三年模擬一年創(chuàng)新高考數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí) 第八章 第六節(jié) 空間向量的應(yīng)用 理全國(guó)通用

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1、 第六節(jié)第六節(jié) 空間向量的應(yīng)用空間向量的應(yīng)用 A 組 專項(xiàng)基礎(chǔ)測(cè)試 三年模擬精選 一、選擇題 1(20 xx長(zhǎng)沙模擬)有以下命題： 如果向量a a，b b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，那么a a，b b的關(guān)系是不共線； O，A，B，C為空間四點(diǎn)，且向量OA，OB，OC不構(gòu)成空間的一個(gè)基底，那么點(diǎn)O，A，B，C一定共面； 已知向量a a，b b，c c是空間的一個(gè)基底，則向量a ab b，a ab b，c c也是空間的一個(gè)基底 其中正確的命題是( ) A B C D 解析 對(duì)于，“如果向量a a，b b與任何向量不能構(gòu)成空間向量的一個(gè)基底，那么a a，b b的關(guān)系一定是共線”，所以錯(cuò)誤，

2、正確 答案 C 2(20 xx莆田模擬)已知a a(2，1，3)，b b(1，4，2)，c c(7，5，)，若a a，b b，c c三向量共面，則實(shí)數(shù)等于( ) A.627 B.637 C.607 D.657 解析 由題意得c cta ab b(2t，t4，3t2)， 72t，5t4，3t2，解得t337，177，657. 答案 D 3(20 xx長(zhǎng)春模擬)已知點(diǎn)B是點(diǎn)A(3，7，4)在xOz平面上的射影，則OB2等于( ) A(9，0，16) B25 C5 D13 解析 A在xOz平面上的射影為B(3，0，4)，則OB(3，0，4)，OB 225. 答案 B 4(20 xx青島調(diào)研)正方體A

3、BCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為 1，點(diǎn)M在AC1上，且AM12MC1，N為B1B的中點(diǎn)，則|MN|為( ) A.216 B.66 C.156 D.153 解析 如圖，設(shè)ABa a，ADb b，AA1c c， 則a ab bb bc cc ca a0. 由條件知MNMAABBN 13(a ab bc c)a a12c c 23a a13b b16c c， MN249a a219b b2136c c22136， |MN|216. 答案 A 二、填空題 5(20 xx壽光模擬)已知a a(1t，1t，t)，b b(2，t，t)，則|b ba a|的最小值為_(kāi) 解析 b ba a(1t，2t1，0)，

4、 |b ba a| （1t）2（2t1）25（t15）295， 當(dāng)t15時(shí)，|b ba a|取得最小值為3 55. 答案 3 55 一年創(chuàng)新演練 6.如圖所示，已知空間四邊形OABC，OBOC，且AOBAOC3，則 cosOA，BC的值為( ) A0 B.12 C.32 D.22 解析 設(shè)OAa a，OBb b，OCc c，由已知條件a a，b ba a，c c3，且|b b|c c|， OABCa a(c cb b)a ac ca ab b 12|a a|c c|12|a a|b b|0， cosOA，BC0. 答案 A 7.直三棱柱ABCABC中，ACBCAA，ACB90，D，E分別為AB

5、，BB的中點(diǎn) (1)求證：CEAD； (2)求異面直線CE與AC所成角的余弦值 (1)證明 設(shè)CAa a，CBb b， CCc c， 根據(jù)題意，|a a|b b|c c|， 且a ab bb bc cc ca a0， CEb b12c c，ADc c12b b12a a. CEAD12c c212b b20. CEAD，即CEAD. (2)解 ACa ac c， |AC| 2|a a|，|CE|52|a a|. ACCE(a ac c)(b b12c c)12c c212|a a|2， cosAC，CE12|a a|2252|a a|21010. 即異面直線CE與AC所成角的余弦值為1010.

