華師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)教案 第29章 幾何的回顧

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1、 第29章 幾何的回顧 29.1 幾何問題的處理方法 29.1.1 用推理方法研究三角形 29.1.2用推理方法研究四邊形(1) 29.1.3用推理方法研究四邊形(2) 29.1.4用推理方法研究四邊形(3) 29.1.5用推理方法研究四邊形(4) 29.2 反證法 29.2.1 證明的再認(rèn)識(shí)(1) 29.2.2 證明的再認(rèn)識(shí)(2) 第29章 幾何的回顧 29.1 幾何問題的處理方法 29.1.1 用推理方法研究三角形 　　教學(xué)目標(biāo) 　　知識(shí)技能目標(biāo) 　　1．掌握并會(huì)證明等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理； 　　2．利用等腰三角形的有關(guān)定理去研究幾何問題．

2、　　過程性目標(biāo) 　　在證明等腰三角形的有關(guān)定理的過程中，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，掌握證明的書寫格式，提高演繹推理能力． 　　教學(xué)重點(diǎn) 　　1．掌握并會(huì)證明等腰三角形的判定定理和性質(zhì)定理； 　　2．利用等腰三角形的有關(guān)定理去研究幾何問題． 　　教學(xué)難點(diǎn) 　　在證明等腰三角形的有關(guān)定理的過程中，進(jìn)一步體會(huì)證明的必要性，掌握證明的書寫格式，提高演繹推理能力． 　　一、情境導(dǎo)入 　　請(qǐng)同學(xué)們按以下步驟畫△ABC． 1 / 21 　　1．任意畫線段BC； 　　2．以B、C為頂點(diǎn)，在BC的同側(cè)作銳角∠B＝∠C，角的兩邊交于點(diǎn)A． 這個(gè)△ABC是一個(gè)什么三角形？怎么知道△ABC是一

3、個(gè)等腰三角形呢？大家可以用度量或沿AD對(duì)折的方法，得到AB＝AC，這實(shí)際上就是我們已經(jīng)學(xué)過的等腰三角形的識(shí)別方法：等角對(duì)等邊．同學(xué)們是否想過，為什么當(dāng)△ABC沿AD對(duì)折時(shí)，AB與AC完全重合？現(xiàn)在我們可以用邏輯推理的方法去證明這個(gè)問題． 　　二、探究歸納 　　1．求證：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等． 　　已知：如圖，在△ABC中，∠B＝∠C．求證：AB＝AC． 　　分析　要證明AB＝AC，可設(shè)法構(gòu)造兩個(gè)全等三角形，使AB，AC分別是這兩個(gè)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊，因此可畫∠BAC的平分線AD． 　　等腰三角形的判定定理：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩

4、個(gè)角所對(duì)的邊也相等．（簡(jiǎn)寫成“等角對(duì)等邊” 　　說明 　　(1)還可通過畫中線AD或BC邊上的高AD得全等三角形． 　　(2)推理形式：因?yàn)樵凇鰽BC中，∠B＝∠C．（已知） 　　所以AB＝AC．（等角對(duì)等邊） 　　2．同學(xué)們回憶一下，我們學(xué)過的等腰三角形具有哪些性質(zhì)？(1)等邊對(duì)等角；(2)等腰三角形的“三線合一”．以前，我們也用折疊的方法（可演示一下）來認(rèn)識(shí)了這兩個(gè)性質(zhì)，現(xiàn)在同學(xué)們嘗試用邏輯推理的方法來證明等腰三角形的性質(zhì)．先試著畫出圖形，寫出已知，求證． 　　求證：等腰三角形的兩個(gè)底角相等． 　　已知：△ABC中，AB＝AC． 　　求證：∠B＝∠C． 　　

5、分析　仍可通過畫∠BAC的平分線AD來構(gòu)造全等三角形． 　　等腰三角形的性質(zhì)定理：等腰三角形的兩個(gè)底角相等．（簡(jiǎn)稱為“等邊對(duì)等角” ） 　　推理形式：因?yàn)椤鰽BC中，AB＝AC．（已知） 　　所以∠B＝∠C．（等邊對(duì)等角） 　　說明 　　(1)也可作中線AD或BC邊上的高線AD； 　　(2)由△BAD≌△CAD，可進(jìn)一步推得BD＝CD，∠BDA＝∠CDA＝90，因此AD也是中線，是BC邊上的高線． 　　等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合．（簡(jiǎn)寫成“等腰三角形的三線合一” ） 　　在半透明紙上畫∠AOB及角平分線OC，點(diǎn)P是OC上任意一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥

