《高考數(shù)學文科一輪總復習 第七篇不等式》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學文科一輪總復習 第七篇不等式（59頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。
1、 精品資料第1講不等關系與不等式知 識 梳 理1兩個實數(shù)比較大小的方法(1)作差法(2)作商法2不等式的性質(1)對稱性：abba；(2)傳遞性：ab，bcac；(3)可加性：abacbc，ab，cdacbd；(4)可乘性：ab，c0acbc；ab0，cd0acbd；(5)可乘方：ab0anbn(nN，n1)；(6)可開方：ab0(nN，n2)辨 析 感 悟1對兩個實數(shù)大小的比較的認識(1)兩個實數(shù)a，b之間，有且只有ab，ab，ab三種關系中的一種()(2)若1.則ab.()2對不等式性質的理解(3)在一個不等式的兩邊同乘以一個非零實數(shù)，不等式仍然成立()(4)同向不等式具有可加性和可乘性(
2、)(5)(2014麗水模擬改編)設a，b為實數(shù)，則“0ab1”是“b”成立的既不充分也不必要條件()(6)(2013北京卷改編)若ab，則.()若ab，則a2b2.()若ab，則a3b3.()感悟提升兩個防范一是在使用不等式時，一定要搞清它們成立的前提條件，不可強化或弱化成立的條件，如“同向不等式”才可相加、“同向且兩邊同正的不等式”才可相乘；“可乘性中的”c的符號等都需注意，如(2)、(3)、(4)二是利用特值法判斷兩個式子大小時，錯誤的關系式，只需取特值舉反例即可，而正確的關系式，則需推理論證如(6)中當a1，b2時，不成立；當a1，b2時，a2b2不成立.考點一用不等式(組)表示不等關系
3、【例1】 某商人如果將進貨單價為8元的商品按每件10元銷售，每天可銷售100件，現(xiàn)在他采用提高售價，減少進貨量的辦法增加利潤已知這種商品的單價每提高1元，銷售量就相應減少10件若把提價后商品的單價設為x元，怎樣用不等式表示每天的利潤不低于300元？解若提價后商品的單價為x元，則銷售量減少10件，因此，每天的利潤為(x8)10010(x10)元，則“每天的利潤不低于300元”可以表示為不等式(x8)10010(x10)300.規(guī)律方法 對于不等式的表示問題，關鍵是理解題意，分清變化前后的各種量，得出相應的代數(shù)式，然后用不等式表示而對于涉及條件較多的實際問題，則往往需列不等式組解決【訓練1】 某化
4、工廠制定明年某產品的生產計劃，受下面條件的制約：生產此產品的工人不超過200人；每個工人的年工作時間約為2 100 h；預計此產品明年的銷售量至少為80 000袋；生產每袋產品需用4 h；生產每袋產品需用原料20 kg；年底庫存原料600 t，明年可補充1 200 t試根據這些數(shù)據預測明年的產量解設明年的產量為x袋，則解得80 000x90 000.預計明年的產量在80 000袋到90 000袋之間考點二比較大小【例2】 (1)若a，b，c，則a、b、c大小關系為_(2)已知a1且aR，試比較與1a的大小(1)解析易知a，b，c都是正數(shù)，log891，所以ba；log25321，所以ac.即c
5、ab.答案cab(2)解(1a)，當a0時，0，1a；當a1，且a0時，0，1a；當a1時，0，1a.規(guī)律方法 (1)比較大小時，要把各種可能的情況都考慮進去，對不確定的因素需進行分類討論，每一步運算都要準確，每一步推理都要有充分的依據(2)用作商法比較代數(shù)式的大小一般適用于分式、指數(shù)式、對數(shù)式，作商只是思路，關鍵是化簡變形，從而使結果能夠與1比較大小【訓練2】 (2012四川卷)設a，b為正實數(shù)現(xiàn)有下列命題：若a2b21，則ab1；若1，則ab1；若|1，則|ab|1；若|a3b3|1，則|ab|1.其中的真命題有_(寫出所有真命題的編號)解析中，a2b2(ab)(ab)1，a，b為正實數(shù)，
