2020版高中數(shù)學(xué) 第三章 概率 3.2 古典概型學(xué)案（含解析）新人教B版必修3.docx

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3.2　古典概型 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解古典概型及其概率計(jì)算公式.2.會(huì)計(jì)算一些隨機(jī)事件所含的基本事件數(shù)及事件發(fā)生的概率.3.了解概率的一般加法公式及適用條件． 知識(shí)點(diǎn)一　古典概型 思考1　“在區(qū)間[0,10]上任取一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)恰為5的概率是多少？”這個(gè)概率模型屬于古典概型嗎？ 答案　不屬于．因?yàn)樵趨^(qū)間[0,10]上任取一個(gè)數(shù)，其試驗(yàn)結(jié)果有無(wú)限個(gè)，故其基本事件有無(wú)限個(gè)，所以不是古典概型． 思考2　若一次試驗(yàn)的結(jié)果所包含的基本事件的個(gè)數(shù)為有限個(gè)，則該試驗(yàn)符合古典概型嗎？ 答案　不一定符合．還必須滿足每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等才符合古典概型． 梳理　(1)古典概型的特征： ①有限性　在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果只有有限個(gè)，即只有有限個(gè)不同的基本事件； ②等可能性　每個(gè)基本事件發(fā)生的可能性是均等的． (2)古典概型的計(jì)算公式：P(A)＝. 知識(shí)點(diǎn)二　概率的一般加法公式(選學(xué)) 1．事件的交(或積) 由事件A和B同時(shí)發(fā)生所構(gòu)成的事件D，稱為事件A與B的交(或積)，記作D＝A∩B(或D＝AB)． 2．概率的一般加法公式：如果A，B不是互斥事件， 則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)． 1．每一個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等．(　√　) 2．古典概型中的任何兩個(gè)基本事件都是互斥的．(　√　) 題型一　古典概型的判斷 例1　某同學(xué)隨機(jī)地向一靶心進(jìn)行射擊，這一試驗(yàn)的結(jié)果只有有限個(gè)：命中10環(huán)、命中9環(huán)、……、命中5環(huán)和不中環(huán)．你認(rèn)為這是古典概型嗎？為什么？ 解　不是古典概型，因?yàn)樵囼?yàn)的所有可能結(jié)果只有7個(gè)，而命中10環(huán)、命中9環(huán)、……、命中5環(huán)和不中環(huán)的出現(xiàn)不是等可能的(為什么？)，即不滿足古典概型的第二個(gè)條件. 反思與感悟　判斷一個(gè)試驗(yàn)是不是古典概型要抓住兩點(diǎn)：一是有限性；二是等可能性． 跟蹤訓(xùn)練1　從所有整數(shù)中任取一個(gè)數(shù)的試驗(yàn)中“抽取一個(gè)整數(shù)”是古典概型嗎？ 解　不是，因?yàn)橛袩o(wú)數(shù)個(gè)基本事件. 題型二　古典概型的概率計(jì)算 例2　將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次觀察出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)的情況． (1)一共有多少種不同的結(jié)果？ (2)點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有多少種？ (3)點(diǎn)數(shù)之和為5的概率是多少？ 解　(1)將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子拋擲一次，得到的點(diǎn)數(shù)有1,2,3,4,5,6，共6種結(jié)果，故先后將這枚骰子拋擲兩次，一共有66＝36(種)不同的結(jié)果． (2)點(diǎn)數(shù)之和為5的結(jié)果有(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，共4種． (3)正方體骰子是質(zhì)地均勻的，將它先后拋擲兩次所得的36種結(jié)果是等可能出現(xiàn)的，其中點(diǎn)數(shù)之和為5(記為事件A)的結(jié)果有4種，因此所求概率P(A)＝＝. 