《2020高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案:第二章 167;1 從位移、速、力到向量 Word版含答案》由會(huì)員分享,可在線(xiàn)閱讀,更多相關(guān)《2020高中數(shù)學(xué)北師大版必修四教學(xué)案:第二章 167;1 從位移、速、力到向量 Word版含答案(12頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、北師大版2019-2020學(xué)年數(shù)學(xué)精品資料
[核心必知]
1.位移、速度和力
位移、速度和力這些物理量都是既有大小,又有方向的量,在物理中稱(chēng)為“矢量”,它們和長(zhǎng)度、面積、質(zhì)量等只有大小的量是不同的.
2.向量的概念
(1)向量的定義:在數(shù)學(xué)中,把既有大小,又有方向的量統(tǒng)稱(chēng)為向量.
(2)向量的表示法
①有向線(xiàn)段:具有方向和長(zhǎng)度的線(xiàn)段叫作有向線(xiàn)段.
②向量的表示法
(ⅰ)幾何表示法:用有向線(xiàn)段表示,若有向線(xiàn)段的起點(diǎn)為A,終點(diǎn)為B,則該有向線(xiàn)段記作:
(ⅱ)字母表示法:用黑體小寫(xiě)字母a,b,c,…表示,書(shū)寫(xiě)用表示.
(3)向量的模(長(zhǎng)度)
向量 (或a)
2、的大小,稱(chēng)為向量 (或a)的長(zhǎng)度,也叫模,記作||(或|a|).
(4)與向量有關(guān)的概念
零向量
長(zhǎng)度為零的向量稱(chēng)為零向量,記作0
單位向量
與向量a同方向,且長(zhǎng)度為單位1的向量,叫作a方向上的單位向量,記作a0
自由向量
由大小和方向確定,而與起點(diǎn)位置無(wú)關(guān)的向量稱(chēng)為自由向量
相等向量
長(zhǎng)度相等且方向相同的向量,叫作相等向量.向量a與b相等,記作a=b
平行(共線(xiàn))
向量
如果表示兩個(gè)向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)平行或重合,則稱(chēng)這兩個(gè)向量平行或共線(xiàn).a(chǎn)與b平行或共線(xiàn),記作a∥b.零向量與任一向量平行
[問(wèn)題思考]
1.有向線(xiàn)段就是向量,對(duì)嗎?
提示:不對(duì).有向線(xiàn)段
3、的起點(diǎn)、終點(diǎn)是確定的,而向量與起點(diǎn)無(wú)關(guān),可以自由平移,它可以用有向線(xiàn)段表示,但不能說(shuō)有向線(xiàn)段就是向量.
2.相等向量的起點(diǎn)相同,對(duì)嗎?
提示:不對(duì).相等向量是指長(zhǎng)度相等且方向相同的向量.所以,兩個(gè)向量只要長(zhǎng)度相等,方向相同,即是相等的向量,與起點(diǎn)的位置無(wú)關(guān).
講一講
1.判斷給出下列命題是否正確,并說(shuō)明理由.
(1)若|a|>|b|,則a>b;
(2)若|a|=|b|,則a=b;
[嘗試解答] (1)不正確.向量的模是一個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù),可以比較大小,但向量是有方向的量,方向是不能比較大小的,所以,向量只有相等與不相等的關(guān)系.
(2)不正確
4、.兩向量相等,必須長(zhǎng)度相等,且方向相同,所以?xún)H模相等,并不一定是相等的向量;
1.對(duì)向量有關(guān)概念的理解要嚴(yán)謹(jǐn)、準(zhǔn)確,特別注意向量不同于數(shù)量,它既有大小,又有方向,而方向不能比較大小,所以任給兩個(gè)向量都不能比較大?。?
2.對(duì)于兩個(gè)向量,只要方向相同或相反,一定是共線(xiàn)向量.
3.零向量是特殊的向量,解題時(shí)一定要注意其方向的任意性.
