人教版 小學(xué)9年級(jí) 數(shù)學(xué)上冊(cè) 一元二次方程教案

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1、精品資料人教版初中數(shù)學(xué) 第二十一章　一元二次方程 21．1　一元二次方程 1．通過(guò)類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，分清二次項(xiàng)及其系數(shù)、一次項(xiàng)及其系數(shù)與常數(shù)項(xiàng)等概念． 2．了解一元二次方程的解的概念，會(huì)檢驗(yàn)一個(gè)數(shù)是不是一元二次方程的解． 重點(diǎn) 通過(guò)類比一元一次方程，了解一元二次方程的概念及一般式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)和一元二次方程的解等概念，并能用這些概念解決簡(jiǎn)單問(wèn)題． 難點(diǎn) 一元二次方程及其二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)的識(shí)別． 活動(dòng)1　復(fù)習(xí)舊知 1．什么是方程？你能舉一個(gè)方程的例子嗎？ 2．下列哪些方程

2、是一元一次方程？并給出一元一次方程的概念和一般形式． (1)2x－1　(2)mx＋n＝0　(3)＋1＝0　(4)x2＝1 3．下列哪個(gè)實(shí)數(shù)是方程2x－1＝3的解？并給出方程的解的概念． A．0　　　　B．1　　　　C．2　　　　D．3 活動(dòng)2　探究新知 根據(jù)題意列方程． 1．教材第2頁(yè)　問(wèn)題1. 提出問(wèn)題： (1)正方形的大小由什么量決定？本題應(yīng)該設(shè)哪個(gè)量為未知數(shù)？ (2)本題中有什么數(shù)量關(guān)系？能利用這個(gè)數(shù)量關(guān)系列方程嗎？怎么列方程？ (3)這個(gè)方程能整理為比較簡(jiǎn)單的形式嗎？請(qǐng)說(shuō)出整理之后的方程． 2．教材第2頁(yè)　問(wèn)題2. 提出問(wèn)題： (1)本題中有哪些量？由這些量可

3、以得到什么？ (2)比賽隊(duì)伍的數(shù)量與比賽的場(chǎng)次有什么關(guān)系？如果有5個(gè)隊(duì)參賽，每個(gè)隊(duì)比賽幾場(chǎng)？一共有20場(chǎng)比賽嗎？如果不是20場(chǎng)比賽，那么究竟比賽多少場(chǎng)？ (3)如果有x個(gè)隊(duì)參賽，一共比賽多少場(chǎng)呢？ 3．一個(gè)數(shù)比另一個(gè)數(shù)大3，且兩個(gè)數(shù)之積為0，求這兩個(gè)數(shù)． 提出問(wèn)題： 本題需要設(shè)兩個(gè)未知數(shù)嗎？如果可以設(shè)一個(gè)未知數(shù)，那么方程應(yīng)該怎么列？ 4．一個(gè)正方形的面積的2倍等于25，這個(gè)正方形的邊長(zhǎng)是多少？ 活動(dòng)3　歸納概念 提出問(wèn)題： (1)上述方程與一元一次方程有什么相同點(diǎn)和不同點(diǎn)？ (2)類比一元一次方程，我們可以給這一類方程取一個(gè)什么名字？ (3)歸納一元二次方程的概念． 1

4、．一元二次方程：只含有________個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是________，這樣的________方程，叫做一元二次方程． 2．一元二次方程的一般形式是ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2是二次項(xiàng)，a是二次項(xiàng)系數(shù)；bx是一次項(xiàng)，b是一次項(xiàng)系數(shù)；c是常數(shù)項(xiàng)． 提出問(wèn)題： (1)一元二次方程的一般形式有什么特點(diǎn)？等號(hào)的左、右分別是什么？ (2)為什么要限制a≠0，b，c可以為0嗎？ (3)2x2－x＋1＝0的一次項(xiàng)系數(shù)是1嗎？為什么？ 3．一元二次方程的解(根)：使一元二次方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值叫做一元二次方程的解(根)． 活動(dòng)4　例題與練習(xí) 例1　在下列方

5、程中，屬于一元二次方程的是________． (1)4x2＝81；(2)2x2－1＝3y；(3)＋＝2； (4)2x2－2x(x＋7)＝0. 總結(jié)：判斷一個(gè)方程是否是一元二次方程的依據(jù)：(1)整式方程；(2)只含有一個(gè)未知數(shù)；(3)含有未知數(shù)的項(xiàng)的最高次數(shù)是2.注意有些方程化簡(jiǎn)前含有二次項(xiàng)，但是化簡(jiǎn)后二次項(xiàng)系數(shù)為0，這樣的方程不是一元二次方程． 例2　教材第3頁(yè)　例題． 例3　以－2為根的一元二次方程是(　　) A．x2＋2x－1＝0 B．x2－x－2＝0 C．x2＋x＋2＝0 D．x2＋x－2＝0 總結(jié)：判斷一個(gè)數(shù)是否為方程的解，可以將這個(gè)數(shù)代入方程，判斷方程左、右兩邊的