反思與感悟　古典概型問(wèn)題包含的題型較多，但都必須緊扣古典概型的定義，進(jìn)而用公式進(jìn)行計(jì)算．列舉法是求解古典概型問(wèn)題的常用方法，借助于圖表等有時(shí)更實(shí)用更有效． 跟蹤訓(xùn)練2　在兩個(gè)袋內(nèi)，分別裝著寫有0,1,2,3,4,5六個(gè)數(shù)字的6張卡片，從每個(gè)袋中各任取一張卡片，則兩張卡片上數(shù)字之和等于7的概率為_(kāi)_______． 答案　 解析　試驗(yàn)結(jié)果如表所示： 0 1 2 3 4 5 0 0 1 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 6 2 2 3 4 5 6 7 3 3 4 5 6 7 8 4 4 5 6 7 8 9 5 5 6 7 8 9 10 由表可知兩張卡片上數(shù)字之和共有36種情況，其中和為7有4種情況， ∴所求事件的概率為＝. 1．下列不是古典概型的是(　　) A．從6名同學(xué)中，選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性的大小 B．同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為7的概率 C．近三天中有一天降雨的概率 D．10個(gè)人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率 答案　C 解析　A，B，D為古典概型，因?yàn)槎歼m合古典概型的兩個(gè)特征：有限性和等可能性，而C不滿足等可能性，故不為古典概型． 2．從長(zhǎng)度分別為1,2,3,4的四條線段中，任取三條不同的線段，以取出的三條線段為邊可組成三角形的概率為(　　) A．0B.C.D. 答案　B 解析　從中任取三條線段共有4種取法，能構(gòu)成三角形的只有長(zhǎng)度為2,3,4的線段，所以P＝，故選B. 3．從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)字構(gòu)成一個(gè)兩位數(shù)，則這個(gè)兩位數(shù)大于40的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　B 解析　從數(shù)字1,2,3,4,5中任取2個(gè)不同的數(shù)字能構(gòu)成20個(gè)兩位數(shù)：12,13,14,15,21,23,24,25,31,32,34,35,41,42,43,45,51,52,53,54，而大于40的數(shù)有8個(gè)：41,42,43,45,51,52,53,54，故所求的概率是＝. 4．從2,3,8,9中任取兩個(gè)不同的數(shù)字，分別記為a，b，則logab為整數(shù)的概率為_(kāi)_______． 答案　 解析　從2,3,8,9中任取2個(gè)分別記為(a，b)，則有(2,3)，(3,2)，(2,8)，(8,2)，(2,9)，(9,2)，(3,8)，(8,3)，(3,9)，(9,3)，(8,9)，(9,8)，共有12種情況，其中符合logab為整數(shù)的有l(wèi)og39和log28兩種情況，∴P＝＝. 5．現(xiàn)有6道題，其中4道甲類題，2道乙類題，張同學(xué)從中任取2道題解答．求所取的2道題不是同一類題的概率． 解　將4道甲類題依次編號(hào)為1,2,3,4；2道乙類題依次編號(hào)為5,6.任取2道題，基本事件為{1,2}，{1,3}，{1,4}，{1,5}，{1,6}，{2,3}，{2,4}，{2,5}，{2,6}，{3,4}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，{5,6}，共15個(gè)，而且這些基本事件的出現(xiàn)是等可能的．用B表示“不是同一類題”這一事件，則B包含的基本事件有{1,5}，{1,6}，{2,5}，{2,6}，{3,5}，{3,6}，{4,5}，{4,6}，共8個(gè)，所以P(B)＝. 古典概型是一種最基本的概型，也是學(xué)習(xí)其他概型的基礎(chǔ)，這也是我們?cè)趯W(xué)習(xí)、生活中經(jīng)常遇到的題型．解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征，即有限性和等可能性．在應(yīng)用公式P(A)＝時(shí)，關(guān)鍵是正確理解基本事件與事件A的關(guān)系，從而求出m，n. 一、選擇題 1．下列是古典概型的是(　　) A．任意拋擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件時(shí) B．