練一練
1.給出下列命題
(1)若|a|=0,則a=0;
(2)若a=b,則|a|=|b|;
(3)向量a與向量b平行,則a與b的方向相同或相反;
(4)兩個(gè)有共同起點(diǎn)而且相等的向量,其終點(diǎn)必相同;
(5)兩個(gè)有共同終點(diǎn)的向量,一定是共線(xiàn)
5、向量;
其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A.1 B.2
C.3 D.4
解析:選B (1)不正確.零向量與數(shù)字0是兩個(gè)不同的概念,零向量是一個(gè)向量,而數(shù)字0是一個(gè)實(shí)數(shù),沒(méi)有等量關(guān)系;
(2)正確.兩向量相等,其長(zhǎng)度必然相等;
(3)不正確.若a與b中有一個(gè)為零向量時(shí),其方向是不確定的;
(4)正確.相等的向量,長(zhǎng)度相等且方向相同,若起點(diǎn)相同,則終點(diǎn)必相同;
(5)不正確.終點(diǎn)相同并不能說(shuō)明這兩個(gè)向量的方向相同或相反.
講一講
2.小李離家從A點(diǎn)出發(fā)向東走2 km到達(dá)B點(diǎn),然后從B點(diǎn)沿南偏西60°走4 km,到達(dá)
6、C點(diǎn),又改變方向向西走2 km到達(dá)D點(diǎn).
(2)求小李到達(dá)D點(diǎn)時(shí)與A點(diǎn)的距離.
即小李到達(dá)D點(diǎn)時(shí)離A點(diǎn)4 km.
1.用有向線(xiàn)段表示向量時(shí),先確定起點(diǎn),再確定方向,最后依據(jù)模的大小確定向量的終點(diǎn).
2.確定向量的長(zhǎng)度或方向時(shí),需要用平面幾何的知識(shí),如直角三角形的解法、平行四邊形的性質(zhì)等.
練一練
2. 中國(guó)象棋中規(guī)定:馬走“日”字,象走“田”字.如下圖所示,在中國(guó)象棋的半個(gè)棋盤(pán)(4×8個(gè)矩形中,每個(gè)小方格都是單位正方形)中,若馬在A處,可跳到A1處,也可跳到A2處,用向量表示馬走了“一步”,試在圖中畫(huà)出馬在B、C處走了一步的所有情況.
解:如圖,以
7、點(diǎn)C為起點(diǎn)作向量(共8個(gè)),以點(diǎn)B為起點(diǎn)作向量(共3個(gè)).
講一講
3.如圖所示,O為正方形ABCD對(duì)角線(xiàn)的交點(diǎn),四邊形OAED、OCFB都是正方形.在圖中所示的向量中:
(1)分別寫(xiě)出與相等的向量;
(2)寫(xiě)出與共線(xiàn)的向量.
1.在平面圖形中找相等向量、共線(xiàn)向量時(shí),首先要注意分析平面圖形中相等、平行關(guān)系,同時(shí)注意線(xiàn)段的平行和相等與向量平行和相等的區(qū)別,充分利用平行四邊形的性質(zhì).
2.尋求相等向量,抓住長(zhǎng)度相等,方向相同兩個(gè)要素;尋求共線(xiàn)向量,抓住方向相同或相反的一個(gè)要素.
練一練
3. 如右圖,四邊形ABCD、CEFG、CGHD都是全等的菱形,
8、則下列關(guān)系不一定成立的是( )
解析:選C 由題意知,AB=EF,∴A成立;
又AB∥FH,DC與EC共線(xiàn)都成立,
∴B,D成立.
而B(niǎo)D不一定等于EH,故C不一定成立.
[巧思] =1說(shuō)明點(diǎn)P到定點(diǎn)O的距離為1,即P在以原點(diǎn)為圓心,以1為半徑的圓上,Q點(diǎn)在圓外,表示P、Q兩點(diǎn)的距離,因此可采用數(shù)形結(jié)合法來(lái)解決.
