2019-2020年初中數(shù)學競賽專題復習 第二篇 平面幾何 第9章 三角形試題新人教版.doc

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2019-2020年初中數(shù)學競賽專題復習 第二篇 平面幾何 第9章 三角形試題新人教版 9．1．1★已知等腰直角三角形，是斜邊．的角平分線交于，過作與垂直 且交延長線于，求證：． 解析如圖，延長、，設交于．則，，得，． 又，平分，故平分，為中點，所以． 9．1．2★在中，已知，、、分別為、、的中點，、為形外兩點，使，，，，若，求的長． 解析如圖，連結、，則，，故．又，，故，所以，，又，所以，于是． 9．1．3★在梯形的底邊上有一點，若、、的周長相等，求． 解析作平行四邊形，則，若與不重合，則在（或延長線）上，但由三角形不等式易知，在上時，的周長的周長；在延長線上時，的周長周長，均與題設矛盾，故與重合，，同理，． 9．1．4★★內(nèi)，，，、分別在邊、上，并且、分別是、的角平分線．求證：． 解析延長到，使，連結．易知，所以，． 因，所以， ． 于是． 9．1．5★★設等腰直角三角形中，是腰的中點，在斜邊上，并且．求證： ． 解析如圖，作的平分線，在上． 由于，，，故，故． 又，，于是，于是． 9．1．6★★設、都是等腰直角三角形，、是各自的斜邊，是的中點，求證：也是等腰直角三角形． 解析如圖，作、、、分別垂直于直線，垂足為、、、． 由，，，故有，．同理，，所以， ． 又得，且，故．又由，故 結論成立． 9．1．7★★已知，，、在上（靠近），求證：的充要條件是． 解析如圖，作，且，則，又，故，，且． 若，則，因，得，則 ． 反之，若，由得．又，故，又，于是． 9．1．8★★兩三角形全等且關于一直線對稱，求證：可以將其中一個劃分成3塊，每一塊通過平移、 旋轉后拼成另一個三角形． 解析如圖，設與關于對稱，分別找到各自的內(nèi)心、，分別向三邊作垂線、、 與、、，于是6個四邊形……均為軸對稱的箏形，且四邊形四邊形，所以兩者可通過平移、旋轉后重合；同理，另外兩對箏形也可通過平移、旋轉后重合． 9．1．9★★★已知：兩個等底等高的銳角三角形，可以將每個三角形分別分成四個三角形，分別涂上紅色、藍色、黃色和綠色，使得同色三角形全等． 解析如圖，設，至距離等于至距離，取各自的中位線、，則．由、均為銳角三角形，可在、上各取一點、，使圖中標相同數(shù)字的角相等，于是，，，． 評注還有一種旋轉而不是對稱的構造法． 9．1．10★已知與中，，，，與 是否一定全等？ 解析如圖，讓與重合，與重合，、在同側，若與重合，則；否則由條件知四邊形為梯形和圓內(nèi)接四邊形，于是它是一個等腰梯形，于是，，．綜上，可知與全等． 評注本題也可以運用三角形面積公式、余弦定理結合韋達定理來證明． 9．1．11★★如圖所示，已知、均為正三角形，、、分別為、和的中點，求證：為正三角形． 解析如圖，設、中點分別為、，連結、、、．則四邊形為平行四 邊形，設，則，，又，，故， ，于是為正三角形． 評注注意有時在另一側，此時，不影響最終結論． 9．1．12★★★中，，．，，是中點，、分別在、上（可落在端點），滿足，求的最小值（用、、表示）． 解析如圖，延長至，使，連結、、、由于是、的中點，故，，，又垂直平分，故． 取中點（圖中未畫出），則，于是的最小值為，取到等號僅當即四邊形為矩形時． 9．1．13★★★已知為內(nèi)一點，，由作、的垂線，垂足分別是、． 設為中點，求證：． 解析如圖所示，取中點，中點，連、、、．顯然四邊形是平行四邊形，所以，．． 又由，所以，；同理，．由，所以，從而，所以． 9．1．14★★在中，已知，、分別是邊、上的點，且，，，求的度數(shù)． 解析如圖，延長到，使，連、． 因為，所以，， ． ． 于是，，． 又因為，， 所以 ，， ． 在和中，，，，所以，故 ． 于是，． 9．1．15★★在中，、為銳角，、、分別為邊、、上的點，滿足，，且．求證：． 解析若，則在上取一點，使．連結并延長交于，連結．在與中，，，，故．于是有，，所以．又易知，因此． 但另一方面，由，知，所以 ． 