求任意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為基本事件時(shí) C．從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率 D．拋擲一枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止 答案　C 解析　A項(xiàng)中由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項(xiàng)中的基本事件是無(wú)限的，故B不是；C項(xiàng)滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項(xiàng)中基本事件既不是有限個(gè)也不具有等可能性，故D不是． 2．從甲、乙、丙、丁、戊五個(gè)人中選取三人參加演講比賽，則甲、乙都入選的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　從五個(gè)人中選取三個(gè)人有10種不同結(jié)果：(甲，乙，丙)，(甲，乙，丁)，(甲，乙，戊)，(甲，丙，丁)，(甲，丙，戊)，(甲，丁，戊)，(乙，丙，丁)，(乙，丙，戊)，(乙，丁，戊)，(丙，丁，戊)，而甲、乙都入選的結(jié)果有3種，故所求的概率為. 3．甲、乙兩人有三個(gè)不同的學(xué)習(xí)小組A，B，C可以參加，若每人必須參加并且僅能參加一個(gè)學(xué)習(xí)小組(兩人參加各小組的可能性相同)，則兩人參加同一個(gè)學(xué)習(xí)小組的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　甲、乙兩人參加學(xué)習(xí)小組，若以(A，B)表示甲參加學(xué)習(xí)小組A，乙參加學(xué)習(xí)小組B，則一共有：(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9種情形，其中兩人參加同一個(gè)學(xué)習(xí)小組共有3種情形，根據(jù)古典概型概率公式，得P＝. 4．先后拋擲兩顆骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和為7的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　拋擲兩顆骰子，一共有36種結(jié)果，其中點(diǎn)數(shù)之和為7的共有6種結(jié)果，根據(jù)古典概型的概率公式，得P＝. 5．盒子里裝有大小質(zhì)量完全相同且分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的四個(gè)小球，從盒子里隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，那么事件“摸出的小球上標(biāo)有的數(shù)字之和為5”的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　A 解析　從裝有四個(gè)小球的盒子里隨機(jī)摸出兩個(gè)小球，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)，共有6種取法，其中小球上標(biāo)有的數(shù)字之和為5的取法共有2種，分別為(1,4)，(2,3)，根據(jù)古典概型的概率公式，得其概率為，故選A. 6．袋中有6個(gè)除了顏色外完全相同的球，其中有1個(gè)紅球，2個(gè)白球和3個(gè)黑球．從袋中任取兩球，兩球顏色為一白一黑的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　C 解析　袋中紅球用a表示，2個(gè)白球分別用b1，b2表示，3個(gè)黑球分別用c1，c2，c3表示，則從袋中任取兩球所含基本事件為(a，b1)，(a，b2)，(a，c1)，(a，c2)，(a，c3)，(b1，b2)，(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，(c1，c2)，(c1，c3)，(c2，c3)，共15個(gè)． 兩球顏色為一白一黑的基本事件有(b1，c1)，(b1，c2)，(b1，c3)，(b2，c1)，(b2，c2)，(b2，c3)，共6個(gè)． ∴其概率為＝. 7．