高考真題：理科數(shù)學 廣東卷試卷含答案

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1、 一.選擇題：本大題共8個小題,每小題5分,共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項 是符合題目要求的. 1．若集合，，則 A． B． C． D． 【答案】． 【考點定位】本題考查一元二次方程、集合的基本運算，屬于容易題． 2．若復數(shù) ( 是虛數(shù)單位 )，則 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】因為，所以，故選． 【考點定位】本題考查復數(shù)的基本運算，屬于容易題． 3

2、．下列函數(shù)中，既不是奇函數(shù)，也不是偶函數(shù)的是 A． B． C． D． 【答案】． 【解析】令，則，即，，所以既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，而BCD依次是奇函數(shù)、偶函數(shù)、偶函數(shù)，故選． 【考點定位】本題考查函數(shù)的奇偶性，屬于容易題． 4．袋中共有15個除了顏色外完全相同的球，其中有10個白球，5個紅球。從袋中任取2個球，所 取的2個球中恰有1個白球，1個紅球的概率為 A．1 B. C. D. 【答案】． 【解析】從袋

3、中任取個球共有種，其中恰好個白球個紅球共有種，所以恰好個白球個紅球的概率為，故選． 【考點定位】本題考查排列組合、古典概率的計算，屬于容易題． 5．平行于直線且與圓相切的直線的方程是 A．或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】． 【考點定位】本題考查直線與圓的位置關系，屬于容易題． 6．若變量，滿足約束條件則的最小值為 A． B. 6 C. D. 4 【答案】． 【解析】不等式所表示的可行域如下圖所示， x y O A l

4、 由得，依題當目標函數(shù)直線：經過時，取得最小值即，故選 【考點定位】本題考查二元一次不等式的線性規(guī)劃問題，屬于容易題． 7．已知雙曲線：的離心率，且其右焦點，則雙曲線的方程為 A． B. C. D. 【答案】． 【解析】因為所求雙曲線的右焦點為且離心率為，所以，，所以所求雙曲線方程為，故選． 【考點定位】本題考查雙曲線的標準方程及其簡單基本性質，屬于容易題． 8．若空間中個不同的點兩兩距離都相等，則正整數(shù)的取值 A．大于5 B. 等于5 C. 至多等于4 D. 至多等于3

5、【答案】． 【考點定位】本題考查空間想象能力、推理能力，屬于中高檔題． 第Ⅱ卷(共110分) 二.填空題：本大題共7小題，考生作答6小題，每小題5分，滿分30分. (一)必做題(9～13題) 9．在的展開式中，的系數(shù)為 【答案】． 【解析】由題可知，令解得，所以展開式中的系數(shù)為，故應填入． 【考點定位】本題考查二項式定理，屬于容易題． 10．在等差數(shù)列中，若，則= 【答案】． 【解析】因為是等差數(shù)列，所以，即，，故應填入． 【考點定位】本題考查等差數(shù)列的性質及簡單運算，屬于容易題． 11．設的內角，，的對邊分別為，，，若，

6、，，則 【答案】． 【考點定位】本題考查正弦定理解三角形，屬于容易題． 12、某高三畢業(yè)班有人，同學之間兩兩彼此給對方僅寫一條畢業(yè)留言，那么全班共寫了 條畢業(yè)留言．（用數(shù)字作答） 【答案】． 【解析】依題兩兩彼此給對方寫一條畢業(yè)留言相當于從人中任選兩人的排列數(shù)，所以全班共寫了條畢業(yè)留言，故應填入． 【考點定位】本題考查排列組合問題，屬于中檔題． 13、已知隨機變量服從二項分布，若，，則 ． 【答案】． 【解析】依題可得且，解得，故應填入． 【考點定位】本題考查二項分布的性質，屬于容易題． (二)選做題(14～15題，考生從中選做一

7、題) 14．(坐標系與參數(shù)方程選做題)已知直線的極坐標方程為，點的極坐標為 ，則點到直線的距離為 【答案】． 【解析】依題已知直線：和點可化為：和，所以點與直線的距離為，故應填入． 【考點定位】本題考查極坐標與平面直角坐標的互化、點與直線的距離，屬于容易題． 15.（幾何證明選講選作題）如圖1，已知是圓的直徑，，是圓的切線，切點為， ，過圓心做的平行線，分別交和于點和點，則 【答案】． 【考點定位】本題考查直線與圓、直角三角形的射影定理，屬于中檔題． 三.解答題：本大題共6小題，滿分80分. 16．（本小題滿分12分）