6、OB，垂足分別為點(diǎn)D和點(diǎn)E．沿著射線OC對(duì)折，發(fā)現(xiàn)PD和PE完全重合，即PD＝PE，由此，我們得到了角平分線的性質(zhì)．請(qǐng)同學(xué)們來敘述這一性質(zhì)：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等．我們現(xiàn)在可以用邏輯推理的方法去證明這一性質(zhì)． 1.同學(xué)們按上述性質(zhì)畫出圖形，寫出已知、求證，老師及時(shí)補(bǔ)充． 　　已知：OC是∠AOB平分線，點(diǎn)P是OC上任意一點(diǎn)，PD⊥OA，PE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足． 　　求證：PD＝PE． 　　分析　只要去證明PD、PE所在的兩個(gè)直角三角形全等。 　　角平分線性質(zhì)定理：角平分線上的點(diǎn)到這個(gè)角兩邊的距離相等． 　　2.反過來，如果一個(gè)點(diǎn)到一個(gè)角兩邊的距離相等，這個(gè)點(diǎn)是

7、否就在這個(gè)角的平分線上呢？畫出圖形，我們通過證明來解答這個(gè)問題． 　　已知：如圖，QD⊥OA，QE⊥OB，點(diǎn)D、E為垂足，QD＝QE． 　　求證：點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上． 　　分析　要證點(diǎn)Q在∠AOB的平分線上，即QO是∠AOB的平分線，畫射線OQ，只要證∠AOQ＝∠BOQ，利用H．L．證明△DOQ≌△EOQ，得∠AOQ＝∠BOQ． 　　角平分線判定定理：到一個(gè)角兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上． 　　前面我們已經(jīng)用邏輯推理的方法證明了很多定理，如等腰三角形的性質(zhì)與判定定理、角平分線的性質(zhì)與判定定理、線段的垂直平分線的性質(zhì)與判定定理等，這些定理都是命題．再如：“兩直線

8、平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”；“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”也是命題．觀察這些命題的題設(shè)與結(jié)論，你發(fā)現(xiàn)了什么？ 　　1．命題“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”的題設(shè)是_______，結(jié)論是_______； 　　命題“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”的題設(shè)是_______，結(jié)論是_______． 　　在兩個(gè)命題中，如果第一個(gè)命題的題設(shè)是第二個(gè)命題的結(jié)論，而第一個(gè)命題的結(jié)論是第二個(gè)命題的題設(shè)，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中一個(gè)命題叫做原命題，那么另一個(gè)就叫做它的逆命題．所以上述兩個(gè)命題叫做互逆命題，如“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”為原命題，則“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”為逆命題，反之也可以． 　　2．每一個(gè)命題都有逆

9、命題，只要將原命題的題設(shè)與結(jié)論互換，便可得到原命題的逆命題．但是，原命題正確，它的逆命題未必正確，也就是說原命題與逆命題的真假之間沒有必然的聯(lián)系．比如“對(duì)頂角相等”是真命題，但它的逆命題“相等的角是對(duì)頂角”是一個(gè)假命題． 　　3．我們知道定理是命題，所以定理一定有逆命題．我們還知道定理是真命題，但定理的逆命題卻不一定是真命題，如果是真命題，則定理的逆命題也是定理，那么這兩個(gè)定理叫做互逆定理，其中的一個(gè)定理叫做另一個(gè)定理的逆定理．比如我們剛才所講的命題“兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等”；“內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行”都是定理，因此它們就是互逆定理．再比如等腰三角形的性質(zhì)定理與判定定理也是互逆定理，同學(xué)們能