6、若ab1，則必有ab1，又ab，不合題意，故正確中，1，只需abab即可如取a2，b滿足上式，但ab1，故錯中，a，b為正實數(shù)，所以|1，且|ab|()()|1，故錯中，|a3b3|(ab)(a2abb2)|ab|(a2abb2)1.若|ab|1，不妨取ab1，則必有a2abb21，不合題意，故正確答案考點三不等式的性質及其應用【例3】 (1)(2013天津卷改編)設a，bR，則“(ab)a20”是“ab”的_條件(2)(2012湖南卷改編)設ab1，c；acloga(bc)其中所有的正確結論的序號是_審題路線解析(1)(ab)a20，則必有ab0，即ab；而ab時，不能推出(ab)a20，如
7、a0，b1，所以“(ab)a20”是“ab”的充分而不必要條件(2)由不等式性質及ab1知，又c，正確；構造函數(shù)yxc，c0，yxc在(0，)上是減函數(shù)，又ab1，acbc，知正確；ab1，ac0，acbc1，ab1，logb(ac)loga(ac)loga(bc)，知正確答案(1)充分而不必要(2)規(guī)律方法 (1)判斷不等式是否成立，需要逐一給出推理判斷或反例說明常用的推理判斷需要利用不等式的性質(2)在判斷一個關于不等式的命題真假時，先把要判斷的命題和不等式性質聯(lián)系起來考慮，找到與命題相近的性質，并應用性質判斷命題真假，當然判斷的同時還要用到其他知識，比如對數(shù)函數(shù)，指數(shù)函數(shù)的性質等【訓練3
8、】 若0，則下列不等式：；|a|b0；ab；ln a2ln b2中，正確的不等式是_解析法一由0，可知ba0.中，因為ab0，ab0，所以0，0.故有，即正確；中，因為ba0，所以ba0.故b|a|，即|a|b0，故錯誤；中，因為ba0，又0，所以ab，故正確；中，因為ba0，根據yx2在(，0)上為減函數(shù)，可得b2a20，而yln x在定義域(0，)上為增函數(shù)，所以ln b2ln a2，故錯誤由以上分析，知正確法二因為0，故可取a1，b2.顯然|a|b1210，所以錯誤；因為ln a2ln(1)20，ln b2ln(2)2ln 40，所以錯誤綜上所述，可排除.答案1判斷不等式是否成立，主要利
9、用不等式的性質和特殊值驗證兩種方法，特別是對于有一定條件限制的選擇題，用特殊值驗證的方法更簡便2倒數(shù)關系在不等式中的作用：；.3比較法是不等式性質證明的理論依據，是不等式證明的主要方法之一，作差法的主要步驟為：作差變形判斷正負在所給不等式是積、商、冪的形式時，可考慮比商易錯辨析5多次使用同向不等式的可加性而致誤【典例】 設f(x)ax2bx，若1f(1)2,2f(1)4，則f(2)的取值范圍是_錯解由得得a3.得b1.由此得4f(2)4a2b11.所以f(2)的取值范圍是4,11答案4,11錯因本題錯解的主要原因是多次使用同向不等式的可加性而導致了f(2)的范圍擴大正解法一設f(2)mf(1)
10、nf(1)(m，n為待定系數(shù))，則4a2bm(ab)n(ab)，即4a2b(mn)a(nm)b.于是得解得f(2)3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法二由得f(2)4a2b3f(1)f(1)又1f(1)2,2f(1)4，53f(1)f(1)10，故5f(2)10.法三由確定的平面區(qū)域如圖陰影部分，當f(2)4a2b過點A時，取得最小值425，當f(2)4a2b過點B(3,1)時，取得最大值432110，5f(2)10.答案5,10防范措施利用不等式性質求某些代數(shù)式的取值范圍時，多次運用不等式的性質時有可能擴大變量的取值范圍解決此類問題一
11、般是利用整體思想，通過“一次性”不等關系的運算求得待求整體的范圍，是避免錯誤的有效途徑【自主體驗】如果1ab3,3ab5，那么2a3b的取值范圍是_解析設abx，aby，1x3,3y5，a，b，2a3bxy(xy)xy.又x，y，6xy13，2a3b的取值范圍是(6,13)答案(6,13)基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1(2014深圳二模)設x，yR，則“x1且y2”是“xy3”的_條件解析由不等式性質知當x1且y2時，xy3；而當x2，y時滿足xy3，但不滿足x1且y2，故“x1且y2”是“xy3”的充分不必要條件答案充分不必要2(2014保定模擬)已知ab，則不等式a2b20