6、值是否相等． 練習(xí)： 1．若(a－1)x2＋3ax－1＝0是關(guān)于x的一元二次方程，那么a的取值范圍是________． 2．將下列一元二次方程化為一般形式，并分別指出它們的二次項(xiàng)系數(shù)、一次項(xiàng)系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)． (1)4x2＝81；(2)(3x－2)(x＋1)＝8x－3. 3．教材第4頁(yè)　練習(xí)第2題． 4．若－4是關(guān)于x的一元二次方程2x2＋7x－k＝0的一個(gè)根，則k的值為________． 答案：1.a≠1；2.略；3.略；4.k＝4. 活動(dòng)5　課堂小結(jié)與作業(yè)布置 課堂小結(jié) 我們學(xué)習(xí)了一元二次方程的哪些知識(shí)？一元二次方程的一般形式是什么？一般形式中有什么限制？你能解一元二次方程

7、嗎？ 作業(yè)布置 教材第4頁(yè)　習(xí)題21.1第1～7題.21.2　解一元二次方程 21．2.1　配方法(3課時(shí)) 第1課時(shí)　直接開平方法 理解一元二次方程“降次”——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，并能應(yīng)用它解決一些具體問(wèn)題． 提出問(wèn)題，列出缺一次項(xiàng)的一元二次方程ax2＋c＝0，根據(jù)平方根的意義解出這個(gè)方程，然后知識(shí)遷移到解a(ex＋f)2＋c＝0型的一元二次方程． 重點(diǎn) 運(yùn)用開平方法解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程，領(lǐng)會(huì)降次——轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想． 難點(diǎn) 通過(guò)根據(jù)平方根的意義解形如x2＝n的方程，將知識(shí)遷移到根據(jù)平方根的意義解形如(x＋m)2＝n(n≥0)的方程． 一、復(fù)

8、習(xí)引入 學(xué)生活動(dòng)：請(qǐng)同學(xué)們完成下列各題． 問(wèn)題1：填空 (1)x2－8x＋________＝(x－________)2；(2)9x2＋12x＋________＝(3x＋________)2；(3)x2＋px＋________＝(x＋________)2. 解：根據(jù)完全平方公式可得：(1)16　4；(2)4　2；(3)()2　. 問(wèn)題2：目前我們都學(xué)過(guò)哪些方程？二元怎樣轉(zhuǎn)化成一元？一元二次方程與一元一次方程有什么不同？二次如何轉(zhuǎn)化成一次？怎樣降次？以前學(xué)過(guò)哪些降次的方法？ 二、探索新知 上面我們已經(jīng)講了x2＝9，根據(jù)平方根的意義，直接開平方得x＝3，如果x換元為2t＋1，即(2t＋

9、1)2＝9，能否也用直接開平方的方法求解呢？ (學(xué)生分組討論) 老師點(diǎn)評(píng)：回答是肯定的，把2t＋1變?yōu)樯厦娴膞，那么2t＋1＝3 即2t＋1＝3，2t＋1＝－3 方程的兩根為t1＝1，t2＝－2 例1　解方程：(1)x2＋4x＋4＝1　(2)x2＋6x＋9＝2 分析：(1)x2＋4x＋4是一個(gè)完全平方公式，那么原方程就轉(zhuǎn)化為(x＋2)2＝1. (2)由已知，得：(x＋3)2＝2 直接開平方，得：x＋3＝ 即x＋3＝，x＋3＝－ 所以，方程的兩根x1＝－3＋，x2＝－3－ 解：略． 例2　市政府計(jì)劃2年內(nèi)將人均住房面積由現(xiàn)在的10 m2提高到14.4 m2，求每年人均住房

10、面積增長(zhǎng)率． 分析：設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為x，一年后人均住房面積就應(yīng)該是10＋10x＝10(1＋x)；二年后人均住房面積就應(yīng)該是10(1＋x)＋10(1＋x)x＝10(1＋x)2 解：設(shè)每年人均住房面積增長(zhǎng)率為x， 則：10(1＋x)2＝14.4 (1＋x)2＝1.44 直接開平方，得1＋x＝1.2 即1＋x＝1.2，1＋x＝－1.2 所以，方程的兩根是x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2 因?yàn)槊磕耆司》棵娣e的增長(zhǎng)率應(yīng)為正的，因此，x2＝－2.2應(yīng)舍去． 所以，每年人均住房面積增長(zhǎng)率應(yīng)為20%. (學(xué)生小結(jié))老師引導(dǎo)提問(wèn)：解一元二次方程，它們的共同特點(diǎn)是什么？ 共同

