2020高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案：第二章 167;1 從位移、速、力到向量 Word版含答案

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1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料 [核心必知] 1．位移、速度和力 位移、速度和力這些物理量都是既有大小，又有方向的量，在物理中稱(chēng)為“矢量”，它們和長(zhǎng)度、面積、質(zhì)量等只有大小的量是不同的． 2．向量的概念 (1)向量的定義：在數(shù)學(xué)中，把既有大小，又有方向的量統(tǒng)稱(chēng)為向量． (2)向量的表示法 ①有向線(xiàn)段：具有方向和長(zhǎng)度的線(xiàn)段叫作有向線(xiàn)段． ②向量的表示法 (ⅰ)幾何表示法：用有向線(xiàn)段表示，若有向線(xiàn)段的起點(diǎn)為A，終點(diǎn)為B，則該有向線(xiàn)段記作： (ⅱ)字母表示法：用黑體小寫(xiě)字母a，b，c，…表示，書(shū)寫(xiě)用表示． (3)向量的模(長(zhǎng)度) 向量 (或a)

2、的大小，稱(chēng)為向量 (或a)的長(zhǎng)度，也叫模，記作||(或|a|)． (4)與向量有關(guān)的概念 零向量 長(zhǎng)度為零的向量稱(chēng)為零向量，記作0 單位向量 與向量a同方向，且長(zhǎng)度為單位1的向量，叫作a方向上的單位向量，記作a0 自由向量 由大小和方向確定，而與起點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的向量稱(chēng)為自由向量 相等向量 長(zhǎng)度相等且方向相同的向量，叫作相等向量．向量a與b相等，記作a＝b 平行(共線(xiàn)) 向量 如果表示兩個(gè)向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)平行或重合，則稱(chēng)這兩個(gè)向量平行或共線(xiàn)．a(chǎn)與b平行或共線(xiàn)，記作a∥b．零向量與任一向量平行 [問(wèn)題思考] 1．有向線(xiàn)段就是向量，對(duì)嗎？ 提示：不對(duì)．有向線(xiàn)段

3、的起點(diǎn)、終點(diǎn)是確定的，而向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān)，可以自由平移，它可以用有向線(xiàn)段表示，但不能說(shuō)有向線(xiàn)段就是向量． 2．相等向量的起點(diǎn)相同，對(duì)嗎？ 提示：不對(duì)．相等向量是指長(zhǎng)度相等且方向相同的向量．所以，兩個(gè)向量只要長(zhǎng)度相等，方向相同，即是相等的向量，與起點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)． 講一講 1．判斷給出下列命題是否正確，并說(shuō)明理由． (1)若|a|>|b|，則a>b； (2)若|a|＝|b|，則a＝b； [嘗試解答]　(1)不正確．向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大小，但向量是有方向的量，方向是不能比較大小的，所以，向量只有相等與不相等的關(guān)系． (2)不正確

4、．兩向量相等，必須長(zhǎng)度相等，且方向相同，所以?xún)H模相等，并不一定是相等的向量； 1．對(duì)向量有關(guān)概念的理解要嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確，特別注意向量不同于數(shù)量，它既有大小，又有方向，而方向不能比較大小，所以任給兩個(gè)向量都不能比較大?。? 2.對(duì)于兩個(gè)向量，只要方向相同或相反，一定是共線(xiàn)向量． 3．零向量是特殊的向量，解題時(shí)一定要注意其方向的任意性． 練一練 1．給出下列命題 (1)若|a|＝0，則a＝0； (2)若a＝b，則|a|＝|b|； (3)向量a與向量b平行，則a與b的方向相同或相反； (4)兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量，其終點(diǎn)必相同； (5)兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量，一定是共線(xiàn)

5、向量； 其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．1　　　　　　　　　B．2 C．3 D．4 解析：選B　(1)不正確．零向量與數(shù)字0是兩個(gè)不同的概念，零向量是一個(gè)向量，而數(shù)字0是一個(gè)實(shí)數(shù)，沒(méi)有等量關(guān)系； (2)正確．兩向量相等，其長(zhǎng)度必然相等； (3)不正確．若a與b中有一個(gè)為零向量時(shí)，其方向是不確定的； (4)正確．相等的向量，長(zhǎng)度相等且方向相同，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)必相同； (5)不正確．終點(diǎn)相同并不能說(shuō)明這兩個(gè)向量的方向相同或相反． 講一講 2．小李離家從A點(diǎn)出發(fā)向東走2 km到達(dá)B點(diǎn)，然后從B點(diǎn)沿南偏西60°走4 km，到達(dá)