12、；acbc；|a|b|；2a2b不成立的是_解析中，若a1，b2，則a2b20不成立；當c0時，不成立；當0ab時，不成立中，由指數(shù)函數(shù)的單調性知2a2b成立答案3(2014河南三市三模)已知0a1，xlogaloga ，yloga5，zloga loga ，則x、y、z的大小關系為_解析由題意得xloga ，yloga ，zloga ，而0a1，函數(shù)yloga x在(0，)上單調遞減，yxz.答案yxz4已知a0，1b0，則ab2、ab、a的大小關系為_解析由1b0，可得bb21，又a0，abab2a.答案abab2a5(2014晉城模擬)已知下列四個條件：b0a，0ab，a0b，ab0，能
13、推出b，ab0可得2a；a2b22；.其中恒成立的不等式共有_個解析因為a22a1(a1)20，所以不恒成立；對于，a2b22a2b3(a1)2(b1)210，所以恒成立；對于，因為()2()2220，且0，0，所以，即恒成立答案2二、解答題9比較下列各組中兩個代數(shù)式的大?。?1)3x2x1與2x2x1；(2)當a0，b0且ab時，aabb與abba.解(1)3x2x12x2x1x22x2(x1)210，3x2x12x2x1.(2)aabbbaaababab.當ab，即ab0，1時，ab1，aabbabba.當ab，即ab0,01，aabbabba.當a0，b0且ab時，aabbabba.10
14、甲、乙兩人同時從寢室到教室，甲一半路程步行，一半路程跑步，乙一半時間步行，一半時間跑步，如果兩人步行速度、跑步速度均相同，試判斷誰先到教室？解設從寢室到教室的路程為s，甲、乙兩人的步行速度為v1，跑步速度為v2，且v1v2.甲所用的時間t甲，乙所用的時間t乙，1.t甲0，t乙0，t甲t乙，即乙先到教室能力提升題組(建議用時：25分鐘)一、填空題1設0x，則“xsin2x1”是“xsin x1”的_條件解析當0x時，0sin x1.由xsin2 x1知xsin x，不一定得到xsin x1.反之，當xsin x1時，xsin2 xsin x1.故xsin2 x1是xsin x1的必要不充分條件答
15、案必要不充分2已知實數(shù)a，b，c滿足bc64a3a2，cb44aa2，則a，b，c的大小關系是_解析cb44aa2(2a)20，cb，將已知兩式作差得2b22a2，即b1a2，1a2a20，1a2a，b1a2a，cba.答案cba3已知f(x)ax2c且4f(1)1，1f(2)5，則f(3)的取值范圍是_解析由題意，得解得所以f(3)9acf(1)f(2)因為4f(1)1，所以f(1)，因為1f(2)5，所以f(2).兩式相加，得1f(3)20，故f(3)的取值范圍是1,20答案1,20二、解答題4設0x0且a1，比較|loga(1x)|與|loga(1x)|的大小解法一作差比較當a1時，由0
16、x1知，loga(1x)0，|loga(1x)|loga(1x)|loga(1x)loga(1x)loga(1x2)，01x21，loga(1x2)0，故|loga(1x)|loga(1x)|.當0a|loga(1x)|.法二平方作差|loga(1x)|2|loga(1x)|2loga(1x)2loga(1x)2loga(1x2)logaloga(1x2)loga0.|loga(1x)|2|loga(1x)|2，故|loga(1x)|loga(1x)|.法三作商比較|log(1x)(1x)|，0x1，log(1x)(1x)0，故log(1x)(1x)log(1x)1log(1x)1log(1x
17、).由0x1及1，log(1x)0，故1，|loga(1x)|loga(1x)|.第2講一元二次不等式及其解法知 識 梳 理1一元二次不等式的解法(1)將不等式的右邊化為零，左邊化為二次項系數(shù)大于零的不等式ax2bxc0(a0)或ax2bxc0(a0)(2)計算相應的判別式(3)當0時，求出相應的一元二次方程的根(4)利用二次函數(shù)的圖象與x軸的交點確定一元二次不等式的解集2三個“二次”間的關系判別式b24ac000二次函數(shù)yax2bxc (a0)的圖象續(xù)表一元二次方程ax2bxc0(a0)的根有兩相異實根x1，x2(x1x2)有兩相等實根x1x2沒有實數(shù)根ax2bxc0(a0)的解集x|xx2