11、特點(diǎn)：把一個(gè)一元二次方程“降次”，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程．我們把這種思想稱為“降次轉(zhuǎn)化思想”． 三、鞏固練習(xí) 教材第6頁(yè)　練習(xí)． 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握：由應(yīng)用直接開平方法解形如x2＝p(p≥0)的方程，那么x＝轉(zhuǎn)化為應(yīng)用直接開平方法解形如(mx＋n)2＝p(p≥0)的方程，那么mx＋n＝，達(dá)到降次轉(zhuǎn)化之目的．若p＜0則方程無(wú)解． 五、作業(yè)布置 教材第16頁(yè)　復(fù)習(xí)鞏固1.第2課時(shí)　配方法的基本形式 理解間接即通過(guò)變形運(yùn)用開平方法降次解方程，并能熟練應(yīng)用它解決一些具體問(wèn)題． 通過(guò)復(fù)習(xí)可直接化成x2＝p(p≥0)或(mx＋n)2＝p(p≥0)的一元二次方程的解法，引入不

12、能直接化成上面兩種形式的一元二次方程的解題步驟． 重點(diǎn) 講清直接降次有困難，如x2＋6x－16＝0的一元二次方程的解題步驟． 難點(diǎn) 將不可直接降次解方程化為可直接降次解方程的“化為”的轉(zhuǎn)化方法與技巧． 一、復(fù)習(xí)引入 (學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們解下列方程： (1)3x2－1＝5　(2)4(x－1)2－9＝0　(3)4x2＋16x＋16＝9　(4)4x2＋16x＝－7 老師點(diǎn)評(píng)：上面的方程都能化成x2＝p或(mx＋n)2＝p(p≥0)的形式，那么可得 x＝或mx＋n＝(p≥0)． 如：4x2＋16x＋16＝(2x＋4)2，你能把4x2＋16x＝－7化成(2x＋4)2＝9嗎？

13、 二、探索新知 列出下面問(wèn)題的方程并回答： (1)列出的經(jīng)化簡(jiǎn)為一般形式的方程與剛才解題的方程有什么不同呢？ (2)能否直接用上面前三個(gè)方程的解法呢？ 問(wèn)題：要使一塊矩形場(chǎng)地的長(zhǎng)比寬多6 m，并且面積為16 m2，求場(chǎng)地的長(zhǎng)和寬各是多少？ (1)列出的經(jīng)化簡(jiǎn)為一般形式的方程與前面講的三道題不同之處是：前三個(gè)左邊是含有x的完全平方式而后二個(gè)不具有此特征． (2)不能． 既然不能直接降次解方程，那么，我們就應(yīng)該設(shè)法把它轉(zhuǎn)化為可直接降次解方程的方程，下面，我們就來(lái)講如何轉(zhuǎn)化： x2＋6x－16＝0移項(xiàng)→x2＋6x＝16 兩邊加(6/2)2使左邊配成x2＋2bx＋b2的形式→x2＋6

14、x＋32＝16＋9 左邊寫成平方形式→(x＋3)2＝25降次→x＋3＝5即x＋3＝5或x＋3＝－5 解一次方程→x1＝2，x2＝－8 可以驗(yàn)證：x1＝2，x2＝－8都是方程的根，但場(chǎng)地的寬不能是負(fù)值，所以場(chǎng)地的寬為2 m，長(zhǎng)為8 m. 像上面的解題方法，通過(guò)配成完全平方形式來(lái)解一元二次方程的方法，叫配方法． 可以看出，配方法是為了降次，把一個(gè)一元二次方程轉(zhuǎn)化為兩個(gè)一元一次方程來(lái)解． 例1　用配方法解下列關(guān)于x的方程： (1)x2－8x＋1＝0　(2)x2－2x－＝0 分析：(1)顯然方程的左邊不是一個(gè)完全平方式，因此，要按前面的方法化為完全平方式；(2)同上． 解：略． 三

15、、鞏固練習(xí) 教材第9頁(yè)　練習(xí)1，2.(1)(2)． 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程化為左邊是含有x的完全平方形式，右邊是非負(fù)數(shù)，可以直接降次解方程的方程． 五、作業(yè)布置 教材第17頁(yè)　復(fù)習(xí)鞏固2，3.(1)(2)．第3課時(shí)　配方法的靈活運(yùn)用 了解配方法的概念，掌握運(yùn)用配方法解一元二次方程的步驟． 通過(guò)復(fù)習(xí)上一節(jié)課的解題方法，給出配方法的概念，然后運(yùn)用配方法解決一些具體題目． 重點(diǎn) 講清配方法的解題步驟． 難點(diǎn) 對(duì)于用配方法解二次項(xiàng)系數(shù)為1的一元二次方程，通常把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊后，兩邊加上的常數(shù)是一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方；