從而．矛盾，故假設不成立． 若，同法可證此假設不成立． 綜上所述，于是由 知，從而． 9．1．16★★如圖，為邊長是1的等邊三角形，為頂角是的等腰三角形，以為頂點作一個角，角的兩邊分別交、于、，連結，形成一個． 求的周長． 解析延長到，使，連結．易知在與中有， ，，從而．所以，． 于是在與中有，， ．從而，故． 所以 ． 9．1．17★★★為等腰直角三角形，，點、分別為邊和的中點，點在射線上，且，點在射線上，且，求證：． 解析取中點，連． 在與中，，，，故．于是有，，． 同樣易知，于是有． 在與中，，，由知，所以．于是有，． 從而在與中有，，故．于是有， ． 總之，，即 ． 9．1．18★★★已知，延長至，使，連結與交于，為的外心，則、、、共圓． 解析如圖連好輔助線，由于，故，設 ，則，又，，故 ，于是，于是，因此、、、共圓． 9．1．19★★★已知和，，且，和分別是、的中點，，問兩個三角形是否必定全等？ 解析如圖，作出外心(及相應的、圖中未畫出)． 若在上，則，此時與未必全等． 若不與重合，則 ， ， ． 當、、共線，則，，所以，，從而 ． 當、、不共線，則，，于是（或），于是由三角形全等可得(或)，（或），故有（或）． 評注此題亦可用中線長公式證明． 9．1．20★★如果兩個三角形滿足“”，它們不一定全等，此時稱它們是相近的，現(xiàn)在有一三角形，作與之“相近”，……一般有與相近，問是否存在一個，使與相做且不全等？ 解析這是不可能的．因為由正弦定理，與有等大的外接圓（它們有一對內(nèi)角相等或互補），從而 推出與x有等大的外接圓，它們不可能只相似不全等． 9．1．21★★★是否存在兩個全等的三角形與，可劃分為兩個三角形與，可劃分成兩個三角形與，使，與卻不全等？ 解析這樣的兩個三角形是存在的，如圖(a)、(b)，設不等邊三角形，其中，不妨設是各自的最長邊，則、為各自的最短邊．在、上分別找、，使，，則由于，故，所以，又因為，，因此，而顯然不與全等．（若，還可避免相似．） 9．1．22★★★已知中，，是內(nèi)心，的垂直平分線分別交、于、，、在上，，求證：． 解析如圖，連結、、、．易誚與為全等之正三角形，， ． 兩端延長至與，使，則，于是，同理，因此，． 而、將三等分，、將三等分，于是由平行線分線段成比例，知()． 評注讀者可以考慮：如果是否有． 9．1．23★★★已知銳角三角形，，，的垂心和外心分別為和，分別與、交于、，證明：的周長為，． 解析如圖，連結、、、．由可知在一側，在一側． 因，故，而，于是，． 又，故，為正三角形． 又，故，，又，故，．于是． 又，做． 9．2特殊三角形 9．2．1★在直角三角形中，是斜邊，，是中點，是上一點，，求． 解析如圖，連結．設，因，，，則 ，．故． 9．2．2★已知中，，，，為在平分線上的射影，為中 點，求． 解析延長交于．由．知，．又，故 ． 9．2．3★等腰三角形中，，為直線上一點，則 （在上）， （在外）． 解析如圖，設在上且較靠近．作于，則為中點，于是 ． 當在外時的結論同理可證． 評注這是斯圖沃特定理在等腰三角形的特殊情形，具有十分廣泛的用途（例如題9．2．1），亦可用相 交弦定理證明． 9．2．4★★已知銳角三角形中，、是高，為垂心，，是的中點，求證： ． 解析如圖，連結，則．于是 ． 由于，故 ． 9．2．5★已知斜邊為的直角三角形中，在上的投影為．若以、、為 三邊可以構成一個直角三角形，求的所有可能值． 解析顯然由、、構成的直角三角形中，不是斜邊，且． 若，則為斜邊．設，，，則由的面積知，又，故．易知，則由前式知，得，故． 同理，若，可得． 所以的可能值為或． 9．2．6★★已知中，為高，在上， 以下哪些條件能判定： (1)： (2)； (3)． 解析設，，，則，． 先看條件(1)：． 若，則；否則不妨設，則． 得，于是，矛盾． 故． 再看見條件（2）：．則，于是，故． 最后條件（3）：．于是 ．若，則 ，仍有，矛盾，故． 所以三個條件都能判定． 9．2．7★已知是等腰直角三角形的斜邊上任意一點，求． 解析如圖，作于． 不妨設．在上，，則，，于是．又．故． 