10、否再舉一些互逆定理？ 　　例題： 　　例1　如圖，△ABC中，AB＝AC，E是AC上一點(diǎn)，∠A＝2∠EBC． 　　求證：BE⊥AC． 　　分析　由已知條件∠A＝2∠EBC，聯(lián)想到作∠A的平分線AD，則∠CAD＝∠EBC，且AD⊥BC，所以∠EBC＋∠C＝∠CAD＋∠C＝90，即BE⊥AC． 　　例2 如圖，已知BE⊥AC，CD⊥AB，垂足分別是E、D，BE、CD相交于點(diǎn)O，且∠1＝∠2．求證：OB＝OC． 　　分析 要證明OB＝OC，只要證明△OBD≌△OCE，可利用角平分線及垂線的條件得OD＝OE． 　　例3 寫出下列命題的逆命題，判斷原命題與逆命題的真假．

11、　　(1)全等三角形的面積相等； 　　(2)同角的余角相等； 　　(3)如果|a|＝|b|，那么a＝b； 　　(4)到一個(gè)角的兩邊距離相等的點(diǎn)在這個(gè)角的平分線上； 　　(5)線段垂直平分線上的點(diǎn)到這條線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等． 　　例4 寫出勾股定理“直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方”的逆命題，并證明逆命題是真命題． 　　已知：△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，且a2+b2＝c2． 　　求證：△ABC是直角三角形． 分析 首先構(gòu)造一個(gè)直角三角形ABC，使得∠C′＝90，B′C′＝a， C′A′＝b，然后可以證明△ABC≌△A′B′C′，從而可知△ABC是直角三角

12、形． 　　勾股定理的逆定理：如果三角形的一條邊的平方等于另外兩條邊的平方和，那么這個(gè)三角形是直角三角形． 　　例5 如圖，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)a為的正方形，M為AB中點(diǎn)，E為AD上一點(diǎn)，且AE＝AD． 　　求證：△EMC是直角三角形． 　　作業(yè)：1、如圖，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分線相交于點(diǎn)F．求證：點(diǎn)F在∠DAE的平分線上． 　　2．如圖，已知Rt△ABC中，∠C＝90，AC＝BC，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D．求證：AB＝CD+AC． 　　3．給定一個(gè)三角形的兩邊長(zhǎng)分別是5、12，當(dāng)?shù)谌龡l邊為多長(zhǎng)時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形？ 29.1.

13、2用推理方法研究四邊形(1) 　　教學(xué)目標(biāo) 　　知識(shí)技能目標(biāo) 　　1.掌握平行四邊形的性質(zhì)，會(huì)用推理的方法證明一個(gè)四邊形是平行四邊形； 　　2.能運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算． 　　過程性目標(biāo) 　　1.掌握證明的一般步驟； 　　2.會(huì)運(yùn)用公理、定理、定義通過邏輯推理來證明以前通過實(shí)驗(yàn)操作得到的幾何命題． 　　教學(xué)重點(diǎn)：知識(shí)技能目標(biāo)1、2 　　教學(xué)難點(diǎn)：過程性目標(biāo)2 　　教學(xué)過程： 　　(一)情境導(dǎo)入 　　在第20章中，我們已學(xué)過平行四邊形的性質(zhì)與判定，回憶有哪些性質(zhì)與判定，你能用邏輯推理的方法來證明它們嗎？ 　　(二)實(shí)踐與探索1 　　

14、根據(jù)學(xué)生的回憶選擇“一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形”嗎？來證明知識(shí)回顧：要證明一個(gè)命題須分三步來完成：①畫圖；②結(jié)合圖形寫出已知、求證；③證明． 　　已知：如圖所示，在四邊形ABCD中，AB∥CD，AB＝CD． 　　求證：四邊形ABCD是平行四邊形． 　　分析 要證明四邊行ABCD是平行四邊形，目前只能用平行四邊形的定義來證明，即只要證明另一組對(duì)邊平行即可，因此可以連結(jié)其中一條對(duì)角線，利用全等三角形對(duì)應(yīng)角相等來證明內(nèi)錯(cuò)角相等． 　　于是得： 　　平行四邊形判定定理1　一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊． 　　利用全等三角形的性質(zhì)，同樣可以證明下列平行四邊形判定定理．