16、對(duì)于二次項(xiàng)系數(shù)不為1的一元二次方程，要先化二次項(xiàng)系數(shù)為1，再用配方法求解． 一、復(fù)習(xí)引入 (學(xué)生活動(dòng))解下列方程： (1)x2－4x＋7＝0　(2)2x2－8x＋1＝0 老師點(diǎn)評(píng)：我們上一節(jié)課，已經(jīng)學(xué)習(xí)了如何解左邊不含有x的完全平方形式的一元二次方程以及不可以直接開方降次解方程的轉(zhuǎn)化問(wèn)題，那么這兩道題也可以用上面的方法進(jìn)行解題． 解：略．　(2)與(1)有何關(guān)聯(lián)？ 二、探索新知 討論：配方法解一元二次方程的一般步驟： (1)先將已知方程化為一般形式； (2)化二次項(xiàng)系數(shù)為1； (3)常數(shù)項(xiàng)移到右邊； (4)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式

17、； (5)變形為(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p；如果q＜0，方程無(wú)實(shí)根． 例1　解下列方程： (1)2x2＋1＝3x　(2)3x2－6x＋4＝0　(3)(1＋x)2＋2(1＋x)－4＝0 分析：我們已經(jīng)介紹了配方法，因此，我們解這些方程就可以用配方法來(lái)完成，即配一個(gè)含有x的完全平方式． 解：略． 三、鞏固練習(xí) 教材第9頁(yè)　練習(xí)2.(3)(4)(5)(6)． 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： 1．配方法的概念及用配方法解一元二次方程的步驟． 2．配方法是解一元二次方程的通法，它的重要性，不僅僅表現(xiàn)在一元二次方程的解法中，也可通過(guò)配方，利用非負(fù)數(shù)的性質(zhì)判斷

18、代數(shù)式的正負(fù)性．在今后學(xué)習(xí)二次函數(shù)，到高中學(xué)習(xí)二次曲線時(shí)，還將經(jīng)常用到． 五、作業(yè)布置 教材第17頁(yè)　復(fù)習(xí)鞏固3.(3)(4)． 補(bǔ)充：(1)已知x2＋y2＋z2－2x＋4y－6z＋14＝0，求x＋y＋z的值． (2)求證：無(wú)論x，y取任何實(shí)數(shù)，多項(xiàng)式x2＋y2－2x－4y＋16的值總是正數(shù).21.2.2　公式法 理解一元二次方程求根公式的推導(dǎo)過(guò)程，了解公式法的概念，會(huì)熟練應(yīng)用公式法解一元二次方程． 復(fù)習(xí)具體數(shù)字的一元二次方程配方法的解題過(guò)程，引入ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式的推導(dǎo)，并應(yīng)用公式法解一元二次方程． 重點(diǎn) 求根公式的推導(dǎo)和公式法的應(yīng)用． 難

19、點(diǎn) 一元二次方程求根公式的推導(dǎo)． 一、復(fù)習(xí)引入 1．前面我們學(xué)習(xí)過(guò)解一元二次方程的“直接開平方法”，比如，方程 (1)x2＝4　(2)(x－2)2＝7 提問(wèn)1　這種解法的(理論)依據(jù)是什么？ 提問(wèn)2　這種解法的局限性是什么？(只對(duì)那種“平方式等于非負(fù)數(shù)”的特殊二次方程有效，不能實(shí)施于一般形式的二次方程．) 2．面對(duì)這種局限性，怎么辦？(使用配方法，把一般形式的二次方程配方成能夠“直接開平方”的形式．) (學(xué)生活動(dòng))用配方法解方程　2x2＋3＝7x (老師點(diǎn)評(píng))略 總結(jié)用配方法解一元二次方程的步驟(學(xué)生總結(jié)，老師點(diǎn)評(píng))． (1)先將已知方程化為一般形式； (2)化二次

20、項(xiàng)系數(shù)為1； (3)常數(shù)項(xiàng)移到右邊； (4)方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方，使左邊配成一個(gè)完全平方式； (5)變形為(x＋p)2＝q的形式，如果q≥0，方程的根是x＝－p；如果q＜0，方程無(wú)實(shí)根． 二、探索新知 用配方法解方程： (1)ax2－7x＋3＝0　(2)ax2＋bx＋3＝0 如果這個(gè)一元二次方程是一般形式ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，你能否用上面配方法的步驟求出它們的兩根，請(qǐng)同學(xué)獨(dú)立完成下面這個(gè)問(wèn)題． 問(wèn)題：已知ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，試推導(dǎo)它的兩個(gè)根x1＝，x2＝(這個(gè)方程一定有解嗎？什么情況下有解？) 分析：因?yàn)榍懊婢唧w數(shù)字已做得很多，我們現(xiàn)在不