18、或xx1Rax2bxc0(a0)的解集x|x1xx2辨 析 感 悟1對一元二次不等式的解法的理解(1)(教材習題改編)不等式x25x60的解集為x|x6，或x1()(2)若不等式ax2bxc0的解集為(x1，x2)，則必有a0.()(3)若不等式ax2bxc0的解集是(，x1)(x2，)，則方程ax2bxc0的兩個根是x1和x2.()(4)若方程ax2bxc0(a0)沒有實數(shù)根，則不等式ax2bxc0的解集為R.()2對一元二次不等式恒成立問題的認識(5)不等式ax2bxc0在R上恒成立的條件是a0且b24ac0.()(6)若關于x的不等式ax2x10的解集為R，則a.()(7)若不等式x2a
19、x10對x恒成立，則a的最小值為.()感悟提升三個防范一是當0時，不等式ax2bxc0(a0)的解集為R還是，要注意區(qū)別，如(4)中當a0時，解集為R；當a0時，解集為.二是對于不等式ax2bxc0求解時不要忘記討論a0時的情形，如(5)中當ab0，c0時，不等式ax2bxc0在R上也是恒成立的三是解含參數(shù)的一元二次不等式，可先考慮因式分解，再對根的大小進行分類討佛論；若不能因式分解，則可對判別式進行分類討論，分類要不重不漏.考點一一元二次不等式的解法【例1】 (2014大連模擬)已知函數(shù)f(x)(ax1)(xb)，如果不等式f(x)0的解集是(1,3)，則不等式f(2x)0的解集是_解析由f
20、(x)0，得ax2(ab1)xb0，又其解集是(1,3)，a0.且解得a1或，a1，b3.f(x)x22x3，f(2x)4x24x3，由4x24x30，得4x24x30，解得x或x.答案規(guī)律方法 解一元二次不等式時，當二次項系數(shù)為負時要先化為正，再根據判別式符號判斷對應方程根的情況，然后結合相應二次函數(shù)的圖象寫出不等式的解集【訓練1】 (2013江西卷改編)使不等式x0時，原不等式可化為x21x3，解得x，當x0時，原不等式可化為解得x1.答案(，1)考點二含參數(shù)的一元二次不等式的解法【例2】 (2013煙臺期末)解關于x的不等式：ax222xax(aR)解原不等式可化為ax2(a2)x20.
21、當a0時，原不等式化為x10，解得x1.當a0時，原不等式化為(x1)0，解得x或x1.當a0時，原不等式化為(x1)0.當1，即a2時，解得1x；當1，即a2時，解得x1滿足題意；當1，即a2，解得x1.綜上所述，當a0時，不等式的解集為x|x1；當a0時，不等式的解集為；當2a0時，不等式的解集為；當a2時，不等式的解集為x|x1；當a2時，不等式的解集為.規(guī)律方法 解含參數(shù)的一元二次不等式分類討論的依據(1)二次項中若含有參數(shù)應討論是小于0，等于0，還是大于0，然后將不等式轉化為二次項系數(shù)為正的形式(2)當不等式對應方程的根的個數(shù)不確定時，討論判別式與0的關系(3)確定無根時可直接寫出解
22、集，確定方程有兩個根時，要討論兩根的大小關系，從而確定解集形式【訓練2】 (1)(2013重慶卷改編)關于x的不等式x22ax8a20)的解集為(x1，x2)，且x2x115，則a等于_(2)解關于x的不等式(1ax)21.(1)解析法一不等式x22ax8a20的解集為(x1，x2)，x1，x2是方程x22ax8a20的兩根由根與系數(shù)的關系知x2x115，又a0，a.法二由x22ax8a20，得(x2a)(x4a)0，a0，不等式x22ax8a20的解集為(2a,4a)，又不等式x22ax8a20的解集為(x1，x2)，x12a，x24a.x2x115，4a(2a)15，解得a.答案(2)解由
23、(1ax)21，得a2x22ax0，即ax(ax2)0，當a0時，x.當a0時，由ax(ax2)0，得a2x0，即0x.當a0時，x0.綜上所述：當a0時，不等式解集為空集；當a0時，不等式解集為；當a0時，不等式解集為.考點三一元二次不等式恒成立問題【例3】 已知函數(shù)f(x)mx2mx1.(1)若對于xR，f(x)0恒成立，求實數(shù)m的取值范圍；(2)若對于x1,3，f(x)5m恒成立，求實數(shù)m的取值范圍解(1)由題意可得m0或m0或4m04m0.故m的取值范圍是(4,0(2)法一要使f(x)m5在1,3上恒成立，即m2m60在x1,3上恒成立令g(x)m2m6，x1,3當m0時，g(x)在1