15、 　　平行四邊形判定定理2　兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形． 　　平行四邊形判定定理3　兩組對(duì)角分別相等的四邊形是平行四邊形． 　　平行四邊形判定定理4　對(duì)角線互相平分的四邊形是平行四邊形 　　同樣，我們也可用邏輯推理的方法來證明平行四邊形的性質(zhì)． 　　平行四邊形性質(zhì)定理1　平行四邊形的對(duì)邊相等． 　　已知： 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形． 　　求證： AB＝CD， BC＝DA． 　　分析 要證明平行四邊形的對(duì)邊相等，可以連結(jié)其中一條對(duì)角線，把平行四邊形分成兩個(gè)三角形，然后利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等于是可得： 　　平行四邊形性質(zhì)定理2　平行四邊形的對(duì)角相等．

16、 　　同樣，我們也可證明： 平行四邊形性質(zhì)定理3　平行四邊形的對(duì)角線互相平分． 　　例 如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是邊AB、CD上的點(diǎn)，且AE＝CF． 求證：BF∥DE． 　　分析 要證BF∥DE，只要證四邊形EBFD是平行四邊形即可 變式應(yīng)用：如圖，在平行四邊形ABCD中，E、F分別是對(duì)角線AC上的兩點(diǎn)，且AE＝CF，那么 BF∥DE成立嗎？ 　　 　　(四)小結(jié)與作業(yè) 　　1.學(xué)習(xí)平行四邊形的性質(zhì)與判定，可按邊的關(guān)系，角的關(guān)系以及對(duì)角線的關(guān)系進(jìn)行分類記憶； 　　2.在證明有關(guān)平行四邊形問題時(shí)，要根據(jù)已知條件的特征，正確合理地使用平行四邊形

17、的性質(zhì)與判定； 　　3.可以用有關(guān)平行四邊形知識(shí)證明的問題，不要倒退到利用三角行的全等來證明． 　　作業(yè)：如圖，已知四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)E、F分別是邊AB、DC的中點(diǎn)．求證：EF＝BC 29.1.3用推理方法研究四邊形(2) 　　教學(xué)目標(biāo)： 　　知識(shí)技能目標(biāo) 　　1.掌握矩形的性質(zhì)，會(huì)用推理的方法證明一個(gè)四邊形是矩形； 　　2.能運(yùn)用矩形的性質(zhì)定理和判定定理進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算． 　　過程性目標(biāo) 　　經(jīng)歷探索矩形有關(guān)性質(zhì)與判定條件的過程，在直觀操作活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力和主動(dòng)探究的習(xí)慣． 　　教學(xué)重點(diǎn)：知識(shí)技能目標(biāo)1、2 　　教學(xué)難點(diǎn)：經(jīng)歷探索矩形

18、有關(guān)性質(zhì)與判定條件的過程，在直觀操作活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力和主動(dòng)探究的習(xí)慣． 　　(一)情境導(dǎo)入 　　教師出示教具：“一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形木框”，用兩根橡皮筋分別套在相對(duì)的兩個(gè)頂點(diǎn)上．拉動(dòng)一對(duì)不相鄰的頂點(diǎn)A、C，立即改變平行四邊形的形狀． 　　學(xué)生思考如下問題： 　　(1)無論∠1如何變化，四邊形ABCD還是平行四邊形嗎？ 　　(2)隨著∠1的變化，兩條對(duì)角線長(zhǎng)度有沒有變化？ 　　(3)當(dāng)∠1為什么角時(shí)，這個(gè)平行四邊形就變成一個(gè)特殊的平行四邊形——矩形？這時(shí)兩條對(duì)角線長(zhǎng)度有沒有關(guān)系？ 　　(二)實(shí)踐與探索1 　　我們知道矩形是特殊的平行四邊形，因此它具有

19、平行四邊形的性質(zhì)，而且還具有一些特殊的性質(zhì)．根據(jù)矩形的定義，矩形是平行四邊形，且有一個(gè)角是直角，從而可得： 　　定理矩形的四個(gè)角都是直角． 　　由問題(3)我們還知道定理“矩形的對(duì)角線相等”．你會(huì)用推理的方法證明嗎？ 　　已知：如圖，四邊形ABCD是矩形． 　　求證：AC＝BD． 　　分析 由于AC、BD分別是△ABC、△DCB的邊，因此要證AC＝BD，只要證△ABC≌△DCB． 　　那么要判定一個(gè)四邊形是不是矩形，除了利用矩形的定義直接判定外，還有如下的判定定理： 　　定理　有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形． 　　思考　根據(jù)對(duì)角線之間的關(guān)系能否判定一個(gè)平行四邊形是矩形呢？再