[妙解] 如圖,由=1知?jiǎng)狱c(diǎn)P的軌跡是單位圓,連接QO并延長(zhǎng)與單位圓相交于A,B兩點(diǎn),由平面知識(shí)易知:
當(dāng)P運(yùn)動(dòng)至A,B兩點(diǎn)時(shí),向量|分別取最小值,最大值,
1.下列物理量:①質(zhì)量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥密度
9、;⑦功.其中不是向量的有( )
A.1個(gè) B.2個(gè)
C.3個(gè) D.4個(gè)
解析:選D 本題主要考查向量的概念,看一個(gè)量是不是向量,就是看它是否具備向量的兩個(gè)要素:大小和方向,因?yàn)棰冖邰苁羌扔写笮?,又有方向的量,所以它們是向量;而①⑤⑥⑦只有大小而沒(méi)有方向的量,所以不是向量.
2.給出下列命題:
①起點(diǎn)相同,方向相同的兩個(gè)非零向量的終點(diǎn)相同;②起點(diǎn)相同的兩個(gè)相等的非零向量的終點(diǎn)相同;③兩個(gè)平行的非零向量的方向相同;④兩個(gè)共線(xiàn)的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)一定共線(xiàn).其中正確的是( )
A.①② B.②
C.②③ D.③④
解析:選B 起點(diǎn)相同,方向相同的兩個(gè)非零向量
10、若長(zhǎng)度不相等,則終點(diǎn)不相同,故①不正確;起點(diǎn)相同且相等的兩個(gè)非零向量的終點(diǎn)相同,故②正確;兩個(gè)平行的非零向量的方向相同或相反,故③不正確;兩個(gè)共線(xiàn)的非零向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)不一定共線(xiàn),所對(duì)應(yīng)的直線(xiàn)可能平行,故④不正確.
3. 設(shè)O為△ABC的外心,則是( )
A.相等向量
B.平行向量
C.模相等的向量
D.起點(diǎn)相同的向量
解析:選C 顯然AO、BO、CO互不平行,但長(zhǎng)度相等,所以| .
4.如圖所示,四邊形ABCD和四邊形ABDE都是平行四邊形.
(1)與向量相等的向量有________;
(2)若=3,則向量的模等于________.
解析:(1)相等向量既模相等
11、,又方向相同,所以與相等的向量有.
5. 如圖,B、C是線(xiàn)段AD的三等分點(diǎn),分別以圖中各點(diǎn)為起點(diǎn)和終點(diǎn)最多可以寫(xiě)出________個(gè)互不相等的非零向量.
答案: 6
6.我國(guó)國(guó)內(nèi)有些城市的道路命名非常有趣,它以“經(jīng)緯”來(lái)命名道路,目前比較典型的有鄭州市,其經(jīng)緯路走向與地理意義上的經(jīng)緯走向保持了一致,濟(jì)南市的命名則與地理意義的經(jīng)緯走向是完全相反的,另外西安市以前也以經(jīng)緯命名道路,但后來(lái)大多更名.設(shè)某城市的地圖如圖(街道剛好分布在一個(gè)方形格紙中且距離都為1個(gè)單位):請(qǐng)作出某人從經(jīng)1緯2路口走到經(jīng)3緯4路口的位移,并計(jì)算其走過(guò)的最短路程和位移的大?。?
解:如圖,用向量表示某
12、人的位移.
位移的大小為=2個(gè)單位長(zhǎng)度.
從A走到B,必然向右走2個(gè)單位,向下走2個(gè)單位,所以走過(guò)的路程為4個(gè)單位長(zhǎng)度.
一、選擇題
1.給出下列命題:
①若a=-b,則|a|=|b|;②若|a|<|b|,則a<b;
③若a=b,則a∥b;④若a∥b,b∥c,則a∥c.其中正確命題的個(gè)數(shù)是( )
A.0 B.1
C.2 D.3
解析:選C 對(duì)于①,若a=-b,則a,b互為反向量,所以|a|=|b|,①正確;對(duì)于②,向量的長(zhǎng)度有大小,但向量不能比較大小,所以②不正確;對(duì)于③,a=b,意味著a與b
13、的方向相同,所以a∥b;對(duì)于④,若b=0,則a∥b,b∥c,但a與c方向不一定相同或相反,所以④不正確.