6、 B 組 專項(xiàng)提升測(cè)試 三年模擬精選 一、選擇題 8(20 xx福州模擬)若兩點(diǎn)的坐標(biāo)是A(3cos ，3sin ，1)，B(2cos ，2sin ，1)，則|AB|的取值范圍是( ) A0，5 B1，5 C(0，5) D1，25 解析 A(3cos ，3sin ，1)，B(2cos ，2sin ，1)，|AB| （3cos 2cos ）2（3sin 2sin ）2（11）2 9412（cos cos sin sin ） 1312cos（）， 1312|AB| 255， 即 1|AB|5，故選 B. 答案 B 二、填空題 9(20 xx?？谀M)已知空間三點(diǎn)A(0，2，3)，B(2，1，6)，

7、C(1，1，5)則以AB，AC為邊的平行四邊形的面積為_(kāi) 解析 由題意可得： AB(2，1，3)，AC(1，3，2)， cosAB，ACABAC|AB|AC| 23614 1471412.sinAB，AC32. 以AB，AC為邊的平行四邊形的面積 S212|AB|AC|sinAB，AC14327 3. 答案 7 3 三、解答題 10.(20 xx河南商丘模擬)如圖，在三棱柱ABCA1B1C1中，已知AB側(cè)面BB1C1C，ABBC1，BB12，BCC160. (1)求證：C1B平面ABC； (2)設(shè)CECC1(01)，且平面AB1E與BB1E所成的銳二面角的大小為 30，試求的值 (1)證明 因

8、為AB平面BB1C1C，BC1 平面BB1C1C，所以ABBC1， 在CBC1中，BC1，CC1BB12，BCC160， 由余弦定理得：BC21BC2CC212BCCC1cosBCC1 1222212cos 603， 所以BC1 3，故BC2BC21CC21，所以BCBC1， 又BCABB，C1B平面ABC. (2)解 由(1)可知，AB，BC，BC1兩兩垂直以B為原點(diǎn)，BC，BA，BC1所在直線為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系. 則B(0，0，0)，A(0，1，0)，C(1，0，0)， C1(0，0， 3)，B1(1，0， 3) 所以CC1(1，0， 3), 所以CE(，0， 3)，E(1，

9、0， 3)，則AE(1，1， 3)，AB1(1，1， 3) 設(shè)平面AB1E的一個(gè)法向量為n n(x，y，z)， 則n nAE，n nAB1，得（1）xy 3z0，xy 3z0， 令z 3，則x332，y32， ，n n332，32， 3 ， AB平面BB1C1C，BA(0，1，0)是平面的一個(gè)法向量， |cosn n，BA|n nBA|n n|BA| 3213322322（ 3）232. 兩邊平方并化簡(jiǎn)得 22530，所以1 或32(舍去)1. 11(20 xx山東青島一模)如圖，在多面體ABCDEF中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為 2 的的菱形，BAD60，四邊形BDEF是矩形，平面BDEF平面AB

10、CD，BF3，G和H分別是CE和CF的中點(diǎn) (1)求證：平面BDGH平面AEF； (2)求二面角HBDC的大小 (1)證明 在CEF中，因?yàn)镚，H分別是CE，CF的中點(diǎn) 所以GHEF，又因?yàn)镚H平面AEF，EF 平面AEF， 所以GH平面AEF. 設(shè)ACBDO，連接OH， 因?yàn)锳BCD為菱形， 所以O(shè)為AC中點(diǎn)， 在ACF中，因?yàn)镺AOC，CHHF， 所以O(shè)HAF， 又因?yàn)镺H平面AEF，AF 平面AEF， 所以O(shè)H平面AEF. 又因?yàn)镺HGHH，OH，GH 平面BDGH， 所以平面BDGH平面AEF. (2)解 取EF的中點(diǎn)N，連接ON， 因?yàn)樗倪呅蜝DEF是矩形，O，N分別為BD，EF的中

