2＝||2.
27．復數的幾個常見結論
(1)(1±i)2＝±2i；
(2)＝i，＝－i；
(3)i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，
i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0(n∈Z)；
(4)ω＝－±i，且ω0＝1，ω2＝，ω3＝1,1＋ω＋ω2＝0.
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