24、,3上是增函數(shù)，所以g(x)maxg(3)7m60，所以m，則0m；當m0時，60恒成立；當m0時，g(x)在1,3上是減函數(shù)，所以g(x)maxg(1)m60，所以m6，所以m0.綜上所述：m的取值范圍是.法二f(x)m5m(x2x1)6，x2x10，m對于x1,3恒成立，只需求的最小值，記g(x)，x1,3，記h(x)2，h(x)在x1,3上為增函數(shù)則g(x)在1,3上為減函數(shù)，g(x)ming(3)，m.所以m的取值范圍是.規(guī)律方法 (1)不等式ax2bxc0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是當a0時，b0，c0；當a0時，不等式ax2bxc0的解是全體實數(shù)(或恒成立)的條件是當a0時，
25、b0，c0；當a0時，(2)含參數(shù)的一元二次不等式在某區(qū)間內恒成立問題，常有兩種處理方法：一是利用二次函數(shù)區(qū)間上的最值來處理；二是先分離出參數(shù)，再去求函數(shù)的最值來處理，一般后者比較簡單【訓練3】 (1)若關于x的不等式ax22x20在R上恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是_(2)(2014淄博模擬)若不等式(aa2)(x21)x0對一切x(0,2恒成立，則a的取值范圍是_解析(1)當a0時，原不等式可化為2x20，其解集不為R，故a0不滿足題意，舍去；當a0時，要使原不等式的解集為R，只需解得a.綜上，所求實數(shù)a的取值范圍是.(2)x(0,2，a2a.要使a2a在x(0,2時恒成立，則a2amax，
26、由基本不等式得x2，當且僅當x1時，等號成立，即max.故a2a，解得a或a.答案(1)(2)1解不等式的基本思路是等價轉化，分式不等式整式化，使要求解的不等式轉化為一元一次不等式或一元二次不等式，進而獲得解決2當判別式0時，ax2bxc0(a0)解集為R；ax2bxc0(a0)解集為.二者不要混為一談3含參數(shù)的不等式的求解，注意選好分類標準，避免盲目討論4對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：(1)af(x)恒成立af(x)max；(2)af(x)恒成立af(x)min.思想方法6數(shù)形結合思想在“三個二次”間關系的應用【典例】 (2012福建卷)對于實數(shù)a和b，定義運算“*”；a*b 設f(x
27、)(2x1)*(x1)，且關于x的方程f(x)m(mR)恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3，則x1x2x3的取值范圍是_解析由定義可知：f(x)(2x1)*(x1)f(x)作出函數(shù)f(x)的圖象，如圖所示由圖可知，當0m時，f(x)m(mR)恰有三個互不相等的實數(shù)根x1，x2，x3.不妨設x1x2x3，易知x20，且x2x321，0x2x32，即0x2x3.令解得x或(舍去)x10，x10，0x1x2x3，x1x2x30.答案反思感悟 “三個二次”間關系，其實質是抓住二次函數(shù)yax2bxc(a0)的圖象與橫軸的交點、二次不等式ax2bxc0(a0)的解集的端點值、二次方程ax2bxc0(
28、a0)的根是同一個問題解決與之相關的問題時，可利用函數(shù)與方程思想、化歸思想將問題轉化，結合二次函數(shù)的圖象來解決【自主體驗】1已知函數(shù)f(x)則滿足不等式f(1x2)f(2x)的x的取值范圍是_解析由函數(shù)f(x)的圖象可知(如下圖)，滿足f(1x2)f(2x)分兩種情況：0x1；1x0.綜上可知：1x1.答案(1，1)2已知函數(shù)f(x)若函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，則實數(shù)m的取值范圍是_解析畫出f(x)的圖象，如圖由函數(shù)g(x)f(x)m有3個零點，結合圖象得：0m1，即m(0,1)答案(0,1)基礎鞏固題組(建議用時：40分鐘)一、填空題1(2014長春調研)已知集合Px|x2x20，Q
29、x|log2(x1)1，則(RP)Q_.解析依題意，得Px|1x2，Qx|1x3，則(RP)Q(2,3答案(2,32(2014沈陽質檢)不等式x2ax40的解集不是空集，則實數(shù)a的取值范圍是_解析不等式x2ax40的解集不是空集，只需a2160，a4或a4.答案(，4)(4，)3(2013南通二模)已知f(x)則不等式f(x)f(4)的解集為_解析f(4)2，不等式即為f(x)2.當x0時，由2，得0x4；當x0時，由x23x2，得x2，因此x0.綜上，f(x)f(4)的解集為x|x4答案x|x2x的解集為(1,3)(1)若方程f(x)6a0有兩個相等的根，求f(x)的解析式；(2)若f(x)