評注請讀者考慮，若對上任一點，有為定值，是否可認為為等腰直角三角形． 9．2．8★★在中，，，，是內(nèi)一點，過點向的 三邊、、分別垂線、、，垂足分別為、、，且，求 的長． 解析如圖，由于，于是 ，此即． 而，故．所以． 9．2．9★★已知中，，是的中垂線，，， 求． 解析如圖，不妨設，則，．作的平分線，由于，故．因此，， ，從而，，所以． 設，則，，因此，，，（舍）．于是，． 9．2．10★★正三角形內(nèi)有一點，關于、的對稱點分別為、，作平行四邊形，求證：． 解析如圖，設與交于，連結，則，垂直平分，， 為正三角形，，于是四邊形為等腰梯形，的中垂線即的中垂線． 于是，． 9．2．11★★與相切于點，與相交于、，若，，，求． 解析如圖，由題意可得，作于，則，又， 故，． 再作于，設，則，，． 于是． 9．2．12★已知大小相等的等邊與等邊有三組邊分別平行，一個指向上方，一個指向 下方，相交部分是一個六邊形，則這個六邊形的主對角線共點． 解析如圖，設兩個三角形的邊的交點依次為、、、、、．設、的高為，則正的高（與的距離）正的高，于是，、互相平分，同理、互相平分，于是、、的中點為同一點，結論成立． 9．2．13★★★★求證：過正三角形的中心任作一條直線，則、、三點至的距離平方和為常數(shù)． 解析如圖，不妨設與、相交，且與延長線交于(平行容易計算)．由中位線及重心性質，知．故． 連結、，作，易知，故，． 對于等腰三角形，有．因此 (定值)，這里用到了． 于是、、三點至的距離平方和為，結論得證． 9．3三角形中的巧合點 9．3．1★已知：是內(nèi)一點，、、延長后分別交對邊于、、，若 ，則是的垂心， 解析如圖，由條件知，故，同理，，故． 又，故，這樣可得，故為之垂 心． 9．3．2★★求證：到三角形三頂點的距離平方和最小的點是三角形的重心． 解析設中，、、是中線，是重心，是任一點．由斯圖沃特定理，并考慮到 結論成立． ， 得 ．① 又由中線長公式，有 ， ． 代入式①，得 ． 結論成立． 9．3．3★★★已知，是銳角的垂心，是中點，過作的垂線，交、于、，求證：是中點． 解析設兩條高為、．又不妨設在上．由于， ，故，于是，同理， 又，故． 9．3．4★★★的邊、、上分別有點、、，且，求證：的重心與的重心是同一點． 解析在上取一點，使，則，所以，四邊形為平行四邊形，設與交于，又設的中點為，連結、、，與交于，于是由 ，得，于是，于是，所以為與之重心． 9．3．5★★★已知，，是重心，，求證：是正三角形． 解析設三條中線分別為、、．連為中位線．于是由條件知、、、共圓，故，于是．由于，，代入，得． 在外作等腰，使，，連結，．由圓心角與圓周角的關系，，故、、三點共線，故，于是，又，故為正三角形． 9．3．6★★★已知是上一點，、、都是正三角形，、在同側，在另一側，求證：以這三個正三角形的中心為頂點的三角形是正三角形，且它的中心在上．又問此題如何推廣？ 解析如圖，設、、分別為、和的中心，則由題11．2．25知為正三角形． 過、、分別作的垂線、、，則，又， 故．又設中點為（圖中未畫出），于，則，且 ．設與交于，則，所以為的中點． 評注此題不難推廣，只需，，此時， 、、為各自對應的重心，則必有之重心位于上． 9．3．7★★★內(nèi)有一點，連結、、并延長，分別與對邊相交，把分成六個小三角形，若這六個小三角形中有三個面積相等，則點是否必為之重心？ 解析如圖，設、、交于．由對稱性，可分四種情況討論． （1）．于是，，由梅氏定理（或添平行線），得，為中心． （2）．此時，故、分別為、中點，為重心． （3）．此時有，由塞瓦定理，，于是，回到情形（1）． （4），見題15．1．58． 綜上所知，答案是肯定的． 9．3．8★★★設有一個三角形三角之比為，作兩較大角的平分線，分別交對邊于、．求證：這個三角形的重心在上． 解析如圖(a)，設為最小角，作中線，交于，于是只要證明．分別作，、在直線上，則，故問題變成，或 ． 不妨設，，，，在上找一點，使，又作，在上，則各角大小如圖(b)所示．于是，故 ． 9．3．9★★★不等邊銳角中，、分別是其垂心和重心，求證：若， ． 解析設的一條中線與高分別為、，則欲證結論等價于．熟知，．