20、看上面一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形木框,保持邊的大小不變，僅改變內(nèi)角大小，觀察對(duì)角線的變化，當(dāng)對(duì)角線具有什么性質(zhì)時(shí)，平行四邊形變?yōu)榫匦危? 　　定理　對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形． 　　上述兩條定理是矩行的判定定理 　　(三)實(shí)踐與探索2 　　例 求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半． 　　已知：如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90，CD是斜邊AB上的中線． 　　求證：CD =AB． 　　分析：要證CD =AB，可以延長(zhǎng)CD到E，使DE = CD，此時(shí)只要證CE = AB． 　　本題的關(guān)鍵在于證明四邊形AEBC是一個(gè)矩形． 　　即直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．

21、　　以后把這條作為直角三角行的性質(zhì)定理． 　　(四)小結(jié)與作業(yè) 　　1.矩形的性質(zhì)： 　　(1)矩形具有平行四邊形的一切性質(zhì)； 　　(2)矩形的四個(gè)內(nèi)角都是直角； 　　(3)矩形的對(duì)角線相等且互相平分． 　　2.矩形的判定： 　　(1)有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形； 　　(2)有一個(gè)內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形； 　　(3)兩條對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形． 　　作業(yè)：1.已知：平行四邊形ABCD的四個(gè)內(nèi)角的平分線交于E、F、G、H．求證：EG＝HF． 　　2.如圖，已知∠ABC＝∠ADC＝90，點(diǎn)E是AC的中點(diǎn)． 　　求證：EB＝ED． 29.1

22、.4用推理方法研究四邊形(3) 　　教學(xué)目標(biāo)： 　　知識(shí)技能目標(biāo) 　　1.掌握菱形的性質(zhì)，會(huì)用推理的方法證明一個(gè)四邊形是菱形； 　　2.能運(yùn)用菱形的性質(zhì)定理和判定定理進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算． 　　過程性目標(biāo) 　　經(jīng)歷探索菱形有關(guān)性質(zhì)與判定條件的過程，在直觀操作活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力和主動(dòng)探究的習(xí)慣． 　　教學(xué)重點(diǎn)：知識(shí)技能目標(biāo)1、2 　　教學(xué)難點(diǎn)：經(jīng)歷探索菱形有關(guān)性質(zhì)與判定條件的過程，在直觀操作活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力和主動(dòng)探究的習(xí)慣． 　　教學(xué)過程： 　　(一)情境導(dǎo)入 　　教師出示教具：“一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形木框”，用兩根橡皮筋分別套在相鄰的兩個(gè)頂

23、點(diǎn)上．平行移動(dòng)另一對(duì)相鄰的頂點(diǎn)B、C，立即改變平行四邊形的形狀． 學(xué)生思考如下問題： 　　(1)無論BC平行移到什么位置，四邊形ABCD還是平行四邊形嗎？ 　　(2)當(dāng)BC移動(dòng)什么位置時(shí)，這個(gè)平行四邊形就變成一個(gè)特殊的平行四邊形——菱形？這時(shí)兩條對(duì)角線有什么位置關(guān)系？ 　　(二)實(shí)踐與探索1 　　我們知道菱形是特殊的平行四邊形，因此它具有平行四邊形的性質(zhì)，而且還具有一些特殊的性質(zhì)． 　　根據(jù)菱形的定義，菱形是平行四邊形，且有一組鄰邊相等，從而可得：定理菱形的四條邊都相等． 　　由問題(2)我們還知道 　　定理　菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角．會(huì)用推理的方法證明

24、嗎？已知：如圖，四邊形ABCD是菱形．分析 要證AC⊥BD，AC平分∠DAB，只要證明△DAB是等腰三角形，且AC平分BD． 　　要判定一個(gè)四邊形是不是菱形，除了利用菱形的定義直接判定外，還有如下的判定定理： 　　定理　四條邊相等的四邊形是菱形 　　思考　根據(jù)對(duì)角線之間的關(guān)系能否判定一個(gè)平行四邊形是菱形呢？再看上面一個(gè)活動(dòng)的平行四邊形木框,保持內(nèi)角大小不變，僅改變邊的大小，觀察對(duì)角線的變化，當(dāng)對(duì)角線具有什么性質(zhì)時(shí)，平行四邊形變?yōu)榱庑危? 　　定理　對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形 　　已知：如圖，四邊形ABCD是菱形． 　　求證：AC⊥BD；AC平分∠DAB，CA平分∠BCD，B