21、妨把a(bǔ)，b，c也當(dāng)成一個(gè)具體數(shù)字，根據(jù)上面的解題步驟就可以一直推下去． 解：移項(xiàng)，得：ax2＋bx＝－c 二次項(xiàng)系數(shù)化為1，得x2＋x＝－ 配方，得：x2＋x＋()2＝－＋()2 即(x＋)2＝ ∵4a2>0，當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，≥0 ∴(x＋)2＝()2 直接開平方，得：x＋＝ 即x＝ ∴x1＝，x2＝ 由上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的根由方程的系數(shù)a，b，c而定，因此： (1)解一元二次方程時(shí)，可以先將方程化為一般形式ax2＋bx＋c＝0，當(dāng)b2－4ac≥0時(shí)，將a，b，c代入式子x＝就得到方程的根． (2)這個(gè)式子叫做一元二次方程的求根公式

22、． (3)利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法． 公式的理解 (4)由求根公式可知，一元二次方程最多有兩個(gè)實(shí)數(shù)根． 例1　用公式法解下列方程： (1)2x2－x－1＝0　(2)x2＋1.5＝－3x (3)x2－x＋＝0　(4)4x2－3x＋2＝0 分析：用公式法解一元二次方程，首先應(yīng)把它化為一般形式，然后代入公式即可． 補(bǔ)：(5)(x－2)(3x－5)＝0 三、鞏固練習(xí) 教材第12頁(yè)　練習(xí)1.(1)(3)(5)或(2)(4)(6)． 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課應(yīng)掌握： (1)求根公式的概念及其推導(dǎo)過(guò)程； (2)公式法的概念； (3)應(yīng)用公式法解一元二次方程的步驟：1

23、)將所給的方程變成一般形式，注意移項(xiàng)要變號(hào)，盡量讓a>0；2)找出系數(shù)a，b，c，注意各項(xiàng)的系數(shù)包括符號(hào)；3)計(jì)算b2－4ac，若結(jié)果為負(fù)數(shù)，方程無(wú)解；4)若結(jié)果為非負(fù)數(shù)，代入求根公式，算出結(jié)果． (4)初步了解一元二次方程根的情況． 五、作業(yè)布置 教材第17頁(yè)　習(xí)題4，5.21.2.3　因式分解法 掌握用因式分解法解一元二次方程． 通過(guò)復(fù)習(xí)用配方法、公式法解一元二次方程，體會(huì)和探尋用更簡(jiǎn)單的方法——因式分解法解一元二次方程，并應(yīng)用因式分解法解決一些具體問(wèn)題． 重點(diǎn) 用因式分解法解一元二次方程． 難點(diǎn) 讓學(xué)生通過(guò)比較解一元二次方程的多種方法感悟用因式分解法使解題更

24、簡(jiǎn)便． 一、復(fù)習(xí)引入 (學(xué)生活動(dòng))解下列方程： (1)2x2＋x＝0(用配方法)　(2)3x2＋6x＝0(用公式法) 老師點(diǎn)評(píng)：(1)配方法將方程兩邊同除以2后，x前面的系數(shù)應(yīng)為，的一半應(yīng)為，因此，應(yīng)加上()2，同時(shí)減去()2.(2)直接用公式求解． 二、探索新知 (學(xué)生活動(dòng))請(qǐng)同學(xué)們口答下面各題． (老師提問(wèn))(1)上面兩個(gè)方程中有沒有常數(shù)項(xiàng)？ (2)等式左邊的各項(xiàng)有沒有共同因式？ (學(xué)生先答，老師解答)上面兩個(gè)方程中都沒有常數(shù)項(xiàng)；左邊都可以因式分解． 因此，上面兩個(gè)方程都可以寫成： (1)x(2x＋1)＝0　(2)3x(x＋2)＝0 因?yàn)閮蓚€(gè)因式乘積要等于0，至

25、少其中一個(gè)因式要等于0，也就是(1)x＝0或2x＋1＝0，所以x1＝0，x2＝－. (2)3x＝0或x＋2＝0，所以x1＝0，x2＝－2.(以上解法是如何實(shí)現(xiàn)降次的？) 因此，我們可以發(fā)現(xiàn)，上述兩個(gè)方程中，其解法都不是用開平方降次，而是先因式分解使方程化為兩個(gè)一次式的乘積等于0的形式，再使這兩個(gè)一次式分別等于0，從而實(shí)現(xiàn)降次，這種解法叫做因式分解法． 例1　解方程： (1)10x－4.9x2＝0　(2)x(x－2)＋x－2＝0　(3)5x2－2x－＝x2－2x＋　(4)(x－1)2＝(3－2x)2 思考：使用因式分解法解一元二次方程的條件是什么？ 解：略　(方程一邊為0，另一邊可分