6、C點(diǎn)，又改變方向向西走2 km到達(dá)D點(diǎn)． (2)求小李到達(dá)D點(diǎn)時(shí)與A點(diǎn)的距離． 即小李到達(dá)D點(diǎn)時(shí)離A點(diǎn)4 km. 1．用有向線(xiàn)段表示向量時(shí)，先確定起點(diǎn)，再確定方向，最后依據(jù)模的大小確定向量的終點(diǎn)． 2．確定向量的長(zhǎng)度或方向時(shí)，需要用平面幾何的知識(shí)，如直角三角形的解法、平行四邊形的性質(zhì)等． 練一練 2. 中國(guó)象棋中規(guī)定：馬走“日”字，象走“田”字．如下圖所示，在中國(guó)象棋的半個(gè)棋盤(pán)(4×8個(gè)矩形中，每個(gè)小方格都是單位正方形)中，若馬在A處，可跳到A1處，也可跳到A2處，用向量表示馬走了“一步”，試在圖中畫(huà)出馬在B、C處走了一步的所有情況． 解：如圖，以

7、點(diǎn)C為起點(diǎn)作向量(共8個(gè))，以點(diǎn)B為起點(diǎn)作向量(共3個(gè))． 講一講 3．如圖所示，O為正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn)，四邊形OAED、OCFB都是正方形．在圖中所示的向量中： (1)分別寫(xiě)出與相等的向量； (2)寫(xiě)出與共線(xiàn)的向量． 1．在平面圖形中找相等向量、共線(xiàn)向量時(shí)，首先要注意分析平面圖形中相等、平行關(guān)系，同時(shí)注意線(xiàn)段的平行和相等與向量平行和相等的區(qū)別，充分利用平行四邊形的性質(zhì)． 2．尋求相等向量，抓住長(zhǎng)度相等，方向相同兩個(gè)要素；尋求共線(xiàn)向量，抓住方向相同或相反的一個(gè)要素． 練一練 3. 如右圖，四邊形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形，

8、則下列關(guān)系不一定成立的是(　　) 解析：選C　由題意知，AB＝EF，∴A成立； 又AB∥FH，DC與EC共線(xiàn)都成立， ∴B，D成立． 而B(niǎo)D不一定等于EH，故C不一定成立． [巧思]　 ＝1說(shuō)明點(diǎn)P到定點(diǎn)O的距離為1，即P在以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，Q點(diǎn)在圓外，表示P、Q兩點(diǎn)的距離，因此可采用數(shù)形結(jié)合法來(lái)解決． [妙解]　如圖，由＝1知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是單位圓，連接QO并延長(zhǎng)與單位圓相交于A，B兩點(diǎn)，由平面知識(shí)易知： 當(dāng)P運(yùn)動(dòng)至A，B兩點(diǎn)時(shí)，向量|分別取最小值，最大值， 1．下列物理量：①質(zhì)量；②速度；③力；④加速度；⑤路程；⑥密度

9、；⑦功．其中不是向量的有(　　) A．1個(gè)　　　　　　　　　B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 解析：選D　本題主要考查向量的概念，看一個(gè)量是不是向量，就是看它是否具備向量的兩個(gè)要素：大小和方向，因?yàn)棰冖邰苁羌扔写笮?，又有方向的量，所以它們是向量；而①⑤⑥⑦只有大小而沒(méi)有方向的量，所以不是向量． 2．給出下列命題： ①起點(diǎn)相同，方向相同的兩個(gè)非零向量的終點(diǎn)相同；②起點(diǎn)相同的兩個(gè)相等的非零向量的終點(diǎn)相同；③兩個(gè)平行的非零向量的方向相同；④兩個(gè)共線(xiàn)的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)一定共線(xiàn)．其中正確的是(　　) A．①② B．② C．②③ D．③④ 解析：選B　起點(diǎn)相同，方向相同的兩個(gè)非零向量

10、若長(zhǎng)度不相等，則終點(diǎn)不相同，故①不正確；起點(diǎn)相同且相等的兩個(gè)非零向量的終點(diǎn)相同，故②正確；兩個(gè)平行的非零向量的方向相同或相反，故③不正確；兩個(gè)共線(xiàn)的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)不一定共線(xiàn)，所對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)可能平行，故④不正確． 3. 設(shè)O為△ABC的外心，則是(　　) A．相等向量 B．平行向量 C．模相等的向量 D．起點(diǎn)相同的向量 解析：選C　顯然AO、BO、CO互不平行，但長(zhǎng)度相等，所以| . 4．如圖所示，四邊形ABCD和四邊形ABDE都是平行四邊形． (1)與向量相等的向量有________； (2)若＝3，則向量的模等于________． 解析：(1)相等向量既模相等

11、，又方向相同，所以與相等的向量有. 5. 如圖，B、C是線(xiàn)段AD的三等分點(diǎn)，分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)最多可以寫(xiě)出________個(gè)互不相等的非零向量． 答案： 6 6．我國(guó)國(guó)內(nèi)有些城市的道路命名非常有趣，它以“經(jīng)緯”來(lái)命名道路，目前比較典型的有鄭州市，其經(jīng)緯路走向與地理意義上的經(jīng)緯走向保持了一致，濟(jì)南市的命名則與地理意義的經(jīng)緯走向是完全相反的，另外西安市以前也以經(jīng)緯命名道路，但后來(lái)大多更名．設(shè)某城市的地圖如圖(街道剛好分布在一個(gè)方形格紙中且距離都為1個(gè)單位)：請(qǐng)作出某人從經(jīng)1緯2路口走到經(jīng)3緯4路口的位移，并計(jì)算其走過(guò)的最短路程和位移的大?。? 解：如圖，用向量表示某