8、 在平面直角坐標系中，已知向量，，。 （1）若，求tan x的值 （2）若與的夾角為，求的值。 【答案】（1）；（2）． 【考點定位】本題考查向量數(shù)量積的坐標運算、兩角和差公式的逆用、知角求值、值知求角等問題，屬于中檔題． 17（本小題滿分12分） 某工廠36名工人的年齡數(shù)據(jù)如下表。 工人編號 年齡 工人編號 年齡 工人編號 年齡 工人編號 年齡 1 40 2 44 3 40 4 41 5 33 6 40 7 45 8 42 9 43 10 36 11 31 12 38 13 39 14 43 15 45 16

9、 39 17 38 18 36 19 27 20 43 21 41 22 37 23 34 24 42 25 37 26 44 27 42 28 34 29 39 30 43 31 38 32 42 33 53 34 37 35 49 36 39 （1）用系統(tǒng)抽樣法從36名工人中抽取容量為9的樣本，且在第一分段里用隨機抽樣法抽到的年齡數(shù)據(jù)為44，列出樣本的年齡數(shù)據(jù)； （2）計算（1）中樣本的平均值和方差； （3）36名工人中年齡在與之間有多少人？所占的百分比是多少（精確到0.01％）？ 【答案】（1），，，，，，，，；（2），；（3），約占．

10、【考點定位】本題考查系統(tǒng)抽樣、樣本的均值與方差、樣本數(shù)據(jù)統(tǒng)計等知識，屬于中檔題． 18．（本小題滿分14分） 如圖2，三角形所在的平面與長方形所在的平面垂直，，，.點是邊的中點，點、分別在線段、上，且，. （1）證明：； （2）求二面角的正切值； （3）求直線與直線所成角的余弦值. 【答案】（1）見解析；（2）；（3）． 【解析】（1）證明：∵ 且點為的中點， ∴ ，又平面平面，且平面平面，平面， ∴ 平面，又平面， ∴ ； P A B C D E F G （2）∵ 是矩形， ∴ ，又平面平面，且平面平面，平面， ∴ 平面，又、平面，

11、 ∴ ，， ∴ 即為二面角的平面角， 在中，，，， ∴ 即二面角的正切值為； （3）如下圖所示，連接， ∵ ，即， ∴ ， ∴ 為直線與直線所成角或其補角， 在中，，， P A B C D E F G 由余弦定理可得， ∴ 直線與直線所成角的余弦值為． 【考點定位】本題考查直線與直線垂直、二面角、異面直線所成角等知識，屬于中檔題． 19．（本小題滿分14分） 設，函數(shù)。 (1) 求的單調區(qū)間 ； (2) 證明：在上僅有一個零點； (3) 若曲線在點處的切線與軸平行，且在點處的切線與直線平行（是坐標原點）,證明：．

12、【答案】（1）；（2）見解析；（3）見解析． 【解析】（1）依題， ∴ 在上是單調增函數(shù)； 【考點定位】本題考查導數(shù)與函數(shù)單調性、零點、不等式等知識，屬于中高檔題． 20．（本小題滿分14分） 已知過原點的動直線與圓相交于不同的兩點，. （1）求圓的圓心坐標； （2）求線段的中點的軌跡的方程； （3）是否存在實數(shù)，使得直線與曲線只有一個交點：若存在，求出的取值范圍；若不存在，說明理由. 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】（1）由得， ∴ 圓的圓心坐標為； （2）設，則 ∵ 點為弦中點即， ∴ 即， ∴ 線段的中點的軌跡的方程為； （3）由（2）知

13、點的軌跡是以為圓心為半徑的部分圓?。ㄈ缦聢D所示，不包括兩端點），且，，又直線：過定點， 當直線與圓相切時，由得，又，結合上圖可知當時，直線：與曲線只有一個交點． 【考點定位】本題考查圓的標準方程、軌跡方程、直線斜率等知識與數(shù)形結合思想等應用，屬于中高檔題． 21．（本小題滿分14分） 數(shù)列滿足 , . (1) 求的值； (2) 求數(shù)列前項和； (3) 令，，證明：數(shù)列的前項和 滿足 【答案】（1）；（2）；（3）見解析． （3）依題由知，， 【考點定位】本題考查遞推數(shù)列求項值、通項公式、等比數(shù)列前項和、不等式放縮等知識，屬于中高檔題．