26、解為兩個(gè)一次因式乘積．) 練習(xí)：下面一元二次方程解法中，正確的是(　　) A．(x－3)(x－5)＝102，∴x－3＝10，x－5＝2，∴x1＝13，x2＝7 B．(2－5x)＋(5x－2)2＝0，∴(5x－2)(5x－3)＝0，∴x1＝，x2＝ C．(x＋2)2＋4x＝0，∴x1＝2，x2＝－2 D．x2＝x，兩邊同除以x，得x＝1 三、鞏固練習(xí) 教材第14頁(yè)　練習(xí)1，2. 四、課堂小結(jié) 本節(jié)課要掌握： (1)用因式分解法，即用提取公因式法、十字相乘法等解一元二次方程及其應(yīng)用． (2)因式分解法要使方程一邊為兩個(gè)一次因式相乘，另一邊為0，再分別使各一次因式等于0. 五

27、、作業(yè)布置 教材第17頁(yè)　習(xí)題6，8，10，11.21.2.4　一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系 1．掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系并會(huì)初步應(yīng)用． 2．培養(yǎng)學(xué)生分析、觀察、歸納的能力和推理論證的能力． 3．滲透由特殊到一般，再由一般到特殊的認(rèn)識(shí)事物的規(guī)律． 4．培養(yǎng)學(xué)生去發(fā)現(xiàn)規(guī)律的積極性及勇于探索的精神． 重點(diǎn) 根與系數(shù)的關(guān)系及其推導(dǎo) 難點(diǎn) 正確理解根與系數(shù)的關(guān)系．一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系是指一元二次方程兩根的和、兩根的積與系數(shù)的關(guān)系． 一、復(fù)習(xí)引入 1．已知方程x2－ax－3a＝0的一個(gè)根是6，則求a及另一個(gè)根的值． 2．由上題可知一元二次方程的系數(shù)與

28、根有著密切的關(guān)系．其實(shí)我們已學(xué)過(guò)的求根公式也反映了根與系數(shù)的關(guān)系，這種關(guān)系比較復(fù)雜，是否有更簡(jiǎn)潔的關(guān)系？ 3．由求根公式可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根為x1＝，x2＝.觀察兩式右邊，分母相同，分子是－b＋與－b－.兩根之間通過(guò)什么計(jì)算才能得到更簡(jiǎn)潔的關(guān)系？ 二、探索新知 解下列方程，并填寫表格： 方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 x2－2x＝0 x2＋3x－4＝0 x2－5x＋6＝0 　　觀察上面的表格，你能得到什么結(jié)論？ (1)關(guān)于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q為常數(shù)，p2－4q≥

29、0)的兩根x1，x2與系數(shù)p，q之間有什么關(guān)系？ (2)關(guān)于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的兩根x1，x2與系數(shù)a，b，c之間又有何關(guān)系呢？你能證明你的猜想嗎？ 解下列方程，并填寫表格： 方程 x1 x2 x1＋x2 x1x2 2x2－7x－4＝0 3x2＋2x－5＝0 5x2－17x＋6＝0 　　小結(jié)：根與系數(shù)關(guān)系： (1)關(guān)于x的方程x2＋px＋q＝0(p，q為常數(shù)，p2－4q≥0)的兩根x1，x2與系數(shù)p，q的關(guān)系是：x1＋x2＝－p，x1x2＝q(注意：根與系數(shù)關(guān)系的前提條件是根的判別式必須大于或等于零

30、．) (2)形如ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的方程，可以先將二次項(xiàng)系數(shù)化為1，再利用上面的結(jié)論． 即：對(duì)于方程　ax2＋bx＋c＝0(a≠0) ∵a≠0，∴x2＋x＋＝0 ∴x1＋x2＝－，x1x2＝ (可以利用求根公式給出證明) 例1　不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積： (1)x2－3x－1＝0　　　(2)2x2＋3x－5＝0 (3)x2－2x＝0 (4)x2＋x＝ (5)x2－1＝0 (6)x2－2x＋1＝0 例2　不解方程，檢驗(yàn)下列方程的解是否正確？ (1)x2－2x＋1＝0 (x1＝＋1，x2＝－1) (2)2x2－3x－8＝0 (x1＝，x2＝

