高中數學 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 3.1.1 兩角差的余弦公式學案 新人教A版必修4

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1、 3.1.1　兩角差的余弦公式 學習目標：1.了解兩角差的余弦公式的推導過程．(重點)2.理解用向量法導出公式的主要步驟．(難點)3.熟記兩角差的余弦公式的形式及符號特征，并能利用該公式進行求值、計算．(重點、易混點) [自 主 預 習探 新 知] 兩角差的余弦公式 公式 cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β 適用條件 公式中的角α，β都是任意角 公式結構 公式右端的兩部分為同名三角函數積，連接符號與左邊角的連接符號相反 [基礎自測] 1．思考辨析 (1)cos(60－30)＝cos 60－cos 30.(　　) (2)對于任意實數α，β，c

2、os(α－β)＝cos α－cos β都不成立．(　　) (3)對任意α，β∈R，cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β都成立．(　　) (4)cos 30cos 120＋sin 30sin 120＝0.(　　) [解析]　(1)錯誤．cos(60－30)＝cos 30≠cos 60－cos 30. (2)錯誤．當α＝－45，β＝45時，cos(α－β)＝cos(－45 －45)＝cos(－90)＝0，cos α－cos β＝cos(－45)－cos 45＝0，此時cos(α－β)＝cos α－cos β. (3)正確．結論為兩角差的余弦公式． (4)正確．

3、cos 30cos 120＋sin 30sin 120＝cos(120－30)＝cos 90＝0. [答案]　(1)　(2)　(3)√　(4)√ 2．cos(－15)的值是(　　) A.　　　　　　　　 B. C. D. D　[cos(－15)＝cos 15＝cos(45－30)＝cos 45cos 30＋sin 45sin 30＝＋＝.] 3．cos 65cos 20＋sin 65sin 20＝________. 　[cos 65cos 20＋sin 65sin 20＝cos(65－20)＝cos 45＝.] [合 作 探 究攻 重 難] 給角求值問題 　(1)c

4、os的值為(　　) A．　　　　　　　 B． C． D．－ (2)求下列各式的值： ①cos 75cos 15－sin 75sin 195； ②sin 46cos 14＋sin 44cos 76； ③cos 15＋sin 15. 【導學號：84352295】 (1)D　[(1)cos＝cos＝－cos ＝－cos ＝－coscos－sinsin ＝－－＝－. (2)①cos 75cos 15－sin 75sin 195 ＝cos 75cos 15－sin 75sin(180＋15) ＝cos 75cos 15＋sin 75sin 15 ＝cos(75－15)＝c

5、os 60＝. ②sin 46cos 14＋sin 44cos 76 ＝sin(90－44)cos 14＋sin 44cos(90－14) ＝cos 44cos 14＋sin 44sin 14 ＝cos(44－14)＝cos 30＝. ③cos 15＋sin 15 ＝cos 60cos 15＋sin 60sin 15 ＝cos(60－15)＝cos 45＝.] [規(guī)律方法]　1.解含非特殊角的三角函數式的求值問題的一般思路是： (1)把非特殊角轉化為特殊角的和或差，正用公式直接求值． (2)在轉化過程中，充分利用誘導公式，構造兩角差的余弦公式的結構形式，然后逆用公式求值．

6、 2．兩角差的余弦公式的結構特點： (1)同名函數相乘：即兩角余弦乘余弦，正弦乘正弦． (2)把所得的積相加． [跟蹤訓練] 1．化簡下列各式： (1)cos(θ＋21)cos(θ－24)＋sin(θ＋21)sin(θ－24)； (2)－sin 167sin 223＋sin 257sin 313. [解]　(1)原式＝cos[θ＋21－(θ－24)] ＝cos 45＝. (2)原式＝－sin(180－13)sin(180＋43)＋sin(180＋77)sin(360－47) ＝sin 13sin 43＋sin 77sin 47 ＝sin 13sin 43＋cos 13co

7、s 43 ＝cos(13－43)＝cos(－30)＝. 給值(式)求值問題 [探究問題] 1．若已知α＋β和β的三角函數值，如何求cos α的值？ 提示：cos α＝cos[(α＋β)－β] ＝cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β. 2．利用α－(α－β)＝β可得cos β等于什么？ 提示：cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)． 　(1)已知sin α－sin β＝1－，cos α－cos β＝，則cos(α－β)＝(　　) A．－ B．－ C． D． (2)已知sin＝，α∈，求co