11、點(diǎn)， 所以O(shè)NED， 因?yàn)槠矫鍮DEF平面ABCD， 所以ED平面ABCD， 所以O(shè)N平面ABCD， 因?yàn)锳BCD為菱形，所以ACBD，得OB，OC，ON兩兩垂直 所以以O(shè)為原點(diǎn)，OB，OC，ON所在直線分別為x軸，y軸，z軸， 如圖建立空間直角坐標(biāo)系 因?yàn)榈酌鍭BCD是邊長(zhǎng)為 2 的菱形，BAD60，BF3， 所以B(1，0，0)，D(1，0，0)，E(1，0，3)，F(xiàn)(1，0，3)，C(0，3，0)，H12，32，32， 所以BH12，32，32，DB(2，0，0) 設(shè)平面BDH的法向量為n n(x，y，z)， 則n nBH0n nDB0 x 3y3z0，2x0， 令z1，得n n(0，

12、3，1) 由ED平面ABCD，得平面BCD的法向量為DE(0，0，3)， 則 cosn n，DEn nDE|n|n|DE| 00（ 3）01323 12. 所以二面角HBDC的大小為 60. 一年創(chuàng)新演練 12如圖，在直角梯形ABCP中，APBC，APAB，ABBC12AP2，D是AP的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別為PC，PD，CB的中點(diǎn)將PCD沿CD折起，使得PD平面ABCD. (1)求證：平面PCD平面PAD； (2)求二面角GEFD的大小； (3)求三棱錐DPAB的體積 (1)證明 PD平面ABCD.CD 平面ABCD， PDCD.又ABBC12APAD，APAB， 四邊形ABCD為正方形， C

13、DAD.又PDADD， CD平面PAD. CD 平面PCD， 平面PCD平面PAD. (2)解 如圖，以D為原點(diǎn)，分別以DC，DA，DP為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系Dxyz. 則G(2，1，0)，E(1，0，1)， F(0，0，1)，EF(1，0，0)，EG(1，1，1) 設(shè)平面EFG的法向量為n n(x，y，z)， n nEF0，n nEG0，即 x0，xyz0， x0，yz. 取n n(0，1，1) 取平面PCD的一個(gè)法向量DA(0，1，0)， cosDA，n nDAn n|DA|n n|1222. 結(jié)合圖知二面角GEFD的大小為 45. (3)解 三棱錐DPAB的體積 VDPAB

14、VPDAB13SABDPD 131222243. 13.如圖，平面PAC平面ABC，ABC是以AC為斜邊的等腰直角三角形，E，F(xiàn)，O分別為PA，PB，AC的中點(diǎn)，AC16，PAPC10. (1)設(shè)G是OC的中點(diǎn)，證明：FG平面BOE； (2)證明：在ABO內(nèi)存在一點(diǎn)M，使FM平面BOE，并求點(diǎn)M到OA，OB的距離 證明 (1)如圖，連接OP，以點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以O(shè)B，OC，OP所在直線為x軸，y軸，x軸，建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz， 則O(0，0，0)，A(0，8，0)，B(8，0，0)，C(0，8，0)，P(0，0，6)，E(0，4，3)，F(xiàn)(4，0，3) 由題意，得G(0，4，0) 因?yàn)镺B(8，0，0)，OE(0，4，3)， 所以平面BOE的一個(gè)法向量為n n(0，3，4) 由FG(4，4，3)，得n nFG0， 又直線FG不在平面BOE內(nèi)，所以FG平面BOE. (2)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x0，y0，0)， 則FM(x04，y0，3) 因?yàn)镕M平面BOE， 所以FMn n. 因此x04，y094， 即點(diǎn)M的坐標(biāo)是(4，94，0) 在平面直角坐標(biāo)系xOy中， AOB的內(nèi)部區(qū)域可表示為不等式組 x0，y0，xy8. 經(jīng)檢驗(yàn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)滿足上述不等式組，所以在AOB內(nèi)存在一點(diǎn)M, 使FM平面BOE. 由點(diǎn)M的坐標(biāo)得點(diǎn)M到OA，OB的距離分別為 4，94.