假如小明同學(xué)的QQ密碼是由0,1,2,3,4,5,6,7,8,9這10個(gè)數(shù)字中的6個(gè)數(shù)字組成的六位數(shù)，由于長(zhǎng)時(shí)間未登錄QQ，小明忘記了密碼的最后一個(gè)數(shù)字，如果小明登錄QQ時(shí)密碼的最后一個(gè)數(shù)字隨意選取，則恰好能登錄的概率是(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　只考慮最后一位數(shù)字即可，從0至9這10個(gè)數(shù)字中隨機(jī)選擇一個(gè)作為密碼的最后一位數(shù)字有10種可能，選對(duì)只有一種可能，所以選對(duì)的概率是. 8．甲、乙兩人玩猜數(shù)字游戲，先由甲心中想一個(gè)數(shù)字，記為a，再由乙猜甲剛才所想的數(shù)字，把乙猜的數(shù)字記為b，其中a，b∈{1,2,3,4,5,6}，若|a－b|≤1，就稱甲、乙“心有靈犀”．現(xiàn)任意找兩人玩這個(gè)游戲，則他們“心有靈犀”的概率為(　　) A.B.C.D. 答案　D 解析　首先要弄清楚“心有靈犀”的實(shí)質(zhì)是|a－b|≤1，由于a，b∈{1,2,3,4,5,6}，則滿足要求的事件可能的結(jié)果有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,5)，(6,6)，共16種，而依題意得，基本事件的總數(shù)有36種．因此他們“心有靈犀”的概率為P＝＝. 二、填空題 9．若以連續(xù)擲兩次骰子分別得到的點(diǎn)數(shù)m，n作為點(diǎn)P的坐標(biāo)，則點(diǎn)P落在圓x2＋y2＝16內(nèi)的概率是________． 答案　 解析　基本事件的總數(shù)為66＝36，記事件A＝{點(diǎn)P(m，n)落在圓x2＋y2＝16內(nèi)}，則A所包含的基本事件有(1,1)，(2,2)，(1,3)，(1,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(2,1)，共8個(gè)． ∴P(A)＝＝. 10．從含有3件正品和1件次品的4件產(chǎn)品中不放回地任取2件，則取出的2件中恰有1件是次品的概率是________． 答案　 解析　設(shè)3件正品為A，B，C,1件次品為D，從中不放回地任取2件，有以下基本事件：AB，AC，AD，BC，BD，CD，共6個(gè)．其中恰有1件是次品的基本事件有：AD，BD，CD，共3個(gè)，故P＝＝. 11．從三男三女共6名學(xué)生中任選2名(每名同學(xué)被選中的概率均相等)，則2名都是女同學(xué)的概率等于________． 答案　 解析　用A，B，C表示三名男同學(xué)，用a，b，c表示三名女同學(xué)，則從6名同學(xué)中選出2人的所有選法為AB，AC，Aa，Ab，Ac，BC，Ba，Bb，Bc，Ca，Cb，Cc，ab，ac，bc共15種，其中2名都是女同學(xué)的有ab，ac，bc共3種，故所求的概率為＝. 三、解答題 12．某學(xué)校有初級(jí)教師21人，中級(jí)教師14人，高級(jí)教師7人，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些教師中抽取6人對(duì)績(jī)效工資情況進(jìn)行調(diào)查． (1)求應(yīng)從初級(jí)教師、中級(jí)教師、高級(jí)老師中分別抽取的人數(shù)； (2)若從分層抽樣抽取的6名教師中隨機(jī)抽取2名教師做進(jìn)一步數(shù)據(jù)分析，求抽取的2名教師均為初級(jí)教師的概率． 解　(1)由分層抽樣知識(shí)得應(yīng)從初級(jí)教師、中級(jí)教師、高級(jí)教師中抽取的人數(shù)分別為3,2,1. (2)在分層抽樣抽取的6名教師中，3名初級(jí)教師分別記為A1，A2，A3,2名中級(jí)教師分別記為A4，A5，高級(jí)教師記為A6，則從中抽取2名教師的所有可能結(jié)果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15種． 抽取的2名教師均為初級(jí)教師(記為事件B)的所有可能結(jié)果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3種． 所以P(B)＝＝. 13．海關(guān)對(duì)同時(shí)從A，B，C三個(gè)不同地區(qū)進(jìn)口的某種商品進(jìn)行抽樣檢測(cè)，從各地區(qū)進(jìn)口此種商品的數(shù)量(單位：件)如表所示．工作人員用分層抽樣的方法從這些商品中共抽取6件樣品進(jìn)行檢測(cè). 