8、s α的值. 【導學號：84352296】 [思路探究]　(1)先將已知兩式平方，再將所得兩式相加，結合平方關系和公式C(α－β)求cos(α－β)． (2)由已知角＋α與所求角α的關系即α＝－尋找解題思路． (1)D　[(1)因為sin α－sin β＝1－， 所以sin2α－2sin αsin β＋sin2β＝2，?、? 因為cos α－cos β＝，所以cos2α－2cos αcos β＋cos2β＝2，?、? ①，②兩式相加得1－2cos(α－β)＋1＝1－＋＋ 所以－2cos(α－β)＝－ 所以cos(α－β)＝. (2)∵α∈， ∴＋α∈， ∴cos＝－ ＝

9、－＝－. ∵α＝－， cos α＝cos ＝coscos＋sinsin＝－＋＝.] 母題探究：1.將例2(2)的條件改為“sin＝，且<α<”，如何解答？ [解]　∵sin＝，且<α<， ∴<α＋<π， ∴cos＝－＝－， ∴cos α＝cos ＝coscos ＋sinsin ＝－＋＝. 2．將例2(2)的條件改為“sin＝－，α∈”，求cos的值． [解]　∵＜α＜，∴－＜－α＜， 又sin＝－＜0， ∴－＜－α＜0，cos＝＝， ∴cos＝cos＝cos＝cos＋sin＝＋＝－. [規(guī)律方法]　給值求值問題的解題策略 (1)已知某些角的三角函數值，求另外

10、一些角的三角函數值時，要注意觀察已知角與所求表達式中角的關系，即拆角與湊角. (2)由于和、差角與單角是相對的，因此解題過程中可以根據需要靈活地進行拆角或湊角.常見角的變換有： ①α＝(α－β)＋β； ②α＝＋； ③2α＝(α＋β)＋(α－β)； ④2β＝(α＋β)－(α－β). 給值求角問題 　已知sin(π－α)＝，cos(α－β)＝，0＜β＜α＜，求角β的大小. 【導學號：84352297】 [思路探究]　→ → [解]　因為sin(π－α)＝， 所以sin α＝.因為0＜α＜， 所以cos α＝＝. 因為cos(α－β)＝， 且0＜β＜α＜，所以0＜

11、α－β＜， 所以sin(α－β)＝＝， 所以cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)＝＋＝.因為0＜β＜，所以β＝. [規(guī)律方法]　已知三角函數值求角的解題步驟 (1)界定角的范圍，根據條件確定所求角的范圍. (2)求所求角的某種三角函數值.為防止增解最好選取在范圍內單調的三角函數. (3)結合三角函數值及角的范圍求角. 提醒：在根據三角函數值求角時，易忽視角的范圍，而得到錯誤答案. [跟蹤訓練] 2．已知α，β均為銳角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值． [解]　∵α，β均為銳角， ∴sin α＝，sin β

12、＝， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝＋＝. 又sin α

13、　　　 B．1 C．1　　　　 D．－1 B　[由sin αsin β＝1，得cos αcos β＝0， cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝1.] 3．已知α為銳角，β為第三象限角，且cos α＝，sin β＝－，則cos(α－β)的值為(　　) 【導學號：84352299】 A．－ B．－ C． D． A　[∵α為銳角，cos α＝，∴sin α＝＝， ∵β為第三象限角，sin β＝－，∴cos β＝－＝－， ∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝＋＝－.] 4．cos(α－35)cos(α＋25)＋s

14、in(α－35)sin(α＋25)＝________. 　[原式＝cos[(α－35)－(α＋25)] ＝cos(－60)＝cos 60＝.] 5．已知sin α＝－，sin β＝，且180＜α＜270，90＜β＜180，求cos(α－β)的值. 【導學號：84352300】 [解]　因為sin α＝－，180＜α＜270， 所以cos α＝－. 因為sin β＝，90＜β＜180， 所以cos β＝－， 所以cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β ＝＋ ＝－＝. 6EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F3756EDBC3191F2351DD815FF33D4435F375