30、的最大值為正數(shù)，求a的取值范圍解(1)f(x)2x0的解集為(1,3)，f(x)2xa(x1)(x3)，且a0，因而f(x)a(x1)(x3)2xax2(24a)x3a.由方程f(x)6a0，得ax2(24a)x9a0.因為方程有兩個相等的根，所以(24a)24a9a0，即5a24a10，解得a1或a.由于a0，舍去a1，將a代入，得f(x)x2x.(2)由f(x)ax22(12a)x3aa2及a0，可得f(x)的最大值為.由解得a2或2a0在平面直角坐標系中表示直線AxByC0某一側所有點組成的平面區(qū)域(不包括邊界直線，此時將直線畫成虛線)畫不等式AxByC0所表示的平面區(qū)域時，包括邊界直線
31、，需把邊界直線畫成實線(2)二元一次不等式組表示的平面區(qū)域二元一次不等式組表示的平面區(qū)域，是各不等式平面區(qū)域的公共部分(3)選點法確定二元一次不等式所表示的平面區(qū)域任選一個不在直線上的點，檢驗它的坐標是否滿足所給的不等式若適合，則該點所在的一側為不等式所表示的平面區(qū)域；否則，直線的另一側為不等式所表示的平面區(qū)域2線性規(guī)劃的有關概念名稱意義線性約束條件由x，y的一次不等式(或方程)組成的不等式組，是對x，y的約束條件目標函數(shù)關于x，y的解析式線性目標函數(shù)關于x，y的一次解析式可行解滿足線性約束條件的解(x，y)可行域所有可行解組成的集合最優(yōu)解使目標函數(shù)達到最大值或最小值的可行解線性規(guī)劃問題求線性
32、目標函數(shù)在線性約束條件下的最大值或最小值的問題辨 析 感 悟1對二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域的認識(1)點(x1，y1)，(x2，y2)在直線AxByC0同側的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0，異側的充要條件是(Ax1By1C)(Ax2By2C)0.()(2)第二、四象限表示的平面區(qū)域可以用不等式xy0表示()(3)(2013廣東卷改編)已知變量x，y滿足約束條件則其表示的平面區(qū)域的面積為4.()2對簡單的線性規(guī)劃問題的理解(4)線性目標函數(shù)取得最值的點一定在可行域的頂點或邊界上()(5)目標函數(shù)zaxby(b0)中，z的幾何意義是直線axbyz0在y軸上的截距()(6)
33、(2013課標全國卷改編)設x，y滿足約束條件則z2x3y的最小值是6.()感悟提升1確定二元一次不等式表示的平面區(qū)域時，經常采用“直線定界，特殊點定域”的方法2求線性目標函數(shù)zaxby(ab0)的最值，當b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最小；當b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大考點一二元一次不等式(組)表示的平面區(qū)域【例1】 (1)直線2xy100與不等式組表示的平面區(qū)域的公共點有_個(2)(2014濟南模擬)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為_解析(1)由不等式組畫出平面區(qū)域如圖(陰影部分)直線2xy100
34、恰過點A(5,0)，且其斜率k2kAB，即直線2xy100與平面區(qū)域僅有一個公共點A(5,0)(2)不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示(陰影部分)，ABC的面積即為所求求出點A，B，C的坐標分別為(1,2)，(2,2)，(3,0)，則ABC的面積為S(21)21.答案(1)1(2)1規(guī)律方法 二元一次不等式組所確定的平面區(qū)域是不等式組中各個不等式所表示的半平面區(qū)域的公共部分，畫出平面區(qū)域的關鍵是把各個半平面區(qū)域確定準確，其基本方法是“直線定界、特殊點定域”【訓練1】 若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是_解析不等式組表示的平面區(qū)域如圖(陰影部分)，求A，B兩點的坐標分別為和(1,
