高中數(shù)學(xué) 第三章 三角恒等變換 3.1 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 第1課時 兩角和與差的正弦、余弦公式學(xué)案 新人教A版必修4

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1、 第1課時　兩角和與差的正弦、余弦公式 學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.掌握兩角差的余弦公式推導(dǎo)出兩角和的余弦公式及兩角和與差的正弦公式.2.會用兩角和與差的正弦、余弦公式進(jìn)行簡單的三角函數(shù)的求值、化簡、計算等.3.熟悉兩角和與差的正弦、余弦公式的靈活運(yùn)用，了解公式的正用、逆用以及角的變換的常用方法． [自 主 預(yù) 習(xí)探 新 知] 1．兩角和與差的余弦公式 名稱 簡記符號 公式 使用條件 兩角差的 余弦公式 C(α－β) cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β α，β∈R 兩角和的 余弦公式 C(α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_α

2、sin_β α，β∈R 2．兩角和與差的正弦公式 名稱 簡記符號 公式 使用條件 兩角和 的正弦 S(α＋β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β α，β∈R 兩角差 的正弦 S(α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β α，β∈R 3．重要結(jié)論－輔助角公式 y＝asin x＋bcos x＝sin(x＋θ)(a，b不同時為0)，其中cos θ＝，sin θ＝. [基礎(chǔ)自測] 1．思考辨析 (1)兩角和與差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的．(　　) (2)存在α，β∈R，使得sin(α－β)＝

3、sin α－sin β成立．(　　) (3)對于任意α，β∈R，sin(α＋β)＝sin α＋sin β都不成立．(　　) (4)sin 54cos 24－sin 36sin 24＝sin 30.(　　) [解析]　(1)正確．根據(jù)公式的推導(dǎo)過程可得． (2)正確．當(dāng)α＝45，β＝0時，sin(α－β)＝sin α－sin β. (3)錯誤．當(dāng)α＝30，β＝－30時，sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立． (4)正確．因為sin 54cos 24－sin 36sin 24 ＝sin 54cos 24－cos 54sin 24＝sin(54－24) ＝sin 30，故原式

4、正確． [答案]　(1)√　(2)√　(3)　(4)√ 2．cos 57cos 3－sin 57sin 3的值為(　　) A．0　　　　 B．　　　　 C．　　　　 D．cos 54 B　[原式＝cos(57＋3)＝cos 60＝.] 3．若cos α＝－，α是第三象限的角，則sin＝________. －　[∵cos α＝－，α是第三象限的角， ∴sin α＝－＝－， ∴sin＝sin α－cos α＝－＝－.] [合 作 探 究攻 重 難] 給角求值問題 　(1)cos 70sin 50－cos 200sin 40的值為(　　) A．－　　　　　　　 B．

5、－ C． D． (2)若θ是第二象限角且sin θ＝，則cos(θ＋60)＝________. (3)求值：(tan 10－). (1)D　(2)－　[(1)∵cos 200＝cos(180＋20)＝－cos 20＝－sin 70， sin 40＝cos 50， ∴原式＝cos 70sin 50－(－sin 70)cos 50 ＝sin(50＋70)＝sin 120＝. (2)∵θ是第二象限角且sin θ＝， ∴cos θ＝－＝－， ∴cos(θ＋60)＝cos θ－sin θ ＝－ ＝－. (3)原式＝(tan 10－tan 60) ＝ ＝ ＝－2.]

6、 [規(guī)律方法]　解決給角求值問題的策略 (1)對于非特殊角的三角函數(shù)式求值問題，一定要本著先整體后局部的基本原則，如果整體符合三角公式的形式，則整體變形，否則進(jìn)行各局部的變形. (2)一般途徑有將非特殊角化為特殊角的和或差的形式，化為正負(fù)相消的項并消項求值，化分子、分母形式進(jìn)行約分，解題時要逆用或變用公式. 提醒：在逆用兩角的和與差的正弦和余弦公式時，首先要注意結(jié)構(gòu)是否符合公式特點(diǎn)，其次注意角是否滿足要求. [跟蹤訓(xùn)練] 1．化簡求值： (1)； (2)sin(θ＋75)＋cos(θ＋45)－cos(θ＋15)． [解]　(1)原式＝ ＝ ＝＝sin 30＝. (2)設(shè)

7、α＝θ＋15， 則原式＝sin(α＋60)＋cos(α＋30)－cos α ＝＋－cos α＝0. 給值求值、求角問題 　(1)已知P，Q是圓心在坐標(biāo)原點(diǎn)O的單位圓上的兩點(diǎn)，且分別位于第一象限和第四象限，點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為，點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為，則cos∠POQ＝________. (2)已知cos α＝，sin(α－β)＝，且α，β∈.求：①cos(2α－β)的值；②β的值. [思路探究]　(1)先由任意角三角函數(shù)的定義求∠xOP和∠xOQ的正弦、余弦值，再依據(jù)∠POQ＝∠xOP＋∠xOQ及兩角和的余弦公式求值． (2)先求sin α，cos(α－β)，依據(jù)2α－β＝α＋(α－β

8、)求cos(2α－β)．依據(jù)β＝α－(α－β)求cos β再求β. (1)　[(1)由題意可得，cos∠xOP＝， 所以sin∠xOP＝. 再根據(jù)cos∠xOQ＝， 可得sin∠xOQ＝－， 所以cos∠POQ＝cos(∠xOP＋∠xOQ)＝cos∠xOPcos∠xOQ－sin∠xOPsin∠xOQ＝－＝. (2)①因為α，β∈， 所以α－β∈，又sin(α－β)＝＞0， 所以0＜α－β＜， 所以sin α＝＝， cos(α－β)＝＝， cos(2α－β)＝cos[α＋(α－β)] ＝cos αcos(α－β)－sin αsin(α－β) ＝－＝. ②cos β＝c

