高中數(shù)學(xué) 第三講 柯西不等式與排序不等式單元整合素材 新人教A版選修45

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1、第三講 柯西不等式與排序不等式單元整合知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 專題探究專題一柯西不等式的應(yīng)用利用柯西不等式證明其他不等式或求最值，關(guān)鍵是構(gòu)造兩組數(shù)，并向著柯西不等式的形式進(jìn)行轉(zhuǎn)化已知實(shí)數(shù)a，b，c，d，e滿足abcde8，a2b2c2d2e216，求e的取值范圍提示：由a2b2c2d2e2聯(lián)想到應(yīng)用柯西不等式解：4(a2b2c2d2)(1111)(a2b2c2d2)(abcd)2，即4(16e2)(8e)2,644e26416ee2，即5e216e0，e(5e16)0，0e.即e的取值范圍是.若n是不小于2的正整數(shù)，試證：1.提示：注意中間的一列數(shù)的代數(shù)和，其奇數(shù)項(xiàng)為正，偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，可進(jìn)行恒等變形予以化簡(jiǎn)證

2、明：12，所以求證式等價(jià)于.由柯西不等式，有(n1)(n2)2nn2，于是，又由柯西不等式，有.綜上，原不等式成立專題二排序不等式的應(yīng)用應(yīng)用排序不等式可以簡(jiǎn)捷地證明一類不等式，其證明的關(guān)鍵是找出兩組有序數(shù)組，通?？梢詮暮瘮?shù)單調(diào)性去尋找在ABC中，試證：.提示：可構(gòu)造ABC的邊和角的序列，應(yīng)用排序不等式來(lái)證明證明：不妨設(shè)abc，于是ABC，由排序不等式，得：aAbBcCaAbBcC，aAbBcCbAcBaC，aAbBcCcAaBbC.相加，得3(aAbBcC)(abc)(ABC)(abc)，得，又由0bca,0abc,0acb，有0A(bca)C(abc)B(acb)a(BCA)b(ACB)c(

3、ABC)a(2A)b(2B)c(2C)(abc)2(aAbBcC)，得.由得原不等式成立專題三利用不等式解決最值問(wèn)題利用不等式解決最值問(wèn)題，尤其是含多個(gè)變量的問(wèn)題，是一種常用方法特別是條件最值問(wèn)題，通常運(yùn)用平均值不等式、柯西不等式、排序不等式及冪平均不等式等，但要注意取等號(hào)的條件能否滿足設(shè)a，b，c為正實(shí)數(shù)，且a2b3c13，求的最大值解：根據(jù)柯西不等式，知(a2b3c)2()2，()2，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)又a2b3c13，a9，b，c時(shí)，有最大值.專題四利用柯西不等式解決實(shí)際問(wèn)題數(shù)學(xué)知識(shí)服務(wù)于生活實(shí)踐始終是數(shù)學(xué)教學(xué)的中心問(wèn)題，利用柯西不等式解決實(shí)際問(wèn)題，關(guān)鍵是從實(shí)際情景中構(gòu)造出這類不等式的

4、模型如圖，等腰直角三角形AOB的直角邊長(zhǎng)為1.在此三角形中任取點(diǎn)P，過(guò)P分別引三邊的平行線，與各邊圍成以P為頂點(diǎn)的三個(gè)三角形(圖中陰影部分)，求這三個(gè)三角形的面積和的最小值，以及達(dá)到最小值時(shí)P的位置解：分別取OA，OB為x軸、y軸，則AB的方程為xy1，記P點(diǎn)坐標(biāo)P(xP，yP)，則以P為公共頂點(diǎn)的三個(gè)三角形的面積和S為Sxy(1xPyP)2，則2Sxy(1xPyP)2.由柯西不等式，得xy(1xPyP)2(121212)xPyP(1xPyP)2，即2S36S1，所以S.當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即xPyP時(shí)，面積S最小，且最小值為.6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375