25、D平分∠ABC， 　　DB平分∠CDA． 　　分析 要證AC⊥BD，AC平分∠DAB，只要證明△DAB是等腰三角形， 　　且AC平分BD． 　　要判定一個(gè)四邊形是不是菱形，除了利用菱形的定義直接判定外， 　　還有如下的判定定理： 　　定理　四條邊相等的四邊形是菱形 　　思考　有哪些方法可以判斷一個(gè)四邊形是菱形？ 　　(三)實(shí)踐與探索2 例2 如圖，在菱形ABCD中，M是AB的中點(diǎn)，且DM⊥AB，則ΔABD是什么三角形? 　　例3 如圖，AD是ΔABC的角平分線，DE∥AC交AB于E，DE∥BA交AC于F．猜想AD與EF是什么關(guān)系? 　　(四)小結(jié)與反思

26、 　　1.菱形的性質(zhì)： 　　(1)菱形具有平行四邊形的一切性質(zhì)； 　　(2)菱形的四條邊都相等； 　　(3)菱形的對(duì)角線互相垂直，并且每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角． 　　2.菱形的判定： 　　(1)四條邊相等的四邊形是菱形； 　　(2)有一組鄰邊相等平行四邊形是菱形； 　　(3)對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形． 29.1.5用推理方法研究四邊形(4) 　　教學(xué)目標(biāo) 　　知識(shí)技能目標(biāo) 　　1.掌握正方形的性質(zhì)，會(huì)用推理的方法證明一個(gè)四邊形是正方形； 　　2.能運(yùn)用正方形的性質(zhì)定理和判定定理進(jìn)行有關(guān)的證明和計(jì)算． 　　過程性目標(biāo) 　　經(jīng)歷探索正方形有關(guān)性質(zhì)與

27、判定條件的過程，在直觀操作活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力和主動(dòng)探究的習(xí)慣． 　　教學(xué)重點(diǎn)：知識(shí)技能目標(biāo)1、2 　　教學(xué)難點(diǎn)：經(jīng)歷探索正方形有關(guān)性質(zhì)與判定條件的過程，在直觀操作活動(dòng)中發(fā)展學(xué)生的邏輯推理能力和主動(dòng)探究的習(xí)慣． 　　教學(xué)過程： 　　(一)情境導(dǎo)入 　　1.展開活動(dòng)的衣帽架（如圖）． 　　圖(1)的α在不斷的地變化過程中．這個(gè)圖形始終是怎樣的圖形？生答：菱形．老師繼續(xù)問當(dāng)α＝90時(shí)，這個(gè)圖形還是菱形嗎？如上圖(2)．有的生答：不是，是正方形．有的生答：是，還是菱形，是一個(gè)特殊的菱形．最后老師進(jìn)行評(píng)判，并指出：當(dāng)α＝90時(shí)，這個(gè)四邊形還是菱形．因?yàn)樗青忂呄嗟鹊钠叫兴倪呅危?/p>

28、但它是特殊的菱形是一個(gè)內(nèi)角為直角的菱形也是正方形． 　　2.展開一邊固定對(duì)邊活動(dòng)的矩形． 　　將活動(dòng)的矩形架的CD邊左右移動(dòng)時(shí)，問：圖中CD在移動(dòng)時(shí)，這個(gè)圖形始終是怎樣的圖形？（CD在活動(dòng)的過程中始終保持與AB平行）生答：矩形．當(dāng)CD移動(dòng)到C′D′位置，且AC′＝AB時(shí)，此時(shí)的圖形還是矩形嗎？這時(shí)生回答：是，是矩形，但它是特殊的矩形，也是正方形． 　　(二) 實(shí)踐與探索1 　　我們已經(jīng)知道正方形既是矩形，又是菱形，因此，正方形具有矩形和菱形的所有性質(zhì)． 　　定理　正方形的四個(gè)角都是直角，四條邊都相等．正方形的兩條對(duì)角線相等，且互相垂直平分，每一條對(duì)角線平分一組對(duì)角． 　　反