2.某人向正東方向行進(jìn)100 m后,再向正南方向行進(jìn)100 m,則此人位移的方向是( )
A.南偏東60° B.南偏東45°
C.南偏東30° D.南偏東15°
∴θ=60°.
3.下列說(shuō)法中正確的是( )
A.平行向量一定方向相同
B.共線(xiàn)向量一定相等
C.起點(diǎn)不同,但方向和模相等的幾個(gè)向量一定是相等的向量
D.與任意向量都平行的向量不一定是零向量
解析:選C 非零平行(共線(xiàn))向量要么方向相同,要么方向
14、相反,所以A、B均不正確;只有零向量與任意向量平行,故D不正確;C正確.
4.已知集合A={與a共線(xiàn)的向量},B={與a長(zhǎng)度相等的向量},C={與a長(zhǎng)度相等,方向相反的向量},其中a為非零向量,則下列命題中錯(cuò)誤的是( )
A.CA B.A∩B=C
C.CB D.A∩BC
解析:選B ∵A∩B中還含有向量a,故B錯(cuò).
二、填空題
5. 如圖,在四邊形ABCD中,且則四邊形ABCD為_(kāi)_______.
答案:菱形
6.在?ABCD中,E,F(xiàn)分別是AB、CD的中點(diǎn),如圖所示的向量中,設(shè)=a,=b,則與a相等的向量是________;與b共線(xiàn)的向量是______
15、__.
7.如圖,設(shè)每一個(gè)正方形小方格的邊長(zhǎng)為1,則向量,GH―→的長(zhǎng)度從小到大排列依次為_(kāi)_______________.
8. 如圖,已知矩形ABCD中,設(shè)點(diǎn)集M={A,B,C,D},集合T={|P、Q∈M,且≠0}.則集合T中有________個(gè)元素.
解析:集合T={|P、Q∈M,且≠0}中的元素為非零向量,且向量的起點(diǎn)與終點(diǎn)分別為矩形的頂點(diǎn)A、B、C、D.根據(jù)集合元素的互異性,得集合T={,}共含有8個(gè)元素.
答案:8
三、解答題
9.一架測(cè)繪飛機(jī)從A點(diǎn)向北飛行200 km到達(dá)B點(diǎn),再?gòu)腂點(diǎn)向東飛行100 km到達(dá)C點(diǎn),再?gòu)腃點(diǎn)向東南45°
16、飛行了100 km到達(dá)D點(diǎn),問(wèn)飛機(jī)從D點(diǎn)飛回A點(diǎn)的位移大小是多少km?
解:如圖,建立平面直角坐標(biāo)系xAy,其中x軸的正方向表示正東方向,y軸的正方向表示正北方向,作DE⊥AB,CF⊥DE,垂足分別為E、F.
在Rt△CDF中,||=100,
∠CFD=90°,∠CDF=45°,
∴CF=DF=100,ED=200,
在Rt△AED中,BE=EA=100,
∴||==100(km).
故飛機(jī)從D點(diǎn)飛回A點(diǎn)的位移大小為100 km.
10.在如圖所示的方格紙上(每個(gè)小方格邊長(zhǎng)均為1),已知向量a.
(1)試以B為起點(diǎn)畫(huà)一個(gè)向量b,使b=a;
(2)畫(huà)一個(gè)以C為起點(diǎn)的向量c,使|c|=2,并說(shuō)出c的終點(diǎn)的軌跡是什么.
解:(1)根據(jù)相等向量的定義,所作向量應(yīng)與a平行,且長(zhǎng)度相等,如圖所示.
(2)由平面幾何知識(shí)可作滿(mǎn)足條件的向量c.所有這樣的向量c的終點(diǎn)的軌跡是以C為圓心,2為半徑的圓,如上圖.