地區(qū) A B C 數(shù)量 50 150 100 (1)求這6件樣品中來(lái)自A，B，C各地區(qū)商品的數(shù)量； (2)若在這6件樣品中隨機(jī)抽取2件送往甲機(jī)構(gòu)進(jìn)行進(jìn)一步檢測(cè)，求這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率． 解　(1)因?yàn)闃颖救萘颗c總體中的個(gè)體數(shù)的比是＝， 所以樣本中包含三個(gè)地區(qū)的個(gè)體數(shù)量分別是： 50＝1,150＝3,100＝2， 所以A，B，C三個(gè)地區(qū)的商品被抽取的件數(shù)分別為1,3,2. (2)設(shè)6件來(lái)自A，B，C三個(gè)地區(qū)的樣品分別為A1；B1，B2，B3；C1，C2，則抽取的這2件商品構(gòu)成的所有基本事件為： {A1，B1}，{A1，B2}，{A1，B3}，{A1，C1}，{A1，C2}， {B1，B2}，{B1，B3}，{B1，C1}，{B1，C2}，{B2，B3}， {B2，C1}，{B2，C2}，{B3，C1}，{B3，C2}，{C1，C2}， 共15個(gè)． 每個(gè)樣品被抽到的機(jī)會(huì)均等，因此這些基本事件出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是等可能的． 記事件D：“抽取的這2件商品來(lái)自相同地區(qū)”， 則事件D包含的基本事件有 {B1，B2}，{B1，B3}，{B2，B3}，{C1，C2}，共4個(gè)． 所以P(D)＝，即這2件商品來(lái)自相同地區(qū)的概率為. 四、探究與拓展 14．一次擲兩枚骰子，得到的點(diǎn)數(shù)為m和n，則關(guān)于x的方程x2＋(m＋n)x＋4＝0有實(shí)數(shù)根的概率是________． 答案　 解析　基本事件共有36個(gè)．因?yàn)榉匠逃袑?shí)根，所以Δ＝(m＋n)2－16≥0.所以m＋n≥4，其對(duì)立事件是m＋n＜4，它包含(1,1)，(1,2)，(2,1)，共3個(gè)基本事件． 所以所求概率為1－＝. 15．“搶紅包”的活動(dòng)給節(jié)假日增添了一份趣味，某發(fā)紅包單位進(jìn)行一次關(guān)于“是否參與搶紅包活動(dòng)”的調(diào)查活動(dòng)，組織員工在幾個(gè)大型小區(qū)隨機(jī)抽取50名居民進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查，對(duì)問(wèn)卷結(jié)果進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，并將調(diào)查結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表： 年齡(歲) [10，20) [20，30) [30，40) [40，50) [50，60) [60，70] 調(diào)查人數(shù) m n 14 12 8 6 參與的人數(shù) 3 4 12 6 3 2 表中所調(diào)查的居民年齡在[10,20)，[20,30)，[50,60)內(nèi)的人數(shù)成等差數(shù)列． (1)求表中m，n的值，并補(bǔ)全如圖所示的頻率分布直方圖； (2)在被調(diào)查的居民中，若從年齡在[10,20)，[20,30)內(nèi)的居民中各隨機(jī)選取1人參加抽獎(jiǎng)活動(dòng)，求選中的兩人中僅有一人沒(méi)有參與搶紅包活動(dòng)的概率． 解　(1)由題意得解得 補(bǔ)全頻率分布直方圖，如圖所示： (2)記年齡在[10,20)內(nèi)的居民為a1，A2，A3，A4(其中居民a1沒(méi)有參與搶紅包括動(dòng))，年齡在[20,30)內(nèi)的居民為b1，b2，B3，B4，B5，B6(其中居民b1，b2沒(méi)有參與搶紅包活動(dòng))．各選取1人的情形有：(a1，b1)，(a1，b2)，(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A2，b2)，(A2，B3)，(A2，B4)，(A2，B5)，(A2，B6)，(A3，b1)，(A3，b2)，(A3，B3)，(A3，B4)，(A3，B5)，(A3，B6)，(A4，b1)，(A4，b2)，(A4，B3)，(A4，B4)，(A4，B5)，(A4，B6)，共24種． 其中僅有一人沒(méi)有參與搶紅包活動(dòng)的情形有10種，分別為(a1，B3)，(a1，B4)，(a1，B5)，(a1，B6)，(A2，b1)，(A3，b1)，(A4，b1)，(A2，b2)，(A3，b2)，(A4，b2)，所以選中的兩人中僅有一人沒(méi)有參與搶紅包活動(dòng)的概率P＝＝.