31、) 例3　已知一元二次方程的兩個(gè)根是－1和2，請(qǐng)你寫出一個(gè)符合條件的方程．(你有幾種方法？) 例4　已知方程2x2＋kx－9＝0的一個(gè)根是－3，求另一根及k的值． 變式一：已知方程x2－2kx－9＝0的兩根互為相反數(shù)，求k； 變式二：已知方程2x2－5x＋k＝0的兩根互為倒數(shù)，求k. 三、課堂小結(jié) 1．根與系數(shù)的關(guān)系． 2．根與系數(shù)關(guān)系使用的前提是：(1)是一元二次方程；(2)判別式大于等于零． 四、作業(yè)布置 1．不解方程，寫出下列方程的兩根和與兩根積． (1)x2－5x－3＝0　(2)9x＋2＝x2　(3)6x2－3x＋2＝0 (4)3x2＋x＋1＝0 2．已知方程x

32、2－3x＋m＝0的一個(gè)根為1，求另一根及m的值． 3．已知方程x2＋bx＋6＝0的一個(gè)根為－2，求另一根及b的值.21.3　實(shí)際問(wèn)題與一元二次方程(2課時(shí)) 第1課時(shí)　解決代數(shù)問(wèn)題 1．經(jīng)歷用一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程，總結(jié)列一元二次方程解決實(shí)際問(wèn)題的一般步驟． 2．通過(guò)學(xué)生自主探究，會(huì)根據(jù)傳播問(wèn)題、百分率問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系列一元二次方程并求解，熟悉解題的具體步驟． 3．通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解答，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到對(duì)方程的解必須要進(jìn)行檢驗(yàn)，方程的解是否舍去要以是否符合問(wèn)題的實(shí)際意義為標(biāo)準(zhǔn)． 重點(diǎn) 利用一元二次方程解決傳播問(wèn)題、百分率問(wèn)題． 難點(diǎn) 如果理解傳播問(wèn)題的傳播過(guò)程和

33、百分率問(wèn)題中的增長(zhǎng)(降低)過(guò)程，找到傳播問(wèn)題和百分率問(wèn)題中的數(shù)量關(guān)系． 一、引入新課 1．列方程解應(yīng)用題的基本步驟有哪些？應(yīng)注意什么？ 2．科學(xué)家在細(xì)胞研究過(guò)程中發(fā)現(xiàn)： (1)一個(gè)細(xì)胞一次可分裂成2個(gè)，經(jīng)過(guò)3次分裂后共有多少個(gè)細(xì)胞？ (2)一個(gè)細(xì)胞一次可分裂成x個(gè)，經(jīng)過(guò)3次分裂后共有多少個(gè)細(xì)胞？ (3)如是一個(gè)細(xì)胞一次可分裂成2個(gè)，分裂后原有細(xì)胞仍然存在并能再次分裂，試問(wèn)經(jīng)過(guò)3次分裂后共有多少個(gè)細(xì)胞？ 二、教學(xué)活動(dòng) 活動(dòng)1：自學(xué)教材第19頁(yè)探究1，思考教師所提問(wèn)題． 有一人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后，有121人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？ (1)如何理解“

34、兩輪傳染”？如果設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，第一輪傳染后共有________人患流感．第二輪傳染后共有________人患流感． (2)本題中有哪些數(shù)量關(guān)系？ (3)如何利用已知的數(shù)量關(guān)系選取未知數(shù)并列出方程？ 解答：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，則依題意第一輪傳染后有(x＋1)人患了流感，第二輪有x(1＋x)人被傳染上了流感．于是可列方程： 1＋x＋x(1＋x)＝121 解方程得x1＝10，x2＝－12(不合題意舍去) 因此每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了10個(gè)人． 變式練習(xí)：如果按這樣的傳播速度，三輪傳染后有多少人患了流感？ 活動(dòng)2：自學(xué)教材第19頁(yè)～第20頁(yè)探究2

35、，思考老師所提問(wèn)題． 兩年前生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1噸甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1噸乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？ (1)如何理解年平均下降額與年平均下降率？它們相等嗎？ (2)若設(shè)甲種藥品年平均下降率為x，則一年后，甲種藥品的成本下降了________元，此時(shí)成本為________元；兩年后，甲種藥品下降了________元，此時(shí)成本為________元． (3)增長(zhǎng)率(下降率)公式的歸納：設(shè)基準(zhǔn)數(shù)為a，增長(zhǎng)率為x，則一月(或一年)后產(chǎn)量為a(1x)； 二月(或二年)后