于是結論變?yōu)? ． 設，，，則由中線長及余弦定理，知欲證式左端， 右端，整理，得，于是剩下的任務是證明這個等價條件． ， 同理有另兩式，于是條件變?yōu)椋? 由正弦及余弦定理，知上式即，或 ，化簡即得． 9．3．10★★已知凸四邊形中，，，是否一定為之外心？ 解析當固定．由題設、固定，于是、外接圓固定，它們的交點 、固定，又若為外心時，確為的外接圓和的外接圓之異于的交點，因此，結論成立． 9．3．11★★★已知銳角的外接圓與內(nèi)切圓的半徑分別為、，是外心，至三邊距離之和為，試用、表示． 解析易知． 設三邊分別為、、，由于等，則 ，于是 ．① 又等，可得，故式①的右端． 于是． 9．3．12★★★★：已知，、分別在、上，、交于，，求證：、、、的外心四點共圓． 解析如圖，設、的外心分別為、，為的外心，于是垂直平分．垂直平分． 設，則由垂徑定理知，，于是． 易知過中點（由塞瓦定理或面積比），作，在上，則，又 ，故． 又設，的外心分別為、（圖中未畫出），于是、分別在直線與上， 且，于是，于是、、、四點共圓． 9．3．13★★★已知：中，，是中點，為重心，為外心，求證：． 解析1如圖，延長交于，則，．連結并延長，分別交、于、，則為重心，，，易見． 又，，，對應邊垂直，所以． 解析2為外心，故； 而由中線公式， ，， 于是，于是． 9．3．14★★★設和分別是的內(nèi)心和外心，求證：的充分必要條件是． 解析延長與外接圓交于點，連結、、，則 ． 由內(nèi)心性質知，，結合托勒密定理得 ， 所以， 所以， 故的充要條件是． 評注本題的關鍵是先把轉換為，然后再用托勒密定理．托勒密定理是：圓內(nèi)接四邊形的對角線的乘積等于對邊乘積的和． 9．3．15★★★設是的外接圓，是三角形重心，延長、、，分別交 于、、，則． 解析設、、的中點分別為、、，則由中線長公式及相交弦定理，有（此處三邊分別設為、、） ． 同理，有 ， ． 三式相加，即得結論． 9．3．16★★在內(nèi)，平分，，求證：是內(nèi)心． 解析如圖，作，在上，在上，則，， ．又，故，于是，．而，故，，所以為內(nèi)心． 9．3．17★★已知：中，，是內(nèi)心，與垂直于，求的值． 解析設三邊長分別為、、，則． 易知若設，，則，． ， 于是． 9．3．18★★設中，最長，在其上分別找兩點、，使，，又設為內(nèi)心，求（用、、及其組合表示）． 解析如圖，連結、、、． 易知，，同理，為的外心，因此 ， ． 9．3．19★★★★的邊上有一點，與的內(nèi)心與、四點共圓，求證： ． 解析如圖，設與的內(nèi)心分別為與． 連結、、、、，兩端延長，分別交、于、，則由條件知，同理也是此值，于是． 又設與交于，則由角平分線性質知，故由梅氏定理（直線截及直線截），得（此處、分別為、延長后與、之交點），又由角平分線性質，知，于是結論成立． 9．3．20★★★已知中，，、分別為其外心與內(nèi)心，在上，，求證：． 解析如圖，不妨設在內(nèi)，且在“之上”(在形外、之下類似處理），連結、，則，故、、、共圓，于是．這里為、直線之交點． 由于，故，于是． 9．3．21★★設為的重心，已知，且，求的面積． 解析1由題意可畫出圖(a)，令為中點，，垂足為點，因為重心，可知． 由勾股定理可知， 令．由①與②可得 ， 化簡后可得，即，代入③得，再代入①式可得 ， 解方程可得，，故 的面積=的面積． 解析2由題意可畫出圖(b)，令為中點，在的延長線上取點使得，因此 之面積為之面積的一半．此時因與互相平分，可知四邊形為平行四邊形，也因此可知，即的三邊長為2、、，故可知為直角三角形，故的面積為，所以的面積的面積． 9．3．22★★★已知，為異于的任一點，求證： ． 解析如圖，在外作正三角形，由于，，故四邊形的內(nèi)角均小于，是凸四邊形． 對于中任一異于的點，將、均以點為中心順時針旋轉，至 和，則與均為正三角形． 由全等知，這是因為是一條折線，而，，、、、四點共線且僅對于滿足四點共線． 評注當內(nèi)角均小于時，滿足條件的點稱為的費馬點（當有內(nèi)角比如時，到、、距離之和最小的點正是點）．