《《高等數(shù)學(xué)B》第十章___微分方程與差分方程__第6節(jié)__差分與差分方程的概念_、……課件》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《高等數(shù)學(xué)B》第十章___微分方程與差分方程__第6節(jié)__差分與差分方程的概念_、……課件（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、,第六節(jié) 差分與差分方程的概念、,常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu),第十章 微分方程與差分方程,在科學(xué)技術(shù)和經(jīng)濟(jì)管理的許多實(shí)際問(wèn)題中，,經(jīng)濟(jì)變,量的數(shù)據(jù)大多按等間隔時(shí)間周期統(tǒng)計(jì)。,因此，各有關(guān),變量的取值是離散變化的，如何尋求它們之間的關(guān)系,和變化規(guī)律呢,?,差分方程是研究這類離散數(shù)學(xué)模型的有力工具。,第六節(jié) 差分與差分方程的概念、第十章 微分方,一、差分的概念,設(shè)變量,y,是時(shí)間,t,的函數(shù),如果函數(shù),y,=,y,(,t,),不僅連,續(xù)而且還可導(dǎo),則變量,y,對(duì)時(shí)間,t,的變化速率用,dy,/,dt,來(lái)刻畫,;,但在某些場(chǎng)合,時(shí)間,t,只能離散地取值,從而變量,y,也只能按規(guī)定的離散時(shí)間而相應(yīng)地離
2、散地變化,這時(shí),常用規(guī)定的時(shí)間區(qū)間上的差商,y,/,t,來(lái)刻畫,y,的變化,速率,.,若取,t,=,1,那么,y,=y,(,t,+,1),y,(,t,),就可近似地代表變量,y,的變化速率,.,一、差分的概念,定義,1,設(shè)函數(shù),y,=,f,(,x,),當(dāng)自變量,x,依次取遍非負(fù)整,數(shù)時(shí),相應(yīng)的函數(shù)值可以排成一個(gè)數(shù)列,f,(,0,),f,(,1,),f,(,2,),f,(,x,),f,(,x,+1,),將之簡(jiǎn)記為,當(dāng)自變量從,x,變到,x,+1,時(shí),函數(shù)的改變量,稱為函數(shù),y,在點(diǎn),x,的,差分(或一階差分),記為,即,定義1 設(shè)函數(shù) y=f(x,例,1,已知 (,C,為常數(shù)),求,解,所以常數(shù)
3、的差分為零,.,例,2,已知 (其中,a,0,a,1,),求,解,可見(jiàn),指數(shù)函數(shù)的差分等于指數(shù)函數(shù)乘上一個(gè)常數(shù),.,例,3,已知 ,求,解,例1 已知,例,4,已知 求,解,例4 已知,由一階差分的定義,容易得到差分的四則運(yùn)算法則,(證明略),由一階差分的定義,容易得到差分的四,下面給出高階差分的定義,.,定義,2,當(dāng)自變量從,x,變到,x,+1,時(shí),一階差分的差分,稱為函數(shù),y,=,f,(,x,),的,二階差分,記為,即,同樣,二階差分的差分稱為,三階差分,記為 ,即,下面給出高階差分的定義.,依次類推,函數(shù),y,=,f,(,x,),的,n,階差分為,解,例,5,設(shè) 求,依次類推,函數(shù) y=
4、f(x,解,例,6,設(shè) 求,一般地,對(duì)于,k,次多項(xiàng)式,它的,k,階差分為常數(shù),而,k,階以上的差分均為零,.,解 例6 設(shè),二、差分方程的概念,定義,3,含有未知函數(shù)的差分,或,含有未知函數(shù)幾個(gè)不,同時(shí)期值的符號(hào)的方程,稱為差分方程,其一般形式為,或,或,由差分的定義及性質(zhì)可知,差分方程的不同表達(dá)形,式之間可以互相轉(zhuǎn)化,.,例如,差分方程 可轉(zhuǎn)化成,二、差分方程的概念,若將原方程的左邊寫成,則原方程又可化為,在定義,3,中,未知函數(shù)的最大下標(biāo)與最小下標(biāo)的差稱,為,差分方程的階,.,如,是三階差分方程,若將原方程的左邊寫成 則原方程又,又如差分方程,雖然它含有三階差分 但是由于該方程可化為,因
5、此,它是二階差分方程,.,定義,4,如果一個(gè)函數(shù)代人差分方程,使方程兩邊恒,等,則稱此函數(shù)為,差分方程的解,.,若在差分方程的解中,含有相互獨(dú)立的任意常數(shù)的,個(gè)數(shù)與該方程的階數(shù)相同,則稱這個(gè)解為,差分方程的,通解,.,又如差分方程 雖然它含有三,為了反映某一事物在變化過(guò)程中的客觀規(guī)律性,往,往根據(jù)事物在初始時(shí)刻所處狀態(tài),對(duì)差分方程附加一,定條件,稱之為,初始條件,.,當(dāng)通解中所有任意常數(shù)被初始條件確定后,這個(gè)解,稱為,差分方程的特解,.,為了反映某一事物在變化過(guò)程中的客觀規(guī)律,三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu),為以后幾節(jié)討論的需要,這里將給出常系數(shù)線性差,分方程的解的結(jié)構(gòu)定理,.,n,階常系數(shù)線
6、性差分方程的一般形式為,(1),其中 為常數(shù),且 為已知,函數(shù),.,當(dāng),f,(,x,),0,時(shí),差分方程,(1),稱為齊次的,;,當(dāng),f,(,x,),0,時(shí),差分方程,(1),稱為非齊次的,.,若,(1),是,n,階常系數(shù)非齊次線性差分方程,則其所對(duì),應(yīng)的,n,階常系數(shù)齊次線性差分方程為,三、常系數(shù)線性差分方程解的結(jié)構(gòu),(2),關(guān)于,n,階常系數(shù)線性差分方程,(2),的解有如下一些,結(jié)論,:,定理,1,若函數(shù),都是常系數(shù)齊次線性差分方程,(2),的解,則它們的線性,組合,也是方程,(2),的解,其中 為常數(shù),.,(2)關(guān)于 n 階常系數(shù)線性差分方程,定理,2,若函數(shù),是,n,階常系數(shù)齊次線性差
7、分方程,(2),的,n,個(gè)線性無(wú)關(guān),的解,則,就是方程,(2),的通解,(其中 為常數(shù)),.,由此定理可知,;要求出,n,階常系數(shù)齊次線性差分方,程,(2),的通解,只需求出其,n,個(gè)線性無(wú)關(guān)的特解,.,該定理稱為常系數(shù)齊次線性差分方程的通解的結(jié)構(gòu),定理,.,定理 2 若函數(shù),定理,3,若 是非齊次方程,(1),的一個(gè)特解,是它,對(duì)應(yīng)的齊次方程(2)的通解,則非齊次方程(1)的通解為,該定理告訴我們,要求非齊次方程,(1),的通解,可先,求對(duì)應(yīng)的齊次方程,(2),的通解,再找非齊次方程,(1),的,一個(gè)特解,然后相加,.,該定理稱為,n,階常系數(shù)非齊次線性差分方程的通解,的結(jié)構(gòu)定理,.,定理3 若 是非齊次方程,定理,4,若 分別是非齊次方程,的特解,則 是方程,的特解,.,本節(jié)結(jié)束,定理4 若,
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