29、之，如果一個(gè)四邊形既是矩形，又是菱形，那么這個(gè)四邊形一定是正方形．于是可得： 　　定理　有一個(gè)角是直角的菱形是正方形． 　　定理 有一組鄰邊相等的矩形是正方形． 　　(三)實(shí)踐與探索2 　　例　求證：依次連結(jié)正方形各邊中點(diǎn)所成的四邊形是正方形． 　　已知：如圖27.3.7，在正方形ABCD中，點(diǎn)E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)． 　　求證：四邊形EFGH是正方形． 　　變式應(yīng)用　如圖，已知點(diǎn)A′B′C′D′分別是正方形ABCD四條邊上的點(diǎn)，并且AA′＝BB′＝CC′＝DD′，求證：四邊形A′B′C′D′是正方形． 　　 　　(四)小結(jié) 　

30、　1.正方形具有平行四邊形的一切性質(zhì)：兩組對(duì)邊平行且相等，兩組對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分； 　　2.正方形具有矩形的一切性質(zhì)：四個(gè)角都是直角，對(duì)角線相等； 　　3.正方形具有菱形的一切性質(zhì)：四條邊相等，對(duì)角線垂直； 　　4.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形； 　　5.有一組鄰邊相等的矩形是正方形． 29.2 反證法 29.2.1 證明的再認(rèn)識(shí)(1) 　　教學(xué)目標(biāo) 　　知識(shí)技能目標(biāo) 　　1．進(jìn)一步探索幾何圖形的性質(zhì)，掌握研究幾何圖形的方法； 　　2．進(jìn)一步了解證明的含義，理解證明的必要性，掌握證明的書寫格式； 　　3．能證明三角形內(nèi)角和定理及推論． 　　過程性目標(biāo)

31、 　　通過三角形內(nèi)角和定理及推論的證明，體會(huì)證明的必要性，注意證明的格式，知道每一步推理都必須有依據(jù)，證明的表述必須條理清晰． 　　教學(xué)重點(diǎn) 　　進(jìn)一步探索幾何圖形的性質(zhì)，掌握研究幾何圖形的方法 　　能證明三角形內(nèi)角和定理及推論． 　　教學(xué)難點(diǎn) 　　掌握證明的書寫格式 　　教學(xué)過程 　　(一)情境導(dǎo)入 　　1．任意畫一個(gè)四邊形，分別用度量和剪拼的方法，求出該四邊形的內(nèi)角和的大?。隳苷f說理由嗎？ 　　2．下列圖中的線段和線段的長(zhǎng)度是否相等？用尺度量結(jié)果是否與你感覺一樣？ 　　(二)歸納總結(jié) 　　1．探索幾何圖形的性質(zhì)時(shí)，常常采用看一看，畫一畫，比一比，量一量，算一算，

32、想一想，猜一猜等方法得出結(jié)論，并在實(shí)驗(yàn)操作中對(duì)結(jié)論作出解釋，這是研究幾何圖形性質(zhì)的一種基本方法．但有時(shí)視覺上的錯(cuò)覺會(huì)誤導(dǎo)我們，憑直覺的方法研究幾何圖形所得出的結(jié)論不一定正確，所以我們要學(xué)習(xí)用邏輯推理的方法（既證明）去探索圖形的性質(zhì)． 　　2．邏輯推理需要依據(jù)，依據(jù)包括公理，等式與不等式的有關(guān)性質(zhì)以及等量代換，定理． 　　公理：(1)一條直線截兩條平行直線所得的同位角相等； 　　(2)兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么這兩條直線平行； 　　(3)如果兩個(gè)三角形的兩邊及其夾角（或兩角及其夾邊，或三邊）分別對(duì)應(yīng)相等，那么這兩個(gè)三角形全等； 　　(4)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊、對(duì)應(yīng)角相