12、人的位移． 位移的大小為＝2個(gè)單位長(zhǎng)度． 從A走到B，必然向右走2個(gè)單位，向下走2個(gè)單位，所以走過(guò)的路程為4個(gè)單位長(zhǎng)度． 一、選擇題 1．給出下列命題： ①若a＝－b，則|a|＝|b|；②若|a|<|b|，則a<b； ③若a＝b，則a∥b；④若a∥b，b∥c，則a∥c.其中正確命題的個(gè)數(shù)是(　　) A．0　　　　　　　　　　　B．1 C．2 D．3 解析：選C　對(duì)于①，若a＝－b，則a，b互為反向量，所以|a|＝|b|，①正確；對(duì)于②，向量的長(zhǎng)度有大小，但向量不能比較大小，所以②不正確；對(duì)于③，a＝b，意味著a與b

13、的方向相同，所以a∥b；對(duì)于④，若b＝0，則a∥b，b∥c，但a與c方向不一定相同或相反，所以④不正確． 2．某人向正東方向行進(jìn)100 m后，再向正南方向行進(jìn)100 m，則此人位移的方向是(　　) A．南偏東60° B．南偏東45° C．南偏東30° D．南偏東15° ∴θ＝60°. 3．下列說(shuō)法中正確的是(　　) A．平行向量一定方向相同 B．共線(xiàn)向量一定相等 C．起點(diǎn)不同，但方向和模相等的幾個(gè)向量一定是相等的向量 D．與任意向量都平行的向量不一定是零向量 解析：選C　非零平行(共線(xiàn))向量要么方向相同，要么方向

14、相反，所以A、B均不正確；只有零向量與任意向量平行，故D不正確；C正確． 4．已知集合A＝{與a共線(xiàn)的向量}，B＝{與a長(zhǎng)度相等的向量}，C＝{與a長(zhǎng)度相等，方向相反的向量}，其中a為非零向量，則下列命題中錯(cuò)誤的是(　　) A．CA B．A∩B＝C C．CB D．A∩BC 解析：選B　∵A∩B中還含有向量a，故B錯(cuò)． 二、填空題 5. 如圖，在四邊形ABCD中，且則四邊形ABCD為_(kāi)_______． 答案：菱形 6．在?ABCD中，E，F(xiàn)分別是AB、CD的中點(diǎn)，如圖所示的向量中，設(shè)＝a，＝b，則與a相等的向量是________；與b共線(xiàn)的向量是______

15、__． 7．如圖，設(shè)每一個(gè)正方形小方格的邊長(zhǎng)為1，則向量，GH―→的長(zhǎng)度從小到大排列依次為_(kāi)_______________． 8. 如圖，已知矩形ABCD中，設(shè)點(diǎn)集M＝{A，B，C，D}，集合T＝{|P、Q∈M，且≠0}．則集合T中有________個(gè)元素． 解析：集合T＝{|P、Q∈M，且≠0}中的元素為非零向量，且向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)分別為矩形的頂點(diǎn)A、B、C、D.根據(jù)集合元素的互異性，得集合T＝{，}共含有8個(gè)元素． 答案：8 三、解答題 9．一架測(cè)繪飛機(jī)從A點(diǎn)向北飛行200 km到達(dá)B點(diǎn)，再?gòu)腂點(diǎn)向東飛行100 km到達(dá)C點(diǎn)，再?gòu)腃點(diǎn)向東南45°

16、飛行了100 km到達(dá)D點(diǎn)，問(wèn)飛機(jī)從D點(diǎn)飛回A點(diǎn)的位移大小是多少km? 解：如圖，建立平面直角坐標(biāo)系xAy，其中x軸的正方向表示正東方向，y軸的正方向表示正北方向，作DE⊥AB，CF⊥DE，垂足分別為E、F. 在Rt△CDF中，||＝100， ∠CFD＝90°，∠CDF＝45°， ∴CF＝DF＝100，ED＝200， 在Rt△AED中，BE＝EA＝100， ∴||＝＝100(km)． 故飛機(jī)從D點(diǎn)飛回A點(diǎn)的位移大小為100 km. 10．在如圖所示的方格紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)均為1)，已知向量a. (1)試以B為起點(diǎn)畫(huà)一個(gè)向量b，使b＝a； (2)畫(huà)一個(gè)以C為起點(diǎn)的向量c，使|c|＝2，并說(shuō)出c的終點(diǎn)的軌跡是什么． 解：(1)根據(jù)相等向量的定義，所作向量應(yīng)與a平行，且長(zhǎng)度相等，如圖所示． (2)由平面幾何知識(shí)可作滿(mǎn)足條件的向量c.所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以C為圓心，2為半徑的圓，如上圖．