9、os[α－(α－β)] ＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β) ＝＋＝， 又因為β∈，所以β＝.] [規(guī)律方法]　給值求值問題的解題策略 在解決此類題目時，一定要注意已知角與所求角之間的關(guān)系，恰當(dāng)?shù)剡\(yùn)用拆角、拼角技巧，同時分析角之間的關(guān)系，利用角的代換化異角為同角，具體做法是： (1)當(dāng)條件中有兩角時，一般把“所求角”表示為已知兩角的和或差. (2)當(dāng)已知角有一個時，可利用誘導(dǎo)公式把所求角轉(zhuǎn)化為已知角. [跟蹤訓(xùn)練] 2．已知銳角α，β滿足cos α＝，sin(α－β)＝－，求sin β的值． [解]　因為α，β是銳角，即0＜α＜，0＜β＜， 所以－＜α

10、－β＜， 因為sin(α－β)＝－＜0， 所以cos(α－β)＝， 因為cos α＝，所以sin α＝， 所以sin β＝sin[α－(α－β)]＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)＝＋＝. 輔助角公式的應(yīng)用 [探究問題] 1．能否將函數(shù)y＝sin x＋cos x(x∈R)化為y＝Asin(x＋φ)的形式？ 提示：能．y＝sin x＋cos x＝sin. 2．如何推導(dǎo)asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)公式． 提示：asin x＋bcos x ＝， 令cos φ＝，sin φ＝，則 asin x＋bcos x＝(sin xcos φ＋c

11、os xsin φ) ＝sin(x＋φ)(其中φ角所在象限由a，b的符號確定，φ角的值由tan φ＝確定，或由sin φ＝和cos φ＝共同確定)． 　(1)sin－cos＝________. (2)已知a＝(，－1)，b＝(sin x，cos x)，x∈R，f(x)＝ab，求函數(shù)f(x)的周期，值域，單調(diào)遞增區(qū)間. [思路探究]　解答此類問題的關(guān)鍵是巧妙構(gòu)建公式C(α－β)、C(α＋β)、S(α－β)、S(α＋β)的右側(cè)，逆用公式化成一個角的一種三角函數(shù)值． (1)－　[(1)原式＝2. 法一：(化正弦)原式 ＝2 ＝2 ＝2sin＝2sin＝－. 法二：(化余弦)原

12、式 ＝2 ＝－2 ＝－2cos＝－2cos＝－. (2)f(x)＝sin x－cos x ＝2 ＝2 ＝2sin， ∴T＝＝2π，值域[－2,2]． 由－＋2kπ≤x－≤＋2kπ，得遞增區(qū)間，k∈Z.] 母題探究：1.若將例3(2)中a＝(，－1)改為a＝(－1，)，其他條件不變?nèi)绾谓獯穑? [解]　f(x)＝－sin x＋cos x＝2＝2cos， ∴T＝2π，值域為[－2,2]， 由－π＋2kπ≤x＋≤2kπ，得遞增區(qū)間 ，k∈Z. 2．若將例3(2)中a＝(，－1)改為a＝(m，m)其中m＞0，其他條件不變，應(yīng)如何解答？ [解]　f(x)＝msin x＋mc

13、os x＝msin， ∴T＝2π，值域為[－m，m]， 由－＋2kπ≤x＋≤＋2kπ，得遞增區(qū)間 ，k∈Z. [規(guī)律方法]　輔助角公式及其運(yùn)用 (1)公式形式：公式asin α＋bcos α＝sin(α＋φ)(或asin α＋bcos α＝cos(α－φ))將形如asin α＋bcos α(a，b不同時為零)的三角函數(shù)式收縮為同一個角的一種三角函數(shù)式. (2)形式選擇：化為正弦還是余弦，要看具體條件而定，一般要求變形后角α的系數(shù)為正，這樣更有利于研究函數(shù)的性質(zhì). 提醒：在使用輔助角公式時常因把輔助角求錯而致誤. [當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)固 雙 基] 1．sin 245sin 125

14、＋sin 155sin 35的值是(　　) A．－　　 B．－ C． D． B　[∵sin 245＝sin(155＋90)＝cos 155， sin 125＝sin(90＋35)＝cos 35， ∴原式＝cos 155cos 35＋sin 155sin 35＝cos(155－35)＝cos 120＝－.] 2．化簡cos x－sin x等于(　　) A．2sin B．2cos C．2sin D．2cos D　[cos x－sin x＝2 ＝2 ＝2cos.] 3．cos βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝________. cos α　[cos

15、 βcos(α－β)－sin βsin(α－β)＝cos[β＋(α－β)]＝cos α.] 4．(2018全國卷Ⅱ)已知sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，則sin(α＋β)＝________. [解析]　∵sin α＋cos β＝1，cos α＋sin β＝0，∴sin2α＋cos2β＋2sin αcos β＝1①，cos2α＋sin2β＋2cos αsin β＝0②，①②兩式相加可得sin2α＋cos2α＋sin2β＋cos2β＋2(sin αcos β＋cos αsin β)＝1，∴sin(α＋β)＝－. [答案]?。? 5．已知α，β均為銳角，sin α＝，c

16、os β＝，求α－β. [解]　∵α，β均為銳角，sin α＝，cos β＝， ∴sin β＝，cos α＝. ∵sin α