36、產(chǎn)量為a(1x)2； n月(或n年)后產(chǎn)量為a(1x)n； 如果已知n月(n年)后總產(chǎn)量為M，則有下面等式：M＝a(1x)n. (4)對(duì)甲種藥品而言根據(jù)等量關(guān)系列方程為：________________. 三、課堂小結(jié)與作業(yè)布置 課堂小結(jié) 1．列一元二次方程解應(yīng)用題的步驟：審、設(shè)、找、列、解、答．最后要檢驗(yàn)根是否符合實(shí)際． 2．傳播問(wèn)題解決的關(guān)鍵是傳播源的確定和等量關(guān)系的建立． 3．若平均增長(zhǎng)(降低)率為x，增長(zhǎng)(或降低)前的基準(zhǔn)數(shù)是a，增長(zhǎng)(或降低)n次后的量是b，則有：a(1x)n＝b(常見n＝2)． 4．成本下降額較大的藥品，它的下降率不一定也較大，成本下降額較小的藥品

37、，它的下降率不一定也較?。? 作業(yè)布置 教材第21－22頁(yè)　習(xí)題21.3第2－7題．第2課時(shí)　解決幾何問(wèn)題 1．通過(guò)探究，學(xué)會(huì)分析幾何問(wèn)題中蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程解決幾何問(wèn)題． 2．通過(guò)探究，使學(xué)生認(rèn)識(shí)在幾何問(wèn)題中可以將圖形進(jìn)行適當(dāng)變換，使列方程更容易． 3．通過(guò)實(shí)際問(wèn)題的解答，再次讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到對(duì)方程的解必須要進(jìn)行檢驗(yàn)，方程的解是否舍去要以是否符合問(wèn)題的實(shí)際意義為標(biāo)準(zhǔn)． 重點(diǎn) 通過(guò)實(shí)際圖形問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用一元二次方程分析和解決幾何問(wèn)題的能力． 難點(diǎn) 在探究幾何問(wèn)題的過(guò)程中，找出數(shù)量關(guān)系，正確地建立一元二次方程． 活動(dòng)1　創(chuàng)設(shè)情境 1．長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)

38、________，面積________，長(zhǎng)方體的體積公式________． 2．如圖所示： (1)一塊長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)是10 cm，寬是8 cm，四角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為2 cm的小正方形，制成一個(gè)長(zhǎng)方體容器，這個(gè)長(zhǎng)方體容器的底面積是________，高是________，體積是________． (2)一塊長(zhǎng)方形鐵皮的長(zhǎng)是10 cm，寬是8 cm，四角各截去一個(gè)邊長(zhǎng)為x cm的小正方形，制成一個(gè)長(zhǎng)方體容器，這個(gè)長(zhǎng)方體容器的底面積是________，高是________，體積是________． 活動(dòng)2　自學(xué)教材第20頁(yè)～第21頁(yè)探究3，思考老師所提問(wèn)題 要設(shè)計(jì)一本書的封面，封面長(zhǎng)27 c

39、m，寬21 cm，正中央是一個(gè)與整個(gè)封面長(zhǎng)寬比例相同的矩形，如果要使四周的彩色邊襯所占面積是封面面積的四分之一，上下邊襯等寬，左右邊襯等寬，應(yīng)如何設(shè)計(jì)四周邊襯的寬度(精確到0.1 cm)． (1)要設(shè)計(jì)書本封面的長(zhǎng)與寬的比是________，則正中央矩形的長(zhǎng)與寬的比是________． (2)為什么說(shuō)上下邊襯寬與左右邊襯寬之比為9∶7？試與同伴交流一下． (3)若設(shè)上、下邊襯的寬均為9x cm，左、右邊襯的寬均為7x cm，則中央矩形的長(zhǎng)為________cm，寬為________cm，面積為________cm2. (4)根據(jù)等量關(guān)系：________，可列方程為：_______

40、_. (5)你能寫出解題過(guò)程嗎？(注意對(duì)結(jié)果是否合理進(jìn)行檢驗(yàn)．) (6)思考如果設(shè)正中央矩形的長(zhǎng)與寬分別為9x cm和7x cm，你又怎樣去求上下、左右邊襯的寬？ 活動(dòng)3　變式練習(xí) 如圖所示，在一個(gè)長(zhǎng)為50米，寬為30米的矩形空地上，建造一個(gè)花園，要求花園的面積占整塊面積的75%，等寬且互相垂直的兩條路的面積占25%，求路的寬度． 答案：路的寬度為5米． 活動(dòng)4　課堂小結(jié)與作業(yè)布置 課堂小結(jié) 1．利用已學(xué)的特殊圖形的面積(或體積)公式建立一元二次方程的數(shù)學(xué)模型，并運(yùn)用它解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵是弄清題目中的數(shù)量關(guān)系． 2．根據(jù)面積與面積(或體積)之間的等量關(guān)系建立一元二次方程，并能正確解方程，最后對(duì)所得結(jié)果是否合理要進(jìn)行檢驗(yàn)． 作業(yè)布置 教材第22頁(yè)　習(xí)題21.3第8，10題．