新教材數(shù)學北師大版必修4練習：19 向量應用舉例 Word版含解析

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1、（新教材）北師大版精品數(shù)學資料 19　向量應用舉例 時間：45分鐘　滿分：80分 班級________　　姓名________　　分數(shù)________ 一、選擇題：(每小題5分，共5×6＝30分) 1．點P在平面上作勻速直線運動，速度向量v＝(4，－3)(即點P的運動方向與v相同，且每秒移動的距離為|v|個單位)．設開始時點P的坐標為(－10,10)，則5秒后點P的坐標為(　　) A．(－2,4)　　B．(－30,25) C．(10，－5) D．(5，－10) 答案：C 解析：按照共線向量及坐標運算法則代入可求． 2．和直線3x－4y＋7＝0平行的向量a及垂

2、直的向量b分別是(　　) A．a(chǎn)＝(3,4)，b＝(3，－4) B．a(chǎn)＝(－3,4)，b＝(4，－3) C．a(chǎn)＝(4,3)，b＝(3，－4) D．a(chǎn)＝(－4,3)，b＝(3,4) 答案：C 解析：與直線Ax＋By＋C＝0垂直的向量為(A，B)，與直線Ax＋By＋C＝0平行的向量為(－B，A)． 3．在四邊形ABCD中，若＋＝0，·＝0，則四邊形的形狀為(　　) A．正方形 B．菱形 C．矩形 D．平行四邊形 答案：B 解析：∵＋＝0，＝，∴四邊形ABCD為平行四邊形．又·＝0，∴⊥，∴對角線互相垂直，∴四邊形ABCD為菱形． 4．在△ABC中，&

3、#183;＝0，且·＝，則△ABC的形狀是(　　) A．三邊均不相等的三角形 B．直角三角形 C．等腰(非等邊)三角形 D．等邊三角形 答案：D 解析：由·＝0，得角A的平分線垂直于BC，∴AB＝AC.又·＝cos〈，〉＝，〈，〉∈(0°，180°)，∴∠BAC＝60°.∴△ABC為等邊三角形，選D. 5．一條河的寬度為d，一艘船從河岸的A出發(fā)到河的正對岸B處，船速為v1，水速為v2，船到達B處所用的時間t為(　　) A. B. C. D. 答案：C 解析：如圖所示，知|v合|2＝|v1|2

4、－|v2|2. ∴|v合|＝，∴t＝＝，選C. 6．設點M是線段BC的中點，點A在直線BC外，2＝16，|＋|＝|－|，則||＝(　　) A．8 B．4 C．2 D．1 答案：B 解析：由|＋|＝|－|可知，⊥，則AM為Rt△ABC斜邊BC上的中線，因此，||＝||＝4，故選B. 二、填空題：(每小題5分，共5×3＝15分) 7．已知兩個粒子A、B從同一點發(fā)射出來，在某一時刻，它們的位移分別為va＝(4,3)，vb＝(3,4)，則va在vb上的射影為________． 答案： 解析：由題知va與vb的夾角θ的余弦值為cosθ＝＝. ∴va在vb上的射影為|v

5、a|cosθ＝5×＝. 8．已知直線l經(jīng)過點A(1，－2)，且直線l的一個法向量n＝(2,3)，則點B(2,3)到直線l的距離是________． 答案： 解析：由題意，知直線l的斜率k＝－.又直線l過點A(1，－2)，所以直線l的方程為2x＋3y＋4＝0，所以點B(2,3)到直線l的距離d＝＝. 9．在四邊形ABCD中，已知＝(4，－2)，＝(7,4)，＝(3,6)，則四邊形ABCD的面積是________． 答案：30 解析：＝－＝(3,6)＝，∵·＝(4，－2)·(3,6)＝0，∴⊥，∴四邊形ABCD為矩形，||＝，||＝，∴S＝||·

6、||＝30. 三、解答題：(共35分，11＋12＋12) 10．如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC，D是邊BC的中點，E是邊AB上的點，且AE＝2BE，求證：AD⊥CE. 解：解法一(基向量法) ·＝· ＝· ＝· ＝2－·－2. ∵BC⊥CA，∴·＝0. 又BC＝CA， ∴||＝||， ∴·＝(||2－||2)＝0， ∴⊥，即AD⊥CE. 解法二(坐標法) 以CA，CB所在直線為坐標軸，建立如圖所示的平面直角坐標系，設||＝||＝a， ∴C(0,0)，A(a,0)，B(0，a)

7、，E，D， ∴＝，＝， ∴·＝－＋×＝－＋＝0， ∴⊥，即AD⊥CE. 11．如圖，平行四邊形ABCD中，點E，F(xiàn)分別是邊AD，DC的中點，BE，BF與AC分別交于點R，T，證明：R，T為AC的三等分點． 解：設＝a，＝b，則＝a＋b，＝b－a. 由于與共線，因此存在實數(shù)m，使得＝m(a＋b)． 又與共線，因此存在實數(shù)n，使得＝n＝n. 由＝＋＝＋n，得m(a＋b)＝a＋n， 整理得(m＋n－1)a＋b＝0. 由于向量a，b不共線，所以有， 解得， 所以＝. 同理＝， 所以＝，所以AR＝RT＝TC， 所以R，T為AC的三等分點． 12．如

8、圖所示，在細繩O處用水平力F2緩慢拉起所受重力為G的物體，繩子與鉛垂線的夾角為θ，繩子所受到的拉力為F1. (1)判斷|F1|，|F2|隨角θ的變化而變化的情況； (2)當|F1|≤2|G|時，求角θ的取值范圍． 解：(1)如圖所示，由力的平衡及向量加法的平行四邊形法則，得－G＝F1＋F2，|F1|＝， |F2|＝|G|tanθ， 當θ從0°趨向于90°時，|F1|，|F2|都逐漸增大． (2)由|F1|＝，|F1|≤2|G|，得cosθ≥. 又因為0°≤θ<90°，所以0°≤θ≤60°， 即角θ的取值范圍為[0°，60°]．