33、等． 　　定理：在公理與依據(jù)的基礎(chǔ)上，用邏輯推理的方法去證明幾何圖形的有關(guān)命題，并將證得的可以作為進(jìn)一步推理依據(jù)的真命題稱為定理．我們需要將證明的每一步的依據(jù)要寫在所得到的結(jié)論后面． 　　(三)實(shí)踐與探索 　　例1　用邏輯推理的方法證明三角形的內(nèi)角和是180度． 　　已知：△ABC.　求證：∠A+∠B+∠C=180． 　　 　　分析　回憶以前將三個(gè)內(nèi)角拼在一起，發(fā)現(xiàn)三角形的三個(gè)內(nèi)角的和等于180，因此要設(shè)法將三個(gè)內(nèi)角移在一個(gè)平角上，任作一個(gè)三角形ABC，延長(zhǎng)AB到D，得平角ABD，過點(diǎn)B作BE∥AC，由平行線的性質(zhì)把三個(gè)內(nèi)角拼到點(diǎn)B處得：三角形內(nèi)角和定理：三角形的內(nèi)角和

34、等于180度． 　　說明 (1)為了證明的需要在原來的圖中添畫的線叫輔助線，輔助線常畫成虛線； 　　(2)該定理的推理形式：因?yàn)?△ABC，所以∠A+∠B+∠C=180（三角形內(nèi)角和定理）； 　　(3)該定理可以作為進(jìn)一步推理的依據(jù)．利用三角形內(nèi)角和定理，請(qǐng)同學(xué)們用邏輯推理的方法來說明（a）四邊形內(nèi)角和等于360．（b）n邊形的內(nèi)角和等于（n-2）180． 　　小結(jié)：(1)探索幾何圖形性質(zhì)的兩種方法不是孤立的，實(shí)踐為我們作出猜想提供了材料，推理證明為猜想的真實(shí)性提供保證；(2)邏輯推理的依據(jù)有已知、定義、定理、公理、等式的性質(zhì)、不等式的性質(zhì)及等量代換等； 　　(3)注意證明的格式，每

35、一步推理都必須有依據(jù)，證明的表述必須條理清晰． 29.2.2 證明的再認(rèn)識(shí)(2) 　　教學(xué)目標(biāo) 　　知識(shí)技能目標(biāo) 　　1．掌握推理證明的方法與步驟，培養(yǎng)言之有據(jù)的思維習(xí)慣； 　　2．用所學(xué)過的公理，定理，定義進(jìn)行邏輯推理． 　　過程性目標(biāo) 　　在推理過程中體會(huì)公理與定理，定理與定理之間的邏輯關(guān)系，熟練掌握證明的書寫格式 　　教學(xué)重點(diǎn) 　　通過畫圖得出二次函數(shù)特點(diǎn) 　　教學(xué)難點(diǎn) 　　識(shí)圖能力的培養(yǎng) 　　教學(xué)過程 　　(一)情境導(dǎo)入 　　我們已經(jīng)用邏輯推理的方法證明了三角形的內(nèi)角和等于180度，同學(xué)們能否以這個(gè)定理為依據(jù)，來證明三角形的外角性質(zhì)？哪位同學(xué)來說

36、說三角形的外角具有什么性質(zhì)？ 　　求證：三角形的一個(gè)外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和． 　　已知：如圖，∠CBD是△ABC的一個(gè)外角． 　　求證：∠CBD＝∠A+∠C． 　　(二)探究歸納 　　我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了許多圖形的性質(zhì)，有些就是邏輯推理的最原始的依據(jù)——公理，還有一些是在公理的基礎(chǔ)上用邏輯推理的方法去證明的，如：全等三角形的判定公理：邊角邊、角邊角、邊邊邊．除這些方法以外，同學(xué)們還有什么方法判斷三角形全等？（角角邊）我們一起來證明命題：有兩個(gè)角及其中一個(gè)角的對(duì)邊分別相等的兩個(gè)三角形全等． 　　已知：△ABC和 △A′B′C′中，∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，BC＝B′C′． 　　求證：△ABC≌△A′B′C′． 　　(三)實(shí)踐與探索 　　　 　　(四)交流反思 　　1.有些圖形的性質(zhì)可以通過觀察和實(shí)驗(yàn)得到的，但僅僅通過觀察和實(shí)驗(yàn)是不夠的，必須要通過證明得到； 　　2.在推理過程中，不能只根據(jù)問題的某種相似性，生搬硬套，要正確運(yùn)用定理公理等依據(jù)去證明幾何圖形的有關(guān)命題． l 希望對(duì)大家有所幫助，多謝您的瀏覽！