35、0)，若原不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則直線xya的a的取值范圍是0a1或a.答案(0,1考點二線性目標函數(shù)的最值【例2】 (1)(2013天津卷改編)設變量x，y滿足約束條件則目標函數(shù)zy2x的最小值為_(2)(2013新課標全國卷)設x，y滿足約束條件則z2xy的最大值為_解析(1)由x，y滿足的約束條件可畫出所表示的平面區(qū)域為如圖所示的ABC，作出直線y2x，經過平移得目標函數(shù)zy2x在點B(5,3)處取得最小值，即zmin3107.(2)約束條件所表示的可行域為四邊形ABCD(如圖)，由z2xy，得y2xz.z的幾何意義是直線y2xz在y軸上的截距，要使z最大，則z最小，所以當
36、直線y2xz過點A(3,3)時，z最大，最大值為2333.答案(1)7(2)3規(guī)律方法 (1)求目標函數(shù)最值的一般步驟為：一畫、二移、三求其關鍵是準確作出可行域，理解目標函數(shù)的意義(2)在約束條件是線性的情況下，線性目標函數(shù)只有在可行域的頂點或者邊界上取得最值在解答選擇題或者填空題時可以根據可行域的頂點直接進行檢驗【訓練2】 (2013浙江卷)設zkxy，其中實數(shù)x，y滿足若z的最大值為12，則實數(shù)k_.解析約束條件所表示的可行域為如圖所示的ABC，其中點A(4,4)，B(0,2)，C(2,0)目標函數(shù)zkxy，化為ykxz.當k，即k時，目標函數(shù)zkxy在點A(4,4)取得最大值12，故4k
37、412，k2，滿足題意；當k即k時，目標函數(shù)zkxy在點B(0,2)取得最大值12，故k0212，無解，綜上可知，k2.答案2考點三線性規(guī)劃的實際應用【例3】 (2013湖北卷改編)某旅行社租用A，B兩種型號的客車安排900名客人旅行，A，B兩種車輛的載客量分別為36人和60人，租金分別為1 600元/輛和2 400元/輛，旅行社要求租車總數(shù)不超過21輛，且B型車不多于A型車7輛則租金最少為_元審題路線確定問題屬于線性規(guī)劃問題設A，B兩種型號車輛的數(shù)量為x，y，租金為z讀題，列出線性約束條件及目標函數(shù)畫出可行域把目標函數(shù)變形，平移，確定最小值經過的點解兩直線的交點點代入目標函數(shù)可得解析設旅行社
38、租用A型客車x輛，B型客車y輛，租金為z，則線性約束條件為目標函數(shù)為z1 600x2 400y.畫出可行域：如圖中陰影部分所示，可知目標函數(shù)過點(5,12)時，有最小值zmin36 800(元)答案36 800規(guī)律方法 含有實際背景的線性規(guī)劃問題其解題關鍵是找到制約求解目標的兩個變量，用這兩個變量建立可行域和目標函數(shù)，在解題時要注意題目中的各種相互制約關系，列出全面的制約條件和正確的目標函數(shù)【訓練3】 某農戶計劃種植黃瓜和韭菜，種植面積不超過50畝，投入資金不超過54萬元，假設種植黃瓜和韭菜的產量、成本和售價如下表年產量/畝年種植成本/畝每噸售價黃瓜4噸1.2萬元0.55萬元韭菜6噸0.9萬元
39、0.3萬元為使一年的種植總利潤(總利潤總銷售收入總種植成本)最大，那么黃瓜和韭菜的種植面積(單位：畝)分別為_解析設黃瓜、韭菜的種植面積分別為x，y畝，則總利潤z40.55x60.3y1.2x0.9yx0.9y.此時x，y滿足條件畫出可行域如圖，得最優(yōu)解為A(30,20)答案30,201平面區(qū)域的畫法：線定界、點定域(注意實虛線)2求最值：求二元一次函數(shù)zaxby(ab0)的最值，將函數(shù)zaxby轉化為直線的斜截式：yx，通過求直線的截距的最值間接求出z的最值最優(yōu)解在頂點或邊界取得3解線性規(guī)劃應用題，可先找出各變量之間的關系，最好列成表格，然后用字母表示變量，列出線性約束條件；寫出要研究的函數(shù)
40、，轉化成線性規(guī)劃問題思想方法7利用線性規(guī)劃思想求解非線性目標函數(shù)的最值【典例】 已知實數(shù)x，y滿足(1)若z，求z的最大值和最小值；(2)若zx2y2，求z的最大值和最小值解不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示，圖中的陰影部分即為可行域易得A(1,2)，B(2,1), M(2,3)(1)z，z的值即是可行域中的點與原點O連線的斜率，觀察圖形可知zmaxkOA2，zminkOB.所以z的最大值為2，最小值為.(2)過原點(0,0)作直線l垂直于直線xy30，垂足N，則直線l的方程為yx，由得N，點N在線段AB上，也在可行域內觀察圖象可知，可行域內點M到原點的距離最大，點N到原點的距離最小，又|OM|，
41、|ON|，即，x2y213.z的最大值為13，最小值為.反思感悟 (1)本題是線性規(guī)劃的綜合應用，考查的是非線性目標函數(shù)的最值的求法(2)解決這類問題的關鍵是利用數(shù)形結合的思想方法，給目標函數(shù)賦于一定的幾何意義(3)本題錯誤率較高出錯原因是，很多學生無從入手，缺乏數(shù)形結合的應用意識，不知道從其幾何意義入手解題【自主體驗】(2012福建卷改編)若函數(shù)y2x圖象上存在點(x，y)滿足約束條件則實數(shù)m的最大值為_解析在同一直角坐標系中作出函數(shù)y2x的圖象及所表示的平面區(qū)域，如圖陰影部分所示如圖可知，當m1時，函數(shù)y2x的圖象上存在點(x，y)滿足約束條件，故m的最大值為1.答案1基礎鞏固題組 (建議
42、用時：40分鐘)一、填空題1已知O是坐標原點，點A(1,1)，若點M(x，y)為平面區(qū)域上的一個動點，則的取值范圍是_解析(1,1)(x，y)yx，畫出線性約束條件表示的平面區(qū)域，如圖所示可以看出當zyx過點D(1,1)時有最小值0，過點C(0,2)時有最大值2，則的取值范圍是0,2答案0,22(2014泰安模擬)不等式組所表示的平面區(qū)域的面積為_解析做出不等式組對應的區(qū)域為BCD，由題意知xB1，xC2.由得yD，所以SBCD(xCxB).答案3(2014杭州模擬)在約束條件下，目標函數(shù)zxy的最大值為_解析由zxy，得y2x2z.作出可行域如圖陰影部分，平移直線y2x2z，當直線經過點C時
43、，直線y2x2z在y軸上的截距最大，此時z最大由解得C點坐標為，代入zxy，得z.答案4(2013陜西卷改編)若點(x，y)位于曲線y|x|與y2所圍成的封閉區(qū)域，則2xy的最小值為_解析如圖，曲線y|x|與y2所圍成的封閉區(qū)域如圖中陰影部分，令z2xy，則y2xz，作直線y2x，在封閉區(qū)域內平行移動直線y2x，當經過點(2,2)時，z取得最小值，此時z2(2)26.答案65(2013四川卷改編)若變量x，y滿足約束條件且z5yx的最大值為a，最小值為b，則ab的值是_解析畫出可行域，如圖所示由圖可知，當目標函數(shù)過A點時有最大值；過B點時有最小值聯(lián)立得故A(4,4)；對xy8，令y0，則x8，
44、故B(8,0)，所以a54416，b5088，則ab16(8)24.答案246(2013安徽卷)若非負變量x，y滿足約束條件則xy的最大值為_解析根據題目中的約束條件畫出可行域，注意到x，y非負，得可行域為如圖所示的陰影部分(包括邊界)作直線yx，并向上平移，當直線過點A(4,0)時，xy取得最大值，最大值為4.答案47(2013山東卷)在平面直角坐標系xOy中，M為不等式組所表示的區(qū)域上一動點，則|OM|的最小值是_解析如圖所示陰影部分為可行域，數(shù)形結合可知，原點O到直線xy20的垂線段長是|OM|的最小值，|OM|min.答案8(2014淮安質檢)若不等式組表示的平面區(qū)域是一個三角形，則a的取值范圍是_解析畫出可行域，知當直線ya在xy50與y軸的交點(0,5)和xy50與x2的交點(2,7)之間移動時平面區(qū)域是三角形故5a7.答案5,7)二、解答題9(2014合肥模擬)畫出不等式組表示的平面區(qū)域，并回答下列問題：(1)指出x，y的取值范圍；(2)平面區(qū)域內有多少個整點？解(1)不等式xy50表示直線xy50上及其右下方的點的集合，xy0表示直線xy0上及其右上方的點的集合，x3表示直線x3上及其左方的點的集合所以，不等式組表示的平面區(qū)域如圖所示結合圖中可行域
高考數(shù)學